CORSO DI FISICA TECNICA A.A. 04-05 Sezione 0b Prof. Ing. Sergio Montelpare Dipartimento INGEO Università G. d Annunzio Chieti-Pescara
Lavoro di un gas ideale un Sistema Chiuso Un Sistema Termodamico si dice Chiuso se non consente flussi di massa attraverso i suoi contorni. Il lavoro, che un gas compie quando espandendosi sposta i contorni del sistema cui è racchiuso, è fatto dalle forze di pressione. Poiché lo spostamento del contorno può essere utilizzato dall esterno, ad esempio per variare l Energia potenziale, si assume Positivo il Lavoro di Espansione (fatto dal Sistema, qudi Uscente) e Negativo quello di Compressione (fatto sul Sistema, qudi Entrante). Il lavoro non è una grandezza di stato che dipende solo dagli stati iziali e ali, bensì una grandezza di scambio che dipende dal percorso effettuato; nella figura basso ai tre percorsi A, B e C corrispondono tre differenti valori del lavoro esercitato verso l esterno pur essendo comuni i punti e.
Lavoro di un gas ideale un Sistema Chiuso Si consideri un sistema chiuso con parete mobile, costituito da un cildro contenente del gas e da un pistone ermetico. Si ipotizzi di partire da una iziale situazione di equilibrio cui il gas contrappone sul pistone una pressione P grado di sostenere il peso proprio del pistone e quello di un generico peso aggiuntivo. Fornendo calore e lasciando il pistone libero di muoversi questi passerà, attraverso una trasformazione quasi statica, ad una condizione ale di equilibrio, cui la pressione del gas andrà ancora a contrastare la medesima forza peso complessiva e qudi si potrà desumere che il suo valore rimanga costante. Il lavoro è esprimibile come prodotto scalare fra forza e spostamento; nel caso del pistone il lavoro della pressione sarà pari al prodotto della forza risultante dalla pressione sulla superficie del pistone per lo spostamento h. Il prodotto fra la superficie e l altezza è proprio il volume spazzato. In termi itesimi vale la seguente relazione: δ L = PdV Che tegrata fra gli stati iziali e ali diviene: L = PdV E bene ricordare che il lavoro dipende dal percorso della traformazione. L = F s = P π d 4 h = P (V V ) = P ΔV J [ ] p h Espansione p p = costante d
Lavoro di un gas ideale un Sistema Chiuso Riportando su un grafico pressione volume la trasformazione termodamica oggetto, si ottiene un segmento di retta orizzontale corrispondente ad una trasformazione con pressione costante. Partendo dall equazione generale del lavoro ed osservando che un terme costante può essere portato fuori dall operatore tegrale, si ottiene la seguente espressione ale: P P L = Trasformazione ISOBARA P = costante Lavoro = area PdV = P dv = P( V V ) V V V Il prodotto P (V -V ) corrisponde graficamente all area sottesa al segmento di retta che collega i punti iziale e ale. Per un gas ideale si ha che V = mrt P e qudi L = P( V V ) = mr( T T )
Lavoro di un gas ideale un Sistema Chiuso Nel caso di una trasformazione che avviene a temperatura costante cambieranno contestualmente sia la pressione che il volume. Facendo riferimento all equazione del gas ideale si può comprendere come le due grandezza dovranno cambiare modo tale che sia costante il loro prodotto. p Trasformazione ISOTERMA T = costante Per un gas ideale P V = mrt P = mrt V L = p p PdV = V mrt V dv = mrt dv V V Lavoro = area V riprendendo lequazione di stato V = mrt P = mrt ln V V L = mrt ln P P p > p
Lavoro di un gas ideale un Sistema Chiuso In molti casi reali il legame fra pressione e volume è tale da seguire una trasformazione di tipo politropica. L esponente n della politropica può assumere differenti valori; nel caso cui n sia pari a k avremo a che fare con una trasformazione adiabatica, ossia una trasformazione cui non vi è scambio di calore con l esterno. P V n = costante = P V n = P V n = C P = C V n L = PdV = p p p C V n dv = C V n dv = C n + V n+ = C V n+ n+ V n + Osservando che P = V n P V = V n n V, che P V = mrt e che L = P V PV n n L = mrt n V V V n V Lavoro = area V In una adiabatica n = k = c p c v =,4 Trasformazione ADIABATICA Q = 0 = P V P V n = P V n P V P V
Lavoro di un gas ideale un Sistema Aperto
Lavoro di un gas ideale un Sistema Aperto L pulsione = F! s! = ( P A) d = P V Nella sezione di gresso: L = P V Nella sezione di uscita: L out = P V Complessivamente: L tot = PdV = L elica Ricordando che: d P V P V + P V = P dv + V dp allora d( P V) = P dv + V dp e qudi P dv = d P V V dp = P V P V V dp riprendendo la precedente espressione del lavoro totale: L tot = P dv = P V P V V dp qudi L elica = V dp = L elica P V + P V
P P Lavoro di un gas ideale un Sistema Aperto Anche per un sistema aperto una trasformazione isobara corrisponde, su un grafico pressione volume, ad un segmento di retta orizzontale. Il lavoro utile d elica per un sistema aperto una trasformazione isobara ha però un valore nullo. Anche graficamente si può facilmente verificare questo risultato, quanto l espressione matematica del lavoro d elica corrisponde all area sottesa alla curva rispetto all asse delle ordate e per questo tipo di trasformazione l area è nulla. Per una trasformazione isocora, ovvero a volume costante, il lavora d elica assume un espressione particolarmente semplice e corrisponde all area del rettangolo compreso fra il segmento della trasformazione e l asse delle ordate. Trasformazione ISOBARA P = costante P P P Trasformazione ISOCORA V = costante V V V V V L elica = VdP = V dp = 0 L elica = VdP = V dp = V ( P P )
Il Calore Il calore è deito come la forma di energia che si trasferisce tra due sistemi (o tra un sistema e l ambiente) virtù di una differenza di temperatura. Come il Lavoro, anche il Calore risulta essere una Funzione di Scambio, e non di Stato. Risulta fatti impossibile deire quant è il calore uno stato di una trasformazione, mentre è possibile deire la quantità di calore scambiata durante una trasformazione. Il Calore assume valori Positivi se risulta Entrante nel sistema; Negativo se Uscente. Dal punto di vista matematico: le grandezze di stato sono differenziali esatti: dt = T T ed oltre dt = 0 du = U U ed oltre du = 0 le grandezze di scambio NON sono differenziali esatti L > 0 δ L = L δ Q = Q Q > 0
I Prcipio della Termodamica Il I Prcipio della Termodamica è realtà la forma completa del Prcipio di Conservazione dell Energia Totale (E). Q L = ΔE = E f E i E totale = E t erna + E cetica + E potenziale E importante sottoleare che il terme relativo al Lavoro, L, non clude solo la parte associata alla variazione di volume del sistema, ma comprende anche i contributi delle altre forze esterne al sistema. - L + Q DE
La Variazione di Energia Totale di un Sistema Chiuso Come visto precedenza, l Energia Totale è data dalla somma di 3 contributi, la sua variazione sarà qudi data da: ΔE totale = ΔE t erna + m ( v v ) + m g( z z ) In un sistema chiuso, tuttavia, le variazioni di energia cetica e potenziale del sistema sono nulle, si avrà così che la variazione di Energia Totale sarà pari solo alla variazione dell Energia Interna: ΔE terna = ΔE sensibile + ΔE latente = m c T T Nel caso il sistema chiuso contenga solo Gas Ideale avremo: Q L = ΔE totale = ΔE sensibile = ( U U ) [ J] q l = Δu!Q!L = du dt!q! l = du dt J kg nel caso di grandezze specifiche [ W ] nel caso di variazioni nel tempo, ovvero potenze W kg nel caso di potenze specifiche + m c latente
La Variazione di Energia Totale di un Sistema Aperto Partendo da quanto scritto per un sistema chiuso ed adottando i risultati relativi al lavoro per un sistema aperto avremo che: δ q δ l = du può essere scritto come δ q P dv = du ma ricordando che d P v si avrà che δ q d P v δ q + v dp = du + d P v = P dv + v dp + v dp = du e qudi ovvero δ q δ l = d( u + P v) Introducendo la deizione di ENTALPIA come: J h = u + P v kg o H = U + P V [ J] Si otterrà che per un sistema aperto il primo prcipio può essere scritto come: δ q δ l = dh o Q L = ΔH In termi iti e nel caso di energia cetica e potenziale non trascurabili lequazione completa del primo prcipio diventa: Q L = ΔH + m ( v v ) + m g( z z )
Il Calore Specifico Calore specifico: c [kj/(kg C)] Energia necessaria per nalzare di un grado la temperatura della massa unitaria di una sostanza. In generale tale energia dipende dal tipo di trasformazione con cui avviene la sommistrazione di energia Aria V = costante m = kg DT = C c v ~ 0.7 kj/(kg C) Q ~ 0.7 kj Calore specifico a pressione costante: c p Energia necessaria per nalzare di un grado la temperatura della massa unitaria di una sostanza con un riscaldamento a pressione costante. Il calore specifico a pressione costante è maggiore rispetto a quello a volume costante perché oltre all energia necessaria ad nalzare la temperatura della massa di gas, è necessario fornire il lavoro necessario a spostare il cone del sistema. m = kg DT = C c = 5 kj/(kg C) Q = 5 kj Calore specifico a volume costante: c v Energia necessaria per nalzare di un grado la temperatura della massa unitaria di una sostanza con un riscaldamento a volume costante Q ~ kj Aria p = costante m = kg DT = C c p ~ kj/(kg C) <
Il Calore Specifico I calori specifici sono legati all energia terna e all entalpia; particolare il calore specifico a volume costante è legato alla variazione di energia terna, mentre il calore specifico a pressione costante è legato alla variazione di entalpia. Questo non deve stupire se si pensa che l entalpia lega sia l energia terna che il lavoro delle forze di pressione. Dalle relazioni riportate accanto si vede che i calori specifici sono deiti funzione di altre proprietà e sono qudi essi stessi delle proprietà. Come le altre grandezze essi dipendono dallo stato del sistema e qudi sono deiti mediante due proprietà tensive. Ad esempio variando la temperatura del sistema cambia il valore del calore specifico. c v = f ( v,t) = f p,t c p = f 3 ( p,t) = f 4 v,t c v = c p = u T h T v p k = c p c v
Il Calore Specifico di un Gas Perfetto Per un gas perfetto l energia terna e l entalpia dipendono solo dalla temperatura e non da pressione e volume. Essendo, da quanto visto, i calori specifici derivabili da entalpia ed energia terna, ne deriva che i risultati precedenti valgono non solo per trasformazioni isocore e isobare ma per qualunque trasformazione. pv = RT u = u(t) h = h( T) = u( T) + RT Essendo i calori specifici funzione della temperatura, per passare dall espressione differenziale all espressione ita è necessario trodurre una semplificazione. Ciò che normalmente si fa è trodurre il valore medio fra la temperatura iziale e la temperatura ale della trasformazione. c v (T) = du dt u ( T ) u( T ) = c v ( T T ) c p (T) = dh dt ( h h ) = c p ( T T ) Partendo dall equazione dell entalpia si trova il legame fra i calori specifici e la costante R del gas. h = h(t) = u(t) + RT c p ( T) = k R k c v ( T) = R k dh dt = du dt + R c ( T) = c ( T) + R p v c p > c v k = c p c v >
Il Calore Specifico Gas$ Formula$ Massa$ Molare$ Costante$ del$gas$ Calore$ specifico$a$ pressione$ costante$ Calore$ specifico$a$ volume$ costante$ Rapporto$ dei$calori$ specifici$!! M[kg/kmol]! R[kJ/kg.K]! Cp[kJ/kg.K]! Cv[kJ/kg.K]! k!=!cp/cv! Aria! 77! 8.97! 0.87!.005! 0.78!.4! Argon! Ar! 39.948! 0.08! 0.503! 0.3!.667! Butano! C 4 H 0! 58.4! 0.433!.764!.5734!.09! Diossido! CO! 44.0! 0.889! 0.846! 0.657!.89! Carbonio! Monossido! Carbonio! CO! 8.0! 0.968!.04! 0.744!.4! Etano! C H 6! 30.07! 0.765!.766!.4897!.86! Etilene! C H 4! 8.054! 0.964!.548!.58!.37! Elio! He! 4.003!.0769! 5.96! 3.56!.667! Idrogeno! H!.06! 4.4! 4.307! 0.83!.405! Metano! CH 4! 6.043! 0.58!.537!.7354!.99! Neon! Ne! 0.83! 0.49!.099! 0.679!.667! Azoto! N! 8.03! 0.968!.039! 0.743!.4! Ottano! C 8 H 8! 4.3! 0.079!.73!.6385!.044! Ossigeno! O! 3.999! 0.598! 0.98! 0.658!.395! Propano! C 3 H 8! 44.097! 0.885!.6794!.4909!.6! Vapore! H O! 8.05! 0.465!.873!.408!.37!!
Il Calore Specifico delle sostanze compressibili Poiché l energia terna di una sostanza modellizzata come compressibile dipende solo dalla temperatura, si avrà che: c v (T) = u(t) T v = du dt Inoltre considerando il volume specifico praticamente costante si ha: h( T,P) = u( T) + Pv h T p c p = du dt + Pertanto, nei limiti di validità delle approssimazioni sopra dicate: E qudi: du = c(t)dt u u = c(t)dt T T c v d dt Pv c p c v c( T) dh = du + vdp + Pdv h h = du + vdp = u u + v P P p p T h h = c(t)dt + v P P T Se il calore specifico c è assunto costante nel range di temperatura T, T : u u = c( T T ) h h = c T ( T ) + v( P P )
Trasformazione Isobara - Sistema Chiuso p P = costante p V L = V Lavoro = area V PdV = P dv = P V V U U = Q P V V Generale m c v ( T T ) = Q m R ( T T ) Q = m ( c v + R) ( T T ) = m c p ( T T ) Gas Ideale
Trasformazione Isocora - Sistema Chiuso p V = costante p p V L = PdV = 0 U U = Q V Generale Stato Iniziale Stato Fale m c v ( T T ) = Q P = T T P Gas Ideale
Trasformazione Isoterma - Sistema Chiuso p T = costante p Lavoro = area p V V L = PdV U U = Q L V Generale Stato Iniziale Stato Fale = 0 = Q m R T dv V m c v T T L = mrt ln V V = Q Gas Ideale
Trasformazione Adiabatica - Sistema Chiuso p Q = 0 p Lavoro = area L = p V PdV U U = L V V Generale Stato Iniziale Stato Fale = 0 PdV m c v T T L = m c v ( T T ) = mrt k V V k Gas Ideale
Processi dei Gas Perfetti Sistemi CHIUSI δ q δ l = du Sistemi CON DEFLUSSO δ q δ l = dh Pv = RT (trasformazione reversibile) δ l = Pdv = 0 l = 0 δ q = du = c v dt q = u u = c v T T Trasformazione ISOCORA: v = costante P T = R v = costante P = T P T (trasformazione reversibile) δ l = vdp l = v P P = v( P P ) δ q = dh + δ l = c p dt vdp + v( P P ) q = c p T T
Processi dei Gas Perfetti Sistemi CHIUSI δ q δ l = du Sistemi CON DEFLUSSO δ q δ l = dh δ l = Pdv Pv = RT (trasformazione reversibile) l = P v v δ q = du δ l = c v dt δ l q = c v T T Trasformazione ISOBARA: p = costante P( v v ) v T = R P = costante v v = T T (trasformazione reversibile) δ l = vdp = 0 l = 0 δ q = dh = c p dt q = c p T T
Processi dei Gas Perfetti Sistemi CHIUSI δ q δ l = du Sistemi CON DEFLUSSO δ q δ l = dh δ l = Pdv l = Trasformazione ISOTERMA: T = costante dt = 0 Pv = RT = costante P v = P v (trasformazione reversibile) v Pdv = RT v dv = RT ln v v v v δ q = du + δ l = c v dt + Pdv = δ l v δ l = vdp P l = vdp = RT P dp = RT ln P P v v = P P (trasformazione reversibile) δ q = dh + δ l = c p dt vdp = δ l P P P q = l q = l
Processi dei Gas Perfetti Trasformazione ISOTERMA: T = costante dt = 0 q = l = Pv = RT = costante P v = P v Sistemi CHIUSI p v Pdv = RT v dv = RT ln v v Sistemi CON DEFLUSSO P v v q = l = vdp = RT P dp = RT ln P P P P v P p p v v = P P N.B. Le due quantità sono uguali v v p
Processi dei Gas Perfetti Sistemi CHIUSI δ q δ l = du Sistemi CON DEFLUSSO δ q δ l = dh Pv k = P v k = P v k = costante Trasformazione ADIABATICA: q = 0 k = c p /c v > δ l = δ q du = du l = u u = c v T T l = ( k P v P v ) = = k P v P P k k k T v k k = costante T P δ l = δ q dh = dh = costante l = h h = c p T T l = k ( k P v P v ) = = k k P v P P k k
Processi dei Gas Perfetti Trasformazione ADIABATICA: q = 0 k = c p /c v > l = k P v P P l = k k P v P P k k k k p p A p B l l l = k l v A v B v
Sistemi con Deflusso Regime Stazionario - Pompa lp = P P l m v s A m massa entrante nel tempo kg ρ m 3 kg s = ρ A v q l q v v A A + v ( v ) + g z z = h h è circa zero perché il sistema è considerato adiabatico verso lesterno v v perché si considerano: uguali le sezioni di gresso ed uscita del fluido nella pompa, il fluido comprimibile (qudi con densità costante) ed il sistema stazionario. Sotto queste ipotesi, poiché si deve conservare la massa, le velocità nelle due sezioni saranno uguali z z viene considerato quasi zero per il ridotto dislivello geodetico l = h h m v s A m massa uscente nel tempo kg ρ m 3 kg s = ρ A v
Sistemi con Deflusso Regime Stazionario - Pompa lp = l P P l = vdp = h h P P Se consideriamo una pompa ideale, ovvero assenza di perdite ed attriti, che elabora un liquido (assunto comprimibile): l,ideale l p,ideale P = vdp = v dp = v P P P = l,ideale P P = v P P v v A A
Sistemi con Deflusso Regime Stazionario - Lamazione v P T w A A v P T w v P T w v P T w Il processo di lamazione di un fluido realizza una consistente riduzione della pressione facendo passare lo stesso un brusco restrgimento di sezione del circuito (valvole, tubi capillari ecc.). La dimuzione di pressione è dovuta all effetto delle irreversibilità: primo luogo delle forze di attrito (particolarmente elevate corrispondenza del restrgimento) tra fluido e pareti del condotto. q l q 0 l + v ( v ) + g z z = h h poiché il sistema viene considerato adiabatico verso lesterno = 0 poiché non vi sono organi che forniscono o acquisiscono lavoro v v z z poiché le variazioni di velocità fra gresso ed uscita sono generalmente modeste 0 poiché non vi sono variazioni significative di quota h = h ovvero u + P v = u + P v Il processo di lamazione può essere trattato come ISOENTALPICO
Sistemi con Deflusso Regime Stazionario - Scambiatore adiabatica m m A, Aout, T A, m B, T B, T A T B adiabatica T A,out m Bout, T B,out Gli scambiatori di calore a superficie sono dispositivi con cui si vuole realizzare uno scambio di calore (ma non di lavoro) tra due fluidi. Tipicamente i due fluidi sono separati da una parete che consenta lo scambio di calore ma non di massa. Allo stato stazionario: m A, = m A,out = m A e m B, = m B,out = m B Se si considera un sistema avente tutto lo scambiatore come coni, si avrà che il flusso di calore verso l esterno è nullo, poiché gli scambi avvengono tutti ternamente e non verso l esterno: Q Q L B = m i ( h i,out h i, ) + v ( i,out v i, ) + g z i,out z i, m A i=a ( h A,out h A, ) + m B ( h B,out h B, ) = 0 m A ( h A, h A,out ) = m B ( h B,out h B, )
Sistemi con Deflusso Regime Stazionario - Scambiatore Q A L A Q A = m A adiabatica m A m A T A Q T A,out A T B, T B T A, m B adiabatica = m A ( h A,out h A, ) + v A,out ( h A,out h A, ) < 0 m B T B,out Se vece si considera il sistema solo relativamente ad uno dei due fluidi, ad esempio il volume di controllo costituito dal solo fluido A, si avrà: ( v A, ) + g z A,out z A, E la potenza termica ceduta dal fluido caldo al fluido freddo. Analogamente, se si considera il volume di controllo costituito dal solo fluido B, si avrà: Q B L B Q B = m B = m B ( h B,out h B, ) + v B,out ( v B, ) + g z B,out z B, ( h B,out h B, ) > 0 ed oltre Q A = Q B adiabatica m A m A T A Q T A,out B T B, T B T A, m B adiabatica m B T B,out