Algebra Lineare, Geometria Affine e Euclidea.

Formulario Algebra Lieare, Geometria Affie e Euclidea c 2004 M Cailotto, Vedi ota fiale v0304 commeti a maurizio@mathuipdit Corpi umerici Defiizioe U corpo C è u isieme dotato di due operazioi biarie, idicate come somma +:C C C e prodotto o più spesso ulla: C C C, verificati le segueti proprietà: C co la somma è u gruppo commutativo, cioè: a+b+c=a+b+c per ogi a,b,c C; esiste 0 C zero tale che a+0=a=0+a per ogi a C; per ogi a C esiste a C detto opposto di a, scritto a tale che a+a =0=a +a; a+b=b+a per ogi a,b C; C {0} co il prodotto è u gruppo, cioè: abc=abc per ogi a,b,c C; esiste 1 C uo tale che a1=a=1a per ogi a C; per ogi a C diverso da 0 esiste a C detto iverso di a, scritto a 1 tale che aa =1=a a; il prodotto è distributivo rispetto alla somma: ab+c=ab+ac per ogi a,b,c C Il corpo si dice commutativo se il prodotto è commutativo; spesso u corpo commutativo di dice u campo I u campo vale la formula del biomio di Newto: a+b = i i=0 a i b i ove N e i =! i! i! Ua fuzioe tra due corpi si dice u morfismo di corpi se rispetta le operazioi di somma e prodotto dei due corpi U corpo si dice ordiato se i esso è defiita ua relazioe d ordie soddisfacete alle segueti proprietà: se a b allora a+c b+c per ogi c C; se a b e c 0 allora ac bc Dato u corpo ordiato possiamo defiire l isieme degli elemeti positivi P C come P ={a C :a>0}; allora P gode delle segueti proprietà: per ogi c C o ullo si ha che o c P oppure c P e o etrambe; P è chiuso rispetto alla somma e al prodotto dei suoi elemeti Viceversa, dato u isieme P co le proprietà elecate, esiste u uico ordie su C per cui quello sia l isieme dei positivi: a b se e solo se a b P I ogi corpo ordiato i quadrati soo positivi e i particolare 1>0 Di cosegueza u corpo ordiato è i isieme ifiito Campo razioale L isieme dei umeri razioali Q è il più piccolo corpo coteete l aello Z dei umeri iteri i modo che le operazioi i Q estedao quelle di Z È il quoziete di Z Z 0 per la relazioe di equivaleza defiita da a,b x,y se e solo se ay=bx i Z La classe di a,b si scrive a b, e le operazioi soo defiite come d usuale: a b + a b = ab +a b bb e a a b b = aa bb Campi fiiti fodametali L isieme quoziete Z/pZ a b se e solo se a b è divisibile per p, co le due operazioi ereditate da Z, è u corpo se e solo se p è u umero primo Si idica co F p ed è l uico corpo fiito co p elemeti a meo di isomorfismo di corpi Per ogi x F p si ha x p =1 e x p 1 =x Caratteristica dei corpi Per ogi corpo C vi è u uica mappa Z C defiita madado 1 di Z ell 1 di C e rispettado la somma L atimmagie i Z dello zero di C: cotiee solo lo zero; i tal caso la fuzioe è iiettiva, il corpo C cotiee ua copia di Z e duque di Q, e C si dice di caratteristica zero; cotiee tutti i multipli di u fissato primo p; i tal caso la fuzioe si fattorizza attraverso ua mappa iiettiva Z/pZ C, il corpo C cotiee ua copia di Z/pZ, e C si dice di caratteristica positiva p I u corpo di caratteristica p si ha che a+b p =a p +b p I corpi di caratteristica 0 soo sempre isiemi ifiiti; per ogi 1 esiste ed uico a meo di isomorfismi u corpo di caratteristica p co esattamete p elemeti ma o è Z/p Z Campo reale L isieme R dei umeri reali è il completameto ordiale del corpo dei umeri razioali Q; l uico automorfismo di corpo di R è l idetità Campo complesso I umeri complessi z C soo espressioi z=a+ib, ove a=rz R si dice la parte reale di z, metre b=iz R si la parte immagiaria di z Quidi z=rz+ iiz per ogi z C La somma è defiita per compoeti ie a+ib+a +ib =a+a +ib+b e il prodotto è defiito poedo i 2 = 1 ie a+iba +ib =aa bb +iab +a b coiugazioe Se z è u umero complesso, defiiamo il suo coiugato z come Rz iiz cambiamo di sego la parte immagiaria Abbiamo allora ua fuzioe C C che è l uico automorfismo di corpo o idetico di C Rispetta le operazioi di somma z+z =z+z e di prodotto zz =zz Ioltre, z=z se e solo se z R; e la coiugazioe è ua ivoluzioe z=z per ogi z, e quidi è la sua propria iversa orma La orma talvolta detta ache modulo è la fuzioe C R defiita per ogi z C dalla radice quadrata positiva del prodotto zz=rz 2 +Iz 2, che risulta u umero reale Proprietà: positività: z 0 per ogi z C e z =0 se e solo se z=0; moltiplicatività: zz = z z ; subaddittività: z+z z + z ; disuguagliaze sul quadrilatero: z z z z ; z+z 2 + z z 2 =2 z 2 + z 2 iversi Da z 2 =zz si ha z 1 = z z 2 = Rz iiz Rz 2 +Iz 2 per ogi z 0 Se z ha orma 1, l iverso coicide co il coiugato forme espoeziale e trigoometrica Si idica co S 1 circolo uitario del piao l isieme dei umeri complessi di orma 1 Se ζ S 1 allora ζ =cosϑ+isiϑ co ϑ R e si idica co e iϑ Si ha e iϑ e iϑ =e iϑ+ϑ e 1/e iϑ =e iϑ Ogi z C o ullo si scrive z=ρζ co ρ= z R >0 e ζ =z/ z S 1 ; duque z=ρe iϑ e ϑ si dice argometo di z formule di De Moivre Se z=ρe iϑ =ρcosϑ+isiϑ co ρ R >0, allora z =ρ e iϑ =ρ cosϑ+isiϑ; da questo si ottegoo le formule per le radici -esime di z: ρe i ϑ + 2πk = ϑ ρ cos + 2πk ϑ +isi + 2πk per i valori iteri di k compresi tra 0 ed 1 I particolare le radici -esime dell uità, ovvero le soluzioi dell equazioe X =1 i C, soo i umeri complessi e i 2kπ per k=0,1,, 1; essi soo i vertici del poligoo regolare co lati iscritto el cerchio uitario e u cui vertice sia 1 espoeziali e logaritmi complessi La fuzioe espoeziale complessa è data da e z =e a+ib =e a e ib =e a cosb+isib se z=a+ib Logaritmi complessi di z soo i umeri complessi w tali che e w =z e soo dati da logρ+iϑ+2kπ per k Z se z=ρe iϑ 0 teorema fodametale dell algebra Versioe complessa: ogi poliomio o costate a coefficieti complessi ammette almeo uo zero i C; e duque si fattorizza i fattori di primo grado Versioe reale: ogi poliomio o costate a coefficieti reali si fattorizza come prodotto di poliomi reali irriducibili che possoo essere di primo grado oppure di secodo grado e privi di radici reali, duque co due radici complesse 1 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

coiugate I particolare ogi poliomio reale di grado dispari ha almeo ua radice reale Radici di equazioi poliomiali Le equazioi poliomiali a coefficieti i u corpo commutativo di grado fio a 4 soo risolubili per radicali Secodo grado Il poliomio ax 2 +bx+c a 0 ha radici x 1,2 = b± b 2 4ac 2a se il campo o ha caratteristica 2; il termie =b 2 4ac si dice discrimiate dell equazioe e le radici soo el campo stesso solo se è u quadrato; duque el caso reale vi soo soluzioi reali solo se esso è ullo ua radice doppia o positivo due radici distite Terzo grado: formule di Cardao-Tartaglia Suppoiamo che il campo abbia caratteristica diversa da 2 e 3 Il geerico poliomio di terzo grado è ax 3 +bx 2 +cx +d a 0 Usado la sostituzioe di variabile X =Y 3a b, che permette di elimiare il termie di secodo grado, siamo ridotti a cercare le radici di u poliomio del tipo Y 3 +py +q Si usa la sostituzioe di Vièta Y =W p 3W che dà W 3 p3 27W 3 +q che poedo T =W 3 e moltiplicado per T ci riporta ad u poliomio di secodo grado T 2 +qt p3 27 Dalle formule risolutive otteiamo che t 1,2 = q 2 ± q 2 4 + p3 27 Se w è ua radice cubica di t 1, allora w = p 3w è radice cubica di t 2; possiamo scrivere le radici come y 1,2,3 =w 1,2,3 +w 1,2,3 dove w i soo le radici cubiche di t 1, e w i è la corrispodete radice cubica di t 2 tale che w i w i = p 3 Il termie = q2 4 + p3 27 = q 2 2 + p 3 3 è detto discrimiate della equazioe di terzo grado qualcuo chiama discrimiate il termie D= 108 = 4p 3 27q 2 ; el caso che l equazioe abbia coefficieti reali esso permette di distiguere diverse cofigurazioi delle radici Se è egativo, allora vi soo tre radici reali distite; se è positivo allora vi è ua radice reale e due radici complesse coiugate; se è zero vi soo radici multiple u uica radice se p=q=0 oppure due altrimeti Quarto grado: metodo di Ferrari Il geerico poliomio di quarto grado è ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx +e a 0 Usado la solita sostituzioe di variabile X =Y 4a b, che permette di elimiare il termie di terzo grado, siamo ridotti a cercare le radici di u poliomio del tipo Y 4 +py 2 +qy +r Il metodo di Ferrari cosiste ora ell itrodurre u termie U i modo tale che il poliomio si scriva come differeza di due quadrati, e di cosegueza si fattorizzi i poliomi di grado miore; completado il quadrato coteete Y 4 e py 2 l espressioe Y 2 + p 2 U 2 UY 2 qy + U2 2 4 + pu 2 + p2 4 r e l espressioe ella secoda paretesi è u quadrato perfetto se il discrimiate come poliomio di secodo grado i Y si aulla; quidi basta che u sia ua radice del poliomio q 2 U 2 4U 4 + pu 4 + p2 4 r = U 3 pu 2 p 2 4rU +q 2 che è di terzo grado i U e che perciò sappiamo trattare co il metodo di Cardao-Tartaglia Se ora u è ua radice, il poliomio elle Y si scrive Y 2 p +vy + 2 u 2 q Y 2 p vy + 2v 2 u 2 + q 2v se v è ua radice quadrata di u Siamo quidi ridotti a due poliomi di secodo grado ella Y, e le quattro radici che otteiamo soo le radici volute del poliomio di quarto grado Corpo dei quaterioi di Hamilto L isieme H dei quterioi è formato da tutte le espressioi del tipo a+ib+jc+kd ove a,b,c,d R dotato delle segueti operazioi: somma: se z=a+ib+jc+kd e z =a +ib +jc +kd allora z+z = a+a +ib+b +jc+c +kd+d ; prodotto: distributivo rispetto alla somma, associativo, e sui ii= 1 ij=k ik= j simboli i,j,k: ji= k jj= 1 jk=i ki=j kj= i kk= 1 se z=x+v e z =x +v co x,x R e v,v R 3, allora zz = xx v v +xv +x v+v v : iterpretazioe geometrica del prodotto di quaterioi Il corpo dei quaterioi o è commutativo Se z=a+ib+jc+kd allora a si dice la parte reale di z, e ib+jc+kd la parte immagiaria; u quaterioe si dice puramete reale risp immagiario se coicide co la sua parte reale risp immagiaria coiugazioe Dato z=a+ib+jc+kd H, defiiamo il suo coiugato z=a ib jc kd Otteiamo così ua applicazioe di H i sè che soddisfa alle segueti proprietà: rispetta la somma: z+z =z+z ; z=z se e solo se z è puramete reale; atirispetta il prodotto: zz =z z; zz=zz=a 2 +b 2 +c 2 +d 2 è puramete reale per ogi z=a+ib+jc+kd, e si tratta di u umero positivo se z 0; z=z per ogi z duque di tratta di u isomorfismo ivolutorio orma La orma è la fuzioe di H i R 0 defiita per ogi quaterioe z da z 2 =zz; essa verifica le segueti proprietà: positività: z 0 per ogi z C e z =0 se e solo se z=0; moltiplicatività: zz = z z ; subaddittività: z+z z + z I quaterioi di orma 1 si scrivoo cosϑ+ix+iy+izsiϑ co x 2 +y 2 +z 2 =1 iversi Se z è quaterioe o ullo, allora l iverso di z è z 1 = z z 2 Se z è di orma 1, l iverso coicide co z iterpretazioe geometrica Ogi quaterioe ζ =cosϑ+vsiϑ, co v=ia+jb+kc, di orma 1 determia ua fuzioe ϕ ζ w= ζwζ sui quaterioi puramete immagiari w=ix+jy+kz che è ua rotazioe di agolo 2ϑ attoro all asse v Si ha ϕ ζ =ϕ ζ se e solo se ζ =±ζ, e ϕ ζζ =ϕ ζ ϕ ζ la composizioe di rotazioi corrispode al prodotto di quaterioi Matrici Ua matrice m a valori i u corpo C è ua fuzioe {1,,} {1,,m} C, ie ua struttura: a 1,1 a 1,m A= a i,j i=1,, = j=1,,m ; a,1 a,m l isieme di queste matrici di idica co M,mC Scrittura per coloe e per righe: A 1 A= A 1 A m =, Ai M,1 C,A j M 1,m C A Operazioi tra matrici: prodotto per scalari elemeti di C: ca:= ca i,j somma: A,B M,mC, A+B:= bi,j +a i,j M,mC prodotto: A M,mC e B Mm,l C, m AB:= j=1 a i,jb j,k = A i B i=1,, k M,l C k=1,,l La somma di matrici è commutativa, associativa, ammette elemeto eutro matrice ulla e opposto per ogi elemeto dato; il prodotto tra matrici è associativo ma i geerale o commutativo, ed è distributivo rispetto alla somma; il prodotto per gli scalari si può iterpretare come prodotto tra matrici, ed è quidi associativo e compatibile co esso Trasposizioe Sia A M,mC; defiiamo A t M m,c tramite: A t := a i,j j=1,,m i=1,, 2 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

Si ha che A t t =A, A+B t =A t +B t, I t =I, AB t =B t A t Matrici quadrate Le matrici quadrate di u fissato ordie formao u algebra associativa, ma o commutativa, co le operazioi itrodotte I M C=M,C esiste la matrice idetica I:= δ i,j ove δi,j =1 se i=j e 0 altrimeti delta di Kroecker, che è elemeto eutro per la moltiplicazioe Il determiate di A M C è l elemeto di C defiito da deta= A := σ P i=1 a i,σi ove P idica l isieme delle permutazioi sull isieme {1,,}, e si calcola mediate gli sviluppi di Laplace per riga o coloa: A = j=1 1i+j a i,j A i,j = i=1 1i+j a i,j A i,j ove A i,j M 1 è la matrice che si ottiee da A elimiado la i-esima riga e la j-esima coloa det:m C C è l uica fuzioe che sia multilieare sulle coloe e sulle righe e valga 1 sulla matrice idetica Come poliomio elle etrate a i,j della matrice, deta è omogeeo di grado ed irriducibile Aullameti o sviluppi co cofattori aliei: si ha che j=1 1i+j a k,j A i,j =0= i=1 1i+j a i,k A i,j per ogi k i risp k j, poiché si tratta di sviluppi di Laplace di matrici co due righe risp coloe uguali sviluppi di Laplace geeralizzati Sia K sottisieme ordiato di {1,2,,} e idichiamo co K ={1,2,,} K il complemetare ordiato Sia ɛk,k il sego della permutazioe che mada i ell i-esimo elemeto della lista K,K Allora deta=ɛk,k H ɛh,h deta H,K deta H,K dove la sommatoria è estesa a tutti i sottisiemi H di {1,2,,} aveti la stessa cardialità di K, H è l isieme complemetare, A H,K idica la sottomatrice quadrata che si ottiee selezioado le righe risp le coloe di idici i H risp i K Ioltre sviluppi aliei: H ɛh,h deta H,K deta H,L =0 per ogi L {1,2,,} della stessa cardialità di K ma diverso da K Casi otevoli di determiati: se la matrice è triagolare iferiore se a i,j =0 per i>j; superiore se a i,j =0 per i<j allora il determiate è il prodotto degli elemeti i diagoale; AB se la matrice è a blocchi: det 0D =detadetd=det A0 C D, co A e D matrici quadrate; det di Vadermode: det x k i i=0,, k=0,, = x j x i ; 0 i<j det di Vadermode geeralizzati: det x α k i i=0,, = x j x i det h αj ix 0,,x k=0,, 0 i<j = x j x i det p βk +ix 0,,x 0 i<j i,α j i,β k ove α i è ua successioe crescete di iteri positivi, β k è la successioe crescete complemetare, i poliomi simmetrici elemetari px 1,,x soo defiiti da px 1,x 2,,x,T = i T = i=11 x j p j x 1,x 2,,x j T j=0 duque p 0 =1, p 1 =Σ i x i, p 2 =Σ i<j x i x j, ed i geerale p j è la somma degli j prodotti degli xi presi a j a j seza ripetizioi e i poliomi simmetrici elemetari completi hx 0,,x soo defiiti da 1 hx 1,x 2,,x,T = 1 x i=1 i T = h j x 1,x 2,,x j T j=0 duque h 0 =1, h 1 =Σ i x i, h 2 =Σ i x 2 i +Σ i<jx i x j, ed i geerale h j è la somma degli +j 1 j moomi di grado j egli x i ; dalla relazioe ph=1 si ottiee per ogi k 1 la formula Σ i+j=k i p i h j =0 det di Vadermode derivati coflueti: se m e D j m,x= i 1 x j i i,j Mm,C abbiamo che per ogi partizioe 1, 2,, s di detd i,x i i = i<j x j x i ij alterati doppi di Cauchy: 1 det y i x j = i,j x i<j i x j y i<j j y i i,j y i x j ua matrice quadrata si dice atisimmetrica se A t = A; se A è atisimmetrica di ordie dispari, allora A =0; ioltre 0 a b c a 0 d e b d 0 f c e f 0 =af +be cd2 I geerale, il determiate di ua matrice atisimetrica d ordie dispari 2+1 è il quadrato d u poliomio ei suoi coefficieti, che si chiama Pfaffiao d ordie ed è dato da P f x i,j = 1 is<js 1 s sg 1 2 3 4 2 1 2 i 1 j 1 i 2 j 2 i j s x i s,j s ove la sommatoria comprede 2 1!! termii e soo tutti i prodotti di termii x i,j ove i<j e gli idici soo tutti diversi det circolati soo quelli delle matrici reali o complesse i cui ogi riga si ottiee circolado di ua posizioe a destra 1 1 la precedete: det a j i+1[+] i,j=1,, = a i+1 ω ij, i=0 j=0 ove [+] idica di sommare se il risultato o è positivo, ω è ua radice complessa -esima primitiva dell uità La matrice circolate di termii a,a+d,a+2d,,a+ 1d ha determiate d 1 a+ 1 2 d I particolare abbiamo che la matrice circolate di termii 1,2,, ha determiate +1 2 1 La matrice d ordie avete etrate o diagoali tutte uguali ad 1 ed etrate diagoali uguali ad 1 x vale x x 1 = 1 x 1 x ; si può vedere co le riduzioi elemetari cosisteti el sottrarre alla prima riga tutte le altre, poi raccogliere il termie comue, e ifie sottrarre la prima riga a tutte le altre Gruppo Geerale Lieare La matrice A M C si dice ivertibile se esiste B M C tale che AB=I=BA tale B è uica e si dice l iversa di A Basta per questo che AB=I o che BA=I Ua matrice è ivertibile se e solo se il suo determiate è diverso da zero Se A M C, la matrice dei complemeti algebrici A c M C è la matrice che ella posizioe i,j ha il termie i+j A j,i Formule otevoli: I c =I, deta c =deta 1, A c c =deta 2 A, AB c =B c A c ; per ogi matrice si ha AA c =A c A= A I Se A M C è ivertibile la sua matrice iversa si idica co A 1 e si calcola tramite: A 1 = Ac A = 1 A i+j A j,i i=1,, j=1,, Formule otevoli: I 1 =I, A 1 1 =A, AB 1 =B 1 A 1, A t 1 =A 1 t se le matrici A e B soo ivertibili Il sottisieme di M C delle matrici ivertibili si idica co GL,C o GL C, e si tratta di u gruppo o commutativo sotto il prodotto di matrici Il determiate si restrige ad u morfismo di gruppi det:gl C C tra il gruppo delle 3 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

matrici ivertibili co l operazioe di prodotto e il gruppo degli elemeti o ulli di C co l operazioe di prodotto Gruppo Speciale Lieare L isieme delle matrici di determiate 1 è u sottogruppo di GL C che si dice il Gruppo Speciale Lieare e si idica co SL,C o SL C Se A SL C, allora A 1 =A c Operazioi elemetari Sia A M,mC; le operazioi elemetari sulle righe corrispodoo a moltiplicare a siistra o pre-moltiplicare la matrice A per opportue matrici ivertibili H M C: scambiare di posto le righe i-esima e j-esima; si tratta di moltiplicare per Si,j:=I+e i,j +e j,i e i,i e j,j ; moltiplicare la riga i-sima per α C; si tratta di moltiplicare per Hi,α:=I+α 1e i,i ; sostituire la i-sima riga co la somma di quella riga e il prodotto di α C per la j-sima riga; si tratta di moltiplicare per Hi,j,α:=I+αe i,j Tramite operazioi elemetari sulle righe ogi matrice può essere ridotta i forma a scalii per righe, ie tale che se a i,j è il primo elemeto o ullo della i-esima riga, allora i j; ogi matrice quadrata ivertibile può essere ridotta per righe alla matrice idetica, e questa riduzioe permette il calcolo dell iversa: AI viee ridotta per righe a IA 1 Le operazioi elemetari sulle coloe corrispodoo a moltiplicare a destra o post-moltiplicare la matrice A per opportue matrici ivertibili H M mc: scambiare di posto le coloe i-esima e j-esima; si tratta di moltiplicare per Si,j:=I+e i,j +e j,i e i,i e j,j ; moltiplicare la coloa i-sima per α C; si tratta di moltiplicare per Hi,α:=I+α 1e i,i ; sostituire la i-sima coloa co la somma di quella coloa e il prodotto di α C per la j-sima coloa; si tratta di moltiplicare per Hj,i,α:=I+αe j,i Tramite operazioi elemetari sulle coloe ogi matrice può essere ridotta i forma a scalii per coloe, ie tale che se a i,j è il primo elemeto o ullo della j-esima coloa, allora j i Rago Il rago di ua matrice A M,mC è per defiizioe il massimo umero di coloe liearmete idipedeti Ciò corrispode al umero di coloe o ulle se la matrice è ridotta i forma a scalii per coloe Equivaletemete è il massimo umero di righe liearmete idipedeti, che corrispode al umero di righe o ulle se la matrice è ridotta i forma a scalii per righe Il rago si idica co rka e si caratterizza come il massimo ordie delle sottomatrici quadrate ivertibili I miori di ordie k della matrice A M,mC soo i determiati delle sottomatrici quadrate di ordie k di A che si ottegoo cacellado k righe ed m k coloe di A Il rago di ua matrice coicide co il massimo ordie di u miore o ullo: la matrice A ha rago k se e solo se esiste u miore o ullo d ordie k e tutti i miori d ordie maggiore di k soo ulli Matrici di Miori e Complemeti Data A M C, per ogi k defiiamo M k A la k-esima matrice composta o matrice dei miori d ordie k come A I M k A:= J I =k J =k co l ordie lessicografico degli idici I e J; e C k A la k- esima matrice complemetare composta o matrice dei miori complemetari segati d ordie k come C k A:= ɛi,i ɛj,j A I t J I =k J =k co l ordie lessicografico degli idici I e J si tratta della matrice trasposta della matrice M k A i cui ogi miore è stato sostituito co il suo complemeto segato Si ha subito che M 1 A=A e C 1 A=A c Si osservi ache che M k A t =M k A t e aalogamete C k A t =C k A t Teorema del rago Il rago di A è uguale ad r se e solo se M r A O e M r+1 A=O; più i geerale, il rago di M k r A è uguale a k Teorema del prodotto di composte e loro complemetari Per ogi k risulta M k AC k A=C k AM k A= A I k Teorema di Biet-Cauchy Per ogi k risulta: M k I =I k ; M k AB=M k AM k B; C k I =I k ; C k AB=C k BC k A; per ogi A,B M C Teorema di Cauchy-Sylvester Per ogi k risulta M k AC A = A k k ; ioltre 1 1 M k k 1 A = A e C k k A = A Teorema iverse di composte e loro complemetari ogi k e per ogi matrice ivertibile A, risulta M k A 1 =M k A 1 = A 1 C k A; C k A 1 =C k A 1 = A 1 M k A Teorema di Frake Per ogi h,k risulta 1 C h M k k 1 h A= A M h C k A; 1 C h C k k h A= A M h M k A Per Teorema di Jacobi M h A c = A h 1 C h A per ogi h Spazi Vettoriali Defiizioi Uo spazio vettoriale su u corpo C è il dato di u isieme V dotato di due operazioi: prodotto per gli scalari: somma di vettori: soggetti ai segueti assiomi: C V V : α,v αv; V V V : v,w v+w; V co l operazioe di somma è u gruppo abeliao; duque esiste u elemeto eutro 0 tale che v+0=v=0+v v; l operazioe è associativa, u+v+w=u+v+w u,v,w; l operazioe è commutativa, v+w=w+v v,w; ogi elemeto ha opposto, v wv+w=0=w+v; l operazioe di moltiplicazioe per gli scalari è: uitaria: 1v=v v; associativa: αβv=αβv α,β,v; distributiva a siistra: α+βv=αv+βv α,β,v; distributiva a destra: αv+w=αv+αw α,v,w Idipedeza lieare, basi Sia S V u sottisieme di uo spazio vettoriale; S si dice liearmete idipedete li se per ogi combiazioe lieare Σ s S α ss i cui quasi tutti gli αs siao ulli si ha che: Σ s S α ss=0 implica α s=0 per ogi s I caso cotrario esistoo combiazioi o baali che dao il vettore ullo S si dice u isieme liearmete dipedete ld L isieme S si dice u isieme di geeratori per V se ogi elemeto v V si può scrivere come v=σ s S α ss co gli αs quasi tutti ulli U isieme S è u isieme massimale di vettori liearmete idipedeti se e solo se S è u isieme miimale di geeratori per V ; ioltre ogi tale isieme si dice ua base di V, è di 4 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

ua fissata cardialità, dipedete solo da V e da C, che si chiama la dimesioe di V su C, e si idica dim C V teorema di esisteza delle basi Dato u isieme li S e ua base B di V, si può completare S a ua base di V aggiugedovi opportui elemeti di B teorema della base icompleta Sottospazi U sottisieme W di uo spazio vettoriale V si dice u sottospazio vettoriale, e si idica W V, se le operazioi di V iducoo ua struttura di spazio vettoriale su W Ciò succede se e solo se valgoo le segueti codizioi: 0 W ; se u,v W allora u+v W ; se u W e α C allora αu W ; ovvero se e solo se valgoo le: W ; se u,v W e α,β C allora αu+βv W Se W V allora dim C W dim C V Spazi geearati Se S è u sottisieme qualsiasi di V, idichiamo co S il più piccolo sottospazio vettoriale di V coteete S; si tratta dell itersezioe di tutti i sottospazi vettoriali di V coteeti S; o acora dell isieme di tutte le combiazioi lieari fiite di elemeti di S a coefficieti i C Formule delle dimesioi per i sottospazi Siao W 1 e W 2 sottospazi vettoriali di V L itersezioe isiemistica W 1 W 2 è u sottospazio vettoriale; per cotro l uioe W 1 W 2 o è u sottospazio, e defiiamo W 1 +W 2 := W 1 W 2 ie il sottospazio vettoriale geerato Vale la relazioe formula della dimesioe per i sottospazi dim C W 1 +dim C W 2 =dim C W 1 +W 2 +dim C W 1 W 2 formula di Grassma Se W 1 +W 2 =V e W 1 W 2 =0 si dice che W 1 e W 2 soo complemetari e si scrive V =W 1 W 2 ; i tal caso si ha dim C V =dim C W 1 + dim C W 2 Quozieti Sia W u sottospazio vettoriale di V ; allora la relazioe u v sse u v W defiisce ua relazioe di equivaleza i V che rispetta la struttura di spazio vettoriale, di modo che l isieme quoziete V/W :=V/ ha ua struttura caoica di spazio vettoriale idotta da quella di V Si ha che dim C V =dim C W +dim C V/W Applicazioi Lieari Defiizioi Ua applicazioe ϕ:v W si dice lieare se ϕu+v=ϕu+ϕv u,v V e ϕαv=αϕv v V, α C; o equivaletemete ϕαu+βv=αϕu+βϕv u,v V, α,β C Se ϕ è lieare si ha ϕ0=0 e ϕ v= ϕv Ua applicazioe lieare è determiata e uicamete defiita dai valori assuti su ua base del domiio teorema di estesioe I sottoisiemi kerϕ:={v V ϕv=0} di V ucleo o kerel di ϕ e imϕ:={w W w=ϕv v V } di W immagie di ϕ soo sottospazi vettoriali di V e W rispettivemete Se dim C V è fiita, allora dim C V =dim C kerϕ+dim C imϕ formula delle dimesioi per u morfismo Il morfismo ϕ iduce u isomorfismo cioè ua mappa ivertibile ϕ:v/kerϕ imϕ primo teorema di isomorfismo Se dim C V =dim C W è fiita, allora ϕ è u isomorfismo se e solo se kerϕ={0}, ovvero se e solo se imϕ=w L isieme Hom C V,W formato dalle applicazioi lieari di V i W è uo spazio vettoriale su C tramite la struttura di W, ed ha dimesioe dim C V dim C W prodotto delle due Somme e Prodotti Data ua famiglia I di idici, e u isieme di spazi vettoriali V i al variare di i I, defiiamo la somma diretta i I V i e il prodotto diretto i I V i come gli isiemi formati dalle I-uple v i di elemeti co v i V i per ogi i, e quasi tutti ulli ie ulli trae che per u umero fiito di idici el caso della somma diretta Si hao strutture caoiche di spazio vettoriale su C co le operazioi compoete per compoete I particolare la somma diretta è u sottospazio vettoriale del prodotto diretto, e se l isieme di idici è fiito, allora le due ozioi coicidoo; abbiamo dei morfismi caoici di iclusioe ι j :V j i I V i e di proiezioe π j : i I V i V j per ogi j Per ogi spazio vettoriale W su C, vi soo i segueti isomorfismi Hom C i I V i,w = i I Hom C V i,w e Hom C W, i I V i = i I Hom C W,V i dati dalle composizioi co le iclusioi e le proiezioi Il morfismo di iclusioe W 1 W 1 +W 2 iduce u isomorfismo W 1 /W 1 W 2 W 1 +W 2 /W 2 secodo teorema di isomorfismo Se abbiamo W 1 W 2 sottospazi di V, il morfismo caoico V/W 2 V/W 1 iduce u isomorfismo V/W 2 /W 1 /W 2 V/W 1 terzo teorema di isomorfismo Coordiate L isieme C dotato delle operazioi compoete per compoete è uo spazio vettoriale su C di dimesioe e base caoica data dai vettori e i :=δ ij Si idica co V C e si dice lo spazio vettoriale stadard su C di dimesioe Sia V uo spazio vettoriale su C di dimesioe fiita :=dim C V e scegliamo ua base e=e 1,,e di V Questo determia u isomorfismo V C V madado la base caoica di V C ella base scelta I particolare v V si scrive uicamete come v= i x ie i co x i C; le coordiate di v ella base data è la -pla x 1,,x t Se W è u altro spazio vettoriale su C di dimesioe fiita m:=dim C W, e g=g 1,,g m è ua base di W, e se ϕ:v W è ua applicazioe lieare, allora possiamo associare a ϕ ua matrice α e,gϕ M m,c tramite la defiizioe: ϕe 1,,e =g1,,g mαe,gϕ; cioè le coloe di αe,gϕ soo le coordiate ella base di W delle immagii tramite ϕ dei vettori della base di V Se v ha coordiate x=x 1,,x t, allora le coordiate di ϕv ella base di W soo date da ϕx=α e,gϕx Effetto dei cambiameti di base: se e è u altra base di V e g u altra base di W, allora la matrice α e,g ϕ è legata alla precedete tramite le matrici di cambiameto di base α e,e id V e α g,g id W dalla formula α e,g ϕ=α g,g id W αe,gϕα e,e id V Si osservi che le matrici di cambiameto di base soo ivertibili e si ha α e,e id V =α e,e id V 1 I particolare el caso dim C V =dim C W allora ϕ è u isomorfismo se e solo se per qualuque scelta delle basi si ha che la matrice α e,gϕ è ivertibile Nel caso che V =W itediamo sempre scegliere la stessa base su domiio e codomiio, sicché la formula di cambiameto di base diveta α e,e ϕ=α e,e id W αe,eϕα e,e id V Se ψ:w U è u altra applicazioe lieare, e h=h 1,,h l ua base di U, allora α e,h ψ ϕ=α g,h ψα e,gϕ la composizioe di applicazioi lieari corrispode alla moltiplicazioe di matrici Descrizioe di sottospazi Se V è spazio vettoriale su C di dimesioe fiita, ogi sottospazio W di V può essere descritto come immagie di ua applicazioe lieare iiettiva i:v mc V descrizioe parametrica o tramite geeratori, oppure come ucleo di ua applicazioe lieare suriettiva p: V V cc ove c= m si dice la codimesioe di W i V descrizioe cartesiaa Scelta ua base b di V e la base caoica 5 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

e sugli spazi stadard, le coloe di α e,b i soo le coordiate dei geeratori di W ella base b, e le righe di α b,e p soo i coefficieti delle equazioi di u sistema di equazioi per W Duque il umero miimo m di geeratori dimesioe di W e il umero miimo c di equazioi cartesiae per W codimesioe di W i V soo legati da m+c= Pricipio dei miori orlati Data ua base di W si possoo otteere equazioi cartesiae di W aullado tutti i miori d ordie m+1 che si ottegoo orlado u fissato miore o ullo d ordie m della matrice formata dai geeratori dati cui si aggiuga la coloa delle variabili Forme caoiche per similitudie Due matrici quadrate A,B M C si dicoo simili se esiste ua matrice ivertibile P GL,C tale che B=P AP 1 Due matrici soo simili se e solo se rappresetao la stessa applicazioe lieare di C i sè i due basi diverse legate dal cambiameto di base dato da P La relazioe di similitudie è ua relazioe di equivaleza tra matrici Sia A M C rappresetate l applicazioe ϕ di C i sè ella base caoica, v C o ullo; allora v si dice autovettore di A o di ϕ di autovalore λ C se Av=λv o ϕv=λv, e λ C si dice u autovalore di A o di ϕ se esiste u vettore v C o ullo tale che Av=λv Uo scalare λ C è u autovalore di A risp di ϕ se e solo se deta λi=0 risp kerϕ λid 0 Il poliomio caratteristico di A è p A x:=deta xi=x trax 1 + + 1 deta ; è ivariate per similitudie, e duque si può chiamare ache poliomio caratteristico p ϕx di ϕ Uo scalare λ C è u autovalore di A o di ϕ se e solo se è zero del poliomio p A x Si dice che A o ϕ ha tutti i suoi autovalori i C se il poliomio caratteristico p A x si fattorizza i fattori lieari i C[x] Teorema di Hamilto-Cayley: p A A=0, ovvero p ϕϕ=0 Il poliomio miimo m A x di A o m ϕx di ϕ è il geeratore moico dell ideale di C[x] formato dai poliomi che aullao A o ϕ Il poliomio miimo divide il poliomio caratteristico secoda forma del teorema di Hamilto-Cayley Simmetrie e Proiezioi Le matrici di poliomio miimo x 2 1 si dicoo simmetrie di asse l autospazio di 1 e di direzioe l autospazio di 1; le matrici di poliomio miimo x 2 x si dicoo proiezioi sull autospazio di 1 e di direzioe l autospazio di 0 Data ua decomposizioe V =V V, esistoo uiche la simmetria di asse V e direzioe V, e la proiezioe su V e direzioe V, defiite dall essere diagoalizzabili e dall avere V come auospazio di 1 e V come autospazio di 1 oppure 0 rispettivamete Teorema di decomposizioe: se u poliomio fx aulla ϕ e fx=π i f i x è ua fattorizzazioe co i fattori f i x a due a due coprimi, allora V = i V i ove V i =kerf i ϕ e dim C V i = deg x f i x Forme caoiche triagolari Ua matrice A è simile i C a ua matrice i forma triagolare se e solo se ha tutti i suoi autovalori i C Dato u autovalore λ C, defiiamo la molteplicità mλ:=molteplicità di λ come zero di p A x e la ullità λ:=dim C kerϕ λid= rka λi Si ha che λ mλ Forme diagoali Ua matrice A è simile i C a ua matrice i forma diagoale se e solo se ha tutti i suoi autovalori i C e ogi autovalore ha molteplicità e ullità uguali primo criterio di diagoalizzabilità Secodo criterio: ua matrice è diagoalizzabile se e solo se il poliomio miimo si fattorizza i fattori lieari distiti ha tutti i suoi zeri e questi soo tutti semplici Due matrici A e B soo simultaeamete diagoalizzabili ie esiste P GL,C tale che P 1 AP e P 1 BP soo etrambe diagoali se e solo se soo separatamete diagoalizzabili e commutao tra loro ie AB=BA, el qual caso ciascua delle due matrici è stabile sugli autospazi dell altra Teoria di Jorda Sia p ϕx= i x λ i ri r i =mλ i ; poiamo V i :=kerϕ λid ri, allora V = i V i, dim C V i =r i Risulta m ϕx= i x λ i si ove s i è il miimo itero tale che dim C kerϕ λid si =r i L applicazioe ϕ è ilpotete se esiste N N tale che ϕ N =0; l idice di ilpoteza è il miimo itero per cui ciò succede, si idica co ilpa L applicazioe ϕ è ilpotete se e solo se ua e allora ogi sua matrice associata è ilpotete e gli ordii di ilpoteza soo uguali La matrice ilpotete stadard di ordie m è la matrice N m:= i e i,i+1 M C Ua matrice A è ilpotete se e solo se è simile a ua matrice a blocchi diagoali formati da matrici ilpoteti stadard Il tipo di ilpoteza di ua matrice ilpotete A M C è la -pla di aturali i 1,,i ove il è il umero di blocchi ilpoteti stadard di ordie l della forma ridotta di A Due matrici ilpoteti soo simili se e solo se hao lo stesso tipo di ilpoteza Esempi Per =1 l uica matrice ilpotete è la matrice ulla Per =2 le matrici ilpoteti soo di due tipi: la matrice ulla 01 di tipo 2,0 e la ilpotete stadard 00 di tipo 0,1 Per =3 abbiamo tre tipi di matrici ilpoteti: la matrice ulla di tipo 3,0,0; 0 1 0 la matrice 0 0 0 0 0 0 di tipo 1,1,0 sse ilpa=2 e rka=1; 0 1 0 la matrice 0 0 1 0 0 0 di tipo 0,0,1 sse ilpa=3 e rka=2; Per =4 abbiamo cique tipi di matrici ilpoteti: la matrice ulla di tipo 4,0,0,0; 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 di tipo 2,1,0,0 sse ilpa=2 e rka=1; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 di tipo 1,0,1,0 sse ilpa=3 e rka=2; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 di tipo 0,2,0,0 sse ilpa=2 e rka=2; 0 0 0 0 0 1 0 0 di tipo 0,0,0,1 sse ilpa=4 e rka=3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Si dice matrice di Jorda di ordie m e autovalore λ la matrice J mλ:=λi+n m Teorema di Jorda: ua matrice ha tutti i suoi autovalori i C se e solo se è simile i C a ua matrice a blocchi diagoali formati da matrici di Jorda La molteplicità di u autovalore λ i di A come radice del poliomio miimo è la dimesioe del più grade blocco di Jorda relativo a quell autovalore Decomposizioe astratta di Jorda Sia A u edomorfismo di uo spazio vettoriale V di dimesioe fiita rispettivamete: sia A ua matrice quadrata co tutti i suoi autovalori el corpo di base C Allora esistoo uici due edomorfismi risp matrici A s, A tali che i A s è semisemplice =diagoalizzabile e A è ilpotete; ii A sa=aas e A=As+A; iii esistoo poliomi px,qx C[X] privi di termie oto e tali che A s=pa, A =qa; i particolare A s ed A commutao co ogi edomorfismo risp ogi matrice che commuti co A; iv sottospazi stabili per A soo stabili sia per A s che per A ; 6 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

v se AB=BA co A e B soddisfaceti all ipotesi detta, allora A+B s=as+bs e A+B=A+B Decomposizioe astratta moltiplicativa di Jorda Sia A u automorfismo di uo spazio vettoriale V di dimesioe fiita rispettivamete: sia A ua matrice quadrata ivertibile co tutti i suoi autovalori el corpo di base C Allora i suoi autovalori soo tutti o ulli, ed esistoo uici due edomorfismi risp matrici A s, Au tali che i A s è semisemplice =diagoalizzabile e A è uipotete sigifica che ha 1 come uico autovalore; ii A sa u=a ua s=a; iii sottospazi stabili per A soo stabili sia per A s che per A; iv se AB=BA co A e B soddisfaceti all ipotesi detta, allora AB s=asbs e ABu=AuBu Dualità Sia V uo spazio vettoriale su C di dimesioe fiita Defiiamo il suo duale come V :=Hom C V,C applicazioi lieari di V i C, che ha ua struttura aturale di C-spazio vettoriale data da v +w v:=v v+w v e cv v:=cv v per v,w V Data ua base e=e 1,,e di V, gli elemeti e i di V defiiti da e i e j:=δ i,j formao ua base di V ; e =e 1,,e si dice la base duale di e I particolare dim C V =dim C V Esiste ua applicazioe caoica: V V C : v,v v v :=v v bilieare: v v +w =v v +v w, v+w v =v v +w v e λv v =λv v =v λv ; o degeere: se v v =0 per ogi v V risp v V allora v =0 risp v=0 Se ϕ:v W è ua applicazioe lieare, allora defiiamo ϕ : W V tramite la regola ϕ w v:=w ϕv ie v ϕ w = ϕv w v V, w W La matrice di ϕ elle basi duali delle basi e di V e g di W è data dalla trasposta della matrice di ϕ i quelle basi: α g,e ϕ = α e,gϕ t I particolare rkϕ =rkϕ:=dim C imϕ Abbiamo che id V =id V, ψ ϕ =ϕ ψ Il morfismo caoico: V V : v evv ove evvv :=v v= v v è u isomorfismo di spazi vettoriali Notare che o c è u isomorfismo caoico tra V e V Sotto questa idetificazioe, per u morfismo ϕ, risulta ϕ =ϕ Nozioe di ortogoale: per S sottisieme di V defiiamo u sottospazio di V : S :={v V s v =0 s S} Proprietà dell ortogoale: se S T allora T S ; S = S ; W =W ; S =S ; W W =W +W e W +W = W W ove W e W soo sottospazi di V ; i particolare il passaggio all ortogoale iduce u atiisomorfismo ivolutorio tra i reticoli di sottospazi di V e V ; ioltre dim C W = dim C W Se ϕ:v W, allora imϕ =kerϕ e kerϕ =imϕ Dato u sottospazio W di V, la dualità caoica V V C iduce ua mappa co aaloghe proprietà V/W W C, da cui si deduce che V/W =W e V /W =W Ioltre W =V /W Spazi Vettoriali Euclidei Prodotto Scalare Sia V R lo spazio vettoriale stadard su R di dimesioe Defiiamo il prodotto scalare di due vettori v e w come v w:=v t w= i v iw i, ove si soo usate le coordiate ella base caoica Proprietà del prodotto scalare V R V R R: commutatività: v w=w v v,w V ; biliearità: v α 1 w 1 +α 2 w 2 =α 1 v w 1 +α 2 v w 2 e α 1 v 1 +α 2 v 2 w=α 1 v 1 w+α 2 v 2 w v i,w i V, α i C; positività: v v 0; v v=0 sse v=0 v V ; v w 2 v vw w v,w V disuguagliaza di Cauchy-Schwarz: si dimostra a partire da v+λw v+λw 0 per ogi λ R Nozioe di lughezza dei vettori: v := v v Valgoo le segueti regole: v =0 sse v=0; αv = α v ; v+w v + w disuguagliaza triagolare; v+w 2 = v 2 +2v w+ w 2 ; v+w 2 + v w 2 =2 v 2 + w 2 Nozioe di misura dell agolo tra due vettori: cosϑv,w:= v w ha seso per la disuguagliaza CS v w Nozioe di ortogoalità tra due vettori: v w sigifica per defiizioe v w=0 Teorema di Pitagora: v w sse v+w 2 = v 2 + w 2 Proiezioe ortogoale di u vettore v ella direzioe di w: p v w wv= w 2 w= w w v w w Risulta che pwv v pwv Si ha che v+w=p v+w v+p v+w w Teoremi di Euclide: v w sse v 2 = v+w p v+w v ; v w sse v p v+w v 2 = p v+w v p v+w w Per S sottisieme di V defiiamo S :={v V v s s S}, che risulta u sottospazio vettoriale Si ha: {0} =V, V =0, S =S Duque per W sottospazio: W =W Se S T allora T S ; S =S Se W e W soo sottospazi vettoriali di V : W +W =W W e W W =W +W Teorema di decomposizioe: se W V allora V è somma diretta di W e W e si scrive V =W W I particolare ua base di W dà u sistema di equazioi cartesiae di W Iterpretazioe euclidea delle equazioi cartesiae di u sottospazio: i coefficieti delle equazioi formao dei vettori ortogoali al sottospazio stesso Basi ortogoali e ortoormali Ua base di V R si dice ortogoale se essa è formata di vettori a due a due ortogoali; si dice ortoormale se ioltre i vettori hao tutti orma 1 Se v 1,,v è ua base ortoormale di VR, allora le coordiate di u vettore v V R i quella base soo date da v v 1,,v v t ; i altri termii, per ogi vettore v risulta v= i=1 v v iv i Procedimeto di ortogoalizzazioe Gram-Schmidt Data ua base qualsiasi v 1,,v di VR è sempre possibile ricavare ua base ortogoale u 1,,u el modo seguete: u1 =v 1 e ad ogi passo si aggiuge il vettore u i otteuto togliedo a v i tutte le sue proiezioi ortogoali sui precedeti vettori u 1,,u i 1 Per otteere ua base ortoormale, basta poi dividere ogi vettore u i per la sua orma Il procedimeto fuzioa cioè forisce ua base ortogoale ache a partire da u qualsiasi isieme di geeratori di V R, elimiado i vettori ulli geerati dal procedimeto stesso Soluzioi ai miimi quadrati per sistemi icompatibili Dato u sistema lieare icompatibile AX =b i vettori x tali che la orma di Ax b sia miima possibile quelli duque che meglio approssimao ua soluzioe el seso della distaza euclidea soo quelli per cui Ax b è ortogoale allo spazio geerato dalle coloe di A, duque se e solo se A t Ax b=0, e duque se e solo se x risolve il sistema lieare A t AX =A t b la matrice A t A è simmetrica, e il suo rago è uguale al rago di A Equivaletemete, se decompoiamo b=a+a co a apparteete al sottospazio geerato dalle coloe di A, e a ortogoale allo 7 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

stesso sottospazio, si tratta delle soluzioi del sistema lieare AX =a Gruppo Ortogoale e Ortogoale Speciale Gli automorfismi di V che rispettao la struttura euclidea, ie ϕv ϕw= v w per ogi v,w V, si dicoo trasformazioi ortogoali Ogi matrice A associata usado ua base di vettori ortoormali tali che v i v j =δ i,j risulta ortogoale, ie tale che A t A=I, ovvero A 1 =A t Le matrici ortogoali formao u sottogruppo di GL,C che si idica co O,C o co O C Esso è formato da tutte e sole le matrici le cui coloe formao ua base ortoormale di V Se A O,C, allora deta=±1 Il gruppo SO,C o SO C è defiito dalla itersezioe O C SL C e si chiama Gruppo Ortogoale Speciale Esso è u sottogruppo ormale di O C e il quoziete è ciclico d ordie 2, cioè {±1} orietameti dello spazio Per ogi matrice R O,C SO C, si ha che O,C SOC=R SOC Simmetrie e Proiezioi ortogoali Per ogi vettore o ullo v V R; la matrice della simmetria di direzioe v e asse l iperpiao ortogoale v è I 2 v vvt t Se suppoiamo v v= v v t v=1, allora la matrice di s è data da I 2vv t Si oti che vv t è la matrice della proiezioe su v co direzioe v quidi matrice di rago 1, metre I vvt è matrice della proiezioe su v co direzioe v quidi di rago 1 Se il sottospazio W è geerato dalle coloe della matrice A matrice m di rago m abbiamo: se A t A=I m allora AAt è la matrice della proiezioe ortogoale su W, I AAt è la matrice della proiezioe ortogoale su W, e I 2AA t è la matrice della simmetria ortogoale di asse W ; i geerale, la matrice della proiezioe ortogoale su W è data da AA t A 1 A t, e duque la simmetria ortogoale di asse W ha matrice data da I 2AA t A 1 A t Gruppi Ortogoali del Piao Il gruppo SO 2 R rotazioi del piao è isomorfo al gruppo additivo R/Z madado x R/Z ella matrice trigoometrica cos2πx si2πx si2πx cos2πx e al gruppo moltiplicativo S 1 dei umeri complessi di modulo uitario puti della circofereza di cetro origie e raggio 1 del piao, madado a+ib S 1 ella matrice a b b a Uici elemeti di SO2 R diagoalizzabile su R soo ±I Ogi elemeto di O 2 R si può scrivere come prodotto di al più due elemeti di O 2 R SO 2 R due riflessioi formao ua rotazioe Gruppi Ortogoali dello Spazio Tutte le matrici del gruppo SO 3 R rotazioi dello spazio ammettoo l autovalore 1 e rappresetao rotazioi dello spazio attoro all asse defiito da u autovettore associato all autovalore 1 Ogi tale trasformazioe è rappresetata da u quaterioe uitario e dal suo opposto Agoli di Eulero Fissate due basi ortoormali e 1,e 2,e 3 ed E 1,E 2,E 3 esiste u uico elemeto ϕ di SO 3 R tale che ϕe i = E i i=1,2,3 e si può scrivere come composizioe di al più tre rotazioi di agoli opportui itoro a rette Possiamo cosiderare i due piai e 1,e 2 e E 1,E 2 Se essi coicidoo, allora ϕ è ua rotazioe attoro alla retta e 3 = E 3, altrimeti la loro itersezioe determia ua retta, detta retta dei odi, di versore diciamo Si cosiderio allora le segueti rotazioi: rotazioe di asse e 3 ed agolo ψ=ϑe 1, precessioe, rotazioe di asse ed agolo ν=ϑe 3,E 3 utazioe, rotazioe di asse E 3 ed agolo ρ=ϑ,e 1 rotazioe propria La composizioe ell ordie delle tre rotazioi dà ϕ Si può quidi scrivere la matrice della trasformazioe ϕ i termii dei tre agoli di precessioe ψ, di utazioe ν e di rotazioe propria ρ tramite la composizioe: cosρ siρ 0 1 0 0 cosψ siψ 0 siρ cosρ 0 0 cosν siν siψ cosψ 0 = 0 0 1 0 siν cosν 0 0 1 cosρcosψ siρcosν siψ cosρsiψ+siρcosν cosψ siρsiν = siρcosψ cosρcosνsiψ siρsiψ+cosρcosνcosψ cosρsiν siν siψ siν cosψ cosν Prodotto Hermitiao o Prodotto scalare complesso Sia V C lo spazio vettoriale stadard su C di dimesioe Defiiamo il prodotto scalare di due vettori v=z j t e w=z j t come v w:=v t w= j z jz j, ove si soo usate le coordiate ella base caoica Il prodotto scalare dà ua fuzioe V C VC C che gode delle segueti proprietà: atisimmetria: v w=w v per ogi v,w V C; liearità siistra: α 1 v 1 +α 2 v 2 w=α 1 v 1 w+α 2 v 2 w e atiliearità destra: v α 1 w 1 +α 2 w 2 =α 1 v w 1 +α 2 v w 2 per ogi v,v 1,v 2,w,w 1,w 2 V C, ed ogi α1,α 2 C; positività: v v 0 per ogi v V C; v v=0 se e solo se v=0 Lo spazio vettoriale V C dotato del prodotto scalare si dice lo spazio euclideo complesso stadard di dimesioe o spazio Hermitiao stadard di dimesioe La orma o lughezza di u vettore v V C è defiita come v := v v si usa la positività U vettore di orma 1 si dice u versore disuguagliaza di Cauchy-Schwarz Per ogi v,w V C vale che v w 2 v vw w si oti che v w C, e usiamo la orma i seso complesso e duque v w v w Ioltre vale l uguagliaza se e solo se v e w soo liearmete dipedeti Si hao le usuali proprietà v =0 se e solo se v=0; αv = α v ; v+w v + w disuguagliaza triagolare; v±w 2 = v 2 ±2Rv w+ w 2 versioe complessa del teorema di Carot; v+w 2 + v w 2 =2 v 2 + w 2 Due vettori v,w V C si dicoo ortogoali e si scrive v w se vale v w=0 il loro prodotto scalare è zero Pitagora complesso Abbiamo che Rv w=0 v w è puramete immagiario se e solo se v+w 2 = v 2 + w 2 Le ozioi di proiezioe ortogoale, di basi ortogoali e ortoormali, di ortogoali di sottospazi soo simili a quelle reali, co alcue ovvie differeze: Equazioi di sottospazi: l iterpretazioe hermitiaa o euclidea complessa delle equazioi di sottospazi diveta ora la seguete: i coefficieti di ogi equazioe formao u vettore il cui coiugato è ortogoale al sottospazio stesso Relazioi co il caso reale L applicazioe biiettiva r:v C V 2 R cha mada u vettore complesso v=z i t =x i +iy i t el vettore reale rv=x 1,,x,y1,,y t possiede la proprietà che rv = v per ogi v V C orme euclidea el primo membro, ed hermitiaa el secodo, e più i geerale rv rw=rv w prodotto scalare euclideo el primo membro, ed hermitiao el secodo per v,w V C I effetti possiamo esplicitare: v v = j=1 x jx j +y jy j +i j=1 x jy j y j x j metre rv rv = j=1 x jx j +y jy j Gruppi Uitario e Speciale Uitario U automorfismo ϕ di V C i sè ϕ rispetta la struttura hermitiaa, ie ϕv ϕw=v w per ogi v,w V C, se e solo se ϕ rispetta la orma dei vettori, ie ϕv = v per ogi v V C Tali automorfismi si dicoo trasformazioi hermitiae o isometrie complesse di V C Se ϕ è ua trasformazioe hermitiaa, ogi matrice A associata a ϕ usado ua base di vettori ortoormali tali che v i v j =δ i,j risulta ua matrice hermitiaa, ie tale che A t A=I, ovvero A 1 =A t Le matrici hermitiae formao u sottogruppo o ormale, se >1 di GL,C che si idica co U,C o UC e si dice il Gruppo Hermitiao Se A U,C, allora deta =1 deta è umero complesso di modulo 1 8 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

Gruppo Uitario Speciale Il sottisieme di U C formato dalle matrici di determiate 1 si idica co SU,C o SU C e si dice il gruppo uitario speciale Si tratta di u sottogruppo ormale di U C, e il quoziete U C/SU C è isomorfo a S 1 gruppo moltiplicativo dei complessi di modulo 1 Si osservi che l itersezioe di U C e SUC co GLR dao rispettivamete O R e SOR Descrizioe esplicita di U 2 C Le matrici i U 2 C soo le α β matrici complesse del tipo co α 2 + β 2 =1, ρ =1 ρβ ρα Struttura di SU 2 C Le matrici i SU 2 C soo tutte e sole le α β matrici complesse della forma co α 2 + β 2 =1 e i β α effetti SU 2 C è isomorfo alla sfera tridimesioale i R 4 co la struttura di gruppo dei quaterioi uitari come SO 2 R è isomorfo alla sfera uidimesioale S 1 i R 2 co la struttura di gruppo dei complessi uitari Usado le compoeti reali: se α=x 0 +ix 1 e β=x 2 +ix 3 otteiamo α β =x 1 0 β α 0 0 1 +x i 0 1 0 i +x 0 1 2 1 0 +x 0 i 3 i 0 =x 0I 2+x 1I+x 2J+x 3K Lo spazio vettoriale reale di dimesioe 4 geerato da I 2,I,J,K i GL 2 C ha cosiderado il prodotto tra matrici struttura di corpo isomorfo a quello dei quaterioi: I 2 =J 2 =K 2 = I 2, IJ =K = JI, JK =I = KJ, KI =J = IK; il quadrato della orma dei quaterioi corrispode al determiate delle matrici, quidi i quaterioi uitari corrispodoo alle matrici uitarie speciali U elemeto di SU 2 C determia quidi u quaterioe e di cosegueza u elemeto di SO 3 R rotazioe attoro ad u fissato asse: A SU 2 C determia ua isometria ϕ A dello spazio vettoriale euclideo reale I,J,K R, di cui I,J,K formao ua base ortoormale la orma essedo data dal determiate delle matrici, tramite la formula ϕ A X=AXA t Questo determia u omomorfismo di gruppi SU 2 C SO 3 R= Aut I,J,K R ; si tratta di u morfismo suriettivo co ucleo {±I 2 } Quidi dare u elemeto di SU 2 C cosiste el dare u elemeto di SO 3 R co u sego ±1; per questo SU 2 C viee spesso chiamato il gruppo degli spi Cross Product Sia V C lo spazio vettoriale stadard su C di dimesioe Defiiamo ua applicazioe cross:v 1 V tramite la formula: crossv 1,,v 1 :=det e v t 1 v t 1 = e 1 e v 1,1 v 1, v 1,1 v 1, I particolare: per =1 si ha cross =e=1; y per =2 si ha crossv= x se v= xy yz y z xy per =3 si ha crossv,w= x z xz se v= e w= xy x y z Proprietà del cross product: crossv 1,,v 1 =0 se e solo se v 1,,v 1 soo ld; crossv σ1,,v σ 1 =sgσcrossv 1,,v 1 σ P 1 ; v i crossv 1,,v 1 =0 cioè, se si tratta di spazi euclidei, crossv 1,,v 1 è ortogoale a v i el caso reale, al coiugato el caso complesso hermitiao per ogi i; multiliearità: crossv 1,, j α jw j,,v 1 = = j α jcrossv 1,,w j,,v 1 ; x y z idetità di Lagrage: crossv1,,v 1 2 = v 1 2 v 1 v 2 v 1 v 1 v 2 v 1 v 2 2 v 2 v 1 v 1 v 1 v 1 v 2 v 1 2 Si tratta di u caso speciale della seguete formula: crossv 1,,v 1 crossu 1,,u 1 =detv i u j Se v 1,,v 1 soo li, allora v 1,,v 1,crossv 1,,v 1 formao ua base di V Risulta: 1 crossu 2,,u 1,crossv 1,,v 1 = i=1 1 i+1 ua vb a 1 b i Nel caso =2 l idetità di Lagrage si riduce a crossv = v Nel caso =3, crossv,w=:v w, l idetità di Lagrage è v w 2 = v 2 w 2 v w 2 e si geeralizza i i<j x iy j x j y i 2 = i=1 x2 i i=1 y2 i i=1 x iy i 2 Ioltre risulta u v w=u wv u vw Da u puto di vista geometrico, il cross product di 1 vettori liearmete idipedeti si caratterizza come: il vettore di direzioe ortogoale ai vettori dati, di verso tale che l orietazioe di v 1,,v 1,crossv 1,,v 1 cocordi co quella della base scelta, di lughezza il volume 1-dimesioale del parallelepipedo formato dai vettori v 1,,v 1 Prodotto misto wv 1 v 1 :=w crossv 1,,v 1 si dice il prodotto misto dei vettori w e v 1,,v 1 ; è u elemeto di C che si aulla se e solo se gli vettori coivolti soo ld Si ha v σ1 v σ =sgσ v 1 v per ogi permutazioe σ Il modulo del prodotto misto si iterpreta come volume - dimesioale del poliparallelepipedo geerato dagli vettori Edomorfismi simmetrici ed Hermitiai Sia V uo spazio vettoriale euclideo reale risp complesso hermitiao U edomorfismo f di V si dice simmetrico risp hermitiao se fv w=v fw per ogi v,w V ; ciò succede sse A t =A risp A t =A se A è la matrice di f i ua e allora per ogi base ortoormale Ogi edomorfismo simmetrico risp hermitiao ammette ua base di autovettori ortogoali; i particolare ua matrice reale A è simmetrica se e solo se è ortogoalmete diagoalizzabile cioè esiste P co P t P =I tale che P t AP sia diagoale; e ua matrice complessa A è hermitiaa A t =A se e solo se è uitariamete diagoalizzabile cioè esiste U co U t U =I tale che U t AU sia diagoale Ua matrice reale è simultaeamete ortogoale e ortogoalmete diagoalizzabile se e solo se è la matrice di ua simmetria ortogoale cioè co asse e direzioe ortogoali tra loro Sistemi di Equazioi Lieari Notazioi U sistema lieare di m equazioi ed icogite a 1,1X 1+ +a 1,X =b 1 a m,1x 1+ +a m,x =b m si rappreseta i forma matriciale come a 1,1 a 1, X 1 b 1 = a m,1 a m, X b m e i forma compatta co AX=b ove A M m,c, X=X 1,X t e b C m v i 9 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

La matrice A si dice la matrice icompleta del sistema, la matrice Ab M m,+1 C si dice la matrice completa del sistema Il sistema si dice quadrato se m= Omogeeo se b è il vettore ullo Soluzioi del sistema soo le -ple x 1,,x t C per cui valgoo tutte le uguagliaze Nel caso sia vuoto il sistema si dice impossibile Geometricamete si tratta di trovare l atimmagie di b C m per l applicazioe C C m che è rappresetata dalla matrice A elle basi caoiche Se il sistema è omogeeo si tratta di u sottospazio vettoriale di C il ucleo della suddetta applicazioe lieare Sistemi equivaleti Due sistemi AX=b e A X=b co A,A M m,c si dicoo equivaleti se hao lo stesso isieme di soluzioi Se H M mc è ua matrice ivertibile, allora AX=b è equivalete a HAX=Hb Rouché-Capelli Il sistema AX=b co A M m,c ammette soluzioi se e solo se il rago della matrice completa è uguale al rago della matrice icompleta, sia r, e i tal caso se x è ua tale soluzioe, l isieme di tutte le soluzioi si scrive come x+w dove W è il sottospazio vettoriale di C delle soluzioi del sistema lieare omogeeo associato, ie AX=0; si ha che dim C W = r Riduzioe di Gauss Tramite operazioi elemetari sulle righe della matrice completa si può trasformare il sistema i u sistema equivalete i forma a scalii, da cui si leggoo subito i raghi delle matrici, e si scrivoo le evetuali soluzioi Cramer Il sistema AX=b co A M C sistema quadrato ha u uica soluzioe se e solo se deta 0, ie se la matrice A è ivertibile, e i tal caso la soluzioe è x=a 1 b Se Ai è la matrice che si ottiee da A sostituedo la i-sima coloa co la coloa b dei termii oti, si ha che x i = Ai / A Geometria Affie Assiomi Uo Spazio Affie co spazio delle traslazioi V spazio vettoriale di dimesioe su u corpo C è u isieme A dotato di ua azioe di V: A V A: x,v x+v soggetti ai segueti assiomi: azioe ulla: x+0=x x; associatività: x+v+w=x+v+w x,v,w; differeza di puti: x,y!vx+v=y l uico vettore v si scrive v=y x, sicché possiamo parlare di differeza tra puti Coordiate Lo spazio affie stadard A C di dimesioe su C co spazio delle traslazioi V C è l isieme C La scelta di u puto O A e di ua base e=e 1,,e di V determiao u sistema di coordiate i A: ogi puto P A si scrive uicamete come P =O+ i x ie i, e x 1,,x si dicoo le coordiate di P el riferimeto dato da O,e 1,,e Equivaletemete si possoo scegliere +1 puti O,P 1,,P tali che i vettori P i O siao li, duque ua base di V Sottospazi affii U sottisieme del tipo P +W co P A e W u sottospazio vettoriale di V di dimesioe m si dice ua varietà affie di dimesioe m di A; W si chiama lo spazio direttore Ua varietà affie di descrive tramite equazioi parametriche: se w 1,,w m soo ua base di W, allora ogi puto X di P +W si scrive come X=P + i α iw i ove gli α i C soo i parametri e, se P ha coordiate x 1,,x, si può esplicitare: X 1=x 1+ i αiwi,1 X =x + i αiwi, Oppure tramite u sistema di m equazioi lieari rappresetazioe cartesiaa che si ottegoo dalla codizioe rkx x w 1 w m m esiste ua sottomatrice quadrata ivertibile di ordie m: e allora basta aullare i determiati di ordie m+1 coteeti quella sottomatrice Equivaletemete si può chiedere che 1 1 0 0 rk m+1 X x w 1 w m Viceversa u sistema lieare di m equazioi elle icogite X=X 1,,X che abbia soluzioi determia ua varietà affie di dimesioe r ove r è il rago comue delle matrici completa e icompleta Il sistema di equazioi si dice miimale se è composto esattamete di r equazioi Risolvere il sistema equivale a trovare ua rappresetazioe parametrica per la varietà lieare Posizioi reciproche di sottospazi affii: siao L=P +W e L=P +W, co m:=dim C W e m :=dim C W ; i due sottospazi si dicoo icideti se L L e l itersezioe è u sottospazio affie; disgiuti i caso cotrario Si dicoo parallele se W W o W W ; i tal caso possoo apparteersi L L resp L L oppure essere disgiute Si dicoo sghembe soo disgiute e se W W =0 Poiamo L L :=L L, e L L :=miima sottovarietà coteete L e L, detta la cogiugete di L ed L, che si descrive come P + P P,W,W ovvero P + P P,W,W se le varietà soo disgiute, altrimeti possiamo supporre P =P e allora si tratta di P + W,W Formule di Grassma affii: dim C L L +dim C L L dim C L+dim C L e vale l uguagliaza se L e L soo icideti oppure sghembe dim C := 1; se le varietà soo disgiute i particolare parallele è dim C L L +dim C W W =dim C L+ dim C L +1 Due sottospazi affii si dicoo complemetari se soo sghembi e la loro cogiugete è tutto lo spazio affie; i particolare la somma delle loro dimesioi è 1 e duque gli spazi direttori o soo complemetari Codizioi di idipedeza tra puti: ua collezioe di m+1 puti P 0,P 1,,P m A si dice idipedete se i vettori P 1 P 0,,P m P0 V soo li Ciò si verifica sse la matrice P 1 P 0 P m P0 ha rago m duque m, ovvero sse la matrice 1 1 1 ha rago m+1 P 0 P 1 P m Ua collezioe idipedete di m+1 puti P 0,P 1,,P m A determia ua varietà affie di dimesioe m: la più piccola varietà affie coteete quei puti Ha equazioi parametriche X=P 0 + i α ip i P 0 ed equazioi cartesiae date dalla codizioe: ovvero che rkx P 0 P 1 P 0 P m P 0 m 1 1 1 1 rk m+1 X P 0 P 1 P m Calcolo baricetrico Dati m+1 puti P 0,P 1,,P m A e m coefficieti α 1,,α m C tali che i α i=1, il puto defiito da P :=P 0 + i α ip i P 0 risulta idipedete dal puto di base P 0 e si può duque scrivere come P := i α ip i somma pesata di puti : la somma dei puti è defiita solo se i coefficieti hao somma 1 Il puto P si dice il baricetro del sistema dei puti P 1,,P m A co i pesi rispettivi α 1,,α m C U sottisieme L di A è u sottospazio affie se e solo se è stabile per somme pesate di puti, ovvero sse quado cotiee 10 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

due puti cotiee la retta geerata combiazioi pesate di due puti Le combiazioi pesate di m puti idipedeti descrivoo lo spazio affie geerato da quei puti I particolare: le combiazioi pesate di due puti distiti descrivoo la retta cogiugete i due puti; le combiazioi pesate di tre puti o allieati descrivoo il piao cogiugete i tre puti Il puto medio del segmeto tra P 1 e P 2 è 1 2 P 1+ 1 2 P 2 Il baricetro del triagolo di vertici P 1, P 2 e P 3 sta elle rette cogiugeti u vertice col puto medio del lato opposto ed è 1 3 P 1 + 1 3 P 2+ 1 3 P 3 Nel caso C=R, possiamo descrivere il segmeto tra P 1 e P 2 come le combiazioi pesate dei due puti co i combiatori α 1,α 2 [0,1]; il triagolo di vertici P 1, P 2 e P 3 tramite le combiazioi pesate co α 1,α 2,α 3 [0,1]; i geerale l iviluppo covesso di m puti si rappreseta tramite le combiazioi i α ip i co i α i=1 e 0 α i 1 per ogi i Dati tre puti allieati X,A,B A, se X =λa+µb co λ+µ=1, defiiamo X AB=DRX;A,B:= µ λ Se ξ,α,β C soo le coordiate di X,A,B, allora X AB= ξ β ξ α rapporto tra le distaze X è il puto medio tra A e B sse X AB= 1 Azioe delle permutazioi: Se ABC=λ, allora: BAC= λ AC B= λ 1 ; C BA=1 λ; BC A= λ 1 λ ; C AB= 1 1 λ Abbiamo che ABC=ABDADC λ 1 ; Sia dato u triagolo di vertici i puti A,B,C o allieati; siao A,B,C tre puti rispettivamete sulle rette B C, A C, A B; allora: Teorema di Meelao: A,B,C soo allieati sse A BCB C AC AB=1; Teorema di Ceva: A A, B B, C C si icotrao i u puto sse A BCB C AC AB= 1 Affiità Ua affiità di A è ua biiezioe F :A A che rispetti la somma pesata dei puti, ie F i α ip i = i α if P i se i α i=1 Ciò equivale all esisteza di ϕ Aut C V tale che F P +v=f P +ϕv per ogi P A e v V ; o acora tale che F P F Q=ϕP Q per ogi P,Q A L isieme delle affiità di A è u gruppo sotto la composizioe e si idica co AffA Fissato R A, ogi affiità è determiata da u vettore v= F R R e dalla applicazioe lieare associata ϕ, tramite: F Q= R+v+ϕP Q Questo dà u isomorfismo di gruppi AffA V Aut C V ove la legge di gruppo di V Aut C V è data da v,ϕ w,ψ=v+ϕw,ϕ ψ Diciamo traslazioi di A le affiità co ϕ=id V ; gli elemeti di TraslA soo determiati da v V e risulta TraslA =V Diciamo affiità cetrali di cetro R le affiità che tegoo fisso R; si idicao co Cetr R A e soo determiate da ϕ Aut C V e risulta Cetr R A =Aut C V La scelta di u riferimeto affie O,e ove e è ua base di V idetifica AffA al sottogruppo di GL+1,C delle matrici della forma 1 0 va dove v V e A GL,C Siao ϕ AffA e L u sottisieme di A; allora L è sottovarietà affie se e solo se ϕl lo è, e i tal caso hao la stessa dimesioe Se L è defiita dalle equazioi BX =b e ϕ è rappresetata dalla matrice A= 1 0 va allora ϕl è defiita dalle equazioi BA 1 X =b+ba 1 v I forma compatta: L è dato da bb 1 X =0, ϕl da bba 1 1 X =0 Simmetrie Siao U e V sottospazi complemetari di V C ie V C=U V La simmetria di A C di asse la varietà affie P +U e direzioe il sottospazio V è l affiità defiita dall avere P come puto uito e applicazioe lieare associata la simmetria di V C di asse U e direzioe V ie l applicazioe che al vettore u+v co u U e v V associa u v I puti uiti della simmetria soo tutti e soli i puti di P +U Ioltre il quadrato di ua simmetria è sempre l idetità Proiezioi parallele, o dall ifiito Siao U e V sottospazi complemetari di V C ie V C=U V La proiezioe di A C sulla varietà affie P +U ella direzioe del sottospazio V è la trasformazioe affie defiita dall avere P come puto uito e applicazioe lieare associata la proiezioe di V C su U co direzioe V ie l applicazioe che al vettore u+v co u U e v V associa u I puti uiti della proiezioe soo tutti e soli i puti di P +U Ioltre il quadrato di ua proiezioe è sempre la proiezioe stessa Ua proiezioe è ua affiità sse è la fuzioe idetica Proiezioi di cetro affie Siao L e L sottospazi affii complemetari di A C ie sghembi e A C=L L La proiezioe π:a C L A C di A C su L e di cetro L è la fuzioe defiita da πp =P L L Si tratta di ua fuzioe π:a C L L suriettiva i cui puti fissi soo esattamete gli elemeti di L Per ogi sottospazio affie M complemetare co L duque della stessa dimesioe di L, π si restrige a ua affiità π:m L che si dice proiezioe da M a L di cetro L Piao affie: A 2 Siao P i =x i,y i t A 2 puti del piao e v i =l i,m i t V vettori dello spazio direttore codizioe di allieameto di tre puti: x 1 x 0 x 2 x 0=0, 1 1 1 =0 y 1 y 0 y 2 y 0 ovvero x 0 x 1 x 2 y 0 y 1 y 2 retta per due puti: P 0 + P { 1 P 0 ; X=x 0+αx 1 x 0 equazioi parametriche Y =y 0+αy 1 y 0 ed equazioe cartesiaa: X x0 x1 x0 =0, Y y 0 y 1 y 0 ovvero 1 1 1 =0 X x 0 x 1 Y y 0 y 1 retta per u puto e direzioe { u vettore: P 0 + v 0 ; X=x 0+αl 0 equazioi parametriche Y =y 0+αm 0 ed equazioe cartesiaa: =0, 1 1 0 =0 X x0 Y y l0 0 m 0 ovvero X x 0 l 0 Y y 0 m 0 Posizioe reciproche di due rette: date due rette r 0 =P 0 + v 0 e r 1 =P 1 + v 1 di equazioi cartesiae rispettivamete a 0 X+b 0 Y +c 0 =0 e a 1 X+b 1 Y +c 1 =0, esse risultao: icideti se v 0 e v 1 soo li; ovvero sse la matrice a 0 b 0 a 1 b 1 ha rago due I tal caso il puto di icideza ha coordiate date dalla regola di Cramer applicata al sistema delle due equazioi parallele e distite se v 0 e v 1 soo ld e P 0 / r 1 ; ovvero sse la matrice icompleta a 0 b 0 a 1 b 1 ha rago uo e la matrice completa a0 b 0 c 0 a 1 b 1 c 1 ha rago due coicideti se v 0 e v 1 soo ld e P 0 r 1 ; ovvero sse le matrici icompleta e completa hao rago uo fasci di rette: le rette passati per u fissato puto P 0 si l scrivoo come P 0 + m, ovvero mx x0 ly y 0 =0 co l,m 0,0 le rette parallele ad u fissato vettore direzioe v 0 si scrivoo come P + v 0 co P puto qualsiasi, ovvero m 0 X l 0 Y +c=0 co c C due rette distite r 0 e r 1 determiao u fascio di rette che si descrive tramite λa 0 X+b 0 Y +c 0 +µa 1 X+b 1 Y +c 1 =0, ovvero λa 0 +µa 1 X+λb 0 +µb 1 Y +λc 0 +µc 1 =0 per λ,µ 0,0 11 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

Ua retta r 2 appartiee al fascio determiato da r 0 e r 1 se e solo se la matrice completa del sistema delle tre rette ha determiate ullo Spazio affie: A 3 Siao P i =x i,y i,z i t A 3 puti dello spazio e v i =l i,m i, i t V vettori dello spazio delle traslazioi codizioe di complaarità di quattro puti: x1 x0 x2 x0 x3 x0 =0, 1 1 1 1 y 1 y 0 y 2 y 0 y 3 y 0 ovvero x 0 x 1 x 2 x 3 z 1 z 0 z 2 z 0 z y 3 z 0 y 1 y 2 y 3 0 =0 z 0 z 1 z 2 z 3 codizioe di allieameto di tre puti: x1 x 0 x 1 1 1 2 x 0 rk y 1 y 0 y 2 y 0 =1, ovvero rk x 0 x 1 x 2 z 1 z 0 z y 2 z 0 y 1 y 2 =2 0 z 0 z 1 z 2 piao per tre puti o allieati: P 0 + P 1 P 0,P 2 P 0 ; X=x 0+α 1x 1 x 0+α 2x 2 x 0 equazioi parametriche Y =y 0+α 1y 1 y 0+α 2y 2 y 0 Z=z 0+α 1z 1 z 0+α 2z 1 z 0 ed equazioe cartesiaa: X x 0 x 1 x 0 x 2 x 0 1 1 1 1 Y y 0 y 1 y 0 y 2 y 0 Z z 0 z 1 z 0 z 2 z 0 =0, ovvero X x 0 x 1 x 2 Y y 0 y 1 y 2 =0 Z z 0 z 1 z 2 piao per u puto e direzioe due vettori li: P 0 + v 0,v 1 ; X=x 0+αl 0+βl 1 equazioi parametriche Y =y 0+αm 0+βm 1 Z=z 0+α 0+β 1 ed equazioe cartesiaa: X x 0 l 0 l 1 1 1 0 0 Y y 0 m 0 m 1 Z z 0 0 1 =0 ovvero X x 0 l 0 l 1 Y y 0 m 0 m 1 =0 Z z 0 0 1 posizioi reciproche di due piai: dati due piai π 0 =P 0 + v 0,v 0 e π 1 =P 1 + v 1,v 1 di equazioi cartesiae rispettivamete a 0 X+b 0 Y +c 0 Z+d 0 =0 e a 1 X+b 1 Y +c 1 Z+d 1 =0, essi risultao: icideti se rkv 0 v 0 v 1v 1 =3; ovvero sse la matrice a 0 b 0 c 0 a 1 b 1 c 1 ha rago due I tal caso la retta di icideza ha equazioi cartesiae date dal sistema delle due equazioi paralleli e distiti se rkv 0 v 0 v 1v 1 =2; ie gli spazi direttori coicidoo: v 0,v 0 = v 1,v 1 e P 0 / π 1 ie π 0 π 1 = ; ovvero sse la matrice icompleta a 0 b 0 c 0 a 1 b 1 c 1 ha rago uo e la matrice completa a 0 b 0 c 0 d 0 a 1 b 1 c 1 d 1 ha rago due coicideti se gli spazi direttori coicidoo e P 0 π 1 ; ovvero sse le matrici icompleta e completa hao rago uo fasci di piai: i piai coteeti ua fissata { retta r 0 =P 0 + v 0 a 0X+b 0Y +c 0Z+d 0=0 asse del fascio di equazioi cartesiae a 0 X+b 0 Y +c 0 Z+d 0 =0 si scrivoo come P 0 + v 0,l,m, t co l,m, vettore li co v 0, ovvero λa 0 X+b 0 Y +c 0 Z+d 0 +µa 0 X+b 0 Y +c 0 Z+d 0 =0 ie λa 0 +µa 0 X+λb 0+µb 0 Y +λc 0+µc 0 Z+λd 0+µd 0 =0 co λ,µ 0,0 i piai paralleli ad u fissato spazio direttore v 0,v 1 si scrivoo come P + v 0,v 1 co P puto qualsiasi, ovvero m 0 1 0 m 1 X+ l 0 1 + 0 l 1 Y +l 0 m 1 m 0 l 1 Z+c=0 co c C i coefficieti soo i miori d ordie due di v 0 v 1 due piai distiti π 0 e π 1 determiao u fascio di piai descritto da λa 0 X+b 0 Y +c 0 Z+d 0 +µa 1 X+b 1 Y +c 1 Z+d 1 =0, ovvero λa 0 +µa 1 X+λb 0 +µb 1 Y +λc 0 +µc 1 Z+λd 0 +µd 1 =0 per λ,µ 0,0 u piao π 2 appartiee al fascio di piai determiato da π 0 e π 1 se e solo se la matrice completa del sistema dei tre piai ha rago due stelle di piai: i piai passati per u fissato puto P 0 si scrivoo come P 0 + v,w co v e w vettori li, ovvero mx x 0 +ly y 0 +Z z 0 =0 co l,m, 0,0,0 i piai paralleli ad u fissato vettore direzioe v 0 ovvero a ua qualsiasi retta r 0 di direzioe v 0 si scrivoo come P + v 0,v co P puto qualsiasi e v vettore li co v 0, ovvero ax+by +cz+d=0 co d C, a,b,c 0,0,0 tale che al 0 +bm 0 +c 0 =0 tre piai distiti π 0, π 1 e π 2 che o appartegao ad u fascio determiao ua stella di piai che si descrive tramite λa 0 X+b 0 Y +c 0 Z+d 0 +µa 1 X+b 1 Y +c 1 Z+d 1 + +νa 2 X+b 2 Y +c 2 Z+d 2 =0, ovvero λa 0 +µa 1 +νa 2 X+λb 0 +µb 1 +νb 2 Y + +λc 0 +µc 1 +νc 2 Z+λd 0 +µd 1 +νd 2 =0 per λ,µ,ν 0,0,0 retta per due puti distiti: P 0 + P 1 P 0 ; X=x 0+αx 1 x 0 equazioi parametriche Y =y 0+αy 1 y 0 Z=z 0+αz 1 z 0 ed equazioi cartesiae date dalla codizioe: X x 0 x 1 1 1 1 x 0 rk Y y 0 y X x 1 y 0 =1, ovvero rk 0 x 1 Y y Z z 0 z 0 y 1 =2 1 z 0 Z z 0 z 1 retta per u puto e di direzioe u vettore: P 0 + v 0 ; X=x 0+αl 0 equazioi parametriche Y =y 0+αm 0 Z=z 0+α 0 ed equazioi cartesiae date da: X x 0 l 1 1 0 0 rk Y y 0 m X x 0 =1 ovvero rk 0 l 0 Y y Z z 0 0 m 0 =2 0 Z z 0 0 posizioe reciproche di due rette: date due rette r 0 =P 0 + v 0 e{ r 1 =P 1 + v 1 di equazioi { cartesiae rispettivamete a 0X+b 0Y +c 0Z+d 0=0 e a 1X+b 1Y +c 1Z+d 1=0, a 0 X+b 0 Y +c 0 Z+d 0 =0 a 1 X+b 1 Y +c 1 Z+d 1 =0 esse risultao: sghembe se v 0 e v 1 soo li e r 0 r 1 =, ovvero sse la matrice icompleta del sistema delle due rette ha rago tre, e la matrice completa rago quattro; icideti e distite se v 0 e v 1 soo li e r 0 r 1 ; ovvero sse le matrici icompleta e completa hao rago tre I tal caso il piao di apparteeza è dato da P 0 + v 0,v 1 ed è l uico piao apparteete a etrambi i fasci di asse le due rette Il puto di icideza ha coordiate date dalla soluzioe del sistema delle quattro equazioi parallele e distite se v 0 e v 1 soo ld e r 0 r 1 = ; ovvero sse la matrice icompleta ha rago due e la matrice completa ha rago tre Il piao di apparteeza è P 0 + P 1 P 0,v 0 ed è l uico piao apparteete a etrambi i fasci di asse le due rette coicideti se v 0 e v 1 soo ld e r 0 r 1 ; ovvero sse la matrice icompleta e la matrice completa hao rago due fasci di rette i u piao: co equazioi cartesiae, si tratta di itersecare il piao dato co la stella dei piai che soddisfao alle codizioi poste passaggio per u puto o coteete ua fissata direzioe Se π 0 =P 0 + v 0,v 0 è il piao di giaceza, e si tratta del fascio per P 1 π 0, il fascio di rette si scrive come P 1 + αv 0 +βv 0 co α,β 0,0; se si tratta del facio di rette di direzioe v 1 v 0,v 0 allora si scrive come P 0+αv 0 +βv 0 + v 1 co α,β qualsiasi stelle di rette: le rette passati per u fissato puto P 0 si scrivoo come P 0 + l,m, t co l,m, 0,0,0, ovvero scegliedo due equazioi idipedeti tra mx x 0 ly y 0 =0, X x 0 lz z 0 =0 e Y y 0 mz z 0 =0 12 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

le rette parallele ad u fissato vettore direzioe v 0 si scrivoo come P + v 0 co P =x,y,z t puto qualsiasi, ovvero scegliedo due equazioi idipedeti tra m 0 X x l 0 Y y=0, 0 X x l 0 Z z=0 e 0 Y y m 0 Z z=0 posizioi reciproche di rette e piai: dati u piao π 0 =P 0 + v 0,v 0 e ua retta r 1 =P 1 + v 1, di equazioi { cartesiae rispettivamete a 0 X+b 0 Y +c 0 Z+d 0 =0 e, a 1 X+b 1 Y +c 1 Z+d 1 =0 a 1X+b 1Y +c 1Z+d 1=0 essi risultao: icideti se v 0,v 0 e v 1 soo li; ciò accade sse le matrici completa e icompleta del sistema piao-retta hao rago comue tre; le coordiate del puto di itersezioe si ottegoo applicado la regola di Cramer a tale sistema; paralleli e disgiuti se v 1 v 0,v 0 ie se v 0,v 0 e v 1 soo ld e π 0 r 1 = ; ovvero sse la matrice icompleta ha rago due e la matrice completa ha rago tre apparteersi se v 1 v 0,v 0 ie se v 0,v 0 e v 1 soo ld e π 0 r 1 ; ovvero sse le matrici icompleta e completa hao rago due I tal caso r 1 π 0 Geometria Euclidea Uo Spazio Euclideo Reale è uo Spazio Affie E il cui spazio delle traslazioi sia uo spazio vettoriale euclideo reale Iterpretazioe euclidea delle equazioi cartesiae: i coefficieti delle variabili formao dei vettori che soo ortogoali al sottospazio direttore della varietà Se L è il sottospazio P 0 + v 1,,v m ed ha equazioi cartesiaee date dal sistema AX b=0 co A M r,, b R m ed r= m, allora risulta che le righe A 1,,A r itese come coordiate di elemeti di V soo idipedeti e ortogoali al sottospazio v 1,,v m Si ha V = v 1,,v m A 1,,A r Distaza tra puti: Defiiamo la fuzioe distaza d:e E R tramite: dp,q:= Q P Proprietà della fuzioe distaza: dp,q=0 se e solo se P =Q; simmetria: dp,q=dq,p ; disuguagliaza triagolare: dp,q dp,r+dr,q Distaza tra puti e sottospazi: la distaza tra u puto P 1 e il sottospazio L è defiita come dp 1,L:=if Q L dp 1,Q Si aulla se e solo se P 1 L Se P 1 / L allora esiste uico P 1 L tale che dp 1,L+dP 1,Q, e si chiama il puto di miima distaza Si trova impoedo al geerico vettore P 1 P 0 + α i v i di essere ortogoale ad ogi v i si tratta di u sistema quadrato co icogite le α i Distaza tra sottospazi: siao L ed L sue sottospazi di dimesioi m ed m ; la loro distaza è defiita da dl,l := if Q L,Q L dq,q Si aulla se e solo se L L Se L L =, allora si possoo trovare i puti di miima distaza P L e P L, cioè tali che dl,l =dp,p, impoedo al geerico vettore P 0 P 0 + α i v i β j v j di essere ortogoale a ogi v i e ad ogi v j I puti di miima distaza soo uici se e solo se le varietà L ed L soo sghembe I geerale: dp +W,P +W =dp,p +W +W Se r è retta per P e direzioe v, allora per ogi puto Q si ha dq,r 2 = Q P 2 Q P v2 v 2 Se π è iperpiao di equazioe a 1 X 1 + +a X +a 0 =0 i u riferimeto ortoormale allora per ogi puto Q di coordiate q i ello stesso riferimeto si ha dq,π= a1q1+ +aq+a0 a 2 1 + +a2 Se ivece π è iperpiao per P e di direzioe v 1,,v 1 allora per ogi puto Q si ha dq,π= detq P,v1,,v 1 crossv 1,,v 1 Area di triagoli: dati tre puti o allieati P 0, P 1 e P 2, detti P 1 P 0 =l 1,,l e P2 P 0 =m 1,,m, l area del triagolo da essi defiito è AP 0,P 1,P 2 = 1 2 l im j l jm i 2 i<j sotto radice vi soo i quadrati dei miori d ordie due della matrice dei due vettori Volumi di m-edri: dati m+1 puti idipedeti P 0,,P m, detti v i =P i P 0, risulta che l m+1-edro defiito da quei puti ha misura m-dimesioale data da m! 1 v 1 v m ove defiiamo la orma di ua matrice m co m come la radice quadrata della somma dei quadrati dei miori di ordie m della matrice stessa si tratta di m termii Per u isieme di idici 1 i 1 < <i m, abbreviato I, idichiamo co P I la m-pla delle coordiate di P dei posti i I, e co P Î la m-pla delle coordiate di P dei posti o i I Allora l m-volume i questioe si scrive come 1 1 1 2 m! I P 0 I P mi ove la somma è sulle m-ple itere tali che 1 i 1 < <i m I particolare per m= 1 risulta: 1 1 1 1! i=1p 0 î P 1 î 2 E per m= risulta: 1 1 1! det P 0 P Trasformazioi Euclidee, Rigidità, Coformità Ua applicazioe F AffE si dice ua cogrueza o rigidità, o isometria se l applicazioe ϕ associata rispetta la stuttura euclidea, ie il prodotto scalare Si dice diretta o iversa a secoda che il determiate della isometria associata sia 1 o 1 Idichiamo co RigE questo gruppo ota: RigE TraslE, e defiiamo le rigidità cetrali di cetro R Rig R E:=RigE Cetr R E Ogi elemeto di RigE si può scrivere come composizioe di ua traslazioe e di ua rigidità di cetro R preassegato, e ache i ordie iverso Ua applicazioe F AffE si dice ua similitudie o omotetia se esiste ρ R positivo tale che df P,F Q=ρdP,Q Ciò equivale a dire che F è ua coformità, ie rispetta gli agoli tra i segmeti Ua dilatazioe di cetro R è u elemeto di Cetr R E la cui matrice associata sia αi α è il fattore di dilatazioe; si tratta di ua coformità Ogi coformità si scrive come composizioe di ua rigidità seguita da ua dilatazioe di cetro R preassegato, o ache i ordie iverso Piao euclideo: E 2 iterpretazioe euclidea delle equazioi cartesiae delle rette: la retta r di equazioe ax+by +c=0 ha direzioe ortogoale al vettore a,b t, duque ha vettore direttore b, a L agolo ϑr,r tra due rette r ed r è l agolo formato dai vettori ormali alle due rette, e quidi cosϑr,r aa = +bb a 2 +b 2 a 2 +b 2 distaza puto-retta: dp 0,r= ax0+by0+c a2 +b 2 Se r=p 1 + v 1 e u 1 =crossv 1 ie u vettore ormale alla retta allora dp 0,r= P1 P0 u1 u 1 asse di u segmeto: si tratta della retta dei puti equidistati dai due puti dati P 0 e P 1 ; si scrive 1 2 P 0+ 1 2 P 1+ P 1 P 0, oppure tramite l equazioe: x 1 x 0 X x0+x1 2 +y1 y 0 Y y0+y1 2 =0 bisettrici di due rette icideti: se r 0 =P 0 + v 0 e r 1 =P 1 + v 1 e v 0 = v 1, allora le bisettrici soo date da P + v 0 ±v 1 ove P =r 0 r 1 13 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm

se abbiamo equazioi cartesiae a 0 X +b 0 Y +c 0 =0 e a 1 X + b 1 Y +c 1 =0 co a 2 0 +b2 0 =a2 1 +b2 1 allora le bisettrici hao equazioi a 0 X +b 0 Y +c 0 ±a 1 X +b 1 Y +c 1 =0 area di triagoli: AP 0,P 1,P 2 = 1 2 det 1 1 1 P 0 P 1 P 2 = 1 2 x 1 1 1 0 x 1 x 2 y 0 y 1 y 2 distaza tra rette parallele: è la distaza tra u puto qualsiasi di ua e l altra retta Classificazioe delle rigidità piae: Rotazioi: soo le rigidità dirette che hao u puto uito; Traslazioi: Soo le rigidità dirette prive di puti uiti; Riflessioi: soo le rigidità iverse che hao puti uiti ua retta, i effetti, di puti uiti; Glissoriflessioi: soo le rigidità iverse prive di puti uiti: si possoo sempre scrivere come composizioe di ua riflessioe e di ua traslazioe parallela all asse di riflessioe Spazio euclideo: E 3 iterpretazioe euclidea delle equazioi dei piai e delle rette: il piao π di equazioe cartesiaa ax+by +cz+d=0 è ortogoale al vettore a,b,c t ; duque il sottospazio direttore del piao è dato da a,b,c t La retta r=π π determiata dalle equazioi cartesiae di due piai o paralleli ha direzioe ortogoale ai vettori a,b,c t e a,b,c t, duque u suo vettore direttore è dato da a,b,c t a,b,c t L agolo ϑπ,π tra due piai π e π, corrispode all agolo tra i vettori ormali, e duque ϑπ,π aa = +bb +cc a 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c 2 L agolo tra due rette icideti si misura come l agolo tra i vettori direttori L agolo tra u piao π e ua retta r=π π si scrive come abcv siϑπ,r= se v è u vettore direttore della a2 +b 2 +c 2 v retta, per esempio v=a b c t a b c t distaza puto-piao: dp 0,π= ax0+by0+cz0+d a2 +b 2 +c 2 Se π=p 1 + v 1,v 1 allora dp 0,π= P1 P0 v1 v 1 v 1 v 1 iterpretazioe geometrica: il umeratore è il volume di u parallelepipedo di cui il deomiatore è la base distaza tra piai paralleli: si tratta della distaza tra u puto qualsiasi di u piao e l altro piao distaza retta-piao: è ulla se o soo paralleli, e i tal caso è la distaza di u puto qualsiasi della retta dal piao distaza retta-retta: siao r=p + v e r =P + v ; allora se r ed r o soo parallele: dr,r = P P v v v v iterpretazioe geometrica: il umeratore è il volume di u parallelepipedo di cui il deomiatore è l area di base; metre se soo parallele: dr,r = P P v v iterpretazioe geometrica: il umeratore è area di u parallelogramma di cui il deomiatore è la misura della base distaza puto-retta: sia r=p + v, allora dp 0,r= P P v ; v se abbiamo r=π π, allora dp 0,r= ax 0+by 0 +cz 0 a 2 +b 2 +c 2 a,b,c t + a x 0 +b y 0 +c z 0 a 2 +b 2 +c 2 a,b,c t e si scrive ache dp 0,r= dp 0,π 2 +dp 0,π 2 +dp 0,πdP 0,π cosϑπ,π bisettrici di due piai icideti: se abbiamo equazioi cartesiae a 0 X +b 0 Y +c 0 Z +d 0 =0 e a 1 X +b 1 Y +c 1 Z +d 1 =0 co a 2 0 +b2 0 +c2 0 =a2 1 +b2 1 +c2 1 allora i piai bisettori hao equazioi a 0 X +b 0 Y +c 0 Z +d 0 ±a 1 X +b 1 Y +c 1 Z +d 1 =0 area di triagoli: AP 0,P 1,P 2 = 2 1 P 1 P 0 P 2 P 0, e si esplicita come 1 1 1 1 x 2 0 x 1 x 2 2 + x 1 1 1 0 x 1 x 2 2 + y 1 1 1 0 y 1 y 2 2 y 0 y 1 y 2 z 0 z 1 z 2 z 0 z 1 z 2 volume di tetraedri: V P 0,P 1,P 2,P 3 = 1 6 det 1 1 1 1 1 1 1 1 P 0 P 1 P 2 P 3 = 1 6 x 0 x 1 x 2 x 3 y 0 y 1 y 2 y 3 z 0 z 1 z 2 z 3 Classificazioe delle rigidità spaziali: Rotazioi di asse ua retta: soo le rigidità dirette co ua retta di puti uiti; Traslazioi soo rigidità dirette seza puti uiti; Roto-traslazioi o Glissorotazioi: soo rigidità dirette seza puti uiti, composizioi di ua rotazioe di asse ua retta e di ua traslazioe parallela all asse; Riflessioi: soo le rigidità iverse co u piao di puti uiti; Roto-riflessioi: soo le rigidità iverse co u puto uito: composizioe di ua riflessioe e di ua rotazioe di asse ortogoale al piao di riflessioe; Glissoriflessioi: soo le rigidità iverse prive di puti uiti: composizioe di ua riflessioe e di ua traslazioe di direzioe parallela al piao di riflessioe asse di u segmeto: si tratta del piao dei puti equidistati dai due puti dati P 0 e P 1 ; si scrive 1 2 P 0+ 1 2 P 1+ P 1 P 0, oppure tramite l equazioe: x 1 x 0 X x 0 +x 1 2 +y 1 y 0 Y y 0 +y 1 2 +z 1 z 0 Z z 0 +z 1 2 =0 Copyright c 2004 M Cailotto, March 2004 v0304 Dip di Matematica Pura ed Applicata, Uiv Padova Italy Thaks to TEX, a trademark of the America Mathematical Society, ad DEK Stampa e distribuzioe di questo Formulario soo cosetiti per scopi didattici e scietifici, escluso qualsiasi scopo di lucro, e purché questa ota di copyright sia presete i ogi copia 14 Formulario - AlgLi, GeoAffEucl c 2004 by mcm