Mtrici: Definizioni e Proprietà Alcune figure di questi ppunti riportno nei commenti esempi in linguggio MATLAB In tli esempi i crtteri di peso normle sono prodotti dl computer mentre i crtteri in grssetto sono bttuti dll opertore I crtteri sono il prompt del sistem, ossi indicno che MATLAB è in ttes di istruzioni Ad esempio l sequenz seguente: whos signific che MATLAB ttendev ordini e che l opertore h bttuto il comndo whos MATLAB (MATrix LABortory) è un sistem interttivo bsto sul clcolo mtricile per uso scientifico e tecnico Oltre l trttmento di mtrici è in grdo di trttre polinomili, equzioni differenzili e ltre ppliczioni Funzionlità ggiuntive sono rese possibili medinte l instllzione di toolbox ddizionli L Homepge di MATLAB è http://wwwmthworkscom/ Un sistem simile MATLAB, di tipo Open Source (ossi grtuito), è Scilb (http://wwwscilborg/) L sintssi di Scilb è molto simile quell di MATLAB In prticolre, negli esempi che seguono i comndi d dre sono identici, trnne dove esplicitmente dichirto L output di Scilb è leggermente diverso Il prompt di Sscilb è -->
Mtrice: Definizione e Simbologi Mtrice di dimensioni mn (mtrice m n): insieme di mn elementi sclri (numeri), ordinti secondo un doppio ordinmento Doppio ordinmento signific che l posizione di ogni elemento è individut d due indici indice: rig ( i m); 2 indice: colonn ( k n), rppresentimo l mtrice con un tbell: A = m 2 m 2 ik n mn i k =,, m =,, n 2 In MATLAB un mtrice può essere costruit indicndo tutti i suoi elementi, rig per rig, come nell esempio seguente: B=[ 2-4; -2 -; 5 - -] B = 2-4 -2-5 - - Si noti che gli elementi ll interno di un rig sono seprti d spzi, mentre un rig è seprt dll successiv dl crttere ; Elementi di Clcolo Mtricile Pin 2
Come si indic un Mtrice Letter Miuscol: Mtrice B = 5 2 2 4 B è un mtrice 4 Letter minuscol: elemento generico b 2 = b 2 =2 b 4 =- b 4 = NON ESISTE! In MATLAB il nome di un mtrice può essere indifferentemente miuscolo o minuscolo Esempio: b, lf, B, Alf, b, cc sono ltrettnti nomi vlidi e individuno mtrici distinte fr loro Un elemento è indicto usndo lo stesso nome dell mtrice con gli indici di rig e colonn fr prentesi, come negli esempi seguenti: Se b = -2-7 5 4-6 risult: b(,)=, b(,)=-2, b(,)=, Dt l mtrice B dell figur, gli elementi dell esempio sono ottenuti coi comndi: B(2,) ns = B(,4) ns = - B(4,)??? Index exceeds mtrix dimensions Elementi di Clcolo Mtricile Pin
Mtrice trspost B = 5 2 2 4 B = 5 2 2 4 B T, trspost di B, si ottiene scmbindo le righe con le colonne L trspost di un mtrice m n è un mtrice n m (B è 4, B T è 4 ) Trspost dell trspost = mtrice originle: (A T ) T = A 4 In MATLAB l trspost di è indict con Esempi: B' ns = 5 2 - -2-4 - - (B')' ns = 2-4 -2-5 - - Elementi di Clcolo Mtricile Pin 4
Mtrice prtiziont in sottomtrici (blocchi) 2 A = 4 9 6 5 6 8 7 2 2 2 4 4 6 4 6 7 8 4 6 = P P 2 P P 2 22 2 4 5 6 9 8 6 P = P 2 = 7 P 2 = P 22 = 2 2 2 4 4 6 4 6 7 8 4 6 5 In MATLAB è possibile costruire un mtrice utilizzndo dei blocchi invece che singoli elementi Ad esempio l mtrice dell figur può essere ottenut con l seguente sequenz di comndi: P=[ 5;2 4 6; -9 8]; P2=[- -2 7; 2 ;2 4 6 8]; P2=[ 6 7; ]; P22=[- 4 4; 4 6 6]; A=[P P2;P2 P22] A = 5 - -2 7 2 4 6 2-9 8 2 4 6 8 6 7-4 4 4 6 6 Mentre un sottomtrice è ottenut col comndo mtrice(rig inizile:rig finle, colonn inizile:colonn finle) Esempio: P2=A(:2,4:7) P2 = - -2 7 2 2 4 6 8 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 5
Mtrici qudrte Se m = n (tnte righe qunte colonne) l mtrice si dice qudrt di ordine n 6
Mtrici qudrte Digonle principle A = 7 4 2 5 6 A è un mtrice, quindi è qudrt di ordine Digonle principle = 22 = 7 = -6 L digonle principle è un vettore formto dgli elementi digonli, ossi elementi del tipo: ii (indice rig = indice colonn) 7 In MATLAB il comndo dig(x), se X è un mtrice qudrt, gener come rispost un vettore colonn formto dgli elementi digonli di X Esempio: X = -2-7 5 4-6 dig(x) ns = 7-6 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 7
Mtrici qudrte Mtrice tringolre B = 4 2 2 6 5 B è qudrt di ordine 4 Tutti gli elementi sotto l digonle sono = B è TRIANGOLARE SUPERIORE Se per ogni i>k (i,k=,,n) b ik =, l mtrice è tringolre superiore 8 Se pensimo di nnerire tutte le posizioni che possono contenere un vlore diverso d zero e lscimo binche quelle che di certo contengono zero, disegnimo un tringolo che st sopr l digonle principle In MATLAB il comndo triu(x), se X è un mtrice qudrt, estre d ess l tringolre superiore Esempio: X = - -6 4-2 5 5-2 2-9 B=triu(X) B = - -6 4-2 5-2 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 8
Mtrici qudrte Mtrice tringolre inferiore C = 5 2 4 2 9 Tutti gli elementi sopr l digonle sono = C è TRIANGOLARE INFERIORE Se per ogni i<k (i,k=,,n) c ik =, l mtrice è tringolre inferiore 9 In MATLAB il comndo tril(x), se X è un mtrice qudrt, estre d ess l tringolre superiore Esempio: X = - -6 4-2 5 5-2 2-9 C=tril(X) C = - 4 5-2 2-9 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 9
Mtrici qudrte Mtrice simmetric 2 Tutti gli elementi in posizione speculre rispetto ll 4 digonle sono due due 2 9 uguli 2 9 L mtrice è SIMMETRICA Se per ogni i,k (i,k=,,n) ik = ki, l mtrice è simmetric Se scmbimo l indice di rig con quello di colonn, ci portimo d un elemento quello in posizione simmetric rispetto ll digonle principle Nell esempio, se prendimo l elemento 2 (che contiene il vlore ) e scmbimo gli indici ci portimo sull elemento 2 (che contiene ncor, dto che l mtrice è simmetric) I due elementi sono equidistnti dll digonle principle Similmente per le coppie e (contengono ); 2 e 2 (contengono ); 4 e 4 (contengono 2) ecceter Elementi di Clcolo Mtricile Pin
Mtrici qudrte Mtrice digonle 4 2 Tutti gli elementi fuori dll digonle sono = L mtrice è dett DIAGONALE L mtrice digonle è tringolre superiore e tringolre inferiore Se per ogni i k (i,k=,,n) ik =, l mtrice è digonle In MATLAB il comndo dig(v), se v è un vettore (vettore rig oppure vettore colonn), gener come rispost un mtrice digonle Esempio: v=[ -4-2 ]; dig(v) ns = -4-2 Elementi di Clcolo Mtricile Pin
Mtrici qudrte Mtrice null Se per ogni i,k (i,k=,,n) ik = bbimo l mtrice null 2 In MATLAB il comndo zeros(n) gener l mtrice null di ordine n Esempio: zeros(4) ns = === Scilb ====================== in Scilb occorre indicre entrmbe le dimensioni dell mtrice, quindi: -->zeros(4,4) ns =!!!!!!!! --> Elementi di Clcolo Mtricile Pin 2
Mtrici qudrte Mtrice unitri I = L mtrice è digonle, tutti gli elementi sono = L mtrice si dice UNITARIA o IDENTICA e si indic con I Se ik = per i k e ik = per i=k, A = I In MATLAB il comndo eye(n) gener l mtrice identic di ordine n Esempio: I=eye() I = === Scilb ====================== in Scilb occorre indicre entrmbe le dimensioni dell mtrice, quindi: -->eye(,) ns =!!!!!! --> Elementi di Clcolo Mtricile Pin
Operzioni sulle Mtrici Addizione e Sottrzione 4
Addizione Dte due mtrici A(m n), B(m n) si definisce ddizione delle due mtrici l'operzione che gener l mtrice somm S(m n) S=A+B, di elementi: s ij = ij +b ij i=,,m; j=,,n L'ddizione è possibile solo fr mtrici simili (delle stesse dimensioni) Vlgono le proprietà dell'ddizione fr numeri reli: commuttiv: A+B=B+A, ssocitiv: A+(B+C) = (A+B)+C, l'elemento neutro è l mtrice null 5 Elemento neutro di un operzione (fr due elementi di un insieme) è quell elemento che non produce effetti, ossi dà come risultto lo stesso elemento cui viene pplicto Ad esempio: nell operzione prodotto fr due numeri l elemento neutro è il numero, dto che risult =, dove è un numero qulsisi In MATLAB l mtrice somm si indic con l usule notzione ust per i numeri: A+B; A+(B+C); Elementi di Clcolo Mtricile Pin 5
Sottrzione Dte due mtrici A(m n), B(m n) si definisce sottrzione delle due mtrici l'operzione che gener l mtrice differenz D(m n) S=A-B, di elementi: s ij = ij -b ij i=,,m; j=,,n L sottrzione è possibile solo fr mtrici simili (delle stesse dimensioni) 6 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 6
Esempio - somm di due mtrici 4 Dte: A = 5 2 2 4 B = 7 4 2 8 6 5 determinre l mtrice somm A+B 8 5 2 A+B = -4-4 5 7-7 In MATLAB: A=[ 2-4; -2 -;5 - -]; B=[7 6;-4-2 5; 8 ]; A+B ns = 8 5 2-4 - 4 5 7 - Elementi di Clcolo Mtricile Pin 7
Moltipliczione 8
Prodotto di un numero per un mtrice Dto uno sclre (numero) c e un mtrice A(m n), si definisce prodotto ca l mtrice A (m n), di elementi: ik =c ik i=,,m; k=,,n Il prodotto del numero per un mtrice è l mtrice oppost L differenz fr due mtrici A, B è l somm di A con l oppost di B: A B = A + (-)B 9 In MATLAB il prodotto di un numero per un mtrice si indic col simbolo * : Esempio: A = 2-4 -2-5 - - -*A ns = - -6-2 -9 6-5 9 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 9
Prodotto di mtrici Dte due mtrici A(m n), B(n p) si definisce moltipliczione delle due mtrici l'operzione che gener l mtrice prodotto P(m p) P=A B (oppure P=AB), di elementi: p ik = r i b k r i è il vettore formto dll "i-esim rig" di A b k è il vettore "k-esim colonn" di B (prodotto sclre "righe per colonne") Dimensioni delle mtrici: P = A B (m p) i=,,m; j=,,n (m n) (n p) DIMENSIONI INTERNE DIMENSIONI ESTERNE 2 Le dimensioni interne delle due mtrici d moltiplicre devono essere uguli Le dimensioni esterne determinno le dimensioni dell mtrice prodotto Elementi di Clcolo Mtricile Pin 2
Proprietà dell Moltipliczione A BA L rig di A e l colonn di B devono vere lo stesso numero n di elementi (mtrici comptibili) Il prodotto di mtrici qudrte dello stesso ordine è definito ed è un mtrice qudrt dello stesso ordine Non vle l proprietà commuttiv, quindi (nche se BA esiste): AB BA Vle l proprietà ssocitiv: (AB)C = A(BC) Si può scrivere quindi: ABC 2 In MATLAB il prodotto di più mtrici si può scrivere come segue: A*B*C; Elementi di Clcolo Mtricile Pin 2
Esempio - Prodotto di due mtrici A = 2 B = 5 4 P = AB A(2 ) B( 2) P (2 2) P = AB = 7-2 - -5 p = = 7, 2,,, 22 In MATLAB: A=[ 2 ; - ];B=[ ; 5; -4]; P=A*B P = 7-2 - -5 P(,) ns = 7 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 22
Prodotto mtrice - vettore A = 4 2 B = 2 6 A(2 2) B(2 ) AB (2 ) B è dett vettore colonn AB = 2 4 p =, 2, 6 = 2 p 2 = -4, 2 2, 6 = 4 Il prodotto dell mtrice qudrt per il vettore colonn è ncor un vettore colonn 2 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 2
Prodotto vettore - mtrice 4 A = B 2 BA = 2 4 = [ 2 6] A(2 2) B( 2) BA ( 2) p = 2, 6, = 2 p 2 = 2, 6-4, 2 = 4 B è dett vettore rig Il prodotto del vettore rig per l mtrice qudrt è ncor un vettore rig 24 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 24
Vettori rig e vettori colonn Inserendo gli elementi di un vettore in un mtrice di un sol rig/colonn si possono pplicre le regole del prodotto di mtrici Il vettore rig premoltiplic un mtrice qudrt e viene trsformto in un ltro vettore rig Il vettore colonn postmoltiplic un mtrice qudrt e viene trsformto in un ltro vettore colonn Il vettore rig subisce l stess trsformzione del corrispondente vettore colonn se le due mtrici sono un trspost dell ltr D or in vnti: un vettore srà sempre un vettore colonn 25 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 25
Mtrice ortogonle Un mtrice qudrt A si dice ortogonle se A T A = I Esempio: A = è ortogonle Inftti: A T A = = 26 In MATLAB: A=[ ; ; ]; A'*A ns = Elementi di Clcolo Mtricile Pin 26
Mtrici qudrte Determinnti Un determinnte è un espressione lgebric che si ricv in modo univoco - seguendo regole ben precise - d un mtrice qudrt Se det A = l mtrice A si dice SINGOLARE 27 Il determinnte è l somm di tnti prodotti I fttori di ogni prodotto sono elementi dell mtrice moltiplicti fr loro; ogni fttore non deve pprtenere né ll stess rig né ll stess colonn degli ltri fttori di quel prodotto Si ricv che ogni prodotto è costituito d n fttori, se n è l dimensione dell mtrice Uno dei prodotti che soddisfno senz ltro ll condizione vist sopr h come fttori gli elementi dell digonle principle Prendendo tutti i possibili prodotti che soddisfno ll condizione vist sopr, cmbindo di segno d lcuni di essi (secondo certe regole), si ottiene l espressione del determinnte
Mtrici qudrte Determinnte di un mtrice 2x2 A = 2 2 22 Prodotto degli elementi dell digonle principle meno prodotto elementi dell digonle secondri Esempio: det 2 = 2 = 5 28 Dto che in questo cso n=2, i prodotti sono costituiti d due fttori Si vede fcilmente che gli unici due prodotti possibili sono quelli costituiti dgli elementi dell digonle principle e d quelli dell digonle secondri A quest ultimo prodotto si cmbi segno In MATLAB il determinnte è clcolto dl comndo det : det([2 ; ]) ns = 5 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 28
Mtrici qudrte Determinnte di un mtrice x Regol di Srrus: A = 2 2 22 2 2 2 2 22 2 deta= 22-22 + 2 2 + 2 2 + - 2 2-2 2 29 Nel cso n= ogni prodotto è costituito d tre fttori Sono possibili sei prodotti, ottenibili con l regol di Srrus: Si prende l digonle principle, prtendo dll elemento in lto sinistr (elemento ) e moltiplicndolo per i successivi; Si prende l prim colonn e l si ricopi destr dell mtrice (si ottiene un mtrice provvisori 4) Quindi si ripete l operzione precedente, prtendo d un posizione più destr (ossi dll elemento 2 ) e -muovendosi prllelmente ll digonle principle- si moltiplicno i tre elementi che si trovno llineti Si prende l second colonn e l si ricopi destr dell mtrice precedentemente mplit Quindi si ripete l operzione precedente, prtendo d un posizione più destr (elemento ) A questo punto si sono ottenuti tre prodotti, i quli non v cmbito il segno Riprtendo or dll elemento e muovendosi prllelmente ll digonle secondri si ottengono ltri tre prodotti, cui si cmbi segno Elementi di Clcolo Mtricile Pin 29
Mtrici qudrte Determinnte di mtrice - Esempio È dt l mtrice: A = 2 Regol di Srrus: 2 2 deta = (-) + + 2 - (-) - - 2 = - Con MATLAB: det([ ; 2 ; ]) ns = - Elementi di Clcolo Mtricile Pin
Mtrici qudrte Alcune proprietà del determinnte Scmbindo due righe (o due colonne) fr loro il determinnte cmbi segno Se due righe (o due colonne) sono uguli il determinnte è nullo deta T = deta il determinnte dell mtrice trspost è ugule l determinnte dell mtrice il determinnte dell mtrice null vle Elementi di Clcolo Mtricile Pin
Altre proprietà dei determinnti det(a B) = deta detb "il determinnte del prodotto è il prodotto dei determinnti" Se A è tringolre deta = 22 nn "il determinnte è il prodotto degli elementi digonli" Quindi det I = 2 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 2
Determinnte di un mtrice ortogonle det(a B) = deta detb det(a T A) = deta T deta = (deta) 2 Se A è ortogonle: det(a T A) = deti = (deta) 2 = deta = ± Quindi il determinnte di un mtrice ortogonle è ± Elementi di Clcolo Mtricile Pin
A = Mtrici qudrte Determinnte di un mtrice generic n 2 2 22 n nn SVILUPPO DEL DETERMINANTE SECONDO LA PRIMA RIGA deta= det 22 2 2n nn - 2 det 2 2 2n nn + det 2 22 2 24 4 2n nn ± n det 2 2n nn 4 L lgoritmo illustrto permette di esprimere il determinnte medinte gli elementi di un rig e i determinnti di mtrici di dimensione inferiore Applicndolo ricorsivmente si rriv mtrici di dimensione, in cui il determinnte coincide con l unico elemento Questo lgoritmo prende il nome di regol di Lplce e può essere generlizzto qulsisi rig (vle cioè nche se si svilupp non secondo l prim rig m secondo un rig qulsisi) Elementi di Clcolo Mtricile Pin 4
Mtrice sviluppo secondo l rig A = 2 2 22 2 2 deta= det 22 2-2 2 det 2 2 2 22 + det 2 deta= ( 22-2 2 )- 2 ( 2-2 ) + ( 2 2-22 ) 5 Applicndo l regol di Lplce un mtrice si verific che si ottiene l stess espressione ottenut con l regol di Srrus Elementi di Clcolo Mtricile Pin 5
Mtrice prodotto vettore i b = det b x x j b y y k z b z SVILUPPANDO SECONDO LA PRIMA RIGA: b = i( y b z - z b y ) - j( x b z - z b x ) + k( x b y - y b x ) b = i( y b z - z b y ) + j( z b x - x b z ) + k( x b y - y b x ) 6 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 6
Mtrice doppio prodotto misto b c = det b c x x x b c y y y b c z z z SVILUPPANDO SECONDO LA PRIMA RIGA: b c = x (b y c z -b z c y ) - y (b x c z -b z c x ) + z (b x c y -b y c x ) 7 Elementi di Clcolo Mtricile Pin 7