4.7 RETICOLO RECIPROCO L teori clssic dell elettromgnetismo mostr che qundo un ond elettromgnetic (e.m.) di un dt lunghezz d ond λ incontr un ostcolo di dimensioni confrontbili con λ si verific il fenomeno dell diffrzione. Sempre l teori clssic mostr che tle fenomeno si verific nche qundo un ond e.m. incontr un reticolo, ossi un struttur periodic, con psso confrontbile λ. Ritorneremo in mnier pprofondit su questo rgomento in seguito, considerndo l diffrzione di onde, non solo e.m. m nche mterili, ll interno dei cristlli. Per il momento però questo riferimento i fenomeni di diffrzione ci è utile per giustificre l interesse d introdurre un set di prticolri vettori d ond, che definiscono il cosiddetto reticolo reciproco di un cristllo. Inftti dl momento che un cristllo è crtterizzto d un struttur periodic definit trmite il suo reticolo di Brvis, ci dobbimo spettre che onde, di qulunque ntur, che si propghino ll interno di un cristllo e che bbimo lunghezze d ond, e quindi vettori d ond, opportuni dino luogo fenomeni di diffrzione che bbimo interesse comprendere. Dunque, considerimo un set di vettori {τ } che definiscono un reticolo di Brvis ed un ond pin 1, ossi perturbzione il cui cmpo (di qulunque ig r ntur) dipende dlle coordinte spzili trmite il fttore di fse e. Ovvimente, per un vettore d ond G qulunque, un tle ond non vrà l stess periodicità del reticolo, né un periodicità commensurbile con il reticolo stesso (multipl o sottomultip. Questo ccdrà solo per lcuni prticolri vettori G. Si definisce reticolo reciproco di un dto reticolo cristllino il set di tutti i vettori G che forniscono onde pine con l stess periodicità o con periodicità commensurbile con quell del reticolo cristllino D un punto di vist mtemtico, ssegnto un reticolo cristllino, ossi un reticolo di Brvis {τ } nello spzio ordinrio, si dice che {G } è il reticolo reciproco di {τ } se per ogni G {G} e per ogni τ {τ } vle l seguente condizione: ig ( r + τ ) ig r e = e τ ig e = 1 G τ = 2π j (4) con j numero intero. Notimo che ogni cristllo rele è necessrimente finito. Pertnto, indicndo con N 1, N 2, N 3, il numero di celle primitive che lo compongono nelle direzioni dei tre ssi cristllogrfici definite di vettori primitivi, b, c, llor N=N 1 N 2 N 3 è il numero totle di celle costituenti il cristllo (con N 1 >>1, N 2 >>1, N 3 >>1). Di conseguenz N è nche il numero 1 NOTA: Il ftto di considerre onde pine non costituisce un limitzione, dto che qulunque si l ond è possibile prticmente sempre (ossi sotto condizioni molto generli) decomporl nelle sue componenti di Fourier. Quindi qunto diremo in merito lle onde pine è d intendersi riferito lle componenti di Fourier di un ond qulunque. 143
totle di vettori del reticolo cristllino {τ } ed il numero totle di vettori G del reticolo reciproco. Notimo che un reticolo reciproco è definito in riferimento d un prticolre reticolo cristllino. Per questo motivo, il reticolo cristllino che determin un reticolo reciproco è detto nche reticolo diretto. Notimo inoltre che per qunto possimo definire un set {G } che soddisf l (4) per un qulunque set di vettori di { τ }, il set {G } è detto reticolo reciproco solo se il set {τ } è un reticolo di Brvis nello spzio ordinrio. Pertnto ogni struttur cristllin h due reticoli ssociti d ess: il reticolo cristllino (o diretto) ed il reciproco. Qundo ruotimo un cristllo ruotimo entrmbi i reticoli. I vettori del reticolo cristllino hnno le dimensioni di un lunghezz [L], i vettori del reticolo reciproco hnno le dimensioni dell inverso di un lunghezz [L -1 ]. Il reticolo cristllino è un reticolo nello spzio rele o ordinrio, il reticolo reciproco è un reticolo nello spzio di Fourier. Notimo che {G } è nch esso un reticolo di Brvis m nello spzio di Fourier. Come discusso l prgrfo 4.2, Eqs. (2) e (3), i vettori τ possono essere espressi come combinzione linere di tre vettori fondmentli, b, c dello spzio diretto: (5) τ = n+ nb+ nc 1 2 3 con n 1, n 2, n 3 numeri interi positivi e negtivi, zero incluso. Allo stesso modo, possimo esprimere i vettori G come combinzione linere di tre vettori fondmentli A, B, C dello spzio reciproco: G= m A+ m B+ mc 1 2 3 con m 1, m 2, m 3 interi positivi e negtivi, zero incluso. Tenendo conto dell (4) dunque si h: G τ = ( m A+ m B+ mc) ( n+ n b + n c) = 2π j 1 2 3 1 2 3 τ, Si può dimostre che l condizione (7) è soddisftt se e solo se: A = 2π, Ab = 0, Ac = 0 B = 0, Bb = 2π, B c = 0 C = 0, C b = 0, C c = 2π (6) G (7) Quindi A deve essere perpendicolre b e c, pertnto A deve essere proporzionle b c e l costnte di proporzionlità è determint dll (8) 144
condizione A = 2π ( 2 ). Similmente per B e C. In ltri termini possimo soddisfre le Eqs. (8) scrivendo: b c c b A = 2 π, B = 2 π, C = 2 π (9) b c b c b c Queste espressioni definiscono esplicitmente i vettori fondmentli del reticolo reciproco. Non necessrimente i vettori A, B, C così definiti sono vettori primitivi del reticolo reciproco. Questo è vero solo se, b, c sono vettori primitivi del reticolo diretto. Inoltre essi sono ortogonli fr loro se lo sono, b, c. Abbimo scritto tutti i denomintori come b c poiché secondo il clcolo vettorile è: b c = b c = c b. Notimo che il denomintore delle (9) ltro non è che il volume dell unitri, ossi b c = Ω. Possimo quindi riscrivere le (9) come: C A = 2 π b c Ω, B c = 2 π Ω, C b = 2 π Ω (9 ) C E conveniente introdurre l seguente notzione lterntiv: C τ1, b τ 2, c τ3 e A h 1, B h2, C h 3 (10) In questo modo le (8) possono essere espresse in form comptt: τ = 2πδ i h j ij Assegnt l tern A, B, C possimo generre un prllelepipedo costruito su di essi che costituirà l cell unitri dello spzio reciproco. Se A, B, C sono primitivi llor l cell costruit su essi è l cell primitiv. In ogni cso, per un cristllo tridimensionle il volume dell cell unitri del reticolo reciproco è: 3 ( 2π ) Ωrec = ΩC come è immedito ricvre nel cso in cui l tern, b, c si ortogonle. Similmente come discusso per il reticolo cristllino, nche nel cso del reticolo reciproco è possibile costruire l cell primitiv in ltro modo, 2 Not: se i vettori dell tern, b, c sono mutumente ortogonli, llor le condizioni (8) implicno A //, B// b, C// c m questo non è vero in generle per un tern di vettori qulunque. Inftti le (8) implicno solo che A π ( bc, ) pino individuto d bec e similmente B π ( c, ) e C π (, b) C (11) (12) 145
dottndo un costruzione geometric del tutto simile quell corrispondente ll cell di Wigner-Seitz. In ltri termini, scelt l origine nello spzio G, si può definire come cell primitiv del reticolo reciproco il volume più piccolo delimitto d pini ortogonli e bisecnti i vettori G (vedi Fig. 5). Tle volume è espresso dll (12) con Ω C volume dell cell primitiv del reticolo cristllino. Questo tipo di cell primitiv del reticolo reciproco è dett prim zon di Brillouin ed è spesso indict come 1 ZB. E possibile nche definire zone di ordine successivo: per esempio l second zon si ottiene considerndo lo spzio delimitto dll superficie dell prim zon e di pini che bisecno perpendicolrmente i vettori del reticolo reciproco di lunghezz mggiore. Le zone successive si ottengono in modo nlogo. E il cso or di citre due importnti teoremi che legno i vettori G del reticolo reciproco i pini del reticolo cristllino. 1 Teorem: ogni vettore del reticolo reciproco è perpendicolre d un pino del reticolo cristllino. In ltri termini, è possibile dimostrre che il vettore del reticolo reciproco: G( hk ha + kb + lc (13) con h,l interi è perpendicolre l pino del reticolo cristllino con indici di Miller (h,. Notimo che è proprio per questo motivo si preferisce crtterizzre un pino cristllino con gli indici di Miller (h, nziché con i numeri p,q,r, che definiscono le intercette del pino con le direzioni degli ssi cristollgrfici, come sembrerebbe prim vist più nturle. D ltr prte, come bbimo già notto, pini cristllini prlleli hnno gli stessi indici di Miller, per cui G ( h, può essere ssocito d un fmigli di pini prlleli. 2 Teorem: l seprzione minim d ( h, fr pini del reticolo cristllino con indice di Miller h,l è ugule 2π / G 0( hkl ), dove G 0( hk è il vettore di modulo minimo nell direzione perpendicolre ll fmigli di pini (quindi gli indici di G 0( hk non hnno sottomultipli interi). Quest distnz minim 2π / G 0( hkl ) corrisponde ovvimente ll distnz fr pini immeditmente dicenti. Notimo che tutti i vettori G ssociti d un fmigli di pini sono esprimibili come ( h, = ng0( h,. In conseguenz di questi due teoremi possimo: ) ssocire l fmigli di vettori G n ( h, = ng0( h,, tutti con l stess direzione e modulo multiplo intero di quello minimo, ll fmigli di pini cristllini con indici di Miller (h, ortogonli i vettori G ; G n 146
b) ssocire il vettore di modulo minimo G 0( h, ll minim distnz, 2π / G 0( hkl ), fr pini dell fmigli e quindi d un coppi di pini dicenti ll fmigli. 4.8 ESEMPI: RETICOLO RECIPROCO 1D e 2D A titolo di esempio considerimo il cristllo unidimensionle e bitomico schemtizzto in figur: u x 1 2 Il corrispondente reticolo cristllino è schemtizzto di seguito: x Il vettore primitivo è = xˆ, i vettori del reticolo cristllino sono τ = n con n intero mentre un possibile cell primitiv è indict dll brrett ross. L posizione degli tomi dell bse ll interno dell cell dipende dll scelt dell origine (in questo cso ssunt sull posizione dell tomo 1). Un'ltr possibile cell primitiv, corrispondente ll scelt di Wigner-Seitz, è indict x dll brrett zzurr, in questo cso gli estremi dell cell sono x = ± / 2. Pssimo or l reticolo reciproco. Il vettore primitivo di questo reticolo è definito dll condizione (8): A = 2π, essendo A 2π // xˆ si h: A = xˆ. Quindi i vettori del reticolo reciproco sono: G = ma con m intero ed un possibile cell primitiv del reticolo reciproco è mostrt in figur: 147
2π / k x Un ltr possibile scelt di cell primitiv, corrispondente ll prim zon di Brillouin è invece schemtizzt di seguito: 2π / k x Mentre l seguente figur evidenzi l second zon di Brillouin. k x Considerimo or un cristllo bidimensionle e monotomico con reticolo di Brvis rettngolre, come quello mostrto nell figur ll pgin seguente. L figur mostr nche più scelte possibili di vettori primitivi. Sceglimo l coppi evidenzit dll line continu ross: = xˆ e b = byˆ con > b. L re trtteggit indic l cell primitiv costruit sull coppi di vettori, b. 148
y b x Mentre l figur seguente mostr l cell primitiv corrispondente ll scelt di Wigner-Seitz: y b x 149
Costruimo or il reticolo reciproco del reticolo cristllino rettngolre sopr illustrto. Per fr questo prtimo dll relzione (11), τ = 2πδ, d cui ottenimo: A= 2π e b A= 0 A b// yˆ A// xˆ b B= 2π e B = 0 B // xˆ B// yˆ Pertnto: i h j ij A = 2π xˆ e B = 2π yˆ b Quindi il reticolo reciproco del reticolo cristllino rettngolre è nch esso un reticolo rettngolre (nello spzio dei vettori G ). Tle reticolo è schemtizzto di seguito d notre che essendo > b srà 2 π / < 2 π / b. k y B A k x 150
4.9 ESEMPI: RETICOLO RECIPROCO DI CRISTALLI CUBICI Considerimo or un cristllo monotomico con reticolo cristllino cubico semplice (sc). Scegliendo xyz ˆˆˆ lungo l direzione degli ssi cristllogrfici, i vettori primitivi del reticolo cristllino sono (notimo che = b = c = ): = xˆ, b = yˆ, c = zˆ 3 Il volume dell cell primitiv è: Ωc = b c = vettori primitivi del reticolo reciproco sono: b c A = 2π 2π = xˆ b c, B π = y = c 2 b c 2π ˆ Inoltre, in bse lle (9) i b C = 2π 2π = ˆ b c, z Dunque il reticolo reciproco di un reticolo cristllino cubico semplice di psso è nch esso cubico semplice. Il psso è ovvimente diverso e vle 2π /. I bordi dell prim zon di Brillouin sono delimitti di pini perpendicolri i vettori ± A, ± B, ± C e pssnti per i loro punti medini, ossi per: 1 π A = ± xˆ, 1 B π 1 π = ± yˆ, C = ± zˆ 2 2 2 3 / (2π / ) (2π ) Quindi l 1 ZB è un cubo di lto 3 2π e volume = / ΩC I reticoli reciproci di reticoli cristllini cubico corpo centrto e cubico fcce centrte sono discussi di seguito. 151
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τ1 = (0,1,1) 2 τ 2 = (1, 0,1) 2 τ 3 = (1,1, 0) 2 2 π h1 = (1,1,1) 2 π h2 = (1, 1,1) 2 π h3 = (1,1, 1) Le lettere,,,, LXWK Γ in figur 4.3 (b) indicno punti dell 1 zon di Brillouin crtterizzti d lt simmetri. Similmente, le lettere L e indicno direzioni di simmetri elevt. 154