Qualche considerazione sul linguaggio universale della Matematica

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1 Qualche considerazione sul linguaggio universale della Matematica Alessia Ascanelli Introduzione Scopo di queste brevi note è lanciare uno sguardo, all inizio volutamente elementare ed ingenuo, al linguaggio unificante della Matematica. Si vuole far riflettere sul fatto che, esaminando alcuni concetti primitivi, si incontrano subito punti delicati assieme ad applicazioni. Un primo assaggio di questo lo si vede dalla applicazione del concetto di biezione al protocollo della firma digitale. Si prosegue poi col cercare di illustrare che il concetto di biezione altri non è che il concetto elementare del contare: al finito, che porta lo spunto per qualche rudimento di calcolo combinatorio, ed all infinito che porta a considerare il concetto di vari ordini di infinito. Un secondo modulo riguarda i primi rudimenti del calcolo differenziale con applicazioni a semplici problemi di ottimizzazione (massimi e minimi). C è ovviamente una discontinuità tra i due moduli. Questo non vuol essere un corso di Analisi Uno ma un presentazione di alcune parti di questa materia attraverso problemi ed applicazioni. In futuro verranno aggiunti altri moduli, fino a rappresentare un possibile precorso simile ai corsi di accoglienza che la Facoltá organizza nel mese di Settembre 1

2 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE Il contare La matematica comincia con l esperienza del contare: il contare fu infatti con ogni probabilità il primo processo matematico che l uomo sviluppò. Uno dei più antichi reperti che ci sono rimasti è costituito da un osso con cinquantacinque tacche, trovato nel 1937 a Vestonice (Repubblica Ceca), e che risale a anni fa. Scultura ossea con tacche rinvenuta nel sito archeologoco di Dolni Vestonice. Intuitivamente, tutti sappiamo che contare vuol dire numerare oggetti. Tale processo coinvolge il concetto di funzione, che è quindi alla base della matematica, che ora introduciamo brevemente seppur probabilmente noto alla maggior parte degli utenti (e ad alcuni tra loro in forma anche più rigorosa). Funzioni tra insiemi Insiemi. Un insieme è una collezione di oggetti che soddisfano una certa proprietà, detta proprietà caratteristica. Ad esempio, la collezione delle squadre di calcio che giocano in serie A nella stagione costituisce un insieme, mentre la collezione dei ragazzi belli della mia classe non è un insieme, infatti non si puo stabilire oggettivamente quali elementi appartengano alla collezione e quali no. Se x è un elemento dell insieme X, scriveremo x X per indicare che l elemento x appartiene all insieme X. Si dice che un insieme Y è un sottoinsieme di X, e si scrive Y X se tutti gli elementi di Y sono anche elementi di X. La teoria degli insiemi, una delle piú grandi rivoluzioni del pensiero matematico, si sviluppó nella seconda metá dell Ottocento, introdotta soprattutto ad opera di Georg Cantor ( ); essa è alla base di tutta la matematica del Novecento. La matematica si occupa principalmente di insiemi numerici; i principali insiemi numerici che incontreremo in quanto segue sono: l insieme dei numeri naturali N = {0; 1;... ; n;...}; l insieme dei numeri interi Z = {0; ±1;... ; ±n;...}, che contiene tutti i numeri naturali e tutti i loro opposti; 1

3 2 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE Georg Cantor l insieme dei numeri razionali Q = {m/n m Z, n N, n 0}, che contiene tutti i quozienti m/n di numeri interi e naturali. Si ricordi che ogni numero razionale puó essere rappresentato come numero decimale finito o come numero decimale periodico. l insieme dei numeri reali R, che in modo informale può essere definito come l insieme di tutti i numeri (positivi, negativi o nulli) aventi uno sviluppo decimale finito o infinito. R contiene in particolare i numeri la cui rappresentazione decimale è infinita e non periodica, ad esempio 2 = 1, , π = 3, , e = 2, Questi ultimi sono chiamati numeri irrazionali; l insieme dei numeri irrazionali si indica con R Q. Il termine numero reale fu inventato da Cantor nel 1883, in contrapposizione al numero immaginario del quale qui non discuteremo. gli intervalli di R: dati a, b R, a b si chiamano intervalli di estremi a, b gli insiemi di numeri reali: [a, b] = {x R a x b} (intervallo chiuso), (a, b) = {x R a < x < b} (intervallo aperto), [a, b) = {x R a x < b}, (a, b] = {x R a < x b}. Si chiamano invece intervalli illimitati gli insiemi [a, + ) = {x R a x}, (a, + ) = {x R a < x}, (, a] = {x R x a}, (, a) = {x R x < a}.

4 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE 3 Funzioni. Siano X, Y due insiemi. Una funzione definita su X a valori in Y è una corrispondenza tra gli elementi di X e di Y, stabilita mediante una legge che ad ogni elemento x in X associa uno ed un solo elemento y = f(x) in Y. Si scrive f : X Y e si ha: x X!y Y tale che y = f(x). Ad esempio: se X è l insieme di tutti i triangoli del piano ed Y è l insieme di tutti i cerchi del piano, la legge che a ogni triangolo del piano associa il cerchio inscritto in tale triangolo definisce una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio inscritto; se X = N, la legge che ad ogni x N associa il suo doppio, ovvero f(x) = 2x definisce una funzione; se X è l insieme delle case costruttrici delle monoposto che partecipano al mondiale 2006 di Formula 1, Y è l insieme di piloti che partecipano al mondiale 2006 di Formula 1, la legge che ad ogni casa associa il suo pilota non definisce una funzione: ad ogni casa corrispondono infatti due piloti. Funzioni iniettive. Una funzione f : X Y si dice iniettiva quando, dati due qualsiasi elementi x 1, x 2 X con x 1 x 2, si ha che f(x 1 ) f(x 2 ). Ad esempio: se X = Y = R, la funzione f(x) = x 3 è iniettiva; se X = Z, Y = N, la funzione f(x) = x 2 non è iniettiva, perchè ad esempio 1 1 ma f( 1) = 1 = f(1). Funzioni suriettive. Una funzione f : X Y si dice suriettiva quando per ogni y Y esiste almeno un x X tale che y = f(x). Ad esempio: se X = Y = N, la funzione f(x) = x 1, che ad ogni n N associa il suo antecedente è suriettiva; se X = Y = Z + = {x Z x 0}, la funzione f(x) = x non è suriettiva, perchè ad esempio non esiste alcun x Z + tale che x = 2. Biezioni. Una funzione f : X Y si dice una biezione o funzione biunivoca quando è sia iniettiva che suriettiva. Ad esempio: X = Y = R, f(x) = x 1 è una biezione; se X è l insieme dei calciatori del Milan della stagione 2006/2007, ed Y l insieme dei numeri delle loro maglie, la funzione che ad ogni giocatore associa il suo numero di maglia è una biezione. Cosa significa allora contare? Definizione. Contare gli elementi di un insieme significa stabilire una biezione tra gli elementi di tale insieme ed un insieme numerico.

5 4 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE Ad esempio: la funzione che ad ogni calciatore associa il suo numero di maglia permette di contare i giocatori della squadra; la funzione che ad ogni alunno della classe associa il suo numero sul registro permette di contare gli alunni di quella classe. Nell osso di Vestonice, le cinquantacinque tacche sono disposte a gruppi di cinque. Le prime venticinque sono seguite da un intaccatura lunga il doppio delle altre. Nel reperto è già presente (senza che i primitivi ne avessero coscienza) il concetto fondamentale del contare: la corrispondenza biunivoca tra la rappresentazione usata (insieme delle tacche) e l insieme di oggetti a cui si riferisce. Dietro la biezione sta il processo di astrazione che permette di vedere un oggetto come essere unitario : una serie di tacche può dunque ugualmente rappresentare un certo numero di tigri, o lo stesso numero di capanne, o altro. Funzione inversa. Data una funzione f : X Y, possiamo considerare la corrispondenza inversa f 1 : Y X, la quale opera da Y ad X. La funzione f si dice funzione invertibile se tale inversa è anch essa una funzione. Basta ragionare sulla definizione di funzione invertibile per avere il seguente risultato: f è invertibile se e soltanto se f è una biezione. Ad esempio: f : R R, f(x) = x 1 è invertibile con inversa f 1 (y) = y + 1; f : R R, f(x) = x 3 è invertibile con inversa f 1 (y) = 3 y; f : R (0, + ), f(x) = e x è invertibile, la sua inversa f 1 (y) = ln y si chiama funzione logaritmo naturale; f : R [ 1, 1], f(x) = sin x non è invertibile perchè non è iniettiva; ma f : [ π/2, π/2] [ 1, 1], f(x) = sin x è invertibile, e la sua inversa f 1 (y) = arcsin y si chiama funzione arcoseno. Le biezioni non sono solo utili per contare, ma si usano anche per comparare tra loro il numero degli elementi di due insiemi. Inoltre, grazie alla proprietà di invertibilità che le caratterizza, esse sono largamente usate in vari ambiti della fisica, dell ingegneria, delle scienze in genere. Ad esempio, la crittografia fa ampio uso delle funzioni invertibili. La crittografia al tempo degli antichi romani. Tra i primi crittografi della storia vi fu Giulio Cesare; lo storico Svetonio ci racconta di come, durante le spedizioni in Gallia, egli dovesse inviare messaggi ai suoi luogotenenti, non fidandosi dei messaggeri; egli inventò quindi un metodo per codificare quei messaggi: numerò le lettere dell alfabeto, associando: A 1, B 2,..., Z 21. Ad ogni lettera, corrispondente ad un numero n, sostituì la lettera corrispondente al numero n + 3, scrivendo ad esempio FNDR in luogo di CIAO. Solo il destinatario prestabilito, che conosceva il metodo per decodificare il messaggio, poteva leggerli, sostituendo ad ogni lettera che vedeva, corrispondente ad un certo numero m, la lettera corrispondente al numero m 3. In

6 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE 5 crittografia, il messaggio originale e chiamato testo in chiaro, ed il messaggio codificato e chiamato testo cifrato. Per codificare un messaggio si usa la procedura di cifratura (una funzione f); viceversa, per rendere leggibile un messaggio, si usa il procedimento opposto, chiamato decifratura (la funzione f 1 ). Cesare usava f(x) = x + 3, invertibile con inversa f 1 (y) = y 3. La chiave di lettura dei suoi messaggi cifrati era molto semplice; oggi la crittografia usa sistemi molto più complicati e sicuri, come quelli descritti a grandi linee dal seguente esempio. Il disco creato da Leon Battista Alberti per cifrare messaggi con un notevole raffinamento del metodo elementare di Cesare. Una applicazione del concetto di funzione invertibile: messaggi criptati e firma digitale. In un sistema per inviare messaggi criptati a chiave pubblica con possibilità di firma digitale, ogni utente mette in un file accessibile a chiunque (simile ad un elenco telefonico presso un ente di certificazione) una procedura E per criptare messaggi M. Questa procedura altri non è che una biezione dall insieme M di tutti i possibili messaggi ad M stesso. L utente tiene segreta la propria chiave privata D per decriptare i messaggi ricevuti. Queste procedure hanno le seguenti proprietà: (1) decifrando il messaggio criptato E(M) si riottiene il messaggio originale M, ovvero D(E(M)) = M; (2) se un messaggio M viene prima decifrato e poi criptato M è il risultato: E(D(M)) = M; (3) con la rivelazione pubblica di E, l utente non fornisce alcun elemento per un facile calcolo di D. In pratica, solo lui conosce la procedura D. Le proprietà 1 e 2 significano che D è la funzione inversa di E. La proprità 1 consente all utente di leggere i messaggi criptati che gli sono stati inviati

7 6 DAL CONTARE ALLA FIRMA DIGITALE mentre 2 è essenziale per messaggi firmati. La proprietà 3 risponde alle esigenze di sicurezza. In transazioni d affari per via elettronica, è necessario poter firmare elettronicamente un messaggio. Il destinatario spesso necessita la prova che il messaggio viene da un preciso mittente. Questo è molto di più che essere personalmente certi del mittente: il destinatario deve poter provare ad un giudice l identità del mittente. In particolare deve poter provare ad un giudice che egli non può aver falsificato una firma. Il punto centrale è che non solo deve essere certo dell identità del mittente ma deve essere in grado di provare questo fatto. Una firma digitale deve essere sia messaggio-dipendente che mittente-dipendente. Altrimenti il destinatario potrebbe modificare il messaggio prima di mostrare la coppia (messaggio, firma) ad un giudice. Oppure potrebbe apporre la firma del mittente in un qualunque altro messaggio con una semplice azione di copia-incolla. Ora supponiamo che A e B siano due utenti con chiavi pubbliche per criptare e chiavi private per decifrare E A, D A e E B, D B rispettivamente. Supponiamo che B voglia spedire ad A un messaggio firmato M. Per prima cosa determina la propria firma F per il messaggio M usando D B come segue: F = D B (M). Poi egli cripta F usando E A e spedisce ad A il risultato T = E A (F ). Ricevuto T, A per prima cosa decifra T con D A ottenendo F : D A (T ) = D A (E A (F )) = F. Egli conosce il mittente (in questo caso, B): questa informazione, se necessaria, può essere allegata a F con un messaggio in chiaro. Egli può quindi applicare E B a F ottenendo E B (F ) = E B (D B (M)) = M. Ora A possiede una coppia messaggio-firma (M,F ) con proprietà simili ad un messaggio cartaceo firmato a mano. B non può negare di aver spedito ad A questo messaggio perchè nessun altro potrebbe aver creato la firma F = D B (M). A può far vedere ad un giudice che E B (F ) = M e questa è la prova che B ha firmato il messaggio. Inoltre, A non può modificare M in una differente versione M dal momento che gli servirebbe anche la firma F = D B (M ) ma non conosce D B. Quindi A ha ricevuto un messaggio firmato (M, F ) da B potendo provare questo fatto. Però non può modificarne il testo M nè può usare la firma F ad esso collegata per apporla ad altri messaggi.

8 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO Insiemi finiti. Si dice che un insieme Ω è finito con n elementi se si può costruire una biezione dall insieme di numeri naturali {1, 2,..., n} all insieme Ω. Sia dunque Ω un insieme finito non vuoto con n elementi e sia k un numero naturale, 1 k n. In quanti e quali modi diversi si possono combinare a gruppi di k gli elementi dell insieme Ω? A questa domanda risponde il calcolo combinatorio, che dunque è un calcolo su insiemi finiti. Regola fondamentale del calcolo combinatorio. Il numero di oggetti che si può formare con una sequenza di k scelte, sapendo che vi sono n 1 possibilità per la prima scelta, n 2 per la seconda,..., n k per la k-esima, è dato dal prodotto n 1 n 2 n k. Ad esempio: In un gruppo di amici ci sono 3 ragazze e 4 ragazzi. Quante diverse coppie maschio-femmina si possono formare? Dovendo formare delle coppie, si ha k = 2. Per la prima scelta (scelta della ragazza) ho n 1 = 3 possibilità, per la seconda scelta (scelta del ragazzo) ne ho n 2 = 4. Posso quindi formare 3 4 = 12 coppie diverse. In un ristorante si può scegliere tra 6 primi piatti, 7 secondi, 5 dessert. Quale è il numero dei pranzi completi (primo, secondo, dessert) fra cui si può scegliere? Dovendo formare delle terne, si ha k = 3. Per la scelta del primo vi sono n 1 = 6 possibilità, per la scelta del secondo ve ne sono n 2 = 7, per il dessert n 3 = 5. Si può quindi scegliere tra = 210 diversi pasti completi. Disposizioni semplici. Una disposizione semplice di k elementi presi dagli n di Ω è una lista ordinata di k elementi distinti di Ω. Si osservi che, secondo tale definizione, due liste sono diverse tra loro se e solo se differiscono per gli elementi o per l ordine in cui questi vengono presentati. Quante sono le possibili disposizioni semplici di k elementi di Ω? Pensando al numero di scelte possibili per occupare successivamente ciascuna posizione in lista a partire dalla prima, si ottiene che il numero D n,k di tali disposizioni è D n,k = n(n 1) (n k + 1). Ad esempio: Ad un torneo di calcio con girone all italiana si iscrivono 20 squadre. Quante partite avranno luogo? 1

9 2 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO Si devono formare delle coppie (k = 2) con n = 20 elementi tra cui scegliere. Le coppie devono essere ordinate perché la partita di andata (squadra A contro squadra B) è differente dalla partita di ritorno (B contro A). Si tratta dunque di disposizioni semplici il cui numero è dato da D 20,2 = = 380. In una stanza vi sono 5 persone e 4 sedie. In quanti modi diversi le persone possono disporsi sulle sedie? Si devono disporre n = 5 persone in quaterne ordinate (k = 4). Le possibilità sono D 5,4 = = 120. Permutazioni. Quando k = n, una disposizione semplice di tutti gli n elementi di Ω si chiama permutazione su Ω. Il numero delle possibili permutazioni degli n elementi di Ω è dunque Ad esempio: D n,n = n (n 1) = n!. In una stanza vi sono 4 persone e 4 sedie. In quanti modi diversi le persone possono disporsi sulle sedie? Differentemente dall esempio precedente, qui non posso cambiare gli elementi (le persone, che sono tante quante le sedie da occupare), ma posso solo cambiarli di posizione. Ho 4! = = 24 possibilità. Contare possibili ordinamenti o collocazioni di oggetti Combinazioni semplici. Una combinazione semplice di k elementi presi dagli n di Ω è un sottoinsieme di Ω con k elementi. Per creare una combinazione si scelgono quindi k elementi da n e l ordine delle scelte è ininfluente. Quante sono le possibili combinazioni semplici di k elementi di Ω? Il numero C n,k di tali combinazioni si può ottenere dal numero di disposizioni D n,k, basta contare una volta sola tutte le liste di k elementi che differiscono tra loro solo per l ordine. poichè il numero delle permutazioni su k elementi è k!, abbiamo C n,k = D n,k k! = n(n 1) (n k + 1). k!

10 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO 3 Moltiplicando numeratore e denominatore per (n k)! si ha anche C n,k = n! k!(n k)!. Si noti che il secondo membro è definito anche per k = 0. Il valore 0! = 1 è coerente con C n,0 = C n,n = 1, infatti abbiamo un solo sottoinsieme con 0 elementi (il vuoto) ed un solo sottoinsieme con n elementi (Ω stesso). Ad esempio: Un gruppo di 8 ragazzi esce la sera per andare a ballare. I ragazzi hanno due macchine, ognuna omologata per 4 passeggeri. Quanti diversi gruppi si possono fare? Si devono costruire sottoinsiemi contenenti 4 elementi da un insieme di 8 elementi. L ordine è ininfluente. I gruppi possibili sono C 8,4 = ( )/4! = 70. Quanti sono in tutto gli ambi che si possono fare giocando al lotto? Quante le cinquine? Il numero di ambi possibili è il numero di tutti i possibili sottoinsiemi di k = 2 elementi presi dall insieme degli n = 90 numeri del lotto, ovvero C 90,2 = (90 89)/2! = Il numero di cinquine è invece il numero di tutti i possibili sottoinsiemi di k = 5 elementi presi dai 90 numeri del lotto, cioè C 90,5 = ( )/5! = Si osservi che, essendo gli ambi possibili molti meno delle cinquine possibili, è molto più facile azzeccare un ambo che una cinquina! Una applicazione del calcolo combinatorio: il gioco del poker. Nel gioco del poker, da un mazzo di 32 carte si distribuiscono 5 carte ad ogni giocatore. Calcolare quante sono le possibilità di avere servito: i). una scala reale ii). un poker iii). colore ma non scala reale iv). un full v). una scala non reale vi). un tris vii). una doppia coppia. Nel mazzo vi sono 4 segni, e per ogni segno 8 carte: 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A. i). Fissato un segno, per fare una scala reale di quel segno ho 5 possibilità (partendo dalla scala minima ed arrivando a quella massima). I segni sono 4, perciò il numero si scale reali possibili è 5 4 = 20. ii). Ci sono 8 diversi tipi di poker (dal poker di 7 al poker di assi). Supposto di avere un poker, per la quinta carta mi rimangono 32-4=28 possibilità. Il numero dei poker possibili è allora 8 28 = 224. iii). Posso fare colore con 4 segni. Fissato un segno, le possibilità di avere colore di quel segno sono date dal numero di combinazioni semplici di 5 elementi tra gli 8 di quel colore, ovvero C 8,5 = 56. A queste devo sottrarre il numero di scale reali possibili per quel segno, cioè 5. Ho 51 possibilità per ogni colore, in totale dunque le possibilità sono 51 4=204.

11 4 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO iv)-vii). Le possibilità si calcolano con ragionamenti simili ai precedenti. Coefficienti binomiali. Per 0 k n si denota ( n ) n! = k k!(n k)! ; ( n ) ogni numero così definito si chiama coefficiente binomiale. Osserviamo k che ( n ) = k e in particolare (0 ) ( n = = 1, 0 n) ( n ) n k ( n ) = 1 ( ) n = n. n 1 Vale inoltre la seguente proprietà, che si usa per determinare ( ) successivamente tutti i coefficienti per ogni n e k partendo da = = ( ) : ) ( n + 1 ( n ) ( n + k k 1 k Su tale proprietà si fonda il triangolo di Tartaglia, un semplicissimo metodo per il calcolo dei coefficienti binomiali. = ). Tartaglia Qui sotto ne vediamo le prime righe (il vertice 1 è ( 0 0) ):

12 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO 5 Per costruirlo si parte dal numero generatore 1 (il vertice del triangolo) e si derivano tutti gli altri numeri sommando i due numeri sovrastanti. Ai bordi si trova sempre 1, perchè i due numeri sovrastanti sono, in questo caso, da una parte 1 e dall altra nessun numero, cioé zero. Il livello n a partire dal vertice contiene tutti i coefficienti binomiali ( n) k per k = 0,..., n. Il triangolo, presentato dal matematico Tartaglia in un suo libro del 1556, era in realtá giá noto agli indiani e ai cinesi: lo si trova anche in un libro cinese del 1303, e si dice che si tratta di un vecchio metodo. Il triangolo di Tartaglia è di ausilio per sviluppare le potenze dei binomi; infatti la riga n-ma contiene i coefficienti dello sviluppo di (a + b) n ordinati secondo le potenze decrescenti di a (o crescenti di b), come si puó verificare agevolmente almeno per n = 0, 1, 2, 3. Da qui deriva il nome coefficienti binomiali dato agli elementi del triangolo. Per gli n molto grandi, ad esempio per n = 75, sviluppare il binomio (a+b) 75 col triangolo di Tartaglia richiederebbe troppo tempo di calcolo. In questo caso si applica una formula ancora piú immediata, la quale permette di controllare qualunque binomio di qualsiasi esponente: la formula del binomio di Newton ( ). Sir Isaac Newton Teorema. (del binomio di Newton)Per ogni a, b R ed ogni n N, n 0, si ha n ( n ) (a + b) n = a k b n k. k k=0 Dimostrazione. Consideriamo il prodotto di n fattori identici (a + b) (a + b).

13 6 CONTARE AL FINITO: IL CALCOLO COMBINATORIO Sviluppandolo, si deve scegliere un fattore tra a e b in ciascuna posizione da 1 fino ad n. Scegliendo in k posizioni a nelle rimanenti n k si prende b: si crea così il monomio a k b n k. Scegliere k posizioni da n significa creare un sottoinsieme con ( k elementi di uno che ne ha n. Il coefficiente di a k b n k è n ) quindi C n,k =. k Il Teorema del binomio si presta a diverse applicazioni nell ambito del contare, ad esempio: Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme Ω con n elementi (includendo e Ω)? Essi sono esattamente ( 2 n. Infatti, i sottoinsiemi di Ω con k elementi n ) sono C n,k =. Sommando su k = 0,..., n ed utilizzando il Teo- k rema del binomio con a = b = 1 si ottiene che il numero di tutti i sottoinsiemi possibili è (1 + 1) n = 2 n. Una proprietá del triangolo di Tartaglia: la somma dei coefficienti della riga n-ma del triangolo vale sempre 2 n : ora sai spiegare perché?

14 CONTARE GLI INFINITI Quando si lavora con insiemi infiniti, ed in particolare si utilizzano funzioni su insiemi infiniti, si possono presentare situazioni apparentemente contrastanti rispetto alle idee che ci si è fatti operando al finito. Ad esempio, se Ω è un insieme finito, è abbastanza intuitivo il fatto che non si possa costruire una biezione tra Ω ed una sua parte. Con gli insiemi infiniti questo non accade; consiederiamo il triangolo in figura: proiettando ogni punto P Un segmento ha tanti punti quanto una sua parte propria del lato AC sulla base AB si ottiene una biezione tra il segmento AC ed il segmento AH. Dunque, due segmenti di diverse lunghezze si possono porre in corrispondenza biunivoca. Ovvero, è possibile costruire una biezione tra un segmento ed una sua parte! Questa, a metà dell 800, fu una scoperta eccezionale, che contrastava con uno dei principi fondamentali della matematica dell epoca: il tutto è maggiore della parte (Euclide). Trattando con insiemi infiniti tale affermazione non è piú valida; il matematico Richard Dedekind ( ) alla fine dellottocento usó proprio questo fatto per dare la seguente definizione: Insiemi infiniti. Si dice che un insieme X è infinito (ha infiniti elementi) se puó essere messo in biezione con una parte di se stesso. Dalla definizione segue che: un segmento è un insieme infinito; N è un insieme infinito: consideriamo infatti (ad esempio) l insieme P dei numeri pari, che è una parte di N. La funzione f : N P definita da f(n) = 2n è una biezione di N in P. 1

15 2 CONTARE GLI INFINITI Ci domandiamo ora: dati due insiemi infiniti, posso confrontare il numero dei loro (infiniti) elementi? Ovvero, posso dire quale dei due è più numeroso, o stabilire se hanno un ugual numero di elementi? Insomma, ci sono degli infiniti più grandi degli altri o gli infiniti sono tutti grandi uguali? Per farci un idea studiamo l esempio che segue. L albergo di N. C è un albergo che possiede una quantità infinita di stanze, nelle quali alloggiano i numeri naturali: il numero 1 nella stanza 1, 2 nella stanza 2, e così via. L albergo è dunque completo. Una sera si presentano nella hall dell albergo i numeri interi negativi: -1,-2,-3,..., che cercano alloggio per la notte. Il numero 0, che è il portiere dell albergo, li fa accomodare tutti e trova posto per ognuno di loro quella notte nell albergo. Come fa? Risposta: 0 chiede ad ogni numero naturale n di spostarsi per quella notte nella stanza 2n. In questa maniera si liberano infinite camere nell albergo (tante quanti i numeri dispari), e 0 le assegna ai numeri interi negativi con il seguente criterio: ogni m Z prende possesso della stanza numero 2m 1. Dunque -1 occupa la stanza 1, -2 la stanza 3, e così via. L albergo è nuovamente completo, ma ospita il doppio dei clienti che ospitava prima!!! Cosa ha fatto, matematicamente parlando, il portiere? Egli ha costruito la biezione f : Z N, definita da 2x se x > 0 f(x) = 0 se x = 0 2x 1 se x < 0. Questo esempio ci dimostra che Z è un insieme infinito (perché è in biezione con una sua parte, N), ma ci dice anche qualcosa in più: il numero di elementi di N e di Z è lo stesso, eppure dal punto di vista insiemistico N è soltanto una parte di Z! Insiemi equipotenti. Dati due insiemi (finiti o infiniti) X ed Y, si dice che essi sono equipotenti (o che hanno la stessa cardinalità) se esiste una biezione f : X Y. Insiemi numerabili. Se un insieme X è equipotente ad N, allora si dice che X è numerabile. Il termine numerabile significa che gli elementi si possono enumerare, cioé disporre in una lista numerata. Ad esempio: Z è numerabile perché equipotente ad N. N N = {(m, n) m, n N} è numerabile. Possiamo numerare i suoi elementi per diagonali come nella tabella all inizio della pagina seguente. Q è numerabile (che Q sia infinito è evidente, dal momento che m N Q). Per provarlo, pensiamo gli elementi n Q non come frazioni ma come coppie ordianate (m, n). Il sottoinsieme Q + di Q (costituito dai numeri razionali non negativi) può essere pensato allora come l insieme N N al quale sono stati tolti la coppia (0, 0) (che non può essere pensata come elemento di Q) e le coppie (m, n)

16 CONTARE GLI INFINITI 3 Numerare per diagonali di elementi m, n non primi tra loro. Siccome N N è numerabile, lo è anche Q +, e lo è pure Q (basta ragionare come si è fatto con Z ed N.) Potremmo essere dunque portati a pensare che tutti gli insiemi infiniti siano numerabili, e che in matematica l infinito sia uno solo ; ciò è falso, come andiamo a dimostrare di seguito. Teorema. L intervallo [0, 1] non è numerabile. Dimostrazione. Ragioniamo per assurdo, cioé neghiamo la tesi e, tramite deduzioni successive, otteniamo un assurdità. Supponiamo dunque che [0, 1] sia numerabile, e per ogni n N indichiamo con x n = 0, a 1n a 2n... l elemento di [0, 1] che nella biezione corrisponde ad n. Sia poi y = 0, c 1 c 2... un numero reale in [0, 1] le cui cifre decimali non contengono il periodo 9 e tale che c 1 a 11, c 2 a 22, c k a kk,.... Visto che y [0, 1], y dovrebbe essere uno degli x n, cioé dovrebbe esistere un n N tale che y = x n. Ma allora dovrebbe essere c n = a n, n per tutti gli n, in particolare per n = n: c n = a n n, il che è assurdo per come abbiamo definito y. L assurdo è nato dall aver supposto falsa la tesi del teorema; dunque la tesi è vera. Tutti gli intervalli di R sono equipotenti. Si dimostra per passi:

17 4 CONTARE GLI INFINITI (1) Dato un qualsiasi intervallo chiuso [a, b], a < b, si ha che [0, 1] ed [a, b] sono equipotenti. Per provarlo, basta costruire la biezione f che ad ogni x in [0, 1] associa f(x) = a + (b a)x. Ne segue che tutti gli intervalli chiusi di R sono tra loro equipotenti. (2) [0, 1] e (0, 1) sono equipotenti. Per dimostrarlo, consideriamo Q [0, 1], cioé l insieme di tutti gli x Q tali che 0 x 1. Tale insieme è numerabile, essendo un sottoinsieme di Q che lo è. Allora Q [0, 1] = {x 0 ; x 1 ; x 2 ; ; x n ; }, e supponiamo che x 0 = 0 ed x 1 = 1. La funzione che ad ogni x in [0, 1] associa { x se x / Q f(x) = x n+2 se x = x n Q [0, 1] è una biezione. Ne segue che tutti gli intervalli chiusi e tutti gli intervalli aperti di R sono tra loro equipotenti. (3) Si puó costruire (esercizio) una biezione anche tra [0, 1] e [0, 1), oppure tra [0, 1] e (0, 1], oppure tra [0, 1] e [0, + ), oppure tra [0, 1] e (0, + ) ottenendo cosí che tutti gli intervalli di R (aperti, chiusi, aperti a destra, aperti a sinistra, limitati ed illimitati) sono equipotenti tra loro. R non è numerabile. Abbiamo provato che gli intervalli di R non vuoti e che non si riducono ad un solo elemento sono tutti equipotenti a [0, 1]. Di conseguenza, nessun intervallo non vuoto e che non si riduce ad un unico elemento è numerabile. Quindi R stesso non è numerabile. D altronde R contiene N, dunque la cardinalità di R (cioé il numero di elementi di R) è maggiore di quella di N. La cardinalità di R prende il nome di potenza del continuo. Anche l insieme R Q dei numeri irrazionali non è numerabile. In questo senso si puó affermare che i numeri irrazionali sono di più dei razionali. Ci sono dunque vari livelli di infinito e, tra questi, il più semplice è quello degli insiemi numerabili. Ha senso allora domandarsi: quanti e quali elementi contiene l insieme degli infiniti? Numeri trasfiniti. L insieme dei numeri trasfiniti è l insieme delle cardinalità degli insiemi infiniti. Esempi di suoi elementi sono: la cardinalità degli insiemi numerabili, che si chiama ℵ 0 (aleph-zero); la cardinalità del continuo (quella di R), indicata con ℵ 1 (aleph-uno). È evidente che ℵ 0 < ℵ 1, cioé il numerabile è minore del continuo: infatti N è equipotente ad un sottoinsieme di R (N stesso). Il concetto di cardinalità fu introdotto da Georg Cantor nel 1883: egli per primo usó le biezioni per classificare gli insiemi infiniti in base al numero dei loro elementi, e trattó i livelli di infinito come nuovi numeri, detti numeri cardinali o numeri trasfiniti. Si narra che Cantor stesso, riferendosi ai suoi risultati sui numeri trasfiniti, disse: Lo vedo, ma non ci credo. La teoria di Cantor degli insiemi infiniti fu infatti rivoluzionaria, ma lo rese anche oggetto di molte critiche; egli dovette parlare di numeri trasfiniti (e

18 CONTARE GLI INFINITI 5 Georg Cantor non infiniti ) per non incorrere nelle ostilità della Chiesa, per la quale l Infinito è uno ed unico; inoltre, gli altri matematici dell epoca tentarono di sminuire il suo lavoro, e non gli consentirono di raggiungere una posizione accademica prestigiosa, che egli credeva di meritare. Tutto ció lo spinse alla depressione e all isolamento; morí in una clinica psichiatrica nel Quanti sono i numeri trasfiniti? Abbiamo visto nel paragrafo 2 che se un insieme Ω ha n elementi, l insieme di tutti i suoi sottoinsiemi (compresi il vuoto ed Ω stesso) possiede 2 n elementi. Tale insieme si chiama insieme delle parti o insieme potenza di Ω e si denota P(Ω). Per insiemi infiniti si deduce che, ad esempio, se Ω è numerabile, allora P(ω) avrà 2 ℵ 0 elementi, che sono molti piú di quelli di Ω! Fu ancora Cantor a dimostrare che, tanto per Ω finito quanto per Ω infinito, P(Ω) non mai equipotente ad Ω; quindi l operazione di formare l insieme delle parti genera una catena senza fine di insiemi infiniti crescenti e non equipotenti. Dunque i numeri trasfiniti sono una quantità infinita. Ipotesi del continuo. Si puó facilmente dimostrare che, se Ω = N, P(N) è equipotente ad R, dunque possiede la cardinalità del continuo. Si puó dimostrare inoltre che ogni sottoinsieme infinito di R che non ha la potenza del numerabile ha la potenza del continuo. Dopo aver provato tali affermazioni, Cantor si domandó: esiste un insieme infinito la cui potenza è compresa tra ℵ 0 ed ℵ 1? Egli non riuscí a costruire un insieme con tali caratteristiche, e formuló dunque la seguente ipotesi:

19 6 CONTARE GLI INFINITI tra ℵ 0 ed ℵ 1 non esistono altri numeri trasfiniti intermedi. A questa ipotesi di Cantor, risalente al 1874, fu dato il nome di ipotesi del continuo. Ad oggi, l ipotesi del continuo non è ancora stata dimostrata; recentemente (1940) Kurt Gödel ha dimostrato che tale ipotesi è coerente con la teoria degli insiemi che noi conosciamo; nel 1963 Paul Cohen ha invece dimostrato che anche la negazione dell ipotesi del continuo è coerente con la stessa teoria (piú precisamente: sia l ipotesi che la sua negazione sono coerenti con gli altri altri assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel). Il risultato finale è che l ipotesi del continuo non è né dimostrabile, né rifiutabile.

20 CALCOLO DIFFERENZIALE Limiti Il calcolo infinitesimale è un corpo di conoscenze matematiche che studia il comportamento locale di una funzione tramite la nozione di limite. I suoi confini non sono nettamente definiti. Utilizzando la nozione di limite, il calcolo infinitesimale definisce e studia le nozioni di convergenza di una successione o di una serie, continuità, derivata e integrale. Il calcolo infinitesimale è alla base dell analisi matematica ed è uno strumento usato in quasi tutti i campi della matematica e della fisica e della scienza in generale. Noi vogliamo qui parlare brevemente del calcolo differenziale, un settore del calcolo infinitesimale particolarmente ricco di applicazioni. Per proseguire nella lettura di questo fascicolo è necessario perciò che il lettore conosca la teoria dei limiti ed i principali teoremi sulle funzioni continue, cui qui si farà spesso riferimento. Purtroppo, una trattazione esaustiva della teoria dei limiti renderebbe troppo pesante la lettura di questo fascicolo, che vuole solamente dare un idea di come il calcolo differenziale si possa applicare allo studio dei massimi e minini di una funzione. In questa introduzione diamo solamente la definizione di limite al finito e di funzione continua in un punto, che ci sembrano essenziali. Rimandiamo quindi a testi di scuola superiore o di Analisi matematica 1 per tutto quanto viene qui omesso. Limite al finito. Molte volte si ha a che fare con funzioni f(x) i cui valori risultano prossimi quanto si vuole ad un numero reale l (oppure a ± ) a patto di prendere x abbastanza vicino ad un punto x 0 nel quale la funzione non è necessariamente definita. Si pensi ad esempio alla funzione f(x) = sin x/x con x 0 = 0: calcolandone valori per x abbastanza vicino a 0 si ottengono valori prossimi quanto si vuole ad 1 (provare per credere). Limite finito al finito. Consideriamo una funzione f : A R, A R, e sia x 0 un punto di accumulazione di A, cioè un punto o che appartiene ad A, oppure che non appartiene ad A ma al quale ci si può avvicinare finchè si vuole sempre restando all interno dell insieme A. Si dice che f(x) ha limite l R per x x 0 e si scrive lim x x 0 f(x) = l se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che x A, 0 < x x 0 < δ f(x) l < ε. 1

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