5. Confronto tra leggi costitutive differenti in modelli 2 - D

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1 5. Confronto tra leggi costittie differenti in modelli - D Qesto capitolo è interamente dedicato al confronto tra le solzioni del problema dinamico ottente mediante leggi di attrito in modelli D. Nel primo paragrafo erranno confrontate le leggi costittie stdiate nel precedente capitolo. Alla lce dei risltati ottenti e disci potranno eere paragonate le caratteristiche e le pecliarità dello slip weakening da n lato e della legge di Dieterich in forma ridotta dall' altro. Saranno innanzittto stdiate le analogie tra i parametri costittii ed in segito saranno confrontate le pecliarità di ciascna delle de leggi nella descrizione delle tre fasi del proceo di rottra ( la ncleazione, la propagazione e l' arresto. Un altro importante aspetto che errà disco è la descrizione che le leggi costittie forniscono dei ari comportamenti della frattra in termini di elocità di propagazione del crack tip e edremo in qesto na rileante differenza dei de modelli: lo slip weakening e la Dieterich ridotta. Nel secondo paragrafo erranno confrontate le tre leggi di attrito ( la

2 Capitolo qinto Dieterich originaria, la Dieterich ridotta e la legge di Rina con il fine principale di edere se ttte riescono a riprodrre diersi comportamenti della faglia. 5.. Confronto tra lo slip - weakening e le leggi di attrito dipendenti dalla elocità e dallo stato Analogie tra i parametri costittii. Come è stato disco nel paragrafo., sia lo slip weakening che le leggi di attrito nascono dall' esigenza di eliminare la singolarità dello stre in corrispondenza del fronte di rottra e dalla impoibilità di risolere l' eqazione di bilanciamento energetico relatia ad na frattra nella qale interengano fenomeni di attrito. Ee tttaia sono profondamente dierse da n pnto di ista fisico e forniscono na descrizione differente del proceo di rottra. Lo slip weakening introdce il concetto di zona di coesione e di energia di frattra G, mentre le leggi di attrito di tipo Dieterich Rina nascono da esperimenti di frizione condotti in laboratorio. Il primo modello dipende fondamentalmente da de parametri: lo strength S e la lnghezza d ( oero, analogamente, S e la semilnghezza critica L c ; il secondo poiede tre grandezze costittie: A, B ed L ( oero a, b ed L. Il significato fisico di tali parametri è profondamente dierso, così come lo è la descrizione delle caratteristiche reologiche della zona di frattra che i de modelli forniscono. Esistono tttaia alcne analogie che erranno ora disce. Un importante elemento in comne è che tanto lo slip weakening di Andrews qanto le leggi di Dieterich Rina hanno na lnghezza di scala slla qale aiene il rilascio di energia: d ( o L c nel primo caso ed L nel secondo. Il legame tra la lnghezza caratteristica e l' energia, oero lo sforzo di taglio, è esplicito nel caso dello slip weakening ( si ricordi che ale: G = ( f d / 4 e si pò desmere, come descritto in segito, dall' andamento di ricaato in esperimenti come qello condotto da G et al. 38

3 Confronto tra leggi costittie differenti in modelli D 39 ( 984, in ci la elocità di scorrimento aria repentinamente ( fig..7. La presenza di na lnghezza caratteristica ( aociata ad n tempo caratteristico è na pecliarità comne ad altri modelli dinamici, garantisce na legge di scala per l' energia e consente qindi di paare da fenomeni con ordini di grandezza tipici degli esperimenti di laboratorio ad eenti fisici di dimensioni reali. E' però importante sottolineare che d ed L sono grandezze dierse. Il loro rapporto si pò intire oerando il già menzionato andamento esponenziale di in segito a brsche ariazioni delle elocità di scorrimento. Per descriere la diminzione di, Rice ( 993 ha proposto na relazione di qesto tipo: (5.. oe ( e ( sono le qantità indicate in fig..7 con e rispettiamente. Silppando in serie di Taylor al primo ordine in / L si ottiene: (5.. Se confrontiamo (5.. con l' espreione che si ha per < d nel caso dello slip weakening, che qi iene riproposta per completezza è poibile compiere le aociazioni: ( + A ln( / ( f L d + + = ( ln ( e ( A L + + = = + + ( ln ( ln ( ( ln ( ( A L A A L ( d f = (5..3

4 Capitolo qinto In altri termini si pò concldere che sotto le ipotesi di (i n esperimento di laboratorio come qello condotto da G et al. ( 984 e (ii piccoli scorrimenti rispetto ad L le leggi di attrito contengono n comportamento di tipo slip weakening. Una diersa aociazione tra i parametri a, b ed L e gli sforzi di taglio e f è qella proposta da Okbo ( 989. Egli considera la legge di Dieterich in forma ridotta ad alte elocità di scorrimento, più esattamente nell' ipotesi in ci rislti >> *, doe, come già detto (.3.3, * è n alore di riferimento della slip elocity ci corrisponde l' attrito *. In qesto caso il coefficiente di attrito rislta: µ max = σ * n + b ln Φ L * + che, come si ede, dipende dalla sola ariabile di stato. Okbo ( 989 compie qindi le aociazioni: µ max σ n ( * / σ n σ n f oero esplicitamente: * Φ * + B ln L * + f (5..4 E' stato in precedenza oerato che nel caso delle leggi di attrito è poibile introdrre n' energia di frattra G, oero l' energia che la rottra spende per aanzare. Ea è esprea tramite la relazione: L G = ( f d 4

5 Confronto tra leggi costittie differenti in modelli D oe è lo scorrimento ed L la distanza ragginta dalla frattra. Come già isto (..3, lo slip weakening fornisce appnto G = ( f d / 4. E' fisicamente ragioneole introdrre n analogo di tale energia di frattra anche nel caso delle leggi di attrito. Ritorniamo per qesto a (5... In irtù delle aociazioni (5..3, omettendo per breità i paaggi analitici, si ottiene: L G = ( = L e + e L ( ( + A ln + A ln ( ( ( d = Da qesta espreione poiamo trarre alcne importanti oerazioni: innanzittto la dipendenza da L è diretta, come nel caso dello slip weakening. Inoltre G dipende solamente da A e non da B. Si ricordi che il parametro A è legato all' effetto diretto descritto nel paragrafo.3., cioè al cambiamento istantaneo che si ha nell' attrito qando si ha na repentina ariazione della elocità di scorrimento. E' già stato oerato che nel modello di Andrews si poono definire lo stre drop statico come la differenza tra l' attrito iniziale e qello cinetico: s = f e lo stre drop dinamico come la differenza fra l' attrito maimo che la faglia pò sopportare e qello cinetico: d = f Facendo riferimento ancora all' esperimento di G et al. ( 984, esplicitando gli attriti negli stati stazionari facendo so di (.3.3 poiché l' esperimento è condotto amendo la legge di Rina come eqazione costittia, le corrispondenti cadte di sforzo nel caso delle leggi di attrito risltano: 4

6 Capitolo qinto e s = B ln( / d = ( B A ln( / che sono in accordo con qanto oerato da Mikmo ( 99 nel caso particolare in ci rislti = e ; in qesto caso si hanno: f B f B A e consegentemente: A Descrizione della fase di ncleazione. Il legame tra momento sismico e drata della ncleazione. Una caratteristica comne sia allo slip weakening che alle leggi di attrito è qella di modellare de delle tre fasi del proceo dinamico di frattrazione: la ncleazione e la propagazione. Per qanto concerne l' arresto edremo in segito alcne differenze. Per prodrre la ncleazione è necearia na forzatra iniziale: nel caso dello slip weakening ea è costitita da na elocità di scorrimento imposta dall' esterno ( force, che in qalche modo pò eere aimilata alla elocità di placca, oppre alla slip elocity prodotta da na faglia, o da n so segmento, che ha ncleato precedentemente rispetto alla zona sismogenetica sotto stdio. Nel caso delle leggi di attrito l' iniziazione della rottra è prodotta fornendo n alore alla ariabile di stato ci corrisponde n attrito iniziale ( eqazione (.4.5 che spera il alore maimo che la faglia pò sopportare. In qesto caso la configrazione all' istante iniziale della ariabile di stato è strettamente legata agli eenti che si sono ati nel paato in qella stea regione: na slip history precedente è infatti responsabile del alore anto da Ψ nei diersi pnti della sperficie di frattra. E' stato inoltre oerato ( 4..5 come la 4

7 Confronto tra leggi costittie differenti in modelli D configrazione iniziale della ariabile di stato incida slla ncleazione ( e consegentemente slla propagazione della rottra e come in alcne circostanze la propagazione instabile del crack poa eere addirittra inibita. Il fatto che tanto lo slip weakening qanto le leggi di attrito riescano a modellare la fase di ncleazione è molto importante. Ellsworth & Beroza ( 994, stdiando na asta clae di terremoti hanno conclso che la fase di ncleazione esercita na noteole inflenza sll' entità ( in termini di magnitdo dell' eentale proceo fisico. Ellsworth & Beroza definiscono il momento sismico della fase di ncleazione come: M ν = ν M t d & ( t oe ν è la drata del proceo di ncleazione e ( d/dt M (t è la moment rate fnction, esprea come: 3 M& ( t = D( t d in ci D( è na fnzione, approimatiamente gale all' nità, che dipende debolmente dalla elocità di rottra e d è la cadta dinamica di sforzo, definita in precedenza. Indicato poi con M il momento sismico totale, Elworth & Beroza oerano na correlazione tra M e ν del tipo: M ν 3 cioè il momento sismico totale è proporzionale alla terza potenza della drata della fase di ncleazione. Un' altra importante relazione che gli atori propongono è qella che ν esprime n legame tra M ed il raggio rν della zona di ncleazione: r ν = M ν d = ν D( 3 t dt 43

8 Capitolo qinto ottenta ipotizzando che lo stre drop dinamico sia costante. Modellazione della fase di propagazione. Come già anticipato, entrambe le clai di goerning eqations ( slip weakening e leggi di attrito dipendenti dalla elocità e dallo stato modellano la fase di propagazione con eolzione spontanea. In particolare, ttte contemplano il fenomeno di crescita spontanea della elocità di propagazione del fronte di rottra. Ciò è stato motiato ( 4.. considerando che il carico dinamico della zona della faglia che ha già rotto amenta nel tempo, oero con l' amentare della distanza dal pnto in ci il crack nclea ( pnto fiato nei grafici in x = per semplicità. Era già noto dalla letteratra ( ad esempio dal laoro di Andrews, 985 che lo slip weakening preedee che sotto opportne condizioni il fronte di rottra si biforcae, oero in parte il crack procedee con elocità asintoticamente gale a R, ed in parte ( crack tip secondario aanzae a elocità sper shear, fino alla elocità delle onde P. In qesto laoro si è modellato n comportamento analogo anche con la legge di Dieterich ridotta (.3.6, come mostrato in figg. 4.7b e 4.7c, ed anche con la Dieterich originaria (.3.5 e con la legge di Rina (.3.7, come descritto in segito. Anche in qesto caso, cioè amendo na legge di attrito dipendente dalla elocità e dallo stato come eqazione costittia, la elocità di propagazione del fronte di rottra secondario è già speriore a S e ragginge in maniera asintotica P. Qesto accade in corrispondenza di regimi di tipo strong seismic, cioè qando ( B A >> ; ciò è fisicamente ragioneole in qanto na zona strong è più simile ad na frattra tra sperfici direttamente in contatto, mentre reologie di tipo weak o compliant implicano la presenza di gage e di materiali intrappolati. Il problema della conoscenza e della preisione della elocità di propagazione è di importanza fondamentale nella sismologia e per qesto la capacità che è stata eidenziata delle leggi di tipo Dieterich Rina di consentire elocità di propagazione confrontabili con P è na caratteristica aai rileante delle frictional laws. Okbo ( 989, modificando il codice nmerico di tipo bondary integral proposto da Andrews ( 985, descritto nel paragrafo.3, ha dato al parametro di strength S n significato in termini delle leggi di attrito. Compiendo le 44

9 Confronto tra leggi costittie differenti in modelli D aociazioni (5..4 disce in precedenza, egli ha ottento la biforcazione del fronte di rottra così come accadea con lo slip weakening. I risltati presentati nel precedente capitolo e nel paragrafo 5. sono tttaia più generali: innanzittto la biforcazione è ottenta, come edremo, anche con le leggi di Dieterich originaria e di Rina e non solamente con la Dieterich ridotta. In secondo logo nelle simlazioni qi effettate in qalsiasi regime di elocità il coefficiente di attrito µ dipende sempre sia dalla elocità di scorrimento, che dalla ariabile di stato Ψ ( Φ per Dieterich e θ per Rina, mentre nel modello di Okbo µ è costante qando iene aociato all' attrito cinetico f, mentre dipende solamente da Φ qando è aociato all' attrito maimo. Infine Okbo non modella il campo di elocità di tipo elocity strengthening, che rislta inece molto importante da n pnto di ista fisico, come errà oerato in segito. La fase di arresto e l' healing. Come anticipato, n' importante differenza tra lo slip weakening e le leggi di attrito è che nel secondo caso si è risciti a simlare l' arresto della frattra mentre nel primo caso è stato poibile solamente arrestarla per certi istanti, ma non completamente. Amendo la legge di Dieterich ridotta come eqazione costittia, nel paragrafo 4..3 è stato mostrato che ariando spazialmente il parametro L il crack si arresta ( fig. 4.3d. La poibilità di simlare l' arresto è fondamentale perché altrimenti il modello sarebbe oltre che incompleto addirittra irrealistico, in qanto na frattra che si propaga indefinitamente sarebbe fisicamente impoibile per ragioni energetiche. Per qanto concerne lo slip weakening, introdcendo ariazioni nello spazio del carico maimo sopportabile dalla faglia, e dnqe immaginando che la distribzione dello strength S foe eterogenea lngo la sperficie di faglia, non è stato poibile arrestare completamente la rottra. In altri termini, anche introdcendo lngo la linea di propagazione della rottra na barriera di eleata intensità, oero con no strength molto maggiore rispetto alle aree circostanti, la frattra enia ritardata, cioè lo spostamento era fermato per certi tempi, ma in istanti scceii la rottra continaa a propagarsi. Doremo stdiare se tale comportamento si ottiene anche nel caso 45

10 Capitolo qinto in ci ariazioni di S engono realizzate attraerso distribzioni eterogenee nello spazio dell' attrito iniziale oppre di qello cinetico f. Qesto fenomeno è aai importante perché gistifica l' aenza di healing nelle simlazioni effettate con qesto modello. L' healing, come oerato nel paragrafo 4..4, rappresenta la cicatrizzazione della rottra. Eo pò eere descritto nell' ambito della meccanica della frattra, stdiato segendo l' approccio di Heaton ( 99, oppre nel contesto delle leggi di attrito. Nel primo caso ( Das & Aki, 977a, 977b; Papageorgio & Aki, 983 eo è spiegato come la sorapposizione dello scorrimento che è casato dalla rottra con n' onda che dai bordi della zona che si frattra si propaga erso l' interno. Si ame infatti che la dislocazione contini fino a che non ricee le informazioni dai bordi, cioè qando la faglia ha rotto completamente. Con tale ipotesi la drata dello scorrimento, che, lo ricordiamo, è il tempo in ci la slip elocity è non nlla, aria nello spazio: ea è maima nel centro della faglia e diminisce progreiamente più ci si aicina ai soi bordi. Nel modello qi stdiato con lo slip weakening, inece, la frattra si estende indefinitamente nello spazio, cioè ha i bordi all' infinito. Per qesta ragione non arriano le informazioni dai bordi e consegentemente non si oera la cicatrizzazione. Heaton ( 99, inece, ha proposto n modello alternatio per l' healing ( cioè la drata dello scorrimento in n singolo pnto mediante na legge di attrito teorica da li proposta, ma non oerata in laboratorio. Egli considera na faglia piana, slla qale aiene na frattra di taglio, D, non spontanea ( la elocità di propagazione cioè è costante e fiata. Lo sforzo di taglio f, inece di eere costante come nel modello introdotto originariamente da Andrews ( 976a, è espreo dalla relazione: f = h & (5..5 oe h è na costante che dipende dal materiale. In qesto modello, introdotto da Heaton con lo scopo di simlare il proceo di self healing ( cicatrizzazione spontanea, qando la elocità di scorrimento diminisce l' attrito cinetico amenta gradalmente fino a ritornare al liello ; a qesto pnto la faglia è 46

11 Confronto tra leggi costittie differenti in modelli D noamente in grado di rompere. Il fondamento teorico di (5..5 è fisicamente consistente: qando le caratteristiche dei materiali che scorrono sono dierse si ha n rilascio dello sforzo normale σ n ( cfr. 4.. ; qesto prooca na ariazione di f, il qale infatti è legato a σ n tramite il coefficiente di attrito dinamico ( f = µ D σ n. Sarà intereante stdiare qesto noo modello di slip elocity weakening T = h & h & d, < d, d (5..6 nel caso di spontaneità, oero in na sitazione in ci la elocità di propagazione della rottra aria nel tempo. Con le leggi di attrito di tipo Dieterich Rina, infine, Perrin et al. ( 994 hanno mostrato come la presenza di na ariabile di stato consenta di modellare il fenomeno della cicatrizzazione. Nel paragrafo 4..3 è stato mostrato come na regione con n eleato alore di L poa arrestare la propagazione della rottra. Qesto ha consentito di altare la slip dration ( fig. 4.4c, oero l' interallo di tempo in ci lo slip paa dal alore ad n alore costante, oppre, in maniera del ttto analoga, l' interallo di tempo in ci la elocità di scorrimento è non nlla. Anche lo slip weakening, come le leggi di attrito dipendenti dalla elocità e dallo stato, ha il antaggio di preedere le repliche ( aftershocks : nel paragrafo 4..3, in particolare in fig. 4.9b, è mostrato come na barriera, cioè na zona ad alta resistenza alla frattrazione, dopo il paaggio del fronte di rottra si trasformi in na asperità, cioè na regione con n alto sforzo di taglio, area che poiede n' alta probabilità di rompere nel caso di na sollecitazione dinamica scceia. Modellazione di comportamenti diersi di na faglia. Sia lo slip weakening che le leggi di attrito dipendenti dalla elocità e dallo stato modellano ari comportamenti della faglia per qanto concerne la elocità di propagazione del crack c. Entrambe le leggi costittie contemplano n 47

12 Capitolo qinto comportamento instabile: il primo, per S >.77, preede che la frattra aanzi nello spazio con na elocità limite gale a qella di Rayleigh ( fig. 4.3 ; la Dieterich ridotta, con parametri come qelli tilizzati nel test di riferimento ( 4..: a =., b =.6, L = µm, fornisce c < R. Entrambi i modelli, inoltre, ammettono comportamenti di tipo strong seismic, nei qali il crack tip si biforca, lo scorrimento ed il rilascio di sforzo sono molto eleati, come pre lo è la elocità di propagazione, che si aicina a P ( figg. 4. per lo slip weakening e figg. 4.7b e 4.7c per la Dieterich ridotta. Una fondamentale differenza è rappresentata dal fatto che le leggi di attrito modellano il campo di elocità di tipo strengthening, cosa che non è poibile con lo slip weakening, il qale, anche per elocità di carico iniziali molto bae riesce comnqe ad accelerare erso l' instabilità in maniera dinamica. Il regime elocity strengthening, al contrario, è molto importante poiché consente di modellare na asta clae di fenomeni che attengono al comportamento reologico di molti materiali, fenomeni qali, ad esempio, lo scorrimento asismico ( cioè senza rilascio dinamico ed improiso di energia, sitazioni di creep, comportamenti di tipo misto, cioè con accoppiamento e mta interazione di componenti elastiche e iscose. In qesto riconosco na eleata ersatilità delle leggi di attrito, a fronte di n limite intrinseco, ed ineliminabile, dello slip weakening, secondo il qale la frattra o non rompe affatto o si propaga dinamicamente. Lo scaling. La modellazione di faglie sismogenetiche reali pò eere compita sia con lo slip weakening che tramite le frictional laws. Infatti nel primo caso le grandezze ottente come solzione ( scorrimento e pertrbazione alla trazione dipendono da parametri adimensionali: lo spazio ridotto x / L c ed il tempo ridotto S t / L c. In qesto modo, scegliendo opportnamente il alore della semilnghezza critica L c è poibile modellare fenomeni fisici di aria scala: esperimenti di laboratorio o faglie di dimensioni reali. Per qanto concerne le leggi di attrito, inece, le solzioni ( scorrimento, slip elocity e sforzo di taglio dipendono dalle coordinate dimensionali x e t. Tttaia, nel paragrafo 4..6 ho mostrato come sia poibile compiere no scaling da esperimenti di laboratorio dai qali le leggi di tipo Dieterich Rina hanno 48

13 Confronto tra leggi costittie differenti in modelli D origine a sitazioni reali. Tale legge di scala si riferisce, come del resto era ragioneole attendersi, al parametro costittio L, che, come è stato detto, è appnto la lnghezza caratteristica s ci aiene il rilascio di energia, la qale scala con le dimensioni della zona stdiata. Qesto dello scaling è na caratteristica di ttti i modelli dinamici. Il proceo di re strengthening. Dall' analisi di paleoterremoti e dai cataloghi storici si ricaa che in alcne zone sono accadti, nel corso del tempo, eenti sismici con caratteristiche analoghe. Da qesta oerazione è scatrita la neceità di spiegare in maniera teorica tale ricorrenza e ciò è stato compito introdcendo il concetto di rigadagno dello strength in segito ad n fenomeno sismico. In n modello che preeda qesto rislta poibile riprodrre non soltanto il singolo terremoto, ma n intero ciclo sismico. Più esattamente, il proceo di re strengthening rappresenta il fenomeno secondo il qale dopo l' arresto di na rottra ed il rilascio di sforzo, lentamente lo strength amenta e consente n noo proceo di accmlo di energia. La crescita dello sforzo aiene nel cosiddetto periodo inter sismico, ale a dire nell' interallo di tempo tra de eenti sismici slla stea faglia ( cioè tra de instabilità. E' importante non confondere qesto rigadagno di sforzo con la crescita di f introdotta da Heaton ( 99 e disca in precedenza ( eqazione (5..5. Mentre in qest' ltimo caso l' amento di f aiene drante il proceo di self healing, nel caso del re strengthening la crescita dello sforzo di taglio aiene qando la rottra si è già arrestata e qindi si è già ata la cicatrizzazione. Il proceo di re strengthening è stato ampiamente disco in letteratra e si è troato che le leggi di attrito dipendenti dalla elocità e dallo stato costitiscono n efficace strmento per spiegare il rigadagno della resistenza. Ciò è stato fatto considerando il già menzionato sistema dello spring slider ad n solo grado di libertà, cioè accoppiando con la legge costittia, inece che l' eqazione fondamentale dell' elastodinamica per n mezzo elastico (..7, la seconda eqazione della dinamica di n oscillatore D. 49

14 Capitolo qinto Variazione dello sforzo normale. Un grande pregio delle leggi di tipo Dieterich Rina, completamente aente nella formlazione originaria di Andrews ( 976a dello slip weakening, è qello di consentire gli effetti sl moto di ariazioni dello sforzo normale. Come descritto nel paragrafo.3.8, Linker & Dieterich ( 99 hanno generalizzato le leggi di Dieterich ridotta ( in forma lteriormente semplificata e di Rina, introdcendo anche na ariazione nel tempo di σ n, che in ttta generalità iene determinato come solzione al problema ( incldendo n accoppiamento tra la ariazione di σ n e qella di si ottiene n sistema di eqazioni che non ha incognite libere. Qesta poibilità delle leggi di attrito è importante poiché i materiali della crosta terrestre hanno caratteristiche differenti e come mostrato analiticamente da Harris & Day ( 996 e come simlato analiticamente nel paragrafo 4..6 ciò comporta na pertrbazione dello sforzo normale alla sperficie di frattra. Qesto si ripercote sllo sforzo di taglio ( si ricordi che = µ σ n e ciò comporta na ariazione dell' intero sforzo dinamico, sia per qanto concerne la trazione ed il relatio rilascio, sia per ciò che rigarda lo scorrimento e la slip elocity. 5.. Confronto tra le leggi di Dieterich e qella di Rina Lo scopo principale delle simlazioni presentate nei scceii paragrafi è qello di riprodrre i ari campi di elocità con la Dieterich originaria e con la legge di Rina, così come è stato fatto nel capitolo precedente adottando come eqazione costittia la legge di Dieterich in forma ridotta. Un altro aspetto importante che errà analizzato rigarda il alore aolto dei parametri costittii: malgrado il loro rolo sia analogo, i alori di a, b ed L cambiano paando dalle leggi di Dieterich a qella di Rina. Abbiamo isto in precedenza ( 4..7 come sia poibile paare dalla modellazione di esperimenti di laboratorio a qella di faglie con dimensioni reali. I risltati presentati in segito si riferiscono a sitazioni di laboratorio, 5

15 Confronto tra leggi costittie differenti in modelli D ma si poono estendere ai casi reali procedendo nello steo modo, cioè ariando opportnamente il parametro L, poiché la legge di scala stdiata nel paragrafo 4..7 nel caso della Dieterich ridotta è na caratteristica generale delle leggi di attrito dipendenti dalla elocità e dallo stato. Per confrontare i risltati ottenti con la legge di Dieterich in forma ridotta con la Dieterich originaria e con la legge di Rina è stato opportnamente modificato il codice di calcolo proposto da Andrews. Tralasciando per breità i dettagli analitici e comptazionali, desidero solamente sottolineare l' anzione importante che è stata mantenta in entrambi i casi: nell' istante immediatamente precedente l' iniziazione della frattra la ariabile di stato Ψ si troa nello stato stazionario onqe in x tranne che nella zona di ncleazione ( cfr. fig..6. Il alore di Ψ è ancora espreo da (.3.4 nel caso della Dieterich originaria, mentre è dato da (.3.5 per la legge di Rina Simlazioni con la legge di Dieterich originaria Una prima differenza tra i risltati ottenti adottando come eqazione costittia la Dieterich ridotta e qelli che si ottengono con la legge di Dieterich originaria è mostrata in fig. 5.a: mantenendo inariati ttti i parametri in ingreo, mentre con (.3.5 si aea n comportamento instabile definito in paato come weakening tipo ( fig. 4.4, ora si ha na sitazione che corrisponde al caso condizionatamente stabile, di ci si è disco nel paragrafo Qesto comportamento è caratterizzato da na eolzione qasi statica, in ci la rottra non aria nel tempo la sa estensione, che rimane circa costante. Per ottenere n comportamento elocity weakening è stata allora amentata la differenza ( b a, che come si è isto nel capitolo qarto incide in maniera diretta sll' instabilità della frattra. Ora è b a =.6, cioè n alore che con la Dieterich ridotta fornia già n comportamento con maggiore instabilità ( fig. 4.7a. In fig. 5.a è mostrato lo scorrimento che si ottiene con 5

16 Capitolo qinto.3.3 t (s. t (s x (m -... x (m ( a ( b t (s t (s x (m -... x (m 5.e+7 6.e+7 7.e+7... ( c ( d Fig. 5.. Simlazioni con la legge di Dieterich nella forma originaria. I parametri reologici sono gali a qelli tilizzati nel paragrafo 4. ( ρ = ρ = 3 Kg / m 3, P = P = 596 m / s, S = S = 3 m / s, η =, come pre inariata rimane la zona di ncleazione ( estesa 3 m e centrata rispetto ad x =. L rimane fiato a µm. ( a Comportamento elocity weakening per lo scorrimento, di tipo condizionatamente stabile, ottento con a =. e b =.6. ( b e ( c Slip e sforzo di taglio che identificano n comportamento weakening tipo, il qale si ottiene con a =. e b =.6. ( d Comportamento strong seismic ( a =.7 e b =.6. 5

17 Confronto tra leggi costittie differenti in modelli D la Dieterich originaria per b a =.6, mentre in fig. 5.c è riportata la corrispondente trazione, che esibisce ancora le de creste secondarie sitate all' esterno della zona frattrata, la ci intensità è gale a qella che si aea con la Dieterich ridotta. Dopo aer riprodotto il campo di elocità elocity weakening, si è cercato di modellare anche n comportamento strong seismic amentando la differenza tra b ed a: con b a =.89 si ottiene lo scorrimento mostrato in fig. 5.d. Come accadea sia con lo slip weakening ( fig. 4.a che con la Dieterich ridotta ( figg. 4.7b, e 4.7c anche in qesto caso il crack tip si biforca ed il fronte di rottra secondario aanza con elocità asintoticamente gale a qella delle onde di compreione. Qando la rottra salta ed accelera erso P poiede già na elocità di propagazione speriore a S Simlazioni con la legge di Rina In letteratra è stato diffsamente mostrato che i parametri costittii ariano di circa n ordine di grandezza paando dalle leggi di Dieterich a qella di Rina ( Okbo & Dieterich, 986; Tse & Rice, 986; Tllis & Weeks, 986; Boatwright et al., 995, tra molti altri. La prima simlazione è stata compita con a e b dieci olte più grandi rispetto a qelli di fig. 4.4, * = 5 m / s ( anziché m / s ed L = mm ( inece di µm. I risltati sono proposti in fig. 5. e permettono di compiere alcne importanti oerazioni: innanzittto l' andamento dello slip ( fig. 5.a nella prima fase della ncleazione, qella denominata in paato come fase segendo Shibazaki & Mats'ra ( 994, è molto dierso da qello oerato con la Dieterich ridotta. La elocità di propagazione del crack è ora inferiore ed inoltre la frattra nclea poedendo già n' estensione noteole ( circa.8 m e consegentemente, a parità di tempo, la zona rotta ha n' estensione maggiore. Qesto si pò gistificare teoricamente considerando che la diersa espreione della ariabile di stato nella condizione iniziale, a casa di (.4.5, si riflette in n dierso alore dell' attrito iniziale, che ora è di circa 53

18 Capitolo qinto.3.3 t (s. t (s x (m -... x (m ( a ( b.3 t (s..e+8 T (Pa..e x col (m -... x (m.e+8.e+8 ( c ( d Fig. 5.. Simlazione di na faglia con legge di Rina. I alori dei parametri tilizzati sono: * = 5 m / s, a =., b =.6, L = mm, mentre gli altri rimangono come qelli di fig. 5.. ( a Andamento dello scorrimento. ( b Slip elocity. Si oerino, nei primi istanti della ncleazione, i picchi nella elocità di scorrimento i ci maimi sono confrontabili con qelli che si hanno in corrispondenza del crack tip. ( c Trazione. ( d Istantanea dello sforzo di taglio a t =.77 ms: come nei casi precedenti ( simlazioni con la Dieterich ridotta e la Dieterich originaria si hanno de creste laterali nella regione ancora integra, le qali ora sono meno piccate. 54

19 Confronto tra leggi costittie differenti in modelli D 7 MPa, inece di eere 85.5 MPa, come nel caso di fig. 4.4 o addirittra 64.3 MPa, come in qello di figg. 5.b e 5.c. La seconda importante differenza che si eince da fig. 5.a è che lo scorrimento è ora di oltre n ordine di grandezza speriore rispetto a qelli che tipicamente si ottengono con la Dieterich ridotta e con la Dieterich originaria. In fig. 5.b è graficata nel piano xt la slip elocity che corrisponde allo scorrimento di fig. 5.a. Anche in qesto caso, come pre per la trazione ( fig. 5.c, si hanno alori di oltre n ordine di grandezza speriori. Anche con la legge di Rina, come mostrato per la Dieterich ridotta ( 4..5, ha na noteole importanza l' estensione della zona di ncleazione, definita come già detto dai parametri x init ed x end. Ridcendo tale estensione, la frattra contina a propagarsi con na elocità che è inizialmente molto inferiore rispetto a qella che si ottiene con la Dieterich ridotta: qesto significa che modellando n crack con la legge di Rina si preede na fase di eolzione qasi statica più lnga di qella che si ottiene con le leggi di Dieterich. Ridcendo poi la regione di ncleazione di.7 m ( in maniera simmetrica rispetto all' origine l' iniziazione è tale che il crack si propaga con elocità qasi nlla ( cioè non amenta la sa estensione. Poiché per ottenere la stea cosa con la Dieterich ridotta era sfficiente na ridzione di m, si pò affermare che con la legge di Rina affinchè n crack si propaghi in maniera dinamica è sfficiente na regione di ncleazione meno estesa rispetto a qella necearia nel caso della Dieterich ridotta. Oltre a riprodrre anche il caso elocity strengthening ( fig. 5.3a, sono riscito a simlare con la legge di Rina n comportamento di tipo strong seismic ( fig. 5.3b : si poono oerare anche in qesto caso le biforcazioni del fronte di rottra e le interferenze tra il fronte principale e qelli secondari qando la frattra ragginge i soi bordi ( x =. m e x =. m. Una caratteristica che è presente anche in qesto caso è che il fronte di rottra secondario aanza con na elocità già speriore a S. Qesta è pertanto n comportamento comne sia allo slip weakening che alle rate and state dependent friction laws. Sarebbe intereante stdiare se anche le leggi di Cochard & Madariaga (.3.8 e (.3.9 preedono che il carico dinamico della 55

20 Capitolo qinto zona che ha già frattrato riesca a caricare la faglia in modo tale da fare procedere la frattra a elocità sper shear. Qesta analisi iene rimandata a ftri laori..3.3 t (s. t (s x (m -... x (m ( a ( b Fig ( a Scorrimento nel caso di n regime di elocità di tipo strengthening ( a =.6, b =.. ( b Slip che indiida n comportamento strong seismic, ottento con a =.89 e b =.6. In entrambi i casi rimane L = mm. 56