ESERCIZI DI STATISTICA Soluzo degl esercz sugl stmator putual. A cura d Nazareo Maro Soluzoe dell'eserczo. Trovamo, come prmo passo, la fuzoe d verosmglaza che è: L( f(x, {<x }(x { x }( { x ( }( Co x ( s tede la -esma delle realzzazo, ordate dalla pù pccola alla pù grade, metre co X ( e X ( s tedoo, rspettvamete, la varable casuale m{x } e la v.c. max{x }. L'ultmo passaggo è gustcato dal fatto che l prodotto delle fuzo dcatrc o è se soo tutte o ulle e cò avvee se x max x. S vede che la fuzoe d verosmglaza è decrescete e qud l massmo è assuto x ( e qud lo SMV è ˆΘ max X X (. Dobbamo calcolare l valore atteso d questo stmatore e per farlo abbamo bsogo d cooscere la sua dstrbuzoe. F ˆΘ(x P( ˆΘ x P(X ( x P(X x, x ( x P(X x d E( ˆΘ f ˆΘ(x x x x dx x + + + Qud lo SMV o è corretto ma è astotcamete corretto. U plausble stmatore corretto è ˆΘ + ˆΘ + X (. Soluzoe dell'eserczo. Scrvamo la fuzoe d verosmlaza: L( f(x, x Scrvamo la fuzoe d log-verosmoglaza: l( l L( l + ( ( {<x <}(x x l x
Trovamo ora l massmo d l(. l( + l x ˆ l x Qud lo SMV è ˆΘ l X. Soluzoe dell'eserczo 3. Calcolamo la fuzoe d verosmglaza: L( f(x, La fuzoe a( e (x {x }(x e (x { x( }( (x è crescete, qud l massmo è assuto el puto x ( e qud lo SMV è ˆΘ m X X (. Dobbamo calcolare l suo valore atteso, c serve, qud, la sua dstrbuzoe. P( ˆΘ > P(X ( > P(X >, e (x dx P(X > e (x e ( F ˆΘ( P( ˆΘ e ( f ˆΘ( e ( E( ˆΘ e (x xe (x dx xe (x + + Qud lo stmatore ˆΘ o è corretto ma è astotcamete corretto. e (x dx Soluzoe dell'eserczo 4. a Calcolamo l valore atteso d ˆ 3 : E(ˆ 3 ae(ˆ + ( ae(ˆ a + ( a. Questo mostra che lo stmatore ˆ 3 è o dstorto. b Calcolamo, ora, la varaza dello stmatore e la mmzzamo rspetto ad a: V ar(ˆ 3 V ar ( aˆ + ( aˆ V ar(aˆ + V ar ( ( aˆ a V ar(ˆ + ( a V ar(ˆ a σ + ( a σ. a V ar(ˆ 3 aσ ( aσ a σ σ + σ Qud l valore d a che mmzza la varaza dello stmatore è a σ σ + σ.
Soluzoe dell'eserczo 5. S deve calcolare la varaza teedo coto del fatto che ˆ e ˆ o soo dpedet e s ha: V ar(ˆ 3 a σ + ( aσ + ac a c. a V ar(ˆ 3 aσ ( aσ + c 4ac a Notate che se c s ha lo stesso valore dell'eserczo 4. σ c σ + σ c Soluzoe dell'eserczo 6. Dobbamo mostrare che Y coverge probabltà a +. Vedamo se le Y vercao le potes della legge de grad umer, calcolamo, qud, mometo prmo e mometo quarto. E(Y d + + + < E(Y 4 4 d +4 + 4 + 4 < Possamo applcare la legge de grad umer a Y e cocludere che Y coverge co probabltà a E(Y +, ovvero Y è uo stmatore cosstete d +. Soluzoe dell'eserczo 7. a Il valore atteso d Y è µ poché è ua realzzazoe da ua N(µ,, qud è uo stmatore corretto. b Poché Y N(µ,, Z Y µ N(, e qud P( Y µ P( Z P( Z P(Z, 587, 686. c La dezoe d cossteza (covergeza probabltà è: ˆ è uo stmatore cosstete per se ɛ > lm P( ˆ ɛ. Nel ostro caso ˆ Y e abbamo che per ɛ lm P( Y µ, 686, qud Y o è uo stmatore cosstete per µ. Soluzoe dell'eserczo 8. a Trovamo la fuzoe d verosmglaza e vedamo come è possble fattorzzarla: L(µ e ( µ πσ σ +µ µ (π σ e σ (π σ e σ e µ(µ Y σ b L(σ e ( µ πσ σ ( µ (π σ e σ c L(µ, σ e ( µ πσ σ (π σ e σ µ(µ σ 3
Soluzoe dell'eserczo 9. Calcolamo la fuzoe d verosmglaza: L(p p ( p p ( p, qud, per l crtero d fattorzzazoe, ache completa. Sa T Y è ua statstca sucete; vedamo se è Y, abbamo che ( E(z(T z( ( ( p z( qud deve essere Y Bom(, p: ( p ( p ( p z( w w avedo deto w p p ( z( w w ma questo è u polomo w ( p p e qud ( z( z(. Qud T è ua statstca sucete completa. Deamo ˆΘ E( ˆΘ p p, Y, s ha qud ˆΘ è uo stmatore corretto fuzoe d ua statstca sucete completa e qud è u UMVUE. Soluzoe dell'eserczo. Scrvamo la fuzoe d verosmglaza: L( e qud la dstrbuzoe appartee alla famgla espoezale e qud, Y è ua statstca sucete mmale completa. Calcolamo la dstrbuzoe d W Y : f W (w f Y ( w d w w dw e Esp( ( Qud E(Y E(W E. Allora ˆΘ Y è uo stmatore o dstorto fuzoe d ua statstca sucete completa e qud è u UMVUE. Y 4
Soluzoe dell'eserczo. La fuzoe d verosmglaza è: 3 L( {[,]}( 3 3 3 { }( ( 3 3 { ( }( Lo stmatore d massma verosmglaza è duque ˆΘ Y ( poché la fuzoe d verosmglaza è decrescete e assume l massmo sul prmo valore che può essere assuto. Dal crtero d fattorzzazoe rsulta che Y ( è ua statstca sucete. Calcolamo la sua dstrbuzoe. P(Y ( P(Y,..., Y 3 3 3 3 3 3 3 3 P(Y f Y( ( 3 3 3,. Mostramo che T Y ( è ua statstca completa. E(z(T z( 3 3 3 d z(3 3 z( 3 3 d Questo dmostra che T è ua statstca completa. Vedamo ora se ˆΘ è uo stmatore corretto. E(Y ( 3 3 3 d 3 3 + ˆΘ o è uo stmatore corretto ma ˆΘ 3 + 3 Y ( lo è ed essedo fuzoe d ua statstca sucete completa è u UMVUE. Soluzoe dell'eserczo. Sappamo che E(Y α β e che V ar(y α β e qud E(Y V ar(y + ( E(Y α + α β β Rsolvedo s trova che ˆα α β Y α + α β α+α. Le equazo da mpostare soo qud β Y (Y Y e ˆβ Y Y (Y Y. Soluzoe dell'eserczo 3. Calcolamo l mometo prmo della dstrbuzoe: E(Y ( + d + + Impoamo che + + Y, s ha che ˆΘ Y Y. 5