La legge oraria del moto circolare può essere espressa in forme diverse, a seconda di come si intenda determinare la posizione del punto P:

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1 C8. Il mt ciclae unifme Nel mt ciclae, il punt mateiale si mue su una cicnfeenza; questa può essee pecsa inteamente più lte (cme da una lancetta di lgi), ppue sl in pate (cme da un aut in cua), anca cn mt scillati (cme da un pendl). Infine, gni mt ai può essee appssimatiamente descitt cme una sequenza di mti ciclai, ist che gni taiettia cuilinea può essee appssimata lcalmente a un ac del cechi sculate. Il più semplice mt ciclae è il mt ciclae unifme. Pe definizine, si dice unifme un mt ciclae in cui il mdul della elcità sia cstante. Si nti peò che il ette elcità, sempe tangente alla taiettia, nn è affatt cstante, peché cambia cntinuamente ientazine. Le cdinate plai La psizine del punt mateiale P è fissata dalle cdinate (, ) in un ifeiment catesian tgnale. In un pblema di mt ciclae, cniene pe l igine del ifeiment nel cent O della cicnfeenza. In altenatia, è pssibile assegnae le cdinate plai (, θ) di P: - si sceglie cme l asse cme asse plae; - θ è l'angl ientat che il ette fma cn l asse plae ; - è il mdul del ette. Le elazini ta cdinate catesiane e cdinate plai sn le seguenti: cs sen ( θ) ( θ) ; tg ( θ) + La legge aia del mt ciclae La legge aia del mt ciclae può essee espessa in fme diese, a secnda di cme si intenda deteminae la psizine del punt P: a) Usand l ascissa cuilinea: s s(t) b) Attaes le cdinate plai: c) Attaes le cdinate catesiane: d) In fma ettiale: ( t) cst θ θ ( t) ( t) ( t) Tutte queste descizini sn equialenti e, a secnda delle cicstanze, si può scegliee quella più antaggisa. θ aumenta se P si mue in es antiai e diminuisce se P si mue in sens ai.

2 La legge aia del mt ciclae unifme in temini dell ascissa cuilinea s Dett il mdul cstante della elcità, si ha: ds dt da cui si icaa : s t + s Ne segue che nel mt ciclae unifme il punt P pece achi uguali in tempi uguali. La elcità anglae La lunghezza dell ac s s - s è data da: 3 s θ Diidend amb i membi dell'equazine pe, si ttiene: s θ ds dθ dt dt Questa elazine si scie anche: ω cn dθ ω dt ω pende il nme di elcità anglae. Il segn di ω è legat al es di pecenza della cicnfeenza: ω > 0 la cicnfeenza è pecsa in sens antiai l angl θ è cescente nel temp ω < 0 la cicnfeenza è pecsa in sens ai l angl θ è decescente nel temp L unità di misua di ω nel SI segue dalla definizine di elcità anglae media: θ ω ; [ ω ] [ θ] [ ] ad s Fmalmente, si ttiene s(t) cn la tecnica dell integale (indefinit ppue definit). Si può peò anche aginae pe induzine: cme pe il mt ettiline unifme t +, csì pe il mt ciclae unifme s t + s. 3 Si usa qui la definizine di misua dell angl in adianti.

3 La legge aia del mt ciclae unifme in temini delle cdinate plai Se il mdul della elcità è cstante e pai a, dalla definizine di elcità anglae segue che anche ω è cstante e pai a ω : ω ; ω Patend dall espessine dell angl 4 : s t + s e diidend amb i membi pe, si ta la legge aia espessa in temini θ ω t + θ Da questa legge si ede che nel mt ciclae unifme il punt P cpe angli uguali in tempi uguali. 5 La legge aia del mt ciclae unifme in temini delle cdinate catesiane Dall espessine di θ, si può icaae la legge aia in temini delle cdinate catesiane: cs sen ( ωt + θ ) ( ω t + θ ) Da questa fmulazine della legge aia e si deteminan, calcland le deiate, elcità e acceleazine. Pnend, pe semplicità, θ ο 0, si ta: cs sen ; ω sen ω cs ; a a ω ω cs sen L acceleazine nel mt ciclae unifme Nel mt ciclae unifme l acceleazine tangenziale è nulla, peché il mdul della elcità è cstante. Osseand che a ; a, si ha: a a ω ω a ω L equazine ettiale dimsta che l acceleazine è un ette paallel a, ma ppst in es e, dunque, punta es il cent. Dunque l acceleazine centipeta è sempe diesa da ze e ale, in mdul 6 : a c ω ; a c ; a c ω 4 s Si usa qui, nuamente, la definizine di angl in adianti: θ 5 E scett palae di angl pecs. 6 Si passa da un espessine all alta icdand che ω

4 I diagammi a fianc mstan l ientazine dei etti,, a. Si nti che a nn cambia se cambia es. Un appcci gemetic al calcl di a c Il calcl eseguit dimsta che l acceleazine nel mt ciclae unifme è dietta es il cent e ha mdul a c. Questa alutazine può appaie un p astatta; peciò è iptat nel seguit, a cmplement, un agment di caattee gemetic. Il disegn in bass msta cme applicae la egla di sttazine ta etti pe calclae. Se si pendn in cnsideazine istanti di temp ia ia più icini, l ac disegnat in ne dienta sempe più piccl, ma il ette si mantiene sempe diett es il cent. L acceleazine ha la stessa ientazine di ed è dunque centipeta. Il mdul di a c si può pi deteminae studiand il tiangl isscele fmat dai etti θ θ sen θ, da cui a c ω,,. Se θ <<,

5 Il mt ciclae unifme cme mt peidic Un mt peidic è caatteizzat da questa ppietà: esiste un inteall di temp T, dett peid, tale che gni gandezza cinematica assuma nuamente l stess ale dp il temp T. Quindi, in un mt peidic si ha: ( t + T) ( t) ; ( t + T) ( t) ; a( t + T) a( t) Il mt ciclae unifme è un mt peidic. Il peid T è il temp necessai a pecee un gi. Si cnsidei pe semplicità θ ο 0, sicché la legge aia si scie: θ ω t Nell istante t T, il punt mateiale ha cmpiut un gi, ciè θ π. Si ha quindi: π ω T ; π ω T La fequenza ν è il nume di gii fatti nell unità di temp 7 ; dunque è l ines del peid, ciè: ν, da cui si ha anche ω π ν T Una nta sulle unità di misua: Nel SI, [ω] s - e anche [ν] s -. Tuttaia, ω è ν sn gandezze fisiche nn mgenee; pe esempi, nn ha sens fisic smmae una elcità anglae a una fequenza. Pe endee chiaa questa cicstanza, nel SI l unità di misua della fequenza è detta Hz e, pu essend pzinale 8, si indica nell unità di ω il simbl ad (adianti). Quindi si scie centemente: [ω] ad s - ; [ν] Hz Infine, si icdi che l unità patica di misua della fequenza è [ν] gii min - pm (unds pe minute) ; 60 pm Hz 7 La lettea geca ν iene letta ni nella tadizine latina, nu in quella anglsassne, che ecepisce la dizine ientale. L us dell alfabet gec pe appesentae simbli di us tecnic è mlt cnslidat. E cnsigliabile che gli studenti l cnscan bene! 8 Si icdi che i adianti sn numei.

6 La cndizine di incnt ta due punti Nel cas del mt ettiline, la cndizine peché due punti mateiali distinti si incntin è che in un cet istante ad essi sia assciat l stess ale dell ascissa. Si ptebbe pensae che nel mt ciclae la cndizine debba essee ippsta in md simile, in temini dell ascissa cuilinea dell angl θ, ma nn è csì. Si dee infatti tenee cnt del fatt che le psizini indiiduate dall angl θ e dall angl θ + π n, cn n inte, sn identiche! Si cnsidei ad esempi il mt della lancetta delle secndi e di quella dei minuti e ci si ppnga di deteminae in quali istanti esse si allinean. Pst T 60 s, T 3600 s, la elcità anglae della lancetta dei secndi ale π s ω ad e quella dei minuti π ω ad s. Pes l istante t 0 alla mezzantte, le leggi T T aie si scin: θ ω t θ ω t Le due lancette si incntan quand θ, θ hann la stessa ampiezza mdul π; ciè in tutti gli istanti t n che sddisfan l equazine: ω t ω t n ; n n π t n π n ω ω da cui t 6 s, t s, ecc. Il mt amnic cme piezine del mt ciclae unifme Il mt ciclae unifme ha un inteessante ness cn il mt amnic: se il punt P si mue di mt ciclae unifme, la sua piezine H sull asse delle ascisse si mue di mt amnic. Psizine, elcità e acceleazine di H cincidn cn le cmpnenti dei etti psizine, elcità, acceleazine di P. Se θ 0, si ha: cs ; ω sen ; a ω cs Queste equazini cincidn cn quelle dell scillate amnic di ampiezza A, pulsazine ω, fase iniziale φ 0. Si faccia attenzine al significat fisic del simbl ω: mt ciclae elcità anglae mt amnic pulsazine Il mt amnic è un mt ettiline: è scett desciel in temini di elcità anglae!