Su personaggi famosi della matematica: p ed e

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1 ateatica è Arte π-day 4 arzo 3 Su persoaggi faosi dea ateatica: p ed e Prof. Atoio Iarori athesis aciao-ortoa

2 I uero π e i uero e possoo essere pesati etrabi, i aiera o baae, coe eeeti di separazioe di due cassi separate e cotigue. Per i prio cosideriao i perietri di poigoi iscritti e circoscritti a ua circofereza, per i secodo itersezioi tra fuzioi espoeziae e poteza. Itroduciao, i aiera geoetrico-diaica, i ueri copessi, ritrovado per questa via a reazioe e i π -. Risoviao u probea sugi urti costruedo u odeo ateatico i cui ogi urto corrispode aa rotazioe di u vettore di u agoo θ, co θ π/

3 iscritto Perietri di poigoi circoscritto ε π Due cassi separate e cotigue

4 A B C Dati due poigoi A e B di perietri P A e P B iscritti i ua circofereza, cogiugedoe i vertici si ottiee u poigoo C tae che P C > P A, P C > P B.

5 A B C Dati due poigoi A e B di perietri P A e P B circoscritti a ua circofereza, cogiugedoe i puti d itersezioe si ottiee u poigoo C tae che P C < P A, P C < P B.

6 A B Dati puti sua circofereza, possiao costruire ua coppia di poigoi corrispodeti. Sia A i poigoo iscritto avete per vertici gi puti e B i poigoo circoscritto i cui ati soo tageti aa circofereza egi stessi puti. Risuta P B > P A.

7 A B C D U poigoo iscritto A ha perietro iore di u poigoo circoscritto B. Possiao ifatti ricodurci ai casi precedeti costruedo i due poigoi corrispodeti: C - poigoo iscritto otteuto ifittedo i vertici di A co i puti di tageza e i vertici di B. D poigoo circoscritto aa circofereza co i ati tageti ei vertici di C Vagoo e reazioi P A < P C < P D <P B

8 e proprietà iustrate ci cosetoo di afferare che i perietri dei poigoi iscritti e circoscritti forao due cassi separate di ueri reai. Facciao vedere, iitadoci, seza perdere i geeraità, a u sottoisiee di poigoi regoari, che e cassi soo ache cotigue. eeeto di separazioe è a ughezza dea circofereza. Per i cacoo effettivo prediao i cosiderazioe a circofereza di raggio uitario, assuedo a proporzioaità tra ughezze dei raggi e dee circofereze. Tra i poigoi regoari fissiao attezioe su quei i cui uero di ati è ua poteza di due, a partire da quadrato, iscritto e circoscritto. e forue di ricorreza soo e stesse per gi atri poigoi regoari. I vaore iiziae de ato cabia co poigoo : per i quadrato iscritto, per esagoo. I perietro de poigoo regoare corrispodete a è p dove rappreseta i uero di ati de poigoo di parteza.

9 A OA θ π 4 θ/ C B θ θ O θ/ D AD * > * AB p a reazioe * si ottiee appicado a disuguagiaza triagoare a triagoo ABD

10 θ/ θ/ O A C D B Cacoiao i ato de poigoo regoare iscritto di ati co ua forua di ricorreza AC AB OB OA AC OA OB AC AB AC OA OB CB

11 g() f () Grafici dee fuzioi co a spezzata che rappreseta i processo iterativo

12 FI EF FI I EH < EH H < O D θ/ E F G H I P > * a reazioe * ottiee appicado a disuguagiaza triagoare a triagoo FHI

13 ( ) ( ) 4 OG OH GH FG EF EH FH O D ( ) θ/ F E G H I Cacoiao i ato de poigoo regoare circoscritto di ati co ua forua di ricorreza.

14 4 Grafici dee fuzioi 4 h(), g(), f () co e spezzate che rappresetao i processi iterativi

15 A Ne triagoo rettagoo OA si ha A /, AC / θ/ C B P p ta( θ si( θ ) ) O θ/ D cos( θ ) per θ/ E F I G H Questa reazioe ostra a cotiguità dee due cassi dei perietri dei poigoi iscritti e circoscritti a ua circofereza. eeeto di separazioe è a ughezza dea circofereza.

16 ati dei poigoi iscritti e circoscritti co ati,,3 Seiperietri dei poigoi iscritti e circoscritti co ati,, I vaori soo stati trovati usado e forue di ricorreza ricavate i precedeza. I cacoi hao ua precisioe di 3 cifre per arrotodaeto. e cifre i rosso soo quee coicideti tra i perietri dei poigoi iscritti e queo dei corrispodeti circoscritti. a stessa cosa per i ati.

17 e a fuzioe espoeziae a e a fuzioe poteza a ( a>) s itersecao i due puti: a (souzioe baae) e b (b>). a fuzioe espoeziae b e a fuzioe poteza b ( b>) s itersecao i due puti: b (souzioe baae) e a (a>). I figura soo rappresetate e curve di equazioe y, y, ye caso iite co i due puti d itersezioe coicideti.

18 a fuzioe espoeziae e a fuzioe poteza s itersecao i due puti: (souzioe baae) e 4 a fuzioe espoeziae 4 e a fuzioe poteza 4 s itersecao i due puti: 4 (souzioe baae) e. e due curve di equazioe y e y4 e direo corrispodeti. Esse idividuao 4 puti: (,) (,4) (4,) (4,4) che soo vertici di u quadrato. Se prediao a>, <a<4, i quadrato idividuato è itero a precedete. Possiao costruire ua successioe di quadrati, uo itero a atro, che Possiao costruire ua successioe di quadrati, uo itero a atro, che idividuao u puto sua bisettrice: i uero e.

19 Scaa seiogaritica i base 4 4 I questa rappresetazioe i grafici degi espoeziai a soo rette di equazioe y co og a.

20 ) * y (, y y > h h h h h h) ( h per e e souzioi o baai dea * soo sietriche rispetto aa bisettrice. Poiao yh. e due souzioi sietriche vao a coicidere co quea baae per h

21 e per, h e h per. si cos. cos si e cos h si e h Evideziao ua proprietà dea fuzioe f () e f (h) ( f ()) h

22 Diao u iterpretazioe geoetrica dei ueri reai coe vettori su ua retta. Per i prodotto di due vettori ci riferiao a trasforazioi geoetriche eeetari de piao. U uero reae positivo può essere iterpretato coe u ootetia di rapporto sua retta e i prodotto di due ueri positivi coe appicazioe successiva di due ootetie. I prodotto per u uero egativo si può vedere coe ua rotazioe di u agoo piatto su piao attoro a origie seguita da u ootetia

23 I sitesi i prodotto di due ueri sua retta,iterpretadoi coe vettori, può essere visto ache coe i vettore che ha coe copoete i prodotto scaare tra i vettori

24 Possiao provare a iterpretare i vettori de piao r(cos α ˆ se α ŷ ) rs s r α β α β. Defiiao i prodotto siboico di due vettori r z r r v w i vettore otteuto appicado a a rotazioe e ootetia deteriate da v r w r

25 I prodotto di ua rotazioe per u ootetia idividuato da vettore si esprie, di soito, co a atrice r(cos α ˆ seα ŷ ) r cosα r si α r si α r cosα r cosα si α si α cosα I particoare, e cooe dea atrice di rotazioe esprioo e copoeti dea coppia dei versori degi assi ruotati di u agoo α etre e righe ci dao gi stessi versori ruotati di α cosα si α si α cosα cosα si α si α cosα α -α

26 Possiao pesare i prodotto di due versori coe prodotto di due rotazioi, co e usuai proprietà: cosθ si θcosα si α si θ cosθsi α cosα cos( α θ) si( α θ) si( α θ) cos( α θ) -θ α αθ cos( α θ) si( α θ) cosα cosθ si αsi θ si α cosθ cosαsi θ Prodotto scaare

27 Abbiao ua corrispodeza biuivoca tra i vettori de piao e e atrici v v(a, b) a b b a. I particoare: a b a b b a v (a, b) v v(a, b) v w(c, d) v z(a c,b d) a b b a c d d c a c (b d) b d a c v v(a, b) v v(a, b)) a b b a a b a b

28 Per i due versori degi assi: i y ) ) i i - i 3 -i i 4 ŷ i ) bi a b a b ŷ a ˆ v r a b b a b b a a b a b ŷ a ˆ v r Nuero copesso ŷ i Vettore coe uero copesso: sottoitediao ) e poiao i y )

29 I quadrato di u versore cosθ si θ si θcosθ cosθsi θ si θ cos(θ) cosθ si(θ). a poteza -esia di u vettore si(θ) cos(θ) ( ) cosθ siθ cos(θ ) si(θ) ( cosθ isiθ) cos(θ ) isi(θ) siθ cosθ si(θ) cos(θ ) Cosideriao a fuzioe vettoriae f ( θ) e coe vaore i vettore uitario ruotato di u agoo avete coe argoeto θ θ. Abbiao a proprietà. f (θ) ( f ( θ) )

30 θ Ne esepio i figura abbiao e a reazioe diveta θ π 6 cos π 6 isi π 6 6 cosπ isi π

31 Estediao foraete a reazioe θ cos cos ai ueri copessi poedo h hsi e per otteere h i θ θ θ θ isi e cos isi e e iθ cosθ iθ iθ isiθ Se poiao. θ π e i π abbiao

32 U bocco di assa e veocità iiziae V scivoa seza attrito ugo u piao, adado ad urtare ua particea di assa << iiziaete fera. a particea si ette i oto, urta cotro u uro posto ad ua certa distaza da uogo de ipatto iiziae, ritora verso i bocco,o urta, ritora verso i uro, e così via. Assuedo che tutti gi urti siao perfettaete eastici, diostrare che i uero di urti che ci sarao fio a oeto i cui i bocco si arresta è dato da π 4

33 V V v V -v

34 Appichiao a coservazioe de eergia cietica e dea quatità di oto. [ ] t v t Vi Vi v i vi Vf V v V i u deteriato istate t. f f v Possiao cosiderare o spazio vettoriae i cui eeeti hao coe copoeti Abbiao e equazioi che ci dao f [ V ] f v [ ] f i fuzioe di V, rispettivaete e veocità iediataete dopo e pria de urto. i v i

35 ( ) ) v ( (V ) v ) v ( V V i i f i i f [ ] [ ] V v V Trasforiao e ostre equazioi i ua reazioe di ricorreza, poedo V V v V v V.

36 Per a coservazioe de eergia cietica dato che I vaore iiziae è v e V fi V V Poiao, etre queo fiae è v fi v fi V V (; V ). (V ;) effetto fiae è queo di ua rotazioe di π/ seguita da u ootetia di rapporto.

37 v V v V Facciao a sostituzioe /, co acui passaggi Se cacoiao i deteriate abbiao v V v V si, cos θ θ Poiao θ θ θ θ v V cos si si cos v V Per otteere

38 Per iterare i processo dobbiao otipicare a atrice di trasforazioe per se stessa vote cosθ siθ siθ cosθ cosθ siθ siθ cosθ cosθ si θ siθ cosθ.. cos θ si θ V V siθ cosθ a trasforazioe o è ua rotazioe seguita da u ootetia, per cui o si può scrivere coe uero copesso.

39 () cos ( θ) si( θ) si ( θ) cos( θ).. () cos si ( θ) si( θ) ( θ) cos( θ) i e iθ Quado θπ/ a trasforazioe (), che è ua rotazioe seguita da u ootetia e si può scrivere coe u uero copesso, è equivaete aa (). I figura: () i successivi puti de iterazioe (eisse) secodo a atrice di trasforazioe e () I puti dea circofereza de processo equivaete di rotazioe seguita da u ootetia.

40 Per i cacoo de uero degi urti si possoo cosiderare soo e rotazioi di agoo θ co θ π/ Possiao scrivere, utiizzado a otazioe copessa, π ( ) ( ) i θ V i V e θ * Ci riae da cacoare θ. Daa atrice di trasforazioe siθ siθ Se >> si θ θ ** Da * e ** otteiao π θ π 4