Introduzione ll Fisic Ripsso di mtemtic Grndezze fisiche Vettori
L fisic come scienz sperimentle Studio di un fenomeno OSSERVAZIONI SPERIMENTALI MISURA DI GRANDEZZE FISICHE IPOTESI VERIFICA LEGGI FISICHE Relzioni mtemtiche tr grndezze fisiche In fisic si us un linguggio mtemtico!!!
Alger dei numeri reltivi Numeri reltivi: numeri preceduti dl segno + o dl segno segno, modulo o vlore ssoluto (si indic con ) Due numeri reltivi sono concordi se hnno lo stesso segno es: ( ; 7, ; 600); discordi se hnno segno contrrio es: (+7,6 ;,); opposti se hnno stesso modulo e segno contrrio es: (, ; +,) reciproci (inversi) se hnno lo stesso segno e modulo inverso es: ( / ; /) Chimimo espressione lgeric un espressione mtemtic che contiene numeri reltivi numeric: letterle:
... dove le lettere rppresentno In un espressione mtemtic un generico numero intero (0; ; ; ;...) intero reltivo (.. ; -; 0; ;...) rele (-/; 6,; 7; e,7...) In un legge fisic un grndezz fisic vlore numerico + unità di misur m (,7 kg; 8 mg; l;...) t ( 8,7 ms; h;,7 giorni;...) Stess lger!!
Elementi di mtemtic utilizzti in questo corso Frzioni Proprietà delle potenze Potenze di dieci e notzione scientific Mnipolzione, semplificzione di espressioni lgeriche Soluzione di equzioni di primo grdo Proporzioni Conversioni tr unità di misur Percentuli Funzioni e loro rppresentzione grfic Angoli, elementi di trigonometri Elementi di geometri
Somm lgeric Nell lger dei numeri reltivi, un espressione contenente ddizioni e sottrzioni numeriche e letterli z + 8y viene sempre considert come un somm lgeric, ovvero intes come somm di numeri reltivi: + + ( z) + ( + ) + ( 8y) + ( ) Not: per lo scioglimento delle prentesi in un espressione si elimin l prentesi se precedut dl segno + + ( x y + z) x y + z si elimin l prentesi cmindo segno tutti i fttori l suo interno se precedut dl segno - ( x y + z) x + y z
Le operzioni Addizione (somm) ( ) + ( 6) 8 ( ) + ( + 9) Addendi concordi:somm dei moduli stesso segno Addendi discordi:differenz dei moduli segno dell ddendo di modulo mggiore Sottrzione (differenz) ( ) ( 9) ( ) + ( + 9) + Si ottiene sommndo l primo numero (minuendo) l opposto del secondo (sottrendo) Moltipliczione (prodotto) ( )( )( 7) 8 Il modulo è il prodotto dei moduli Il segno è positivo -> numero pri di segni negtivo -> numero dispri di segni Divisione (quoziente o rpporto) ( ) : ( + 7) ( ) + 7 Si ottiene moltiplicndo il dividendo per il reciproco del divisore
Esempi: 6 + : : 6 7 [ ]. R [ ]. R
Elementi di mtemtic: Frzioni Un frzione è un rpporto tr due numeri e Frzioni equivlenti numertore Dividendo o moltiplicndo numertore e denomintore per un fttore comune, l frzione non cmi. x x Es: Riduzione i minimi termini 6 6 denomintore sono frzioni equivlenti Esprimere un frzione in un form equivlente con vlori minimi del numertore e denomintore (divisione per tutti i fttori comuni) 78 7 6 0 7
Frzioni Somm/differenz di frzioni: d c d d c + + d c d d c Es: 7 6 + + 9 6 + + ( minimo comune multiplo di 6 e ) Moltipliczione di due frzioni d c d c Es: 6 6 0 0 9 0 9 Es: c d d c Divisione di due frzioni: Inverso di un frzione: Es: /
Frzioni / e mggiore di /6? Equivlentemente, /-/6 > 0? Confronto tr frzioni Per confrontre due frzioni e opportuno esprimerle in form equivlente con denomintore comune Il minimo comune denomintore tr e 6 e 9 0 < 6 6 6 9 0 < 0 < 6 Not : > 6
Elevmento Potenz Proprietà delle potenze: ( volte) se, esponente un potenz di esponente pri e`sempre positiv; un potenz di esponente dispri e` negtiv se l se e negtiv. n + m (nessun prticolre proprietà) + ( ) + ( ) dipende! n m n+m ( ) ( ) ( n ) m n*m ( ) ( ) ( ) 6 n / m n-m / ( )/( ) n n ( ) n ( ) M ttenzione: / ( )/( ) / - - / ( )/( ) 0 - Perchè l regol continu vlere, occorre definire -n / n potenz esponente negtivo 0 potenz esponente nullo
Esempi: ( )( ) + ( + ) ( ) 8 ( ) R. 8 [ R. 8] [ R. 6] [ R. 6] [ R. 9] [ R. 6]
Rdice di un numero E` l operzione invers dell elevmento potenz: n è quel numero l cui potenz n-esim è ugule d : ( n ) n n n ( n volte) rdicndo, n indice l rdice di indice pri di un numero negtivo non esiste l rdice di indice dispri di un numero esiste ed è unic 8 ; 7 esistono sempre due rdici di indice pri di un numero positivo ± Not: un potenz con esponente frzionrio è ugule d un rdicle che h per indice il denomintore dell frzione m n n/m Inftti n/m n/m n/m (m volte) mn/m n Esempio: 6 6/ (**)*(**) (**) **
Esempi: 6 [ R. ] ( ) ( ) R. ± [ R. ssurdo ] 0 0 0 [ R. 00]
Proprietà dei rdicli: si verificno fcilmente utilizzndo potenze con esponenti frzionri! n n ; 0 0 ; np mp n m d cui si h n n n n n c n c (prodotto di rdicli dello stesso indice) n n n : : (quoziente di rdicli dello stesso indice) ( ) k n n k (potenz di un rdicle) m n m n (rdice di un rdicle) n n n se >0 n n se n è pri e <0
Monomi e Polinomi Monomio: un qulunque espressione lgeric che si present sotto form di prodotto di fttori numerici e letterli Coefficiente Grdo nell letter Prte letterle identici se hnno stesso coefficiente e stess prte letterle ; ; 0,6 ; 6 simili se hnno l stess prte letterle e diverso coefficiente 8 c ; 7 c ;, Polinomio: è un somm lgeric di più monomi non simili c ; ; mn + n ; + 9 inomio trinomio
Le operzioni lgeriche con monomi si eseguono seguendo le regole viste in precedenz, e ricordndo che solo monomi simili possono essere sommti lgericmente Esempi: + ( ) ( 6 ) 8 : c 9 c ( ) c [ R ]. [ ] R. 8 R. [ R c]. [ ] 6 R. 9 c
Il prodotto di due polinomi si ottiene come somm lgeric dei prodotti di ciscun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo. Esempi: ( )( + ) ( x + y)( x y) [ ] R. 6 [ ] R. x 7xy 0 y I clcoli possono essere semplificti utilizzndi i prodotti notevoli: ( ( + ± )( ) ) ± + ( ± ) ± + ± tringolo di Trtgli
Il quoziente di un polinomio per un monomio è ugule ll somm lgeric dei quozienti di ciscun termine del polinomio per il monomio divisore. Esempi: ( ) ( ) : 8 [ ] R. : 9 [ ] 9. R
Il quoziente di due polinomi non è in generle risoluile. Tuttvi, è spesso possiile semplificre un frzione lgeric rccogliendo ed eliminndo i fttori moltiplictivi comuni tutti i termini del numertore e del denomintore (scomposizione in fttori) x x x 9 78 + + + + 6 6 y x y x Esempi: + x x R. R. 6 R. + + + + + y con resto oppure 6 6. y x y x R
Le frzioni di frzioni si risolvono fcilmente ricordndo le proprietà viste finor Esempi: 8 8 8 7 9 7 9
Equzione relzione di uguglinz tr due memri verifict per prticolri vlori di un vriile incognit x + 0 Equzioni x -/ Proprietà: Sommndo (sottrendo) un stess quntità entrmi i memri Moltiplicndo (dividendo) per un stess quntità entrmi i memri il risultto non cmi e d qui deriv il metodo di risoluzione: x + 0 x + 0 ; x - x/ -/ ; x -/ Esempio: x - 6 0 x 6 + 6 0 + 6 ; x 6 x/ 6/ ; x
Esempi: risolvere le equzioni rispetto lle vriili evidenzite ( x + ) + x ( ) + x x + c [ R. x ] [ R. x ] R. + c ( x) x ( x + ) [ R. impossiile] ( x) x ( x + ) [ R. sempre verificto ]
: c:d d c Proporzioni Prodotto dei medi prodotto degli estremi Null di mgico: sono solo normli equzioni! / c/d c/d c d/ d/c d c/ Conversione di unità di misur Es. Prezzo in lire Prezzo in euro N lire 96.7 lire x euro Prezzo in euro Prezzo in lire Neuro x euro 96.7 lire x x N lire euro 96.7 lire N Neuro 96.7 lire euro 96.7 euro N 0.0006 N 96.7 lire euro Fttore di conversione rpporto tr due unità di misur
Esempio: risolvere usndo le proporzioni Medinte perfusione intrvenos vengono somministrte 0 gocce l min di soluzione fisiologic (0 gocce mlitro). Dopo 0 min, qunti mlitri di soluzione sono stti somministrti? [ R. 7 ml]
Potenze di dieci e notzione scientific 0 (si legge dieci ll quint ) è ugule moltiplicto per 0 *00000 00000 0 - (si legge dieci ll meno ) è ugule diviso per 0 /00000 0.0000 è ugule.0 spostndo l virgol destr di posti è ugule.0 spostndo l virgol sinistr di posti Notzione scientific (form esponenzile) Si us nei clcoli scientifici per esprimere numeri molto grndi e molto piccoli prte numeric numero compreso tr e 0, 0-7 prodotto si usno nche i simoli e potenz di 0 l esponente rppresent il numero di posti decimli di cui occorre spostre l virgol
Esempi: convertire d notzione numeric scientific notzione numeric ordinri (o vicevers) 0,00 97000 8,6 0, 0 7 [ R. ] -, 0 [ R. ] 9,7 0 [ R. 8600 ] [ R. 0,000000] Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente operzioni complicte, con risultti estti o non lontni dl risultto vero. 0,0000 0,000 0,0 000 60 0, 7987 70
Equzioni nell Fisic Relzione di uguglinz tr due memri tutto ciò che è o memro (numeri + unità di misur) deve essere ugule tutto ciò che è o memro Es. Are di un rettngolo: A (0 cm)*( m) 0 cm*m (d evitre!) 0 cm * 00 cm 000 cm 000 cm NO! 0. m * m 0. m 0. m NO! A 0 cm, m Equivlenze tr unità di misur
Equivlenze tr unità di misur Occorre conoscere il fttore di conversione tr le diverse unità di misur Es. Velocità km/h m/s m/s km/h km/h 000 m / 600 s m/s 0,00 km / (/600) h 0,8 m/s,6 km/h n km/h n 0,8 m/s n m/s n,6 km/h Velocità di un tlet dei 00 m: di un utomoile: dell luce: 0 m/s 0.6 km/h 6 km/h 0 km/h 0 0,8 m/s,6 m/s 00000 km/s 0 8 m/s 0 8,6 km/h,08 0 9 km/h Ovvimente il fttore di conversione inverso è l inverso del fttore di conversione! Es. 0,8 /,6
Esempi: convertire le seguenti grndezze nelle unità di misur indicte in/min in cm/s kg/m in g/cm h 7 0 in min
Esempi: Percentule Metodo comodo per esprimere vrizioni (umenti o diminuzioni) rispetto un situzione not % /00 0-0.0 n % n/00 0 - n 0.0 n % di 0 /00 0 0,0 0, 0% di 0000 0,0 0000 000 0% di 0,00 0,0 0,00 0-0 - 6 0-0,0006 00% di 000 000 000 (rddoppire umentre del 00% pssre l 00 %) Per mille : /000 0.00 0.% Prte per milione : ppm /000000 0.00000 0.000% 0.00
Attenzione: l percentule e sempre reltiv ll grndezz cui si riferisce! Esempi: 0% di 000 grmmi (0.0 000) grmmi 00 grmmi Aumentre un quntità Q del %: Q Q + %Q Q + 0,0 Q Q ( + 0,0),0 Q Diminuire un quntità Q del %: Q Q - %Q Q - 0,0 Q Q ( - 0,0) 0,9 Q Soluzione di un sostnz in cqu l % in volume: d es. in litro di soluzione, 90 cm d cqu e 0 cm di soluto in peso: d es. in kg di soluzione, 90 g d cqu e 0 g di soluto
Superfici e volumi Rett [L] Pino [L] Spzio [L] V (m L (m) S (m ) ) L re dell superficie di un corpo si misur sempre in m, cm, Il volume (o cpcità) di un corpo si misur sempre in m, cm, c S V c r S π r V (/) π r r l S π r V π r l In generle: S se ltezz V re se ltezz Attenzione lle conversioni tr unità di misur! m ( m) (0 cm) 0 cm 0000 cm m ( m) (0 cm) 0 6 cm 000000 cm cm ( cm) (0 - m) 0 - m 0.000 m cm ( cm) (0 - m) 0-6 m 0.00000 m l dm ( dm) (0 - m) 0 - m (0 cm) 0 cm
ngolo giro ngolo pitto ngolo retto α R Angolo pino α s 60 π rd 80 π rd 90 π/ rd Unità di misur grdi, minuti, secondi 60' ' 60" es: 7' 8" rdinti lunghezz rco s R Per convertire tr grdi e rdinti si può utilizzre l semplice proporzione x rd : y grdi π : 80 Esempio: convertire 60 o in rdinti
Tringolo rettngolo Teorem di Pitgor c + c c Esempio: Csi prticolri c 0 o 60 o c c
Funzioni Funzione relzione univoc tr due grndezze vriili vriile dipendente yf(x) vriile indipendente Definire l funzione yf(x) signific stilire come vri l vriile dipendente y l vrire dell vriile indipendente x. L funzione che leg le due grndezze X ed Y può essere rppresentt grficmente ttrverso un curv in un pino crtesino Esempi: yx yx vriile dipendente Y 0 vriile indipendente Assi Crtesini X
Attenzione: Un relzione di dipendenz e un funzione se per ogni vlore dell vriile indipendente x esiste uno e un solo vlore dell vriile dipendente y Esempio: person dt di nscit SI NO person trg uto NO SI y y?? x n y n SI x n y n NO SI x NO x Un funzione e invertiile se ogni vlore dell vriile dipendente y corrisponde uno e un solo vlore dell vriile indipendente x.
Le funzioni dell Fisic o grdo y rddoppi l rddoppire di x y si dimezz proporz.dirett proporz.invers s v t vs/t λ c T λ c/f F m V R I s v s s v v/ t t Rett t t t Iperole t
o grdo y qudruplic l rddoppire di x y si riduce ¼ proporz.dir. qudr. proporz.inv. qudr. s ½ t F g G m m /r E k ½ m v F e K q q /r s s F F s t t Prol t ¼F r r r Proporz.inv.qudr
Funzioni dipendenti dl tempo Vst clsse di fenomeni dell Fisic (e dell vit quotidin) Tempo vriile indipendente prmetro del moto Moti: Oscillzioni: Decdimenti: ss(t), vv(t), (t) s(t) A sin(ωt) n(t) n 0 e -λt