L misur: Misurre u grdezz fisic sigific stilire qute uità di misur soo coteute ell grdezz stess. L misur di u grdezz si dice dirett qudo si effettu per cofroto co u grdezz d ess omogee scelt come cmpioe di riferimeto. L misur di u grdezz si dice idirett qudo il suo vlore è otteuto ttrverso u clcolo mtemtico, dll misur di ltre grdezze. ( p.es. clcolo dell re di u cerchio oto il rggio ). Strumeti di misur Gli strumeti di misur si distiguoo i logici e digitli, ei primi l misur viee lett su u scl grdut, egli ltri come sequez di umeri. Strumeto logico Strumeto digitle Le pricipli crtteristiche degli strumeti di misur soo: L protezz ovvero il tempo di rispost dello strumeto L sesiilità ovvero l più piccol vrizioe dell grdezz che lo strumeto può misurre L portt ovvero il più grde vlore dell grdezz che lo strumeto può misurre Errori di misur L fisic o è u sciez estt come l mtemtic, qudo scrivimo u relzioe tipo: A = B itedimo che A è ugule B meo di u certo errore che o è possiile elimire. Perché ci soo gli errori? U grdezz fisic deve essere misurt, m lo strumeto di misur o è perfetto, p. es. se devo misurre l lughezz di u tvolo uso il metro co tcche l millimetro, ovvero l sesiilità dello strumeto è 1 mm. Il risultto dell misur o può vere u precisioe migliore di u millimetro. Se desidero u mggiore precisioe dovrò usre u ltro strumeto, m o potrò comuque vere u precisioe mggiore dell sesiilità del uovo strumeto.
Ovvimete c è di più, posso dire co esttezz dove iizi o fiisce il tvolo? No! Il ordo del tvolo o è esttmete defiito, gli elettroi delle molecole sul ordo o ho u triettori defiit. L errore di misur o è quidi u crtteristic esclusiv dello strumeto di misur, m che dell oggetto che si vuole misurre. Errori sistemtici ed ccidetli: Gli errori sistemtici soo dovuti llo strumeto o l metodo di misur e producoo errori sempre i difetto o i eccesso. Gli errori ccidetli soo csuli e foriscoo errori si i difetto che i eccesso. Il risultto dell misur Dopo ver eseguito u serie di misure di u grdezz fisic, i dti possoo essere disposti i u tell e/o i u grfico. Si determi quidi il risultto dell misur che deve essere espresso ell seguete form: x = vlore medio di x errore ssoluto di x Gli errori ho sempre sego positivo. Vlore medio: Il vlore medio di x è idicto co < x > Se x i è l i-esimo dto il vlore medio di x è l medi ritmetic degli x i : x1 x... x x o ell form revit 1 xi i 1 x Errore ssoluto: L errore ssoluto di x è idicto co x ed è il vlore più grde tr l sesiilità dello strumeto e l semidispersioe S d (x) = x mx x mi. L misur è quidi espress d x = < x > x, ciò sigific che il vlore proile di x è compreso ell itervllo x x x x x < x > < x > x < x > + x
Errore reltivo: L errore reltivo è defiito come rpporto tr l errore ssoluto ed il vlore medio x E r( x ) ed è u umero dimesiole. x L errore reltivo percetule è defiito come E r % (x) = E r (x) 100 %. L errore reltivo è più sigifictivo dell errore ssoluto e determi l precisioe dell misur, iftti misurdo u lughezz L co uo strumeto di sesiilità 1 mm, se L = 1 m E r (L) = 0.001 ovvero l errore è di u prte su mille, m se L = 10 m E r (x) = 0.0001 co u errore di u prte su diecimil. Co lo stesso errore ssoluto l secod misur è più precis. Errore sttistico: Se il umero di misure è molto grde ( dicimo dlle 50 i su ), le misure soggette d errori di tipo ccidetle si distriuiscoo su u curv di Guss dett gussi. Per determire l errore ssoluto si procede i questo modo: si cosidero gli scrti x i < x > ovvero di quto devi l i-esim misur dl vlore medio, quidi si sommo tutti gli scrti. Visto che questi possoo essere si positivi che egtivi, u somm dirett ccelleree i prte gli errori per cui si f u somm dei qudrti degli scrti e se e prede il vlore medio: qudrto dell errore ssoluto = Si ritor quidi ll errore ssoluto co u rdice qudrt i1 ( x x) i i1. ( x x) Quest grdezz è l errore qudrtico medio che co mggior rigore è espresso dll relzioe i i1 ( x x) i 1 Se è dvvero molto grde, l limite ifiito, l errore qudrtico medio prede il ome di devizioe stdrd lim. L equzioe dell curv gussi è: y 1 e ( x x)
l distz tr i flessi dell curv ed il vlore medio è proprio l devizioe stdrd Nell itervllo < x > cdoo il 68.3 % delle misure ftte, metre ell itervllo < x > 3 e cdoo il 99.7 %. Esercizio: Dt l serie di misure di lughezz espresse i metri co sesiilità s = 0.01 dm.31.34.39 4.58.35.31.38 3.87.36.3.38.35 Determire il vlore medio, l errore ssoluto, l errore reltivo e l errore reltivo percetule. Esprimere quidi il vlore dell misur. Izitutto otimo che l qurt e l ottv misur soo molto diverse dlle restti, ciò f supporre che queste misure sio ffette d grossoli errori, e quidi vo scrtte. Clcolimo il vlore medio: 1 3.49 x xi.349 dm 10 i 1 clcolimo l semidispersioe:. 39. 31 S d 0. 04 dm essedo l dispersioe più grde dell sesiilità dello strumeto predimo come errore ssoluto l dispersioe, E ( x ) x 0. 04 dm x l errore reltivo è: E r( x ) 0. 017 0. 0 x l errore reltivo percetule è: E E 100% % r% r il vlore dell misur è quidi x. 35 0. 04 dm determiimo l errore ssoluto come errore qudrtico medio, coviee preprre l tell seguete: x.31.34.39.35.31.38.36.3.38.35 x i < x > -0.039-0.009 0.041 0.001-0.039 0.031 0.011-0.09 0.031 0.001 ( x i < x > ) 0.00151 0.000081 0.001681 0.000001 0.00151 0.000961 0.00011 0.000841 0.000961 0.000001
A questo puto clcolimo l errore qudrtico medio ( xi x) i1 0.00769 1 9 0.09 0.03 dm Quidi l misur potree essere dt come x. 35 0. 03 dm, tuttvi il umero di misure, el ostro cso 10, o è molto grde e quidi ci v ee che l prim vlutzioe. Propgzioe degli errori: Dte due misure, i geerle è possiile dover eseguire delle operzioi mtemtiche tr queste, il risultto segue l legge dell propgzioe degli errori. Le dimostrzioi che seguoo si riferiscoo misure positive, > 0 e > 0. somm lgeric [ ] [ ] = [ + ] dimostrzioe per l somm: misur mssim mx = + + + misur miim mi = + semidispersioe mx mi = + per cui ( + ) = + dimostrzioe per l differez: misur mssim mx = + [ ] misur miim mi = [ + ] semidispersioe mx mi = + per cui ( ) = + prodotto: [ ] [ ] = [ + ] dimostrzioe: misur mssim mx = [ + ] [ + ] misur miim mi = [ ] [ ] semidispersioe mx mi = + per cui ( ) = + divisioe: = ( ) = + dimostrzioe: misur mssim mx= + misur miim mi = + semidispersioe mx mi = + per cui ( + ) =
I prticolre per il prodotto e per l divisioe si h: ( ) ( ) = + d cui ( ( + ) = d cui ) = = + + Gli errori reltivi per il prodotto o l divisioe si sommo. ovvero E r ( ) = E r () + E r (). ovvero E r ( ) = E r () + E r (). potez: [ ] = ( ) = 1 dimostrzioe: ( ) =, ( 3 ) = ( ) = ( ) + = + = 3 ecc, i geerle ( ) = 1 d cui ( ) = () Nel cso di misure egtive occorre egli errori cosiderre i moduli delle misure ( gli errori o possoo essere egtivi ), i geerle si ho le formule segueti: somm: differez: prodotto: d cui divisioe: d cui potez: 1 d cui i geerle l propgzioe degli errori è l seguete: m p m p c c m p c c
Esempio: dto il cilidro di volume V =.15 0.0 cm 3 ed ltezz h = 3.4 0.1 cm ricvre il rggio V = r h r = V h Il rggio può essere espresso come l errore sul rggio è : = 0.448647 cm 1 r V h 1 1 r 1 V 1 h 0. 00465 0. 0147 0. 0 r V h r e r r 0. 449 0. 009 cm r l errore sulle costti o si clcol perché l vrizioe di u costte è ull. Esercizio: dte le misure = 3.1 0.01 cm, = 4.8 0.03 cm, c = 6.47 0.0 cm, determi il vlore dell grdezz: S c 1. 16 0. 04 cm ; 0. 04 1. 3456 1. 3456 1. 3456 1. 3456 1. 3456 0. 09 1. 35 0. 09 cm 1. 16 0. 0 c 6. 47 6. 47 41. 8609 0. 588 41. 9 0. 3 cm, 6. 47 0. 03 4. 8 4. 8 18. 3184 0. 568 18. 3 0. 3 cm 4. 8 c 60. 0. 6 cm, 1 0. 6 c 60. 60. 7. 758 0. 038 7. 76 0. 04 cm 60. Quidi 1. 35 0. 09 1. 35 1. 35 0. 09 0. 04 S 0. 1739 0. 01 0. 17 0. 01 cm 7. 76 0. 04 7. 76 7. 76 1. 35 7. 76