Qualche considerazione sul linguaggio universale della Matematica

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Qualche considerazione sul linguaggio universale della Matematica"

Transcript

1 Qualche considerazione sul linguaggio universale della Matematica Alessia Ascanelli Introduzione Scopo di queste brevi note è lanciare uno sguardo, all inizio volutamente elementare ed ingenuo, al linguaggio unificante della Matematica. Si vuole far riflettere sul fatto che, esaminando alcuni concetti primitivi, si incontrano subito punti delicati assieme ad applicazioni. Un primo assaggio di questo lo si vede dalla applicazione del concetto di biezione al protocollo della firma digitale. Si prosegue poi col cercare di illustrare che il concetto di biezione altri non è che il concetto elementare del contare: al finito, che porta lo spunto per qualche rudimento di calcolo combinatorio, ed all infinito che porta a considerare il concetto di vari ordini di infinito. Un secondo modulo riguarda i primi rudimenti del calcolo differenziale con applicazioni a semplici problemi di ottimizzazione (massimi e minimi). C è ovviamente una discontinuità tra i due moduli. Questo non vuol essere un corso di Analisi Uno ma un presentazione di alcune parti di questa materia attraverso problemi ed applicazioni. In futuro verranno aggiunti altri moduli, fino a rappresentare un possibile precorso simile ai corsi di accoglienza che la Facoltá organizza nel mese di Settembre 1

2 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE Il contare La matematica comincia con l esperienza del contare: il contare fu infatti con ogni probabilità il primo processo matematico che l uomo sviluppò. Uno dei più antichi reperti che ci sono rimasti è costituito da un osso con cinquantacinque tacche, trovato nel 1937 a Vestonice (Repubblica Ceca), e che risale a anni fa. Scultura ossea con tacche rinvenuta nel sito archeologoco di Dolni Vestonice. Intuitivamente, tutti sappiamo che contare vuol dire numerare oggetti. Tale processo coinvolge il concetto di funzione, che è quindi alla base della matematica, che ora introduciamo brevemente seppur probabilmente noto alla maggior parte degli utenti (e ad alcuni tra loro in forma anche più rigorosa). Funzioni tra insiemi Insiemi. Un insieme è una collezione di oggetti che soddisfano una certa proprietà, detta proprietà caratteristica. Ad esempio, la collezione delle squadre di calcio che giocano in serie A nella stagione costituisce un insieme, mentre la collezione dei ragazzi belli della mia classe non è un insieme, infatti non si puo stabilire oggettivamente quali elementi appartengano alla collezione e quali no. Se x è un elemento dell insieme X, scriveremo x X per indicare che l elemento x appartiene all insieme X. Si dice che un insieme Y è un sottoinsieme di X, e si scrive Y X se tutti gli elementi di Y sono anche elementi di X. La teoria degli insiemi, una delle piú grandi rivoluzioni del pensiero matematico, si sviluppó nella seconda metá dell Ottocento, introdotta soprattutto ad opera di Georg Cantor ( ); essa è alla base di tutta la matematica del Novecento. La matematica si occupa principalmente di insiemi numerici; i principali insiemi numerici che incontreremo in quanto segue sono: l insieme dei numeri naturali N = {0; 1;... ; n;...}; l insieme dei numeri interi Z = {0; ±1;... ; ±n;...}, che contiene tutti i numeri naturali e tutti i loro opposti; 1

3 2 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE Georg Cantor l insieme dei numeri razionali Q = {m/n m Z, n N, n 0}, che contiene tutti i quozienti m/n di numeri interi e naturali. Si ricordi che ogni numero razionale puó essere rappresentato come numero decimale finito o come numero decimale periodico. l insieme dei numeri reali R, che in modo informale può essere definito come l insieme di tutti i numeri (positivi, negativi o nulli) aventi uno sviluppo decimale finito o infinito. R contiene in particolare i numeri la cui rappresentazione decimale è infinita e non periodica, ad esempio 2 = 1, , π = 3, , e = 2, Questi ultimi sono chiamati numeri irrazionali; l insieme dei numeri irrazionali si indica con R Q. Il termine numero reale fu inventato da Cantor nel 1883, in contrapposizione al numero immaginario del quale qui non discuteremo. gli intervalli di R: dati a, b R, a b si chiamano intervalli di estremi a, b gli insiemi di numeri reali: [a, b] = {x R a x b} (intervallo chiuso), (a, b) = {x R a < x < b} (intervallo aperto), [a, b) = {x R a x < b}, (a, b] = {x R a < x b}. Si chiamano invece intervalli illimitati gli insiemi [a, + ) = {x R a x}, (a, + ) = {x R a < x}, (, a] = {x R x a}, (, a) = {x R x < a}.

4 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE 3 Funzioni. Siano X, Y due insiemi. Una funzione definita su X a valori in Y è una corrispondenza tra gli elementi di X e di Y, stabilita mediante una legge che ad ogni elemento x in X associa uno ed un solo elemento y = f(x) in Y. Si scrive f : X Y e si ha: x X!y Y tale che y = f(x). Ad esempio: se X è l insieme di tutti i triangoli del piano ed Y è l insieme di tutti i cerchi del piano, la legge che a ogni triangolo del piano associa il cerchio inscritto in tale triangolo definisce una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio inscritto; se X = N, la legge che ad ogni x N associa il suo doppio, ovvero f(x) = 2x definisce una funzione; se X è l insieme delle case costruttrici delle monoposto che partecipano al mondiale 2006 di Formula 1, Y è l insieme di piloti che partecipano al mondiale 2006 di Formula 1, la legge che ad ogni casa associa il suo pilota non definisce una funzione: ad ogni casa corrispondono infatti due piloti. Funzioni iniettive. Una funzione f : X Y si dice iniettiva quando, dati due qualsiasi elementi x 1, x 2 X con x 1 x 2, si ha che f(x 1 ) f(x 2 ). Ad esempio: se X = Y = R, la funzione f(x) = x 3 è iniettiva; se X = Z, Y = N, la funzione f(x) = x 2 non è iniettiva, perchè ad esempio 1 1 ma f( 1) = 1 = f(1). Funzioni suriettive. Una funzione f : X Y si dice suriettiva quando per ogni y Y esiste almeno un x X tale che y = f(x). Ad esempio: se X = Y = N, la funzione f(x) = x 1, che ad ogni n N associa il suo antecedente è suriettiva; se X = Y = Z + = {x Z x 0}, la funzione f(x) = x non è suriettiva, perchè ad esempio non esiste alcun x Z + tale che x = 2. Biezioni. Una funzione f : X Y si dice una biezione o funzione biunivoca quando è sia iniettiva che suriettiva. Ad esempio: X = Y = R, f(x) = x 1 è una biezione; se X è l insieme dei calciatori del Milan della stagione 2006/2007, ed Y l insieme dei numeri delle loro maglie, la funzione che ad ogni giocatore associa il suo numero di maglia è una biezione. Cosa significa allora contare? Definizione. Contare gli elementi di un insieme significa stabilire una biezione tra gli elementi di tale insieme ed un insieme numerico.

5 4 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE Ad esempio: la funzione che ad ogni calciatore associa il suo numero di maglia permette di contare i giocatori della squadra; la funzione che ad ogni alunno della classe associa il suo numero sul registro permette di contare gli alunni di quella classe. Nell osso di Vestonice, le cinquantacinque tacche sono disposte a gruppi di cinque. Le prime venticinque sono seguite da un intaccatura lunga il doppio delle altre. Nel reperto è già presente (senza che i primitivi ne avessero coscienza) il concetto fondamentale del contare: la corrispondenza biunivoca tra la rappresentazione usata (insieme delle tacche) e l insieme di oggetti a cui si riferisce. Dietro la biezione sta il processo di astrazione che permette di vedere un oggetto come essere unitario : una serie di tacche può dunque ugualmente rappresentare un certo numero di tigri, o lo stesso numero di capanne, o altro. Funzione inversa. Data una funzione f : X Y, possiamo considerare la corrispondenza inversa f 1 : Y X, la quale opera da Y ad X. La funzione f si dice funzione invertibile se tale inversa è anch essa una funzione. Basta ragionare sulla definizione di funzione invertibile per avere il seguente risultato: f è invertibile se e soltanto se f è una biezione. Ad esempio: f : R R, f(x) = x 1 è invertibile con inversa f 1 (y) = y + 1; f : R R, f(x) = x 3 è invertibile con inversa f 1 (y) = 3 y; f : R (0, + ), f(x) = e x è invertibile, la sua inversa f 1 (y) = ln y si chiama funzione logaritmo naturale; f : R [ 1, 1], f(x) = sin x non è invertibile perchè non è iniettiva; ma f : [ π/2, π/2] [ 1, 1], f(x) = sin x è invertibile, e la sua inversa f 1 (y) = arcsin y si chiama funzione arcoseno. Le biezioni non sono solo utili per contare, ma si usano anche per comparare tra loro il numero degli elementi di due insiemi. Inoltre, grazie alla proprietà di invertibilità che le caratterizza, esse sono largamente usate in vari ambiti della fisica, dell ingegneria, delle scienze in genere. Ad esempio, la crittografia fa ampio uso delle funzioni invertibili. La crittografia al tempo degli antichi romani. Tra i primi crittografi della storia vi fu Giulio Cesare; lo storico Svetonio ci racconta di come, durante le spedizioni in Gallia, egli dovesse inviare messaggi ai suoi luogotenenti, non fidandosi dei messaggeri; egli inventò quindi un metodo per codificare quei messaggi: numerò le lettere dell alfabeto, associando: A 1, B 2,..., Z 21. Ad ogni lettera, corrispondente ad un numero n, sostituì la lettera corrispondente al numero n + 3, scrivendo ad esempio FNDR in luogo di CIAO. Solo il destinatario prestabilito, che conosceva il metodo per decodificare il messaggio, poteva leggerli, sostituendo ad ogni lettera che vedeva, corrispondente ad un certo numero m, la lettera corrispondente al numero m 3. In

6 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE 5 crittografia, il messaggio originale e chiamato testo in chiaro, ed il messaggio codificato e chiamato testo cifrato. Per codificare un messaggio si usa la procedura di cifratura (una funzione f); viceversa, per rendere leggibile un messaggio, si usa il procedimento opposto, chiamato decifratura (la funzione f 1 ). Cesare usava f(x) = x + 3, invertibile con inversa f 1 (y) = y 3. La chiave di lettura dei suoi messaggi cifrati era molto semplice; oggi la crittografia usa sistemi molto più complicati e sicuri, come quelli descritti a grandi linee dal seguente esempio. Il disco creato da Leon Battista Alberti per cifrare messaggi con un notevole raffinamento del metodo elementare di Cesare. Una applicazione del concetto di funzione invertibile: messaggi criptati e firma digitale. In un sistema per inviare messaggi criptati a chiave pubblica con possibilità di firma digitale, ogni utente mette in un file accessibile a chiunque (simile ad un elenco telefonico presso un ente di certificazione) una procedura E per criptare messaggi M. Questa procedura altri non è che una biezione dall insieme M di tutti i possibili messaggi ad M stesso. L utente tiene segreta la propria chiave privata D per decriptare i messaggi ricevuti. Queste procedure hanno le seguenti proprietà: (1) decifrando il messaggio criptato E(M) si riottiene il messaggio originale M, ovvero D(E(M)) = M; (2) se un messaggio M viene prima decifrato e poi criptato M è il risultato: E(D(M)) = M; (3) con la rivelazione pubblica di E, l utente non fornisce alcun elemento per un facile calcolo di D. In pratica, solo lui conosce la procedura D. Le proprietà 1 e 2 significano che D è la funzione inversa di E. La proprità 1 consente all utente di leggere i messaggi criptati che gli sono stati inviati

7 6 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE mentre 2 è essenziale per messaggi firmati. La proprietà 3 risponde alle esigenze di sicurezza. In transazioni d affari per via elettronica, è necessario poter firmare elettronicamente un messaggio. Il destinatario spesso necessita la prova che il messaggio viene da un preciso mittente. Questo è molto di più che essere personalmente certi del mittente: il destinatario deve poter provare ad un giudice l identità del mittente. In particolare deve poter provare ad un giudice che egli non può aver falsificato una firma. Il punto centrale è che non solo deve essere certo dell identità del mittente ma deve essere in grado di provare questo fatto. Una firma digitale deve essere sia messaggio-dipendente che mittente-dipendente. Altrimenti il destinatario potrebbe modificare il messaggio prima di mostrare la coppia (messaggio, firma) ad un giudice. Oppure potrebbe apporre la firma del mittente in un qualunque altro messaggio con una semplice azione di copia-incolla. Ora supponiamo che A e B siano due utenti con chiavi pubbliche per criptare e chiavi private per decifrare E A, D A e E B, D B rispettivamente. Supponiamo che B voglia spedire ad A un messaggio firmato M. Per prima cosa determina la propria firma F per il messaggio M usando D B come segue: F = D B (M). Poi egli cripta F usando E A e spedisce ad A il risultato T = E A (F ). Ricevuto T, A per prima cosa decifra T con D A ottenendo F : D A (T ) = D A (E A (F )) = F. Egli conosce il mittente (in questo caso, B): questa informazione, se necessaria, può essere allegata a F con un messaggio in chiaro. Egli può quindi applicare E B a F ottenendo E B (F ) = E B (D B (M)) = M. Ora A possiede una coppia messaggio-firma (M,F ) con proprietà simili ad un messaggio cartaceo firmato a mano. B non può negare di aver spedito ad A questo messaggio perchè nessun altro potrebbe aver creato la firma F = D B (M). A può far vedere ad un giudice che E B (F ) = M e questa è la prova che B ha firmato il messaggio. Inoltre, A non può modificare M in una differente versione M dal momento che gli servirebbe anche la firma F = D B (M ) ma non conosce D B. Quindi A ha ricevuto un messaggio firmato (M, F ) da B potendo provare questo fatto. Però non può modificarne il testo M nè può usare la firma F ad esso collegata per apporla ad altri messaggi.

8 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO Insiemi finiti. Si dice che un insieme Ω è finito con n elementi se si può costruire una biezione dall insieme di numeri naturali {1, 2,..., n} all insieme Ω. Sia dunque Ω un insieme finito non vuoto con n elementi e sia k un numero naturale, 1 k n. In quanti e quali modi diversi si possono combinare a gruppi di k gli elementi dell insieme Ω? A questa domanda risponde il calcolo combinatorio, che dunque è un calcolo su insiemi finiti. Regola fondamentale del calcolo combinatorio. Il numero di oggetti che si può formare con una sequenza di k scelte, sapendo che vi sono n 1 possibilità per la prima scelta, n 2 per la seconda,..., n k per la k-esima, è dato dal prodotto n 1 n 2 n k. Ad esempio: In un gruppo di amici ci sono 3 ragazze e 4 ragazzi. Quante diverse coppie maschio-femmina si possono formare? Dovendo formare delle coppie, si ha k = 2. Per la prima scelta (scelta della ragazza) ho n 1 = 3 possibilità, per la seconda scelta (scelta del ragazzo) ne ho n 2 = 4. Posso quindi formare 3 4 = 12 coppie diverse. In un ristorante si può scegliere tra 6 primi piatti, 7 secondi, 5 dessert. Quale è il numero dei pranzi completi (primo, secondo, dessert) fra cui si può scegliere? Dovendo formare delle terne, si ha k = 3. Per la scelta del primo vi sono n 1 = 6 possibilità, per la scelta del secondo ve ne sono n 2 = 7, per il dessert n 3 = 5. Si può quindi scegliere tra = 210 diversi pasti completi. Disposizioni semplici. Una disposizione semplice di k elementi presi dagli n di Ω è una lista ordinata di k elementi distinti di Ω. Si osservi che, secondo tale definizione, due liste sono diverse tra loro se e solo se differiscono per gli elementi o per l ordine in cui questi vengono presentati. Quante sono le possibili disposizioni semplici di k elementi di Ω? Pensando al numero di scelte possibili per occupare successivamente ciascuna posizione in lista a partire dalla prima, si ottiene che il numero D n,k di tali disposizioni è D n,k = n(n 1) (n k + 1). Ad esempio: Ad un torneo di calcio con girone all italiana si iscrivono 20 squadre. Quante partite avranno luogo? 1

9 2 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO Si devono formare delle coppie (k = 2) con n = 20 elementi tra cui scegliere. Le coppie devono essere ordinate perché la partita di andata (squadra A contro squadra B) è differente dalla partita di ritorno (B contro A). Si tratta dunque di disposizioni semplici il cui numero è dato da D 20,2 = = 380. In una stanza vi sono 5 persone e 4 sedie. In quanti modi diversi le persone possono disporsi sulle sedie? Si devono disporre n = 5 persone in quaterne ordinate (k = 4). Le possibilità sono D 5,4 = = 120. Permutazioni. Quando k = n, una disposizione semplice di tutti gli n elementi di Ω si chiama permutazione su Ω. Il numero delle possibili permutazioni degli n elementi di Ω è dunque Ad esempio: D n,n = n (n 1) = n!. In una stanza vi sono 4 persone e 4 sedie. In quanti modi diversi le persone possono disporsi sulle sedie? Differentemente dall esempio precedente, qui non posso cambiare gli elementi (le persone, che sono tante quante le sedie da occupare), ma posso solo cambiarli di posizione. Ho 4! = = 24 possibilità. Contare possibili ordinamenti o collocazioni di oggetti Combinazioni semplici. Una combinazione semplice di k elementi presi dagli n di Ω è un sottoinsieme di Ω con k elementi. Per creare una combinazione si scelgono quindi k elementi da n e l ordine delle scelte è ininfluente. Quante sono le possibili combinazioni semplici di k elementi di Ω? Il numero C n,k di tali combinazioni si può ottenere dal numero di disposizioni D n,k, basta contare una volta sola tutte le liste di k elementi che differiscono tra loro solo per l ordine. poichè il numero delle permutazioni su k elementi è k!, abbiamo C n,k = D n,k k! = n(n 1) (n k + 1). k!

10 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO 3 Moltiplicando numeratore e denominatore per (n k)! si ha anche C n,k = n! k!(n k)!. Si noti che il secondo membro è definito anche per k = 0. Il valore 0! = 1 è coerente con C n,0 = C n,n = 1, infatti abbiamo un solo sottoinsieme con 0 elementi (il vuoto) ed un solo sottoinsieme con n elementi (Ω stesso). Ad esempio: Un gruppo di 8 ragazzi esce la sera per andare a ballare. I ragazzi hanno due macchine, ognuna omologata per 4 passeggeri. Quanti diversi gruppi si possono fare? Si devono costruire sottoinsiemi contenenti 4 elementi da un insieme di 8 elementi. L ordine è ininfluente. I gruppi possibili sono C 8,4 = ( )/4! = 70. Quanti sono in tutto gli ambi che si possono fare giocando al lotto? Quante le cinquine? Il numero di ambi possibili è il numero di tutti i possibili sottoinsiemi di k = 2 elementi presi dall insieme degli n = 90 numeri del lotto, ovvero C 90,2 = (90 89)/2! = Il numero di cinquine è invece il numero di tutti i possibili sottoinsiemi di k = 5 elementi presi dai 90 numeri del lotto, cioè C 90,5 = ( )/5! = Si osservi che, essendo gli ambi possibili molti meno delle cinquine possibili, è molto più facile azzeccare un ambo che una cinquina! Una applicazione del calcolo combinatorio: il gioco del poker. Nel gioco del poker, da un mazzo di 32 carte si distribuiscono 5 carte ad ogni giocatore. Calcolare quante sono le possibilità di avere servito: i). una scala reale ii). un poker iii). colore ma non scala reale iv). un full v). una scala non reale vi). un tris vii). una doppia coppia. Nel mazzo vi sono 4 segni, e per ogni segno 8 carte: 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A. i). Fissato un segno, per fare una scala reale di quel segno ho 5 possibilità (partendo dalla scala minima ed arrivando a quella massima). I segni sono 4, perciò il numero si scale reali possibili è 5 4 = 20. ii). Ci sono 8 diversi tipi di poker (dal poker di 7 al poker di assi). Supposto di avere un poker, per la quinta carta mi rimangono 32-4=28 possibilità. Il numero dei poker possibili è allora 8 28 = 224. iii). Posso fare colore con 4 segni. Fissato un segno, le possibilità di avere colore di quel segno sono date dal numero di combinazioni semplici di 5 elementi tra gli 8 di quel colore, ovvero C 8,5 = 56. A queste devo sottrarre il numero di scale reali possibili per quel segno, cioè 5. Ho 51 possibilità per ogni colore, in totale dunque le possibilità sono 51 4=204.

11 4 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO iv)-vii). Le possibilità si calcolano con ragionamenti simili ai precedenti. Coefficienti binomiali. Per 0 k n si denota ( n ) n! = k k!(n k)! ; ( n ) ogni numero così definito si chiama coefficiente binomiale. Osserviamo k che ( n ) = k e in particolare (0 ) ( n = = 1, 0 n) ( n ) n k ( n ) = 1 ( ) n = n. n 1 Vale inoltre la seguente proprietà, che si usa per determinare ( ) successivamente tutti i coefficienti per ogni n e k partendo da = = ( ) : ) ( n + 1 ( n ) ( n + k k 1 k Su tale proprietà si fonda il triangolo di Tartaglia, un semplicissimo metodo per il calcolo dei coefficienti binomiali. = ). Tartaglia Qui sotto ne vediamo le prime righe (il vertice 1 è ( 0 0) ):

12 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO 5 Per costruirlo si parte dal numero generatore 1 (il vertice del triangolo) e si derivano tutti gli altri numeri sommando i due numeri sovrastanti. Ai bordi si trova sempre 1, perchè i due numeri sovrastanti sono, in questo caso, da una parte 1 e dall altra nessun numero, cioé zero. Il livello n a partire dal vertice contiene tutti i coefficienti binomiali ( n) k per k = 0,..., n. Il triangolo, presentato dal matematico Tartaglia in un suo libro del 1556, era in realtá giá noto agli indiani e ai cinesi: lo si trova anche in un libro cinese del 1303, e si dice che si tratta di un vecchio metodo. Il triangolo di Tartaglia è di ausilio per sviluppare le potenze dei binomi; infatti la riga n-ma contiene i coefficienti dello sviluppo di (a + b) n ordinati secondo le potenze decrescenti di a (o crescenti di b), come si puó verificare agevolmente almeno per n = 0, 1, 2, 3. Da qui deriva il nome coefficienti binomiali dato agli elementi del triangolo. Per gli n molto grandi, ad esempio per n = 75, sviluppare il binomio (a+b) 75 col triangolo di Tartaglia richiederebbe troppo tempo di calcolo. In questo caso si applica una formula ancora piú immediata, la quale permette di controllare qualunque binomio di qualsiasi esponente: la formula del binomio di Newton ( ). Sir Isaac Newton Teorema. (del binomio di Newton)Per ogni a, b R ed ogni n N, n 0, si ha n ( n ) (a + b) n = a k b n k. k k=0 Dimostrazione. Consideriamo il prodotto di n fattori identici (a + b) (a + b).

13 6 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO Sviluppandolo, si deve scegliere un fattore tra a e b in ciascuna posizione da 1 fino ad n. Scegliendo in k posizioni a nelle rimanenti n k si prende b: si crea così il monomio a k b n k. Scegliere k posizioni da n significa creare un sottoinsieme con ( k elementi di uno che ne ha n. Il coefficiente di a k b n k è n ) quindi C n,k =. k Il Teorema del binomio si presta a diverse applicazioni nell ambito del contare, ad esempio: Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme Ω con n elementi (includendo e Ω)? Essi sono esattamente ( 2 n. Infatti, i sottoinsiemi di Ω con k elementi n ) sono C n,k =. Sommando su k = 0,..., n ed utilizzando il Teo- k rema del binomio con a = b = 1 si ottiene che il numero di tutti i sottoinsiemi possibili è (1 + 1) n = 2 n. Una proprietá del triangolo di Tartaglia: la somma dei coefficienti della riga n-ma del triangolo vale sempre 2 n : ora sai spiegare perché?

14 CONTARE GLI INFINITI Quando si lavora con insiemi infiniti, ed in particolare si utilizzano funzioni su insiemi infiniti, si possono presentare situazioni apparentemente contrastanti rispetto alle idee che ci si è fatti operando al finito. Ad esempio, se Ω è un insieme finito, è abbastanza intuitivo il fatto che non si possa costruire una biezione tra Ω ed una sua parte. Con gli insiemi infiniti questo non accade; consiederiamo il triangolo in figura: proiettando ogni punto P Un segmento ha tanti punti quanto una sua parte propria del lato AC sulla base AB si ottiene una biezione tra il segmento AC ed il segmento AH. Dunque, due segmenti di diverse lunghezze si possono porre in corrispondenza biunivoca. Ovvero, è possibile costruire una biezione tra un segmento ed una sua parte! Questa, a metà dell 800, fu una scoperta eccezionale, che contrastava con uno dei principi fondamentali della matematica dell epoca: il tutto è maggiore della parte (Euclide). Trattando con insiemi infiniti tale affermazione non è piú valida; il matematico Richard Dedekind ( ) alla fine dellottocento usó proprio questo fatto per dare la seguente definizione: Insiemi infiniti. Si dice che un insieme X è infinito (ha infiniti elementi) se puó essere messo in biezione con una parte di se stesso. Dalla definizione segue che: un segmento è un insieme infinito; N è un insieme infinito: consideriamo infatti (ad esempio) l insieme P dei numeri pari, che è una parte di N. La funzione f : N P definita da f(n) = 2n è una biezione di N in P. 1

15 2 CONTARE GLI INFINITI Ci domandiamo ora: dati due insiemi infiniti, posso confrontare il numero dei loro (infiniti) elementi? Ovvero, posso dire quale dei due è più numeroso, o stabilire se hanno un ugual numero di elementi? Insomma, ci sono degli infiniti più grandi degli altri o gli infiniti sono tutti grandi uguali? Per farci un idea studiamo l esempio che segue. L albergo di N. C è un albergo che possiede una quantità infinita di stanze, nelle quali alloggiano i numeri naturali: il numero 1 nella stanza 1, 2 nella stanza 2, e così via. L albergo è dunque completo. Una sera si presentano nella hall dell albergo i numeri interi negativi: -1,-2,-3,..., che cercano alloggio per la notte. Il numero 0, che è il portiere dell albergo, li fa accomodare tutti e trova posto per ognuno di loro quella notte nell albergo. Come fa? Risposta: 0 chiede ad ogni numero naturale n di spostarsi per quella notte nella stanza 2n. In questa maniera si liberano infinite camere nell albergo (tante quanti i numeri dispari), e 0 le assegna ai numeri interi negativi con il seguente criterio: ogni m Z prende possesso della stanza numero 2m 1. Dunque -1 occupa la stanza 1, -2 la stanza 3, e così via. L albergo è nuovamente completo, ma ospita il doppio dei clienti che ospitava prima!!! Cosa ha fatto, matematicamente parlando, il portiere? Egli ha costruito la biezione f : Z N, definita da 2x se x > 0 f(x) = 0 se x = 0 2x 1 se x < 0. Questo esempio ci dimostra che Z è un insieme infinito (perché è in biezione con una sua parte, N), ma ci dice anche qualcosa in più: il numero di elementi di N e di Z è lo stesso, eppure dal punto di vista insiemistico N è soltanto una parte di Z! Insiemi equipotenti. Dati due insiemi (finiti o infiniti) X ed Y, si dice che essi sono equipotenti (o che hanno la stessa cardinalità) se esiste una biezione f : X Y. Insiemi numerabili. Se un insieme X è equipotente ad N, allora si dice che X è numerabile. Il termine numerabile significa che gli elementi si possono enumerare, cioé disporre in una lista numerata. Ad esempio: Z è numerabile perché equipotente ad N. N N = {(m, n) m, n N} è numerabile. Possiamo numerare i suoi elementi per diagonali come nella tabella all inizio della pagina seguente. Q è numerabile (che Q sia infinito è evidente, dal momento che m N Q). Per provarlo, pensiamo gli elementi n Q non come frazioni ma come coppie ordianate (m, n). Il sottoinsieme Q + di Q (costituito dai numeri razionali non negativi) può essere pensato allora come l insieme N N al quale sono stati tolti la coppia (0, 0) (che non può essere pensata come elemento di Q) e le coppie (m, n)

16 CONTARE GLI INFINITI 3 Numerare per diagonali di elementi m, n non primi tra loro. Siccome N N è numerabile, lo è anche Q +, e lo è pure Q (basta ragionare come si è fatto con Z ed N.) Potremmo essere dunque portati a pensare che tutti gli insiemi infiniti siano numerabili, e che in matematica l infinito sia uno solo ; ciò è falso, come andiamo a dimostrare di seguito. Teorema. L intervallo [0, 1] non è numerabile. Dimostrazione. Ragioniamo per assurdo, cioé neghiamo la tesi e, tramite deduzioni successive, otteniamo un assurdità. Supponiamo dunque che [0, 1] sia numerabile, e per ogni n N indichiamo con x n = 0, a 1n a 2n... l elemento di [0, 1] che nella biezione corrisponde ad n. Sia poi y = 0, c 1 c 2... un numero reale in [0, 1] le cui cifre decimali non contengono il periodo 9 e tale che c 1 a 11, c 2 a 22, c k a kk,.... Visto che y [0, 1], y dovrebbe essere uno degli x n, cioé dovrebbe esistere un n N tale che y = x n. Ma allora dovrebbe essere c n = a n, n per tutti gli n, in particolare per n = n: c n = a n n, il che è assurdo per come abbiamo definito y. L assurdo è nato dall aver supposto falsa la tesi del teorema; dunque la tesi è vera. Tutti gli intervalli di R sono equipotenti. Si dimostra per passi:

17 4 CONTARE GLI INFINITI (1) Dato un qualsiasi intervallo chiuso [a, b], a < b, si ha che [0, 1] ed [a, b] sono equipotenti. Per provarlo, basta costruire la biezione f che ad ogni x in [0, 1] associa f(x) = a + (b a)x. Ne segue che tutti gli intervalli chiusi di R sono tra loro equipotenti. (2) [0, 1] e (0, 1) sono equipotenti. Per dimostrarlo, consideriamo Q [0, 1], cioé l insieme di tutti gli x Q tali che 0 x 1. Tale insieme è numerabile, essendo un sottoinsieme di Q che lo è. Allora Q [0, 1] = {x 0 ; x 1 ; x 2 ; ; x n ; }, e supponiamo che x 0 = 0 ed x 1 = 1. La funzione che ad ogni x in [0, 1] associa { x se x / Q f(x) = x n+2 se x = x n Q [0, 1] è una biezione. Ne segue che tutti gli intervalli chiusi e tutti gli intervalli aperti di R sono tra loro equipotenti. (3) Si puó costruire (esercizio) una biezione anche tra [0, 1] e [0, 1), oppure tra [0, 1] e (0, 1], oppure tra [0, 1] e [0, + ), oppure tra [0, 1] e (0, + ) ottenendo cosí che tutti gli intervalli di R (aperti, chiusi, aperti a destra, aperti a sinistra, limitati ed illimitati) sono equipotenti tra loro. R non è numerabile. Abbiamo provato che gli intervalli di R non vuoti e che non si riducono ad un solo elemento sono tutti equipotenti a [0, 1]. Di conseguenza, nessun intervallo non vuoto e che non si riduce ad un unico elemento è numerabile. Quindi R stesso non è numerabile. D altronde R contiene N, dunque la cardinalità di R (cioé il numero di elementi di R) è maggiore di quella di N. La cardinalità di R prende il nome di potenza del continuo. Anche l insieme R Q dei numeri irrazionali non è numerabile. In questo senso si puó affermare che i numeri irrazionali sono di più dei razionali. Ci sono dunque vari livelli di infinito e, tra questi, il più semplice è quello degli insiemi numerabili. Ha senso allora domandarsi: quanti e quali elementi contiene l insieme degli infiniti? Numeri trasfiniti. L insieme dei numeri trasfiniti è l insieme delle cardinalità degli insiemi infiniti. Esempi di suoi elementi sono: la cardinalità degli insiemi numerabili, che si chiama ℵ 0 (aleph-zero); la cardinalità del continuo (quella di R), indicata con ℵ 1 (aleph-uno). È evidente che ℵ 0 < ℵ 1, cioé il numerabile è minore del continuo: infatti N è equipotente ad un sottoinsieme di R (N stesso). Il concetto di cardinalità fu introdotto da Georg Cantor nel 1883: egli per primo usó le biezioni per classificare gli insiemi infiniti in base al numero dei loro elementi, e trattó i livelli di infinito come nuovi numeri, detti numeri cardinali o numeri trasfiniti. Si narra che Cantor stesso, riferendosi ai suoi risultati sui numeri trasfiniti, disse: Lo vedo, ma non ci credo. La teoria di Cantor degli insiemi infiniti fu infatti rivoluzionaria, ma lo rese anche oggetto di molte critiche; egli dovette parlare di numeri trasfiniti (e

18 CONTARE GLI INFINITI 5 Georg Cantor non infiniti ) per non incorrere nelle ostilità della Chiesa, per la quale l Infinito è uno ed unico; inoltre, gli altri matematici dell epoca tentarono di sminuire il suo lavoro, e non gli consentirono di raggiungere una posizione accademica prestigiosa, che egli credeva di meritare. Tutto ció lo spinse alla depressione e all isolamento; morí in una clinica psichiatrica nel Quanti sono i numeri trasfiniti? Abbiamo visto nel paragrafo 2 che se un insieme Ω ha n elementi, l insieme di tutti i suoi sottoinsiemi (compresi il vuoto ed Ω stesso) possiede 2 n elementi. Tale insieme si chiama insieme delle parti o insieme potenza di Ω e si denota P(Ω). Per insiemi infiniti si deduce che, ad esempio, se Ω è numerabile, allora P(ω) avrà 2 ℵ 0 elementi, che sono molti piú di quelli di Ω! Fu ancora Cantor a dimostrare che, tanto per Ω finito quanto per Ω infinito, P(Ω) non mai equipotente ad Ω; quindi l operazione di formare l insieme delle parti genera una catena senza fine di insiemi infiniti crescenti e non equipotenti. Dunque i numeri trasfiniti sono una quantità infinita. Ipotesi del continuo. Si puó facilmente dimostrare che, se Ω = N, P(N) è equipotente ad R, dunque possiede la cardinalità del continuo. Si puó dimostrare inoltre che ogni sottoinsieme infinito di R che non ha la potenza del numerabile ha la potenza del continuo. Dopo aver provato tali affermazioni, Cantor si domandó: esiste un insieme infinito la cui potenza è compresa tra ℵ 0 ed ℵ 1? Egli non riuscí a costruire un insieme con tali caratteristiche, e formuló dunque la seguente ipotesi:

19 6 CONTARE GLI INFINITI tra ℵ 0 ed ℵ 1 non esistono altri numeri trasfiniti intermedi. A questa ipotesi di Cantor, risalente al 1874, fu dato il nome di ipotesi del continuo. Ad oggi, l ipotesi del continuo non è ancora stata dimostrata; recentemente (1940) Kurt Gödel ha dimostrato che tale ipotesi è coerente con la teoria degli insiemi che noi conosciamo; nel 1963 Paul Cohen ha invece dimostrato che anche la negazione dell ipotesi del continuo è coerente con la stessa teoria (piú precisamente: sia l ipotesi che la sua negazione sono coerenti con gli altri altri assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel). Il risultato finale è che l ipotesi del continuo non è né dimostrabile, né rifiutabile.

20 CALCOLO DIFFERENZIALE Limiti Il calcolo infinitesimale è un corpo di conoscenze matematiche che studia il comportamento locale di una funzione tramite la nozione di limite. I suoi confini non sono nettamente definiti. Utilizzando la nozione di limite, il calcolo infinitesimale definisce e studia le nozioni di convergenza di una successione o di una serie, continuità, derivata e integrale. Il calcolo infinitesimale è alla base dell analisi matematica ed è uno strumento usato in quasi tutti i campi della matematica e della fisica e della scienza in generale. Noi vogliamo qui parlare brevemente del calcolo differenziale, un settore del calcolo infinitesimale particolarmente ricco di applicazioni. Per proseguire nella lettura di questo fascicolo è necessario perciò che il lettore conosca la teoria dei limiti ed i principali teoremi sulle funzioni continue, cui qui si farà spesso riferimento. Purtroppo, una trattazione esaustiva della teoria dei limiti renderebbe troppo pesante la lettura di questo fascicolo, che vuole solamente dare un idea di come il calcolo differenziale si possa applicare allo studio dei massimi e minini di una funzione. In questa introduzione diamo solamente la definizione di limite al finito e di funzione continua in un punto, che ci sembrano essenziali. Rimandiamo quindi a testi di scuola superiore o di Analisi matematica 1 per tutto quanto viene qui omesso. Limite al finito. Molte volte si ha a che fare con funzioni f(x) i cui valori risultano prossimi quanto si vuole ad un numero reale l (oppure a ± ) a patto di prendere x abbastanza vicino ad un punto x 0 nel quale la funzione non è necessariamente definita. Si pensi ad esempio alla funzione f(x) = sin x/x con x 0 = 0: calcolandone valori per x abbastanza vicino a 0 si ottengono valori prossimi quanto si vuole ad 1 (provare per credere). Limite finito al finito. Consideriamo una funzione f : A R, A R, e sia x 0 un punto di accumulazione di A, cioè un punto o che appartiene ad A, oppure che non appartiene ad A ma al quale ci si può avvicinare finchè si vuole sempre restando all interno dell insieme A. Si dice che f(x) ha limite l R per x x 0 e si scrive lim x x 0 f(x) = l se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che x A, 0 < x x 0 < δ f(x) l < ε. 1

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

La curva grafico della funzione, partendo dal punto A(a,f(a)), si snoda con continuità, senza interruzioni, fino ad approdare nel punto B(b,f(b)).

La curva grafico della funzione, partendo dal punto A(a,f(a)), si snoda con continuità, senza interruzioni, fino ad approdare nel punto B(b,f(b)). Calcolo differenziale Il teorema di Rolle TEOREMA DI ROLLE Ipotesi f continua su [a, b] f derivabile per lo meno su (a,b) f(a) = f(b) Tesi Esiste almeno un punto c in (a, b) tale che Giustificazione con

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE - Matematica - Griglie di valutazione Materia: Matematica Obiettivi disciplinari Gli obiettivi indicati si riferiscono all intero percorso della classe quarta

Dettagli

Le funzioni reali di variabile reale

Le funzioni reali di variabile reale Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un

Dettagli

LA FUNZIONE INTEGRALE

LA FUNZIONE INTEGRALE LA FUNZIONE INTEGRALE MAGLIOCURIOSO & CAMILLO magliocurioso@hotmail.it Sommario. In questa breve dispensa ho semplicementrascritto in L A TEX il contenuto di questa discussione: http://www.matematicamente.it/forum/

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

I numeri reali. Note per il corso di Analisi Matematica 1. G. Mauceri. a.a. 2003-04

I numeri reali. Note per il corso di Analisi Matematica 1. G. Mauceri. a.a. 2003-04 I numeri reali Note per il corso di Analisi Matematica 1 G. Mauceri a.a. 2003-04 2 I numeri reali Contents 1 Introduzione 3 2 Gli assiomi di campo 3 3 Gli assiomi dell ordine 4 4 Valore assoluto 5 5 I

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio.

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio. Appunti di Analisi Matematica Docente:Fabio Camilli SAPIENZA, Università di Roma A.A. 4/5 http://www.dmmm.uniroma.it/~fabio.camilli/ (Versione del 9 luglio 5) Note scritte in collaborazione con il prof.

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

F (x) = f(x) per ogni x I. Per esempio:

F (x) = f(x) per ogni x I. Per esempio: Funzioni Primitive (Integrali Indefiniti) (l.v.) Pur essendo un argomento che fa parte del Calcolo Differenziale, molti autori inseriscono funzioni primitive nel capitolo sul Calcolo Integrale, in quanto

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

Le Derivate delle Funzioni Elementari

Le Derivate delle Funzioni Elementari Capitolo 4 Le Derivate delle Funzioni Elementari In questo Capitolo impareremo a trovare la formula per la funzione derivata di una funzione elementare, cioè di una funzione costruita con ingredienti di

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le funzioni nel discreto 3 1.1 Le funzioni nel discreto.................................. 3 1.1.1 La rappresentazione grafica............................

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

L. Pandolfi. Lezioni di Analisi Matematica 2

L. Pandolfi. Lezioni di Analisi Matematica 2 L. Pandolfi Lezioni di Analisi Matematica 2 i Il testo presenta tre blocchi principali di argomenti: A Successioni e serie numeriche e di funzioni: Cap., e 2. B Questa parte consta di due, da studiarsi

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

I numeri relativi. Il calcolo letterale

I numeri relativi. Il calcolo letterale Indice Il numero unità I numeri relativi VIII Indice L insieme R Gli insiemi Z e Q Confronto di numeri relativi Le operazioni fondamentali in Z e Q 0 L addizione 0 La sottrazione La somma algebrica La

Dettagli

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? QUESITO 1 Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? Applicando il Teorema dei seni si può determinare il valore di senza indeterminazione, in quanto dalla

Dettagli

Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto

Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto Relatore Prof. Andrea

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

Introduzione all Analisi Non-Standard

Introduzione all Analisi Non-Standard Introduzione all Analisi Non-Standard Riccardo Dossena La matematica del seicento venne caratterizzata fondamentalmente dalla ricerca della soluzione ad un celebre e antico problema: il cosiddetto problema

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

Dispensa sulle funzioni trigonometriche

Dispensa sulle funzioni trigonometriche Sapienza Universita di Roma Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l Ingegneria Sezione di Matematica Dispensa sulle funzioni trigonometriche Paola Loreti e Cristina Pocci A. A. 00-0 Dispensa

Dettagli

A i è un aperto in E. i=1

A i è un aperto in E. i=1 Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque

Dettagli

Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale

Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Liceo G. B. Vico - Napoli Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Prof. Giuseppe Caputo Premetto due teoremi come prerequisiti necessari per la comprensione di quanto verrà esposto

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

Analisi Matematica I

Analisi Matematica I Analisi Matematica I Fabio Fagnani, Gabriele Grillo Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino Queste dispense contengono il materiale delle lezioni del corso di Analisi Matematica I rivolto agli

Dettagli

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA Classe VA scientifico MATEMATICA MODULO 1 ESPONENZIALI E LOGARITMI 1. Potenze con esponente reale; 2. La funzione esponenziale: proprietà e grafico; 3. Definizione di logaritmo;

Dettagli

Note integrative ed Esercizi consigliati

Note integrative ed Esercizi consigliati - a.a. 2006-07 Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile (CIS) Note integrative ed consigliati Laura Poggiolini e Gianna Stefani Indice 0 1 Convergenza uniforme 1 2 Convergenza totale 5 1 Numeri

Dettagli

MAPPE IN DIMENSIONE UNO

MAPPE IN DIMENSIONE UNO ¾ MAPPE IN DIMENSIONE UNO Abbiamo visto come la sezione di Poincaré conduca in modo naturale alla considerazione di mappe definite mediante funzioni reali. In questo capitolo passiamo a discutere la dinamica

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

F U N Z I O N I. E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC "DERIVE")

F U N Z I O N I. E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC DERIVE) F U N Z I O N I E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC "DERIVE") I N D I C E Funzioni...pag. 2 Funzioni del tipo = Kx... 4 Funzioni crescenti e decrescenti...10

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y =

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta

Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/ Questi appunti vogliono essere

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009 ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali v.scudero www.vincenzoscudero.it novembre 009 1 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione)

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli