Esercizi svolti di eoria dei Segnali Enrico Magli, Letizia Lo Presti, Gabriella Olmo, Gabriella Povero Versione.
Prefazione A partire dall anno accademico 5/6 viene fornita agli studenti dei corsi di eoria dei Segnali del Politecnico di orino questa dispensa per aiutarli nella preparazione dell esame. La dispensa contiene un campionario di esercizi svolti che coprono la maggior parte del programma, e contengono alcuni dei metodi di soluzione più tipici per diverse classi di esercizi. Come in ogni raccolta di esercizi svolti, dato l elevato numero di formule è inevitabile che siano presenti degli errori. Al fine di migliorare la qualità delle edizioni successive di questa dispensa, si prega di segnalare eventuali errori inviando un e-mail a enrico.magli@polito.it. Gli autori ringraziano Pietro Macchi per l aiuto nella stesura della versione preliminare di questa dispensa.
Sommario Unità. Calcolo di energia e potenza media di un segnale........ Sviluppi in serie di Fourier e trasformate di Fourier...... 5 Unità. Studio di sistemi LI........................ Dimostrazione di linearità e invarianza temporale....... 4 Unità 3 6 3. Segnali a potenza media finita.................. 6 3. Filtraggio di segnali periodici.................. 9 3.3 Campionamento......................... Unità 4 3 4. Densità di probabilità, valore atteso e funzione di autocorrelazione di processi casuali.................... 3 4. Processi casuali filtrati...................... 3
Unità. Calcolo di energia e potenza media di un segnale Esercizio Calcolare l energia del segnale con K >. x(t) = e Kt cos(πf t)u(t) Come in molti altri casi, anche in questo semplice esercizio la soluzione si può trovare calcolando l energia sia nel dominio del tempo che nel dominio della frequenza. Procediamo per esempio nel dominio del tempo: E x = + E x = + e Kt cos(πf t) dt = x(t) dt + e Kt cos (πf t)dt Ricordando la formula di duplicazione del coseno si ottiene E x = + e Kt dt + + e Kt cos(4πf t)dt Al secondo termine conviene applicare la formula di Eulero ed esprimere il coseno come somma di esponenziali complessi: E x = 4K e Kt + + ( e e Kt j4πf t + e j4πf ) t dt
E x = 4K + 4 + e (K jπf )t dt + 4 E x = [( 4K + 4 (K jπf o ) e (K jπf )t dt E x = 4K + [ ] 4 (K jπf ) + (K + jπf o ) E x = [ + 4K K + K + 4π f e (K+jπf )t dt ( + (K + jπf o ) e (K+jπf )t dt = 4K + K 4 (K + 4π f ) ] ] 3
Esercizio Calcolare la potenza media del segnale x(t) = p(t n ) n= dove p(t) è riportato in Fig... p(t) A t -A Figura. x(t) è periodico di periodo. Quindi, indicando con E p l energia del segnale p(t) in un periodo, si ottiene P x = E p = p(t) dt P x = A dt = A 4
. Sviluppi in serie di Fourier e trasformate di Fourier Esercizio 3 Si calcoli ] lo sviluppo in serie di Fourier del segnale, definito nell intervallo [, x(t) = { π Ae τ t t [ τ, τ ] altrove È necessario calcolare i coefficienti µ n dello sviluppo in serie di Fourier applicando la definizione. Si ottiene µ n = x(t)e j π n dt = A e jπ( t τ n )t dt µ n = A = A µ n = Aτ [ jπ ( τ n ) e jπ( ] t τ n ) τ e jπ ( t τ n ) τ sin [ πτ ( τ n )] ) = Aτ sin [ πτ ( τ n )] ) π ( τ n πτ ( τ n sin [ π ( nτ )] π ( nτ ) = Aτ ( sinc nτ ) Si noti che, per certi valori di τ, alcuni dei coefficienti µ n potrebbero diventare nulli. Per esempio, prendendo τ = /, si ottiene µ n = Aτ ( sinc n ) e quindi µ n = per n pari e diverso da. 5
Esercizio 4 Determinare lo spettro del segnale x(t) rappresentato in Fig.., usando opportunamente le proprietà della trasformata di Fourier. A A/ x(t) τ τ+ τ+(3/) t Figura. Possiamo scrivere il segnale x(t) come somma di due contributi: x(t) = x (t) + x (t) La scomposizione si può fare in modi diversi, si veda p.es. la Fig..3. Nel seguito scriviamo il segnale seguendo l esempio B come x(t) = Ap (t ( + τ/)) + A p / (t (τ + 5/4)) Quindi per linearità si ottiene la trasformata di Fourier X(f) = X (f) + X (f) sin (πf ) X (f) = A πf X (f) = A sin ( πf ) πf e jπf( +τ) e jπf( 5 4 +τ) Utilizzando alcune proprietà trigonometriche si può scrivere X(f) in modo più elegante: sin (πf ) X(f) = A πf = A πf e jπfτ = A πf e jπfτ sin e jπf e jπfτ + A sin ( πf ) e jπf 5 e jπfτ = πf { ( sin πf ) ( cos πf ) e jπf + ( sin πf ) } e jπf 5 = ( πf ) { ( cos πf ) e jπf + } e jπf 5 6
x(t) A x(t) B A A/ A A/ τ τ+τ t τ τ+τ t x(t) x(t) A A/ A A/ τ τ+3/τ t τ+τ τ+3/τ t Figura.3 X(f) = A sin ( πf πf ) { ( e jπf(τ+ ) cos πf ) + } e jπf 3 7
Esercizio 5 Si considerino i due segnali x(t) = e kt u(t) y(t) = x(t) sin(θt) πt dove denota il prodotto di convoluzione. Si determini la relazione che deve intercorrere tra le costanti k e θ affinchè l energia di y(t) sia pari alla metà dell energia di x(t). x(t) = e kt u(t) L energia di x(t) si può calcolare facilmente nel dominio del tempo: E x = e kt dt = e kt dt = k Per calcolare l energia di y(t) è opportuno lavorare nel dominio della frequenza, dove il prodotto di convoluzione viene trasformato in un prodotto semplice. (Per semplicità indichiamo con F la trasformazione di Fourier di una funzione del tempo). y(t) = x(t) sin(θt) πt { } sin(θt) Y (f) = X(f)F = πt k + jπf p θ (f) π { } dove per il calcolo di F sin(θt) πt si è utilizzata la proprietà di dualità. E y = + = = θ π Y (f) df = kπ arctan k + 4π f df ( π k f θ π θ π ) θ π k + jπf Imponiamo ora la condizione richiesta dall esercizio. E y = kπ arctan θ k 8 df
E y = E x ( ) θ kπ arctan = k k arctan θ k = π 4 θ k = tan π 4 = Quindi la soluzione è θ = k k 9
Esercizio 6 dove Si consideri il segnale x(t) = a(t )e jπf t sin πt a(t) = πt e f = k con k una costante strettamente positiva. Calcolare lo spettro di ampiezza di x(t) Calcolare l energia di x(t) Il segnale x(t) si può scrivere come x(t) = a(t )e jπf t = y(t)e jπf t dove si è posto y(t) = a(t ). Per la proprietà di traslazione in frequenza la X(f) vale X(f) = Y (f f ) A sua volta, per la proprietà di traslazione nel tempo, la Y (f) vale Y (f) = A(f)e jπf e quindi lo spettro del segnale x(t) si può scrivere come Ponendo f = k X(f) = A(f f )e jπf e jπf si ottiene X(f) = A(f f )e jπf e jπk = A(f f )e jπf Inoltre la trasformata di Fourier di a(t) si può calcolare facilmente grazie alla proprietà di dualità, che permette di stabilire che la trasformata di una funzione di tipo sinc è una porta: A(f) = p (f) A questo punto è banale calcolare l energia di x(t) nel dominio della frequenza sfruttando l uguaglianza di Parseval, ricordando che il modulo quadro di un esponenziale complesso vale sempre : E x = + X(f) df =
Unità. Studio di sistemi LI Esercizio 7 Un sistema LI ha risposta all impulso h(t) rettangolare, causale, di ampiezza unitaria e durata. L ingresso vale x(t) = sin (πf t) Si denoti come y(t) l uscita del sistema. Determinare per quali valori di f l uscita è identicamente nulla: y(t) = t. La risposta all impulso del sistema si può scrivere come h(t) = p (t /), dove p (t) è una porta di ampiezza unitaria e durata, con supporto nell intervallo (, ). La trasformata di Fourier di h(t) è molto facile da calcolare; inoltre la trasformata di x(t) sarà formata da delta di Dirac, dal momento che x(t) è periodico. Queste considerazioni ci fanno propendere per una soluzione nel dominio della frequenza. In particolare la funzione di trasferimento vale H(f) = sin(πft) e jπf πf X(f) = j [δ (f f ) δ (f + f )] Y (f) = X(f)H(f) La condizione Y (f) = è verificata se le delta di Dirac nello spettro di X(f) cadono in corrispondenza degli zeri di H(f), cioè per f = k k =,...
Esercizio 8 Si consideri lo schema in Fig.., dove φ e f sono costanti, e x(t) è un segnale strettamente limitato in banda: X(f) = per f > B. x(t) cos(πf t) X z(t) H(f) y(t) cos(πf t+φ) -B B f Figura. Si supponga f = B. Ricavare un espressione analitica per y(t). E possibile trovare un valore di φ affinchè y(t) = t? Scriviamo esplicitamente il segnale z(t), applichiamo le formule di Werner, e quindi quelle di Eulero: z(t) = x(t) cos (πf t) cos (πf t + φ) = x(t) [cos(φ) + cos (4πf t + φ)] = x(t) cos(φ) + 4 x(t)ej(4πf t+φ) + 4 x(t)e j(4πf t+φ) A questo punto si può calcolare facilmente la sua trasformata di Fourier. Z(f) = cos φx(f) + 4 ejφ X (f f o ) + 4 e jφ X (f + f o ) Come si può notare, questa trasformata contiene tre termini, ovvero lo spettro originale X(f) e due sue versioni traslate. Ci chiediamo come questo spettro venga modificato passando attraverso il sistema LI, ed in particolare se alcuni di questi termini vengano cancellati. Ciò si può determinare più facilmente per via grafica, facendo un disegno qualitativo, come in Fig.., della trasformata di Fourier Z(f) e della funzione di trasferimento H(f), e disegnando quindi lo spettro del segnale di uscita Y (f).
Z(f) ~ X(f) f B B f H(f) f Y(f) f ~ X(f) B B Figura. f In particolare, si noti che per f = B non si ha sovrapposizione in frequenza dei tre termini; inoltre il filtro passabasso ideale cancella le due repliche intorno alle frequenze ±f. Quindi lo spettro del segnale di uscita vale Y (f) = Z(f)H(f) = cos φx(f), e il segnale nel dominio del tempo si può scrivere come y(t) = cos(φ)x(t) Cerchiamo i valori di φ tali per cui y(t) = t. La condizione da imporre è quindi cos(φ) =, che a sua volta implica φ = (k + ) π. 3
. Dimostrazione di linearità e invarianza temporale Esercizio 9 L uscita di un sistema è legata all ingresso x(t) dalla relazione: y(t) = t t x(τ)dτ + x(t ) Dimostrare che il sistema è lineare e tempo-invariante. Calcolare la risposta all impulso e la funzione di trasferimento. Per la linearità dobbiamo verificare che l uscita z (t), quando l ingresso è una combinazione lineare di segnali, è pari alla combinazione lineare delle uscite ai singoli segnali: z (t) = t t [a x (τ) + a x (τ)] dτ + a x (t ) + a x (t ) = [ t ] [ t ] = a x (τ) dτ + x (t ) + a x (τ) dτ + x (t ) = t t = a y (t) + a y (t) Per la tempo-invarianza dobbiamo verificare che l uscita z (t) ad un ingresso ritardato sia pari all uscita, ritardata della stessa quantità, corrispondente all ingresso non ritardato: Ponendo τ = θ z (t) = y(t ) = z (t) = t t t t t t x(τ)dτ + x(t ) x(τ )dτ + x(t ) x(θ)d(θ) + x(t ) = y(t ) Quindi si può osservare che il sistema è lineare e tempo-invariante. La risposta all impulso si ottiene imponento che l ingresso sia una delta di Dirac, x(t) = δ(t), e calcolando l uscita. Questo calcolo è spesso abbastanza semplice, perchè si possono sfruttare le proprietà delle delta sotto l operatore 4
di integrale. In questo caso specifico si noti che l integrale non è tra e, quindi occorre renderlo tale moltiplicando la funzione integranda per una porta. t h(t) = δ(θ)dθ + δ(t ) = t ( = p t ) + δ(t ) + ( δ(θ)p [θ t )] dθ + δ(t ) = A questo punto è semplice ricavare la funzione di trasferimento: H(f) = F {h(t)} = sin ( πf ) e jπf + e jπf = sin(πf) e jπf + e j4πf πf πf 5
Unità 3 3. Segnali a potenza media finita Esercizio Un impulso ideale δ(t) è inviato all ingresso del sistema rappresentato in Fig. 3.. Calcolare l energia e la potenza media di y (t) e y (t). Calcolare (se esistono) gli spettri di energia di y (t) e y (t). Dire se il sistema racchiuso nel riquadro tratteggiato è lineare e/o tempo-invariante. δ(t) +jπf e jπft y (t) A e jπft y (t) Figura 3. Dalle tavole della trasformate di Fourier si ottiene che H(f) = + jπf h(t) = u(t)e t 6
Quindi il segnale x (t) si ottiene come A loro volta y (t) e y (t) valgono x (t) = δ(t) h(t) = u(t)e t y (t) = u(t)e t e jπfot y (t) = [ A + u(t)e t] e jπf ot L energia di y (t) si calcola facilmente usando la definizione nel dominio del tempo. y (t) è quindi un segnale ad energia finita. + E y = y (t) dt = e t e jπf t dt = e t dt = e t = Il calcolo dell energia di y (t) mostra che l integrale diverge, quindi il segnale è ad energia infinita. Per questo segnale non ha quindi senso calcolare uno spettro di energia. Ey = + y (t) dt = + [ A + u(t)e t ] dt Il calcolo della potenza media di y (t) dà zero. Questo era prevedibile, dal momento che un segnale a energia finita ha necessariamente potenza media nulla. Calcoliamo quindi la potenza media di y (t). L integrale si può calcolare indifferentemente negli intervalli [ /, /] e [, ]. P y = lim t = lim t t y (t) dt [ A + u(t)e t ] dt [ = lim A + Au(t)e t + u(t)e t] dt { = lim A + A e t dt + } e t dt t { = lim A + A ( e ) + ( e )} = A t Lo spettro di energia di y (t) vale S y (f) = Y (f) = + jπ (f f ) = + 4π (f f ) 7
Verifichiamo la linearità e tempo invarianza del sistema nel riquadro. Applichiamo la notazione compatta L[x] per indicare l uscita del sistema quando il segnale di ingresso è X(t). Per quanto riguarda la linearità: L {a x + a x } = A + [a x (t) + a x (t)] e jπf t L {x } = [A + x (t)] e jπf t L {x } = [A + x (t)] e jπf t L {a x + a x } = a L {x } + a L {x } Quindi il sistema non è lineare. Per la tempo-invarianza: L {x(t θ)} = [A + x(t θ)] e jπf t y (t θ) = [A + x(t θ)] e jπf (t θ) Pertanto il sistema non è neanche tempo-invariante. 8
3. Filtraggio di segnali periodici Esercizio Si consideri il segnale periodico x(t) rappresentato in Fig. 3.. ale segnale viene filtrato con un filtro la cui risposta all impulso h(t) è rettangolare, causale, di ampiezza unitaria e durata. x(t) - - 3 t Figura 3. Calcolare: Lo spettro di potenza del segnale filtrato y(t). La potenza media del segnale filtrato y(t). Una espressione analitica per y(t). x(t) è periodico, quindi il suo spettro di potenza è G x (f) = + n= µ n δ(f n/ ). I coefficienti µ n, che determinano univocamente lo spettro di potenza, si possono ottenere dalla trasformata di Fourier del ( segnale ) X (t) considerato nel periodo fondamentale, ovvero x (t) = p / t 4. Q x (f) = + n= X ( n ) ( δ f n ) X (f) = sin ( πf e jπf 4 πf = sin ( π f ) π f e jπf µ n = X = ( n ) ) = sin ( n π ) n π per n = e jn π per n pari vd. seguito per n dispari 9
µ n+ = sin ( (n + ) π (n + ) π = j sin (n + ) π (n + ) π ) µ n = µ n = [ ( cos (n + ) π ) ( j sin (n + ) π )] = = jπ (n + ) per n = per n pari jπn per n dispari 4 per n = per n pari π n per n dispari Lo spettro di potenza del segnale all uscita del filtro si ottiene come G y (f) = G x (f) H(f) = µ δ(f) = 4 δ(f) Infatti tutte le altre delta di Dirac nello spettro di potenza G y (f) vengono poste a zero dagli zeri di H(f) (di cui abbiamo omesso il calcolo). Il calcolo della potenza risulta quindi banale: P y = 4 Il calcolo di un espressione per il segnale y(t) è abbastanza semplice. Visto che il segnale di ingresso è periodico, il segnale di uscita y(t) deve essere anch esso periodico (eventualmente una costante, o pari a zero). La densità spettrale di potenza G y (f) ci dice che y(t) è una costante diversa da zero, in quanto il contributo alla frequenza zero è non nullo. Ci rimane da stabilire il segno (si ricordi che i coefficienti nello spettro di potenza sono in modulo quadro, quindi y(t) potrebbe anche essere una costante negativa). Guardando la Fig. 3. è evidente che il valore medio di x(t) è positivo, e anche la H() è positiva, da cui si deduce che y(t) = /4 = +/
3.3 Campionamento Esercizio Il segnale ( x(t) = + sin 5t + π ) 6 deve essere campionato e ricostruito esattamente dai suoi campioni quale è il massimo intervallo ammissibile tra due campioni? quale è il numero minimo di campioni necessari per ricostruire s di segnale? Come quasi sempre avviene, gli esercizi sul campionamento richiedono di lavorare nel dominio della frequenza per calcolare la banda unilatera del segnale da campionare. Lo spettro di x(t) vale X(f) = δ(f) + j [ ] e j π 6 δ(f f ) + e j π 6 δ(f + f ) con la sostituzione f = 5/(π), e quindi f = 79.6 Hz. Poichè f è anche chiaramente la banda unilatera del segnale x(t) si ha che la minima frequenza di campionamento vale f c min = f = 59.5Hz e quindi il massimo intervallo tra due campioni risulta c max = f c min 6ms La minima frequenza di campionamento corrisponde a 59.5, quindi ad almeno 6 campioni di segnale in un secondo.
Esercizio 3 Si consideri il segnale con: y(t) = x(t) + x (t) + x (t) x (t) = x(t) cos(πf t) x (t) = x(t) cos(nπf t) e x(t) strettamente limitato in banda a B = KHz. y(t) deve essere campionato in modo tale da poter essere ricostruito a partire dai suoi campioni. La frequenza di campionamento e f c = Khz. Determinare i valori di f e N affinchè: i segnali di ingresso siano spettralmente separati si abbia perfetta ricostruzione di y(t) N sia massimo Il segnale da campionare si può scrivere come segue: y(t) = x(t) [ + cos(πf t) + cos(nπf t) ] Ne calcoliamo lo spettro Y (f) al fine di valutare la banda unilatera, necessaria per calcolare la minima frequenza di campionamento secondo il teorema di Nyquist. [ Y (f) = X(f) δ(f) + δ(f f ) + δ(f + f ) + δ(f Nf ) + ] δ(f + Nf ) = X (f) + X(f f ) + X(f + f ) + X(f Nf ) + X(f + Nf ) Si hanno spettri separati se f B, quindi f KHz. Si ha perfetta ricostruzione se f c B y = (Nf + B). La massimizzazione di N deve quindi rispettare le condizioni: { f KHz Nf + B fc La seconda condizione diventa N f c f B f = 4 f. Quindi il massimo di N si ottiene in corrispondenza del minimo di f, ovvero KHz. Questo dà N max =.
Unità 4 4. Densità di probabilità, valore atteso e funzione di autocorrelazione di processi casuali Esercizio 4 Si consideri lo schema di Fig. 4., dove x(t) = A cos(πf t + θ) e θ è una costante. Si consideri il parametro A come una variabile casuale uniformemente distribuita tra e. Calcolare la media di insieme di y(t) e valutare per quali istanti di tempo tale media è massima. x(t) y 45 o x y(t) Figura 4. Il processo y(t) si può scrivere come prodotto di x(t) per una funzione q(t) che assume valore o a seconda del segno di x(t): y(t) = q(t) = { x(t) < x(t) x(t) = x(t)q(t) { x(t) < x(t) Si noti che, mentre il valore di x(t) dipende dalla variabile casuale A, il suo segno è deterministico, dal momento che A non può diventare negativa e 3
quindi cambiare il segno della funzione coseno. Pertanto la media di y(t) si può scrivere come E {y(t)} = E {x(t)q(t)} = q(t)e {x(t)} = E [A] cos (πf t + ϑ) q(t) Poichè la media di A vale, si ottiene che E{y(t)} = cos (πf t + ϑ) q(t). Il massimo dell attesa si ottiene quindi per cos (πf t + ϑ) =, che implica πf t + ϑ = kπ. Quindi gli istanti di tempo in cui la media è massima sono t m = k f ϑ πf 4
Esercizio 5 Si consideri il segnale y(t) = x(t) cos(ω t) z(t) sin(ω t) dove x(t) e z(t) sono processi casuali a media nulla, indipendenti e con la stessa autocorrelazione R x (t, t ) = R z (t, t ). Determinare R y (t, t ) e verificare che se R x (t, t ) = R x (t t ) allora R y (t, t ) = R y (t t ). Il calcolo della funzione di autocorrelazione di y(t) segue i seguenti passi: R y (t, t ) = E {y(t )y(t )} = E {[x(t ) cos(ω t ) z(t ) sin(ω t )] [x(t ) cos(ω t ) z(t ) sin(ω t )]} = E {x(t )x(t )} cos(ω t ) cos(ω t ) + E {z(t )z(t )} sin(ω t ) sin(ω t ) + E {x(t )z(t )} cos(ω t ) sin(ω t ) E {x(t )z(t )} cos(ω t ) sin(ω t ) A questo punto si nota che E {z(t )z(t )} = R z (t, t ): R y (t, t ) = R z (t, t ) [cos(ω t ) cos(ω t ) + sin(ω t ) sin(ω t )] = = R z (t, t ) cos [ω (t t )] = R x (t, t ) cos [ω (t t )] Se R x (t, t ) = R x (t t ) allora R y (t, t ) = R x (t t ) cos [ω (t t )] e si vede chiaramente che la funzione di autocorrelazione R y (t, t ) dipende solo da t t e non separatamente da t e t. 5
Esercizio 6 Si consideri un processo casuale x(t) stazionario con autocorrelazione nulla per τ > e positiva per τ <. Si costruisca un processo casuale y(t) = x(t)+x(t ) e da questo si estraggano due campioni nei due istanti t e t + A. rovare il minimo valore di A tale per cui il coefficiente di correlazione delle variabili casuali così ottenuto sia nullo. Usando la notazione y = y(t ) e y = y(t + A), imporre che il coefficiente di correlazione sia nullo significa risolvere la seguente equazione: ρ y,y = E {y y } E {y } E {y } σ y σ y = E {y y } E {y } E {y } = Dal momento che x(t) è stazionario si può scrivere E {y } = E {x(t ) + x(t )} = E {x(t )} + E {x(t )} = µ x Dal momento che l autocorrelazione di x(t) tende a zero per τ, si può assumere che il processo x(t) sia a media nulla. Questo implica ovviamente che anche y(t) sia a media nulla, e quindi le variabili casuali y e y sono a media nulla: E {y } = E {x(t ) + x(t )} = µ x µ x = lim τ R x(τ) = E {y } = E {y } = Il coefficiente di correlazione cercato vale quindi E {y y } = E {y(t )y(t + A)} = = E {[x(t ) + x(t )] [x(t + A) + x(t + A )]} = E {x(t )x(t + A)} + E {x(t )x(t + A )} +E {x(t )x(t + A)} + E {x(t )x(t + A )} = R x (A) + R x (A ) + R x (A + ) + R x (A) = R x (A) + R x (A ) + R x (A + ) Bisogna quindi trovare il minimo valore di A tale per cui questo coefficiente di correlazione vale zero. Si noti che il coefficiente di correlazione, visto in funzione di A, contiene tre termini: uno centrato intorno all origine 6
(R x (A)) e due repliche intorno a ±. Dal momento che R x (A) è a supporto limitato in (, ), si danno due casi. Se > (quindi > ) il valore minimo è A = perchè le repliche sono separate da R x (A); altrimenti il valore minimo è A = +. I due casi sono mostrati in Fig. 4.. E[yy] E[yy] A + A Figura 4. 7
Esercizio 7 Un processo casuale x(t) gaussiano stazionario a media nulla viene moltiplicato per un onda quadra r(t) che assume alternativamente i valori + e ogni secondi. Calcolare: La densità di probabilità del segnale y(t) così ottenuto La probabilità P {y(t) > y(t + a)} nei due casi a = e a = Si definisca il processo z(t) = y(t) y ( t ) e si verifichi se z(t) è stazionario del primo ordine. In ogni istante di tempo la variabile casuale estratta da x(t) è una variabile gaussiana moltiplicata per + o -. Quindi questa variabile è ancora gaussiana. Il suo valor medio e varianza valgono E [y(t)] = E [r(t)x(t)] = r(t)e [x(t)] = σ y = E [ y (t) ] = r (t)e [ x (t) ] = σ x Questi parametri quindi specificano completamente la densità di probabilità del processo y(t). La probabilità richiesta vale P {y(t) > y(t + a)} = P {y(t) y(t + a) > } = P {z a (t) > } con z a (t) = y(t) y(t+a). Poichè z a (t) è ancora gaussiano a valor medio nullo si ha che P {z a (t) > } = a Definiamo ora il processo z(t) = y(t) y(t /). Per la stazionarietà del primo ordine si ha che E {z(t)} =. La varianza vale σ z = E { z (t) } = E { y (t) } + E { y (t /) } E {y(t)y(t /)} = σ y E {y(t)y(t /)} E {y(t)y(t /)} = E {r(t)r(t /)x(t)x(t /)} = E {x(t)x(t /)} r(t)r(t /) = r(t)r(t /)R X (/) 8
Chiaramente la varianza dipende dal tempo, quindi z(t) non è un processo stazionario del primo ordine. 9
4. Processi casuali filtrati Esercizio 8 Sia dato un processo casuale x(t) = m x + n(t) dove m x è una costante e n(t) è un processo gaussiano stazionario bianco a valor medio nullo e densità spettrale di potenza N. In questo contesto x(t) rappresenta la tensione ai capi di un bipolo. Se ne vuole stimare il valor medio m x usando un voltmetro la cui risposta all impulso vale h(t) = u(t) τ e t τ. La lettura dello strumento vale pertanto v(t) = x(t) h(t), dove il simbolo significa convoluzione. Calcolare: valor medio, valor quadratico medio e varianza di v(t) la probabilità che v(t) sia compresa nell intervallo [.9m x,.m x ]. Il valore atteso di v(t) si calcola ricordando che il valore atteso di un processo all uscita di un sistema LI è dato dal valore atteso dell ingresso moltiplicato per la funzione di trasferimento valutata alla frequenza zero: E {v(t)} = E {x(t) h(t)} = E {x(t)} H() = E {x(t)} = in quanto = E {m x + n(t)} = E {n(t)} + m x = m x H(f) = a H() = a + jπf Per calcolare il valore quadratico medio la strada più semplice è di passare attraverso la funzione di autocorrelazione, che si può calcolare come antitrasformata di Fourier della densità spettrale di potenza G v (f) del processo di uscita v(t). L operatore di antitrasformata di FOurier sarà anche indicato con la notazione F. A sua volta, la G v (f) si calcola utilizzando la densità spettrale di potenza dell ingresso e la funzione di trasferimento del filtro LI. E { v (t) } = R v () = F {G v (f)} G v (f) = G x (f) H(f) Per calcolare la densità spettrale di potenza di x(t) si passa attraverso la sua funzione di autocorrelazione. 3
R x (τ) = E {x(t)x(t + τ)} = E {[m x + n(t)] [m x + n(t + τ)]} = da cui si ottiene che = E {n(t)n(t + τ)} + m x = R n (τ) + m x G x (f) = F {R x (τ)} = G n (f) + m xδ(f) = N + m xδ(f) Quindi la densità spettrale di potenza di v(t) vale G v (f) = ( N + m xδ(f) e il valore quadratico medio E { v (t) } = + ) H(f) = N H(f) + m xδ(f) G v (f)df = m x + N + H(f) df dove l ultimo integrale si risolve con l ausilio delle tavole degli integrali. Per quanto riguarda il calcolo della probabilità p = P (.9m x < v(t) <.m x ) è necessario conoscere la densità di probabilità del processo v(t). Si noti che x(t) è un processo gaussiano stazionario; poichè v(t) è ottenuto filtrando x(t) attraverso un sistema LI, v(t) à ancora gaussiano stazionario. La sua densità di probabilità è quindi gaussiana e non dipende dal tempo; essa è completamente determinata dal valor medio E[v(t)] = m x e dalla varianza σv = E[v (t)] E[v(t)]. La probabilità p vale quindi.mx p = e (x m v) σv dx.9m x πσv e si può esprimere tramite le funzioni di errore erf e erfc. 3
Esercizio 9 Un rumore gaussiano n(t) con densità spettrale di potenza G n (f) = N per f < B e nulla altrove passa attraverso un sistema lineare con risposta all impulso h(t) = δ(t) +.5δ(t ). Il segnale in uscita passa attraverso un sistema non lineare che ne fa il quadrato. Calcolare il valor medio dell uscita nel caso di B = 3 4. x(t) = n(t) h(t) = n(t) + n(t ) z(t) = x (t) = n (t) + 4 n (t ) + n(t)n(t ) Il valore atteso di z(t) vale [ E [z(t)] = E n (t) + ] 4 n (t ) + n(t)(t ) = σn+ 4 σ n+r n ( ) = 5 4 σ n+r n ( ) La funzione di autocorrelazione di n(t) è pari all antitrasformata di Fourier di G n (f). Dai dati dell esercizio sappiamo che G n (f) = N p B (f), quindi R n (τ) = F {G n (f)} = sin(πbτ) N πτ = N B sin(πbτ) πτb σn 3 = R n () = N B = N 4 R n ( ) = N B sin(πb ) = N ( πb π sin π 3 ) 4 E [z(t)] = 5 3 4 4 N N π = N ( 5 8 π = N π ) 3
Esercizio Un processo casuale n(t) stazionario ha una densità di probabilità del primo ordine uniforme nell intervallo ( A, +A), e spettro di potenza { N S n = per f B altrove Questo processo passa attraverso un sistema LI con funzione di trasferimento H(f) = + e jπf Il processo in uscita da tale sistema viene quindi elevato al quadrato. Sia m(t) il risultato di tale operazione. Determinare il valore di A Calcolare la media di m(t) nel caso in cui B = Possiamo determinare il valore di A imponendo che la varianza calcolata utilizzando la densità di probabilità del processo sia uguale a quella calcolata integrando la densità spettrale di potenza (si noti che il processo n(t) è a media nulla). σ n = + n f n (n)dn = A σ n = + +A A n dn = G n (f)df = N B A 6A n3 A = A 3 3 da cui A = N B. Per trovare un espressione per y(t) conviene lavorare nel dominio del tempo, notando che l antitrasformata di Fourier di H(f) contiene solo delle delta di Dirac. h(t) = F {H(f)} = δ(t) + δ(t ) Da cui il valore atteso cercato è y(t) = n(t) h(t) = n(t) + n(t ) 33
E {m(t)} = E { y (t) } = E { n (t) } + E { n (t ) } + E {n(t)n(t )} = E { n (t) } + E {n(t)n(t )} E {n(t)} = E { n (t) } = σ n = N B E {n(t)n(t )} = R n ( ) = F {G n (f)} τ= = N B sin(πb ) πb Per B = si ottiene R n ( ) = N sin(π) = π E {m(t)} = σ n = N B 34
Esercizio Un processo di rumore gaussiano bianco n(t), con densità spettrale di potenza costante e pari a N, passa attraverso un sistema lineare e tempoinvariante con funzione di trasferimento H(f) = + jπf Sia z(t) il processo all uscita di tale sistema. Determinare: la densità di probabilità di z(t) La probabilità P [z(t) >.5] la funzione di autocorrelazione di z(t), R z (τ) z(t) è ancora gaussiano, in quanto è ottenuto tramite trasformazione lineare di un processo gaussiano. Pertanto per determinarne la densità di probabilità dobbiamo calcolarne valore medio e varianza. E {z(t)} = E {n(t)} H() = σ z = E { z (t) } E {z(t)} = E { z (t) } = R z () = F {G z (f)} τ= G z (f) = G n (f) H(f) = N R z (τ) = N 4 e τ + (πf) σz = R z () = N 4 P [z(t) >.5] = ( ) erf = ( ) σ z erf N 35