Adren-Mare Legendre (Parg, 18 seembre 175 Parg, 10 gennao 1833) è sao un maemaco francese. 1
Trasformazon d Legendre per cambare varable ndpendene Supponamoche samo neressa a conoscere una grandezza f che dpende da due varabl x e y : f f f f ( x, y) df dx dy x y (x+dx,y+dy) Per una varazone nfnesma, f f df udx vdy u v x y (x,y) Legendre: Inroducamo la nuova funzone g ale che: g( u, y) f ( x, y) u( x, y) x. Allora, dg df udx xdu udx vdy udx xdu f vdy xdu e non dpende da x, ma da u. x Queso e l dfferenzale d una g(y,u)
cambamo varable ndpendene g g( y, u) dg vdy xdu Puo accadere che non samo arezza per msurare f ma possamo msurare u,v. Msurao dg possamo per negrazone rsalre a g, e poche g( u, y) f ( x, y) u( x, y) x, ale che g g f x, v u y y alla fne rcavamo anche f. Comunque abbamo una formulazone alernava della eora. 3
Sr Wllam Rowan Hamlon (Augus 4, 1805 Sepember, 1865) was an Irsh mahemacan, physcs, and asronomer who made mporan conrbuons o he developmen of opcs, dynamcs, and algebra. Hs dscovery of quaernons s perhaps hs bes known nvesgaon. Hamlon's work was also sgnfcan n he laer developmen of quanum mechancs. Hamlon s sad o have showed mmense alen a a very early age, prompng asronomer Bshop Dr. John Brnkley o remark n 183 of Hamlon a he age of egheen: Ths young man, I do no say wll be, bu s, he frs mahemacan of hs age. 4
Hamlonana Trasformazone d Legendre che elmna le veloca H( p, q, ) p q L( q, q, ) energa n funzone d p e q H L dalla defnzone, pk 0 q q qund H non dpende dalle veloca'. k k p L q Avremo maggore lbera nella scela delle varabl che consenra d rsolvere una varea maggore d problem. 5
L azone S dpende dalla legge orara ma e ndpendene dalle coordnae usae. Il prncpo varazonale d mnma azone puo anch esso esprmers con p, q varabl ndpenden, ed e` δs = 0. Con S nelle nuove varabl, e dvena prncpo d Hamlon S d L ( q, q, ) d [ p q H ( p, q, )] Tuava nel fare la varazone c e una soglezza: q e p s varano ndpendenemene ( menre nel formalsmo lagrangano la veloca e`fssaa da q.) Per queso Hamlon e pu poene! q (, ) q (,0) ( ), ( ) arbrare ma ( 1) ( ) 0 (esrem fss) p (, ) p (,0) ( ), ( ) arbrare 6
q Cammn vrual lagrangan Cammn vrual hamlonan (quello p non ha esrem fss) q p 7
Prncpo varazonale S Ld d [ p q H( p, q, )] 0. 1 1 Varamo S con: q (, ) q (,0) ( ), p (, ) p (,0) ( ) dove ( ) e ( ) sono funzon arbrare, ma ( ) ( ) 0. 1 S d [ ( p ( ))( q ( )) H( p ( ), q ( ), )] ds H H per 0, d [ p ( ) q ] d q p Coe ds d d H H [ p ( q )] q p 8
ds d d H H [ p ( q )] q p Non abbamo poes sulla veloca agl esrem. Inegramo d nuovo per par d p [ p ] d p, ma [ p ] 0 (esrem fss) e n defnva d p d p. 1 1 ds [( H ) ( H d p q )] 0. d q p Perche' sa sempre vero comunque s scelgano le varazon occorre p H, q q H p 9
equazon canonche H p q H q p ( q e p varabl canoncamene conugae) Le equazon d Hamlon sono OK con quelle d Lagrange? S, ma la cosa e sole. Occho alle dpendenze funzonal! E' mporane noare che L L( qq,, ) men re H Hp (, q, ). 10
Nel formalsmo d Hamlon, q q ( pq, ), coe' q H p q E' ule verfcare che le equazon canonche sono OK con Eulero-Lagrange. H q p dpende da pe da q,menre q e p sono ndpenden H( p, q, ) p q L( q, q, ) p q ( p, q) L( q, q( p, q), ) H q L L q L p, ma q q q q q q k k k k p H q k L q k Poche' L d L q d q k k s conclude che H d L q d q k k p k E la prma equazone d Hamlon e O.K. 11
Le equazon canonche H p q q H p La prma e O.K. Vedamo la seconda. H q L q p k p p p k H( p, q, ) p q ( p, q) L( q, q( p, q), ) k k, dove L p k L( q, q, ) q q p k, qund alla fne H L( q, q, ) q q k ( p ) q k. p q p k Anche la seconda e OK con Euler-Lagrange. k 1
Conservazone dell energa dal puno d vsa Hamlonano H( p, q, ) p q L( q, q, ) dh H H( p, q, ) H( p, q, ) ( q p ) d q p H p q q H p equazon canonche dh H H H H H ( ( )) H d q p p q OK. Benssmo! Ma se le equazon d Hamlon sono equvalen a quelle d E.L., a che servono? 13
Rappresenazon dverse d uno sesso cammno fsco p H( p, q, ) q p p( P, Q, ) q q( P, Q, ) P P( p, q, ) Q Q( p, q, ) P H( P, Q, ) Q Con H possamo fare rasformazon pu general
TRASFORMAZIONI CANONICHE: p( ), q( ) P( p( ), q( ), ), Q( p( ), q( ), ) q p p( ), q( ) Cammno vruale; Sesso cammno vruale Le rasformazon punual q q( Q, ), Q Q( q, ) rasformano solo le coordnae lagrangane. 15
TRASFORMAZIONI CANONICHE: Trasformazon d ue le varabl p p( P, Q, ) q q( P, Q, ), P P( p, q, ) Q Q( p, q, ) comporano che la lagrangana camba: n general, e H( p, q, ) H( P, Q, ) n modo che cammnosazonaro cammno sazonaro. Tal rasformazon comporano che la lagrangana camba: n generale, L( q, q, ) p q H( p, q, ) PQ H( P, Q, ) L( Q, Q, ) ma l'uguaglanza non e' necessara, occorre che S 0 lungo gl sess cammn.. 16
Quello che cona e' che S 0 valga sa con ( p, q) che con( P, Q). S d[ p q H] d[ PQ H]. 1 1 Non e' necessaro che L rmanga la sessa. S puo cambare L d una dervaa oale. La lbera d cambare L d una dervaa oale l abbamo anche nel formalsmo Lagrangano, e anche una rasformazone punuale puo cambare L d una dervaa oale, ma n quello Hamlonano la sfruamo molo meglo convolgendo anche p. 17
S d[ p q H( p, q)] d[ PQ H( P, Q)] 1 1 nduce una rasformazone canonca con F funzone generarce se df( p, q, P, Q, ) p q H PQ H. d df( p, q, P, Q, ) S camba d d 1 d F( p, q, P, Q, ) F(, q, P, Q, ) ef p 1 deve essere ale che queso e' 0 (esrem fss). 18
p q H PQ H df( p, q, P, Q, ). d Meodo: S assegna F( p, q, P, Q,), se ne deduce H df( p, q, P, Q,) e p q H PQ H d fornsce relazon che danno q q ( P, Q) p p ( P, Q) e le relazon nverse. S rsolvono le equazon canonche P H Q e nfne s oene Q Q(p,q) P P(p,q)., Q H P 19
p q H PQ H df( p, q, P, Q, ) d Non esse un meodo per rovare F ale che l problema con P, Q, H sa rsoluble. F( p, q, P, Q, ) anche roppo generale! Possble ed ule scela specale: ad esempo F=F(q,Q,). La condzone d canonca e : p q H PQ H df( q, Q, ) d F( q, Q, ) F F PQ H q Q q Q 0
F( q, Q, ) F F p q H PQ H q Q q Q coeffcen d q : p F q F coeffcen d Q : P. Q Resa: F( q, Q, ) F( q, Q, ) H H H( P, Q, ) H( p, q, ) NB Se c e dpendenza da non basa cambare varabl, enra la F. Invece nella Lagrangana basa sempre cambare varabl. Se H( P, Q, ) e' raable l goco e' fao. 1
F F F F( q, Q, ) p P ; quese sono q Q equazon da rsolvere per rcavare p p( P, Q),q q( P, Q) Se F e'scela bene l problema sara' rsoluble per P, Q F( q, Q, ) H( P, Q, ) H( p, q, ). Esempo : F qq F F p Q P q H( P, Q, ) H( q, p, ) q Q momen e coordnae s scambano!
F p q Q(q- q 1 )=Q Esempo 1 Daa H ( p, q, ) p ( q ) rovare l'negrale generale del moo. Ecco la funzone generar ce: F(q,Q,)= Q(q- ). F 1 1 1 P Q(q- )=-(q- ) q= P Q Q H( P, Q, ) H( p( P, Q), q(p,q), ) F( q, Q, ) 1 1 Ponendo p=q, q= P n Hp (, q, ) s oene: 1 1 H(P,Q, ) Q ( P ) = Q P. 3
H( P, Q, ) H( p( P, Q), q(p,q), ) F 1 Q( q- ) = - Q H( P, Q, ) = P. F( q, Q, ) 1 H descrve l moo lbero d un puno d massa m=. L'negrale generale e' P=P cosane,q= ( ) P. H( p( P, Q), q(p,q), )= Q P. funzone generarce: 1 F(q,Q,)=Q(q- ). 0 0 0 1 p=q=p ( ), q= P. 0 0 0 4
Esempo: con A,B,v cosan, H ( p, q) v p A B p ( q v ) p 4 funzone generarce F( q, Q, ) q v Q F 1 F q v p P q Q Q Q Sosuendo nella veccha hamlonana H vene: F v Q A v 1 H( p, q) v p B p ( q v ) A Q B ( ) ( PQ ) p Q Q v S puo semplfcare: H ( p, q) A Q B P Q 4 4 F H ( P, Q) H A Q B P oscllaore armonco 5
Alra scela specale d F: con una funzone S(q,P,) da deermnare F F( q, P, Q, ) S( q, P, ) PQ La condzone d canonca' p q H PQ H df dvena d ds S S pq H PQ H [ q P PQ PQ ] d q P ds S S pq H H [ q P PQ ] d q P S Coeffcen d q : p S q Coeffcen d P : Q P S Nuova hamlonana: H( P, Q, ) H( p, q, ) dp H( P, Q, ) d Q dq H( P, Q, ) d P 6
Meodo d Hamlon-Jacob S puo' cercare la funzone generarce S H( P, Q, ) H( p, q, ) 0. Nuova hamlonana nulla! Allora le equazon d Hamlon danno: S q, P, n modo che dp H( P, Q, ) 0 P cosan d Q dq H( P, Q, ) 0 Q cosan d P S S H( p, q, ) 0 con p mplca q S S H(q,, ) 0 equazone d Hamlon-Jacob. q E' alle dervae parzal e non e' facle. 7
Sgnfcao d S Dal dfferenzale ds = S d ds S dq S S ds dq S = ; ora, p mplca = p ; d q d q d d S dq q ds dq dall'equazone dhamlon-jacob = p H L S Ld. d d Lungo cammn fsc S e' l'azone. 8
Dalla prova scra del 3 Gugno 009. Problema 1 Un puno maerale classco d massa m s muove lungo l asse x soggeo ad una accelerazone cosane a. La legge orara x() pare con x(0) = 0 menre x(t) = X al empo = T ale che T X a Scrvere la lagrangana, l hamlonana e le equazon canonche. Calcolare l negrale d azone fra emp = 0 e = T lungo la raeora fsca. d x 1 a s oene da L( x, x) mx m.a.x p mx, d H p p ma q H ( p, x) m.a.x Equazon canonche: m H p x p m 1 1 X x a x T T at X T a In genere ( ) v ( ) v ma con X 1 X 1 9 a a v a X v 0 cammno fsco: x( ) a.
1 1 L x x mx x a x a ma ma L( x, x) ma. 3 T at L'negrale d azone vene S L( x, x) d m. 0 3 Secondo queso Sosuamo nella (, ) m.a.x l cammno fsco: ( ), Consderando l cammno vruale x() rovare l negrale d azone. con gl sess esrem Confronare l negrale d azone S vr calcolao lungo la raeora fsca. lungo l cammno vruale con quello L x x 1 (, ) mx m.a.x 30
L x x 1 (, ) mx m.a.x cammno vruale assegnao: ( ) ( ) (, ) x x L x x m ma X X 1 1 Da x T X x T X at at T a ( ), s deduce, e dal dao s rova. 1 1 1 1 1 L x x m at ma at mt a 8 3 T at 3 Svr L( x, x) d 3m 0.375a T 0 8 Lungo ale cammno, (, ) ( ) ( ) 1 ma T at 3 3 T 3 Per l cammno fsco, S L( x, x) d m 0.333 a T. 0 Svr S. 31
Grandezze eleromagneche e una n MKSA s defnsce prma d uo l Ampere : la forza per una d lunghezza fra fl parallel I 1 I 1m André-Mare Ampère (1775-1836 1m F II L d quando I I 1 Ampere. [ F] MLT 0 1 7 10 Newon con L d 1 1 0 e'la permeabla' magneca vuoo: ha dmenson F 0 II 1 MLT [ 0] 0 1.56*10 Kg. m. s. A L d I 6 3
Legge d Coulomb una MKSA Forza fra due carche q F 1 4 0 q R 4 1 forza * L forza * L M * L * T [ ] 4 0 Q A T A A IT I T I T I [ 0] Farad/m Farad : [ C] 4 M * L * T V VI W ML T 4 Una d carca Q 1 Coulomb=1 Ampere * 1 sec 1 4 0 Nm 8.99 10 8.85410 C C N m 9 1 0 Veloca' della luce c: 1 c 0 0 33
Una d carca Q: 1 Coulomb=1 Ampere * 1 sec L espermeno d Mllkan (1909) consse nella msura della veloca d goccolne d olo n presenza e n assenza d un campo elerco. Quelle carche rsulano avere un mulplo nero d una carca elemenare. 18 Rsula che 1 Coulomb 6.510 carche eleron. 34
Defnzone d Vol, una d dfferenza d poenzale elerco: 1 Vol*1 Ampere =1Wa Una d campo elerco E: Vol/m Capaca : C=Q/V una =Farad [ C] IT I T I T I V VI W ML T s msura n Ampere / Wa 4 35
Alro ssema- Una cgs per l eleromagnesmo: S pare dalla legge d Coulomb se due carche, cascuna d uno 1 sac sono alla dsanza d 1 cm, s resprngono recprocamene con una forza d 1 Dyne. qq Legge d Coulomb F 1 r Lo sacoulomb (sac) o frankln (Fr) elecrosac un of charge ( esu) e' l' una' d carca elerca (cgs). [q] =forza*l 1 sac = 1 g cm s = 1 erg cm 1/ 3/ -1 1/ 1/ Relazone fra esu e Coulomb 1 Coulomb,997 * 10 10 1 Fr 3, 336 * 10 Coulomb. 9 Fr 18 9 1 Coulomb 6.510 carche eleron 1Fr=*10 eleron 36
grandezza MKS faore cgs Lunghezza m =10 cm massa Kg =10 3 g F Newon =10 5 dne E Joule =10 7 erg Carca Coulomb =3*10 9 sacoulomb Campo elerco Vol/m =10-4 Savol/cm Induzone Tesla magneca B =104 Gauss Flusso magneco Weber =10 8 Maxwell
Conversone delle formule da Gauss a SI Gauss SI campo elerco E 4 E poenzale elerco 4 carca q correne j 4 4 4 nduzone magneca B B q j 0 0 0 0 0 Gauss poenzale veore A 4 A 0 campo magneco H H 4 magnezzazone M 0 M 4 cosane delerca permeabla' magneca SI 0 0 0 38
James Clerk Maxwell (1831 1879) Born 13 June 1831 Ednburgh, Scoland Ded 5 November 1879 (aged 48) Cambrdge, England Czenshp Naonaly Uned Kngdom Scosh 39
Elerodnamca classca Equazon d Maxwell nel vuoo Equazon d Maxwell nel vuoo noe, j calcolar e EB, noe, j calcolare E, B forma dfferenzale (Gauss) forma negrale E 4 B 0 1 B E c 1 E 4 B j c c dv j 0 connua' S S E. nds 4Q B. nds 0 1 E. dl B. nds c 1 4 B. dl E. nds I c c Forza d Lorenz v F qe q B c S S 40
Equazon d Maxwell nel vuoo Equazon d Maxwell nel vuoo noe, j calcolare E, B noe, j calcolare E, B forma dfferenzale (Gauss) E 4 B 0 1 B E c 1E 4 B j c c forma dfferenzale (MKSA) 0 E B 0 B E E B 00 0j 4 componen (, J) 6 componen (E,B) 41
Per rsolvere le equazon d Maxwell convene nrodurre l poenzale scalare e l poenzale veore A. Sono 4 quana non msurabl. Da ess s oengono camp (6 componen): E B MKSA A A E B In componen sgnfca: CGS A 1 A c A A A E E E 1 3 1,, 3, x1 x x3 A A A A A A B, B, B 3 1 3 1 1 3 x x3 x3 x1 x1 x 4
Poenzale scalare d una dsrbuzone sazonara d carca ssema MKSA 1 ( r ') ( r ) dr ' 4 r r' 0 Campo E Poenzale veore d una dsrbuzone sazonara d corren ssema MKSA 0 Jr ( ') Con dv A( r ) 0, A( r) dr ' 4 r r' Campo B ( r ) A ( r ) 43
Scela della gauge I poenzal non sono osservabl, e nemmeno unc. Dverse scele che corrspondono agl sess camp s chmano dverse gauges. Ad esempo prendamo una funzone y(x,y,z,) arbrara: A A y Con y arbrara non s 1 y c oene da camba l campo e.m. che s E B A A Conrollamo queso fao mporane: E e 1 A 1 A y ( y) c c non dpende da y 44
Con y arbrara non camba nemmeno l campo magneco B A A A y B A y y (,, ) y x x x x x x x x x x x x 3 3 3 1 1 3 1 1 (0,0,0) B A Possamo usare ψ per semplfcare le equazon per A, Gauge d Lorenz: s mpone che sa 1 dv A 0 (n cgs) ( dv A 0 0 0 n MKSA) c 45
Usamo la gauge d Lorenz: dv A 0 0 0 n MKSA Le equazon d Maxwell dvenano: equazone delle onde nomogenea per poenzal : 1 4 1 A j 4 c c c senza sorgen, equazone delle onde omogenea per camp consegue dalle equazon d Maxwell: 1 1 E 0 B 0 c c onde n 1d: 1 ( ) f ( x, ) 0 ha soluzone generale f ( x, ) h( x c) x c d ( ) f ( x, ) h"( x c), f ( x, ) c h" ( x c), OK dx 46
Puno maerale d carca q F n campo ma F qe q(v B v B ) x x y z z y F qe q(v B v B ) y y z x x z F qe q(v B v B ) z z x y y x eleromagneco Forza d Lorenz: F qe qv B La forza dpende dalla veloca e non e conservava. Tuava, esenderemo l formalsmo lagrangano e quello Hamlonano. A al fne, occorre nrodurre poenzal al poso de camp. Con camp non s puo, perche la lagrangana non ne dpende. 47
Per l formalsmo lagrangano c servono le equazon del moo n ermn d poenzal. E B MKSA A A E B CGS A 1 A c In componen sgnfca, nel ssema MKSA: A A A E E E 1 3 1,, 3, x1 x x3 A A A A A A B, B, B 3 1 3 1 1 3 x x3 x3 x1 x1 x 48 48
A A A E E E 1 3 1,, 3, x1 x x3 A A A A A A B roa B, B, B 3 1 3 1 1 3 x x3 x3 x1 x1 x Equazone del moo n ermn d poenzal A ma qe qv B q v roa Le componen d v B n ermn del poenzale veore (v B) v B -v B v ( A A ) v ( A A ) 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 (v B) v B -v B v ( A A ) v ( A A ) 3 1 1 3 3 1 1 1 1 1 (v B) v B -v B v ( A A ) v ( A A ). 3 1 1 1 3 1 1 3 3 3 49 49
(v B) v B -v B v ( A A ) v ( A A ) 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 (v B) v B -v B v ( A A ) v ( A A ) 3 1 1 3 3 1 1 1 1 1 (v B) v B -v B v ( A A ) v ( A A ). 3 1 1 1 3 1 1 3 3 3 Queso s puo' rscrvere (v ) v B -v v ( ) B 1 3 3B 1A A1 3 3A1 1A3 v ( ) (v B) v B -v B v ( A A ) v ( A A ) 3 1 1 3 3 1 1 1 1 1 (v B) v B -v B v ( A A ) v ( A A ). 3 1 1 1 3 1 1 3 3 3 e possamo anche scrvere : (v B) v ( A A ). ( Per =j l conrbuo e' nullo). 3 j j j j 50
L'equazone del moo scra con poenzal A ma qe qv B q v roa mx A A j A q[ x ( )]. j x x x 3 meendoc (v roa) v ( A A ) n componen dvena: j j j j Pur dpendendo la forza dalla veloca l equazone del moo s oene dalla lagrangana j j 1 L r m q q (, v, ) v v.a Vedamo come. 51
1 L r m q q (, v, ) v v.a 1 Per componen, L( r, v, )= m x q q x.a Equazone d Euler-Lagrange L d L x, x, x d x L A j q q x. j x x x j L Del momeno canonco p mx qa occorre x d la dervaa oale. d p camba nel empo d anche perche l puno s sposa 5
momeno canonco L p mx qa x x x ( ) menre A A ( x ( ), x ( ), x ( ), ) 1 3 d d d x1 x x3 d x x x 1 3 perano, d A A A A A A A x x x x j d x x x x 1 3 1 3 j j dp A A mx q x j d j x j 53
1 L r m q q (, v, ) v v.a L A j q q x. j x x x j Equazone d Euler-Lagrange L d L x, x, x d x A A A mx q x q q x j j j j x j x j x A A j A mx q[ x ( )]. j x x x j j. 54
1 L r m q q (, v, ) v v.a La forza dpendene dalla veloca compora: L dq dq dq L( q,, ) T( q, ) U ( q,, ) d d d d Forza generalzzaa Q [ ] U( x, x, ) x d x e quella d Lorenz L momeno canonco p mx qa x Inosservable come A Momeno meccanco p mec mx Msurable ma non canonco E 3 3 mx mx E= pq -L= [( mx qa ) x ( qax )] q q =1 =1 3 3 mec mx ( p ) q q energa conservaa se l campo e' saco. m =1 =1 55
3 3 mec mx ( p ) E q q =1 =1 m L ma H s esprme n ermn del momeno canonco p mx qa x L 1 p qa mx qund H E p q va espressa come mecc x m 1 H ( p qa) q m Fa Lux: come accendere l campo e.m. Energa: E E+q Momeno canonco: p p-qa Resa vero n ue le eore Nel ssema d Gauss e E E q p p A c 56