Svolgimento Appello di Analisi Matematica 1 del 16 Gennaio 2017

Transcript

1 Svolgimento Appello di Analisi Matematica del 6 Gennaio 07 a cura di Michele Scaglia ) Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale definita da: f) = + arctan. Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Il dominio della radice quadrata, [0, + [, impone che si abbia + 0. La funzione arctan ha dominio tutto R: tuttavia, il suo argomento è frazionario, quindi deve essere 0. Non ci sono altre condizioni di esistenza da porre. Il dominio di f è quindi dato dalle soluzioni reali del sistema { Poiché la disequazione + 0 è soddisfatta per ogni valore reale di il membro di sinistra, infatti, è la somma di due quadrati, quindi sempre positivo), ne segue che la soluzione all intero sistema è 0, da cui domf =],0[ ]0,+ [. La simmetria del dominio non esclude che f possa essere pari o dispari. Controlliamo, in base alle definizioni, se f presenti simmetrie.

2 Si ha, ricordando che arctan è dispari, cioè arctan t) = arctant, f ) = + ) arctan ) = + + arctan f), il che significa che f non è pari. Proviamo se f sia dispari. Si ha f ) = + + arctan ) = + + arctan f), quindi f non è nemmeno dispari. Il grafico di f non presenta pertanto simmetrie né rispetto all asse y, né rispetto all origine degli assi. Calcolare i iti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti verticali, orizzontali, obliqui) per f. Dal dominio di f domf =],0[ ]0,+ [, deduciamo che dovremo valutare i seguenti iti: f), 0 f), 0 +f), f). + Cominciamo dal + arctan ). 0 Poiché 0 =, si ha, posto y =, 0 arctan = arctany = π y. Per quanto riguarda la radice quadrata si ha, grazie alla continuità e ai teoremi sui iti, + =. 0 Gli altri termini sono costanti.

3 3 Per l algebra dei iti segue che + arctan ) [ = π )] = + 0 π. Analogamente, considerando il osservato che + per 0+ da cui 0 +f), 0 +arctan = arctany = π y +, troviamo [ + arctan ] = π ) 0 + = π. Poiché ite destro e sinitro in 0 sono entrambi finiti, concludiamo che = 0 NON è un asintoto verticale per il grafico di f. Poiché dal dominio non risulta escluso alcun altro punto oltre a 0 = 0), possiamo affermare che il grafico di f non possiede asintoti verticali. Calcoliamo ora i iti per e per +. Cominciamo con Poiché, si ha che 0, da cui Invece Grazie all algebra dei iti troviamo che [ f) = + arctan ]. arctan = arctany = 0. y 0 + = +. [ + arctan ] = [ +0] =. La funzione f è quindi ilitata inferiormente. Non solo, potrebbe ammettere un asintoto obliquo per, vale a dire una retta del tipo

4 4 y = m+q alla quale si avvicini sempre più il grafico della funzione. Calcoliamo i parametri dell eventuale asintoto. Si ha f) + arctan m = = = = + arctan. Vorremo applicare l agebra dei iti. Calcoliamo quindi il ite di ciascun addendo. Si ha banalmente e = 0 arctan poiché arctan [ ] 0 0 quando ricordiamo che non è una forma indeterminata). Il invece, si presenta nella forma indeterminata +, [ ]. Approssimiamo il radicando con l infinito di ordine superiore l altro termine è addirittura costante). Osservato che implica < 0, da cui =, troviamo = 0, + = = =, cioè + per. Ne segue che f) m = = 0 ) 0) = +.

5 5 Procediamo col calcolo della q. Si ha q = [f) m ] = [ + arctan ] ) = = [ + arctan ] = [ arctan + ) ] +. I primi due addendi tendono, rispettivamente, a e a 0. Occupiamoci ora del ite del terzo addendo, ) +. Approssimando ilradicandocon ericordandoche = = per, troveremmo + ) ) = +, ovvero una forma indeterminata che non consente di decidere il risultato del ite. Procediamo con la razionalizzazione e troviamo ) + = ) ) ) = + + Quindi = + + ) = = = 0. q = [ arctan + ) ] + = +0+0 =. In definitiva, la retta di equazione y = + è un asintoto obliquo per f quando. Per quanto riguarda il comportamento di f per + si ottengono dei risultati analoghi a quelli appena trovati per.

6 6 Risulta f) = + arctan ) =. + + Potrebbe esistere un asintoto obliquo anche per +. Si ha f) + arctan m = + = + = = + + arctan = = + arctan = + arctan =. Calcoliamo la q dell eventuale asintoto obliquo. Risulta q = [f) m ] = [ + arctan ] + = + + = [ arctan + ) ] +. + I primi due addendi tendono a e a 0. Per l ultimo addendo si ha osservato che l approssimazione del radicando porta a una forma indeterminata): ) + = ) ) ) = In definitiva, per l algebra dei iti, = + = 0. q = [ + arctan ] + =. + Ne segue che la retta y = + è un asintoto obliquo per il grafico di f per +.

7 7 Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilità. Poiché f) = + arctan segue, dalla applicazione delle regole e dei teoremi di derivazione, f ) = + = + ) 0 ) = + + ) = + + ) = = La derivata prima di f è quindi Calcoliamone il dominio. La radice impone la condizione + ) / + + = + ) / +. + f ) = , già posta nel dominio di f. Il denominatore della frazione deve essere diverso da 0, cioè + 0, da cui, vera per ogni valore di. Non ci sono quindi condizioni aggiuntive rispetto al dominio di f.

8 8 Tuttavia non dobbiamo scordarci che nel dominio di f s era posto pure 0. La derivata prima ha quindi dominio domf =],0[ ]0,+ [, che coincide col dominio di f. Deduciamo che non esistono punti di non derivabilità per f. Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f. Per prima cosa calcoliamo i punti stazionari, vale a dire i punti del grafico di f in cui la retta tangente è orizzontale. Dobbiamo risolvere l equazione f ) = 0 nel suo dominio, vale a dire = 0 in ],0[ ]0,+ [. L equazione precedente è risolta se e solo se il numeratore è uguale a 0, cioè + + = 0, da cui + =. Si tratta di un equazione irrazionale che, riscritta nella forma + =, impone che, per la convenzione per cui una radice quadrata dia sempre un risultato positivo, > 0,

9 9 cioè > 0. Ciò significa che eventuali soluzioni potranno essere accettate solo se maggiori di 0. Nella condizione > 0, eleviamo al quadrato e troviamo + =, da cui 4 + = 0. Posto = t, troviamo t +t = 0 che, risolta, dà le due soluzioni t =, t =. Poiché t =, si trova =, che è impossibile, e = che ha le due soluzioni = ± delle quali, per le condizioni di compatibilità del segno poste poco sopra, accettiamo solo quella positiva, vale a dire =. L unico punto stazionario è quindi =. Per capire la natura di tale punto stazionario massimo relativo, minimo relativo o flesso a tangente orizzontale) dobbiamo studiare il segno della derivata prima, il quale ci dà informazioni circa la crescenza/decrescenza di f. Risolviamo quindi la disequazione f ) 0 su ],0[ ]0,+ [, vale a dire

10 Poiché il denominatore è positivo per ogni reale appartenente al dominio), il segno è determinato solamente dal segno del numeratore. Dobbiamo quindi risolvere Osserviamo che se < 0 la disequazione è sempre verificata: infatti, da < 0 segue > 0; poiché + > 0 per ogni, segue che il membro di sinistra è sempre positivo. Se, invece, > 0, possiamo scrivere +, ovvero +. Eleviamo al quadrato entrambi i membri positivi) e troviamo + ), da cui 4 + 0, Posto = t troviamo t +t 0, che, risolta, dà t, ovvero. La disequazione precedente, tenuto conto che siamo nel caso > 0, è equivalente al sistema

11 La prima è chiaramente sempre verificata. La seconda equivale a > 0. Considerata la condizione > 0, segue che il sistema è soddisfatto per 0 <. In definitiva, la derivata prima risulta maggiore di 0 per ogni < 0 e per ogni 0 < < ; è minore di zero altrove nel dominio, vale a dire per >. Dal criterio del segno della derivata prima segue che f è crescente in ],0[ ]0,[, f è decrescente in ],+ [. Dalla crescenza/decrescenza di f si deduce che = è un punto di massimo relativo regolare in quanto stazionario). Per trovare l ordinata del punto M di massimo relativo, bisogna sostituire = nell espressione analitica di f. Si trova y M = f) = arctan = π 4. Per decidere se il punto M sia di massimo assoluto dobbiamo confrontare la sua ordinata col ite sinistro di f in 0. Si ha π 4 < + π. Ne segue che il punto = è di massimo relativo ma NON ASSOLUTO. Calcolare la derivata seconda di f, studiare concavità e convessità e determinare i punti di flesso.

12 Riscriviamo la derivata prima di f: f ) = + +. Osservato che a numeratore compare un prodotto, si ha f ) = ) + + ) + ) + = + ) = + + ) + ) + ) = + ) / + ) + ) + ) = = ) + + ) + ) = +, + ) cioè f ) = + + ). Poniamo f ) uguale a 0 risolvendo l equazione + =, che può ammettere soltanto soluzioni minori di 0 per la compatibilità dei segni). Eleviamo al quadrato e troviamo + = 8, da cui = 7, della quale accettiamo soltanto la radice negativa, vale a dire = 7. Studiamo la disequazione f ) 0

13 3 per dedurre informazioni sulla concavità della funzione. La disequazione ha denominatore strettamente maggiore di 0. Dobbiamo pertanto risolvere + + ) 0 + 0, da cui +. Osserviamo subito che se > 0, la disequazione precedente è impossibile in quanto una radice quadrata che assume sempre valori maggiori o uguali di 0 nel suo dominio) non può essere minore o uguale di un numero negativo cioè ). Ciò significa che per > 0 la derivata seconda è sempre negativa e non si annulla mai). Se, invece, < 0, la disequazione + è da risolvere elevando al quadrato entrambi i membri positivi): + 8, da cui 7 0. Ricordando che siamo nell ipotesi < 0, otteniamo che f ) 0 se e solo se 7. In definitiva, la derivata seconda è positiva su ], [ ] e negativa su [,0 7 7 ]0,+ [. Dal criterio del segno della derivata seconda, segue che f ha concavità rivolta verso l alto cioè è convessa) in e concavità rivolta verso il basso cioè è concava) in ] [,0 7 ], 7 [ ]0,+ [.

14 4 Il punto = 7 in cui si annulla la derivata seconda è un punto di flesso a tangente obliqua, infatti, in tale punto, la funzione passa da concavità verso l alto a concavità verso il basso. Per calcolare la y del flesso F sostituiamo = 7 nell espressione analitica di f: y F = f ) = arctan ) 8 ) 7 = 7 + arctan 7. Tracciare sul foglio di protocollo un grafico qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti. 4 y F 3 + π y = + O 4 3 y = M π 3 4

15 5 ) Determinare il luogo geometrico A degli z C tali che z +z)rez +3) 4 z e iπ z +z) i = 0. Svolgimento. Per prima cosa osserviamo che l equazione assegnata è fratta poiché compare l incognita z al denominatore di una frazione. Dobbiamo quindi individuare il dominio dell equazione ponendo il denominatore diverso da 0: e iπ z +z) i 0. Posto z = +iy,,y R e osservato che e iπ = i, troviamo i +iy + iy) i 0, da cui i) i 0, ovvero 0+i ) 0+i 0. L equazione è risolta per. Ciò significa che sono esclusi dal dominio dell equazione tutti i punti della retta = vale a dire gli infiniti numeri complessi della forma +iy, y R). Poste le condizioni di esistenza, possiamo risolvere l equazione assegnata nella quale si chiede che risulti uguale a 0 la frazione z +z)rez +3) 4 z. e iπ z +z) i Poiché una frazione è uguale a 0 se e soltanto se è uguale a 0 il suo numeratore, dovremo risolvere l equazione z +z)rez +3) 4 z = 0, sotto la condizione posta in precedenza. Scritto z = +iy,,y R, troviamo +iy + iy)+3) 4 +y ) = 0, da cui 4+3) 4 4y = 0

16 6 che, svolgendo i calcoli e semplificando per 4, diviene 3 y = 0. Si tratta di un equazione nelle due incognite reali e y: tale equazione è risolta dagli infiniti punti, y) della parabola = 3 y a cui vanni tolti a causa del dominio dell equazione) i suoi due punti di ascissa. Precisiamo che si tratta di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse della forma = ay +by +c) e avente il vertice nell orgine degli assi. Nella figura seguente mostriamo il luogo geometrico individuato: y = 3 y O =

17 7 3) Discutere, al variare di α R, se esiste il ite e, in caso affermativo, calcolarlo. Svolgimento. n! e /n ) sinα 7n ) n + n )!+logn Analizziamo i fattori indipendenti da α. Il termine n! va all infinito e si presenta già in forma favorevole. Il fattore e /n ) è infinitesimo poiché n Poiché 0 quando n +. e y y per y 0, avremo, posto y = n, e /n ) n per n +. Infine, il fattore n )!+logn è dato dalla somma di due infiniti. Dalla scala degli infiniti sappiamo che n )! è un infinito di ordine superiore rispetto a logn. Ne segue che n )!+logn n )! per n +. Ricordando anche che n! = n n )!, possiamo riscrivere il ite di partenza sostituendo a ciascun fattore il proprio fattore equivalente. Si ha n! e /n ) sinα 7n ) n + n )!+logn n! = n sinα7n ) = n + n )! n n )! = n sinα7n ) n + n )! = n + sin α 7n).

18 8 Si tratta ora di discutere il ite al variare del parametro α. L argomento del sin è la successione geometrica α 7n = α 7 ) n. Poiché 0 se q < cioè < q < se q = n qn = + se q > non esiste se q nel nostro caso avremo, posto q = α 7, n α7 ) n = da cui, estraendo la radice settima, n α7 ) n = Ne segue che per α non esiste il ite 0 se α 7 < cioè < α 7 < se α 7 =, + se α 7 > non esiste se α 7 0 se α < cioè < α < se α =. + se α > non esiste se α n + sin α 7n), in quanto non ammette ite l argomento della funzione sin. Anche nel caso α > non esiste il ite in quanto non esiste il ite siny. y + Se, invece, < α <, il ite esiste e vale 0: infatti risulta, posto y = α 7n ) 0, Infine, se α =, si ha sin α 7n) = siny = 0. n + y 0 n + sin α 7n) = sin.,

19 9 4) Dicutere, al variare di β R, il carattere della serie + n= cos ) β n n6 +n n 6 +. Svolgimento. La serie è a termini positivi. Applicheremo il criterio del confronto asintotico che ci consente di individuare una serie dal termine generale più semplice di quella assegnata ma con lo stesso carattere. Cerchiamo quindi una successione b n tale che b n a n per n +, essendo a n il termine generale della serie data. Dobbiamo pertanto analizzare il comportamento di ciascun fattore di a n per n +. Il fattore cos ) n è infinitesimo per n +, in quanto n 0. Poiché si ha cosy) y per y 0, avremo, posto y = n, cos ) n n per n +, da cui, elevando all esponente β, cos n) β ) β = n β n β per n +. Consideriamo il fattore a denominatore, n6 +n n 6 +. Se approssimassimo ciascun radicando con il termine di infinito di ordine superiore troveremmo

20 0 n6 +n n 6 + n 6 n 6 = n 3 n 3, vale a dire una forma indeterminata. Procediamo con la razionalizzazione della frazione. Risulta n6 +n n 6 + = n6 +n n6 +n+ n +) n n6 +n+ n 6 + = = n6 +n n 6 +) n6 +n+ n 6 + = n n6 +n+ n 6 +. A questo punto possiamo approssimare ciascun termine con l infinito di ordine superiore senza più ottenere forme indeterminate. Risulta infatti n6 +n n 6 + = n n6 +n+ n 6 + n n 3 +n = per n +. 3 n Siamo pronti a individuare la successione b n a n per n +. Si ha a n = ) β cos n n6 +n n 6 + n ) β = n Dobbiamo quindi individuare per quali β converge la serie + n= b n = + n= n β n = + β n β n β, n= dal simbolo di sommatoria il termine poiché indipendente da n. β La serie + n= n n = + β n= n β è una serie armonica generalizzata e converge se e solo se β n n β = b n. ovvero β >, β > 3. Per il criterio del confronto asintotico, anche la serie originaria β 3 diverge positivamente. + n= a n converge per β > 3. Per

21 5) Calcolare il ite ) 4 cossin) [arctane )] 4. Svolgimento. Osserviamo subito che il denominatore è composto da un unico fattore infinitesimo: infatti, poiché 0 +, e, da cui e ) 0. Poiché l arctan è continua in 0, si ha arctane ) arctan0 = 0 per 0. Possiamo ricorrere alle seguenti approssimazioni dedotte dai iti fondamentali, senza creare cancellazioni: e, arctan per 0, Ne segue che arctane ) arctan) per 0, da cui, elevando alla quarta, [arctane )] 4 4 per 0. Anche il numeratore è infinitesimo: infatti sin 0 per 0, la funzione cos è continua in 0 e tende a cos0 =. Se ci itassimo alle approssimazioni sin, cos per 0 dedotte dai iti notevoli, troveremmo cossin) + cos) + +, vale a dire una cancellazione, non riuscendo in tal modo a decidere il comportamento del numeratore per 0. Risulta quindi necessario, in questo caso, ricorrere a delle approssimazioni più precise di quelle suggerite dai iti fondamentali: tali approssimazioni vengono fornite dagli sviluppi di Taylor delle funzioni coinvolte per 0. Ricordiamo che si ha sin = 6 3 +o 4 ) per 0,

22 da cui cossin) = cos ) 6 3 +o 4 ) per 0. Ricordiamo lo sviluppo del cos in un intorno di 0: si ha cost = t + 4 t4 +ot 5 ) per t 0. Nel nostro caso avremo, posto t = 6 3 +o 4 ) 0, cossin) = cos ) 6 3 +o 4 ) = = ) 6 3 +o 4 ) o )) 4 +o ) ) o 4 ) Poiché il denominatore si comporta come 4, capiamo che dobbiamo garantire anche al numeratore il trattamento corretto di tutti gli addendi fino a grado 4. Inoltre osserviamo che al termine cossin) verr? aggiunto il polinomio +. Intuiamo quindi che si canceller? il termine dello sviluppo e il termine che si ottiene moltiplicando il termine per il quadrato della nella prima parentesi tonda elevata a potenza ). Il grado successivo al grado è il grado 4: dobbiamo quindi individuare TUTTI i termini di grado 4 che si ottengono sviluppando le varie potenze. Vediamo le varie parentesi: ) 6 3 +o 4 ) = o8 ) 3 4 +o 5 )+o 7 ) = 3 4 +o 5 ) Poiché il primo infinitesimo che abbiamo trascurato è di grado 5, non serve che negli altri termini vengano calcolati in maniera precisa gli addendi con grado maggiore di 4. Della seconda parentesi 6 3 +o 4 )) 4 = 4 +o 5 ) resta solo il primo addendo, tutti gli altri hanno grado superiori a 4; l approssimazione dell ultimo o...) è o 5 ). Quindi al numeratore resta 3 4 +o 5 ) ) o 5 ))+o 5 ) +. Possiamo scrivere ) cossin) + = o4 ) =

23 3 = o 4 ), ovvero ) cossin) per 0. A questo punto possiamo calcolare il ite iniziale sostituendo a ciascun fattore infinitesimo il proprio infinitesimo equivalente individuato. Si ha ) 4 cossin) [arctane )] 4 = =

24 4 6) Sia f : R R data da f) = { ) log ) se > 0 se. Dopo aver verificato che la funzione è continua sul suo dominio, determinare il dominio della derivata prima e classificare eventuali punti di non derivabilità. Svolgimento. Per la funzione f è sicuramente continua: per < è la funzione costante f) = 0, quindi continua; per > si tratta di una funzione continua perché composizione e prodotto di funzioni continue per >. Resta da indagare il punto = in cui si spezza l espressione analitica di f. Poiché = è di accumulazione per domf, avremo che f è continua in = se e solo se f) = +f) = f). In base alla definizione di f si ha immediatamente Calcoliamo il ite destro: +f) = f) = 0. +f) = + ) log ). Posto y = ) 0 + per +, avremo, dal teorema di sostituzione, +f) = + ) log ) = +y logy = 0, y 0 grazie al ite fondamentale Abbiamo quindi provato che log) β = 0 per ogni α,β > α f) = +f) = f) = 0, per cui la funzione f è continua in =. Calcoliamo le derivate utilizzando le usuali regole di derivazione.

25 5 La derivata di f) = 0 è banalmente f ) = 0. Calcoliamo, invece, la derivata prima della funzione f) = ) log ) per >. Ricordando la formula della derivata del prodotto e di funzioni composte, si trova f ) = log ) + ) log ) log ) = log ) ) +. log ) = log ) + log ) log ) = Ci accorgiamo immediatamente della presenza di un denominatore. Dobbiamo quindi porre log ) 0, da cui, ovvero. Dovremo analizzare il comportamento della derivata prima per. Prima, però, studiamo il valore assoluto log ) applicando la definizione. Si ha Poiché la disequazione log ) = { log ) se log ) > 0 log ) se log ) < 0. log ) > 0 equivale a log ) > log,

26 6 da cui, per la crescenza della funzione log, >, ovvero >, avremo che log ) = La derivata prima della funzione f è dunque { log ) se > log ) se <. ) log ) + se < < log ) ) f ) = log ) + se > log ) 0 se <. Si osserva che f è sicuramente derivabile negli intervalli ],[, ],[ e ],+ [. Resta da studiare il comportamento della derivata prima per e per, individuando eventuali punti di non derivabilità per f. Osserviamo che siamo nelle ipotesi per poter utilizzare il teorema del ite della derivata: infatti, per quanto provato in precedenza, la funzione f è continua in tutto il suo dominio e derivabile negli intervalli scritti poco sopra. Calcoleremo i iti della derivata per e : nel caso in cui tali iti esistano, saranno uguali alle derivate sinistre e destre di f. Cominciamo con =. Si ha ) = f 0 = 0. Poiché il ite esiste possiamo dire che f ) = 0. Calcoliamo il ite destro, vale a dire { )} ) = log ) +. +f + log )

27 7 Posto ) = y 0 + per + e osservato che y 0 +logy = da cui y 0 + logy = 0, avremo { )} log ) + = + log ) y 0 + logy + ) = +, logy da cui f + ) = +. Poiché f ) = 0 e f + ) = +, segue che = è un punto di non derivabilità per f, in particolare è un punto angoloso. Analizziamo ora il punto = calcolando il ite della derivata prima. Poiché per si ha ) da cui log ) 0, il ite si presenta nella forma indeterminata [0 ]. Conviene fare qualche calcolo sulla frazione: log ) { )} log ) + log ) ) + = log ) log )+ = [log )+], log ) log ) dove la semplificazione è lecita in quanto stiamo supponendo. Risulta quindi Analogamente si ha Poiché ) = f [log )+] = = f ). ) +log ) + = log ) +[log )+] = + = f + ). f ) = e f + ) = +,

28 segue che anche il punto = è di non derivabilità per f, in particolare è un punto angoloso. 8

29 9 7) Calcolare l integrale definito log) + +7 d. Svolgimento. Il dominio della funzione è ]0, + [ ed f è continua nel suo dominio perché composizione, somma e quoziente di funzioni continue in ]0, + [. In particolare, f è continua sull intervallo di integrazione ], [, pertanto, per il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, risulta f)d = F) F), essendo F una qualsiasi primitiva di f. Calcoliamo quindi F) per mezzo dell integrale indefinito log) + +7 d. Si ha log) + +7 = log) ++ 7, da cui, per le proprietà di linearità dell integrale, log) + +7 log) d = ++ 7 ) d. Si ha banalmente, osservato che > 0, quindi =, d = +c, con c,c costanti reali. Rimane da calcolare 7 d = 7 d = 7log +c = 7log +c, log) d = log) d. Osservato che Poniamo è la derivata prima di log, conviene operare una sostituzione. log = y,

30 30 da cui, derivando alla Leibniz, d = dy. Per il teorema di sostituzione degli integrali indefiniti risulta log) d = y) dy = y3 3 +c 3 = log)3 +c 3. 3 In definitiva si ha log) + +7 log) d = d+ d+ 7 log)3 d = log+c. Scegliamo, per comodità, la primitiva con c = 0: F) = log) log. Possiamo ora calcolare l integrale definito: f)d = F) F) = log) log log) log ) = = log) log.

31 3 8) Calcolare la soluzione del problema di Cauchy y = etan ycos y0) =. Svolgimento. L equazione proposta è a variabili separabili, vale a dire della forma y = g) hy), con h e g funzioni continue. Si ha infatti y = etan cos y, in cui g) = etan cos, hy) = y. Osserviamo che hy) è sempre diversa da 0, quindi non ci sono soluzioni costanti per l equazione differenziale. Supposto y) 0, procediamo separando le variabili. Risulta y y = etan cos, da cui, scritto y = dy d, troviamo ydy = etan cos d. Integriamo entrambi i mebri dell equazione e otteniamo ydy = L integrale a primo membro è presto calcolato: e tan cos d.

32 3 ydy = y +c. Calcoliamo l integrale a secondo membro, e tan cos d = e tan cos d per mezzo di una sostituzione osserviamo infatti che la deriva di tan è proprio Poniamo tan = y, cos ). da cui, derivando alla Leibniz, d = dy. cos Grazie al teorema di sostituzione troviamo e tan cos d = e y dy = e y +c = e tan +c. L uguaglianza integrale diviene quindi ydy = e tan cos d y = etan +c, dove abbiamo scritto una sola costante additiva di integrazione. A questo punto imponiamo che la soluzione y del problema di Cauchy soddisfi la condizione y0) =, ovvero che il suo grafico passi per il punto di coordinate 0, ). Sostituiamo quindi a y il valore e a il valore 0 nell uguaglianza scritta poco sopra. Si ha ) = e tan0 +c, da cui 4 = e 0 +c,

33 33 che, risolta, dà c = 3. Sostituiamo quindi a c il valore e troviamo y = etan +3, da cui y = e tan +3 ). Per esplicitare y dobbiamo ricordare che, nel punto = 0, si ha y =, cioè la funzione assume un valore negativo. Ne segue che, nel risolvere l equazione, dovremo anteporre alla radice quadrata il segno. La soluzione del problema di Cauchy è quindi y = e tan +3).