Elettrostatica. S = 20 cm 2 ; d 1 = 10 µm ; d 2 = 50 µm ; ε 1 = 2 ; ε 2 = 3 ;q = 20 pc ; ε o = Farad m -1

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1 lettstatica. Un cndensate a facce piane e paallele pesenta amatue di aea S sepaate dalla distanza d. Nel cndensate sn pesenti due stati dielettici divesi, cme mstat in figua, che hann ispettivamente cstante dielettica elativa e spesse,, d, d. Sulle amatue del cndensate è pesente la caica ±. Deteminae: a) Il vale del vette spstament D nei due dielettici; b) il vale del camp nei due dielettici; c) la diffeenza di ptenziale ai capi del cndensate; d) la capacità del cndensate; e) la plaizzazine P nei due dielettici; f) la densità di caica supeficiale di plaizzazine su ciascuna intefaccia. S 0 cm ; d 0 µm ; d 50 µm ; ; 3 ; 0 pc ; Faad m - Pe il calcl del vette spstament D si pcede cme di cnsuet facend ics al teema di Gauss, espess nella fma: Σ ( D ) Q int, lib In base alla simmetia del pblema, la supeficie chiusa Σ può essee scelta cme in figua (un cilind ett, cn una base di aea A nell amatua metallica e l alta nel dielettic). La supeficie Σ può essee scmpsta in te pati: la supeficie di base Σ, immesa nel dielettic; la supeficie di base Σ, immesa nell amatua metallica; la supeficie lateale Σ lat. Si ha dunue: Σ ( D) ( D) + ( D) + ( D) Σ Σ Σlat Sl il pim dei te addendi è dives da 0. Infatti, D 0 nei punti di Σ (in elettstatica, nn c è camp all inten dei cndutti); inlte D nˆ nei punti di Σ lat, uindi: ( D) Σ D nˆ dσ 0 lat Σlat piché D nˆ 0 (le linee di camp nn attavesan Σ lat ). Dunue si ha: ( D) Σ ( D) D nˆ dσ Σ D dσ DA Σ Σ Nel calcl si è tenut cnt del fatt che D // nˆ e che D è unifme pe simmetia su Σ. La caica libea intena alla supeficie su Σ è una pzine della caica ttale sull amatua. Detta σ lib la densità supeficiale di caica libea, si ha: A σ lib ; Qint, lib σlib A S S Dal teema di Gauss si icava dunue:

2 S A A D e uindi: S D 0-8 C m - Q Quest vale nn cambia passand da un dielettic all alt. Il camp elettic è legat a D dalla elazine D e uindi nei due dielettici ispettivamente: D 570 V m - ; D 380 V m - La ddp V ta i punti A e psti sull amatua psitiva e negativa vale: ( ) ( ) C C A A A d d ds ds ds ds V V A V + + avend indicat cn C un punt sull intefaccia ta i due dielettici. Quindi, sstituend i vali numeici: V 5 mv La capacità del cndensate è data da: C C V V V V d d V C Petant, la capacità del cndensate è euivalente a uella di una seie di due cndensati distinti, il pim cntenente il dielettic, il secnd il dielettic. Numicamente si ha: V C 0.8 nf La plaizzazine P nei dielettici va deteminata in base alla elazine ( ) P χ e uindi nei due dielettici, ispettivamente: ( ) ( ) ( ) ( ) D D P D D P χ χ Numeicamente: P C m - ; P C m - A C

3 Le caiche supeficiali di plaizzazine si deteminan dalla elazine: σpl P nˆ cn nˆ nmale uscente dal dielettic. In pssimità dell amatua psitiva il dielettic pesenta la densità di caica di plaizzazine σ P nˆ P (piché il vette P punta ves il bass, mente nˆ su uesta supeficie punta ves l alt). Analgamente, in pssimità dell amatua negativa il dielettic pesenta la densità di caica di plaizzazine σ P nˆ P (piché il vette P punta ves il bass, ed nˆ su uesta supeficie punta anch essa ves il bass). Sulla supeficie all intefaccia ta i dielettici si tva una densità di caica di plaizzazine pai alla smma algebica delle densità attibuite ai due dielettici, cme se fsse sepaati. Quindi: σ P nˆ + P nˆ P P I vali numeici sn i seguenti: σ C m - ; σ C m - ; σ C m -

4 . Si cnsidei una lasta di spesse d, che pesenta una distibuzine di caica vlumica unifme ρ. Deteminae: a) il vale del camp elettic all esten della lasta; b) deteminae il vale del camp elettic all inten della lasta in funzine della distanza z dal pian median (vedi figua); c) deteminae la d.d.p. ta i punti A (0, 0, 0) e (0, 0, d); d) deteminae che enegia cinetica deve avee una caica psitiva in pssimità della lasta (z > 0) pe pte passae dall alt lat (z < 0), nnstante l azine del camp elettic epulsiv (si suppnga tascuabile l enegia che la caica dissipa a causa degli uti cn le alte paticelle cstituenti la lasta). z d µm ; ρ C m -3 ; C ; Faad m - Pe il calcl del camp elettic si utilizza il teema di Gauss: ( ) Q int Σ In base alla simmetia del pblema, la supeficie chiusa Σ può essee scelta cme in figua (un cilind ett, cn le basi di aea A pste a uguali distanze dal pian di simmetia). La supeficie Σ può essee scmpsta in te pati: la supeficie di base Σ, psta nel semispazi z > 0 ; la supeficie di base Σ, psta nel semispazi z < 0 ; la supeficie lateale Σ lat. Si ha dunue: Σ ( ) ( ) + ( ) + ( ) Σ Σ Σlat z Nei punti di Σ, sia il camp elettic che la nmale alla supeficie di Gauss puntan ves l alt, e uindi: // n ; n da cui: ( z) ( ) nˆ dσ ( z) dσ ( z) Σ Σ Σ A Nei punti di Σ, sia il camp elettic che la nmale alla supeficie di Gauss puntan ves in bass, e uindi di nuv: // n ; n ( z) ( z) Si è ui fatt us della elazine (z) (-z) valida pe i mduli dei campi, dvuta alla simmetia del pblema. Quindi: ( ) ( ) Σ Σ Inlte, pichè nˆ nei punti di Σ lat, segue che:

5 ( ) Σ nˆ dσ 0 lat Σlat piché nˆ 0 (le linee di camp nn attavesan Σ lat ). Dunue si ha: Σ ( ) ( z) A La caica intena alla supeficie su Σ va valutata sepaatamente pe il cas z > d e pe il cas z < d. Se z > d (supeficie di Gauss a sinista in figua), Q int ρ d A. Dal teema di Gauss segue alla che: ρ d A ( z) A ; ( z) ρ d Dunue all esten della lasta il camp è unifme. Il su vale numeic è. KV m - Se z < 0 (supeficie di Gauss a desta in figua), Q int ρ z A. Dal teema di Gauss segue alla che: ρ z A ( z) A ; ( z) ρ z Il camp ha dunue dipendenza lineae da z. I due gafici mstan ispettivamente la dipendenza da z del mdul del camp (z), e della sua cmpnente z, z z (z). Il simbl denta il vale di all esten della lasta / 0.5 z / z/d z/d

6 La ddp ta i punti A e è data pe definizine da: ( ) V( ) V A Piché ds ( z) dz A ds si ha: ( ) V( ) ( z) V A d 0 d dz 0 ρ ρ z dz d Il vale numeic è V(A) V(). mv Pe affntae l ultim punt, si cnsidei il gafic in figua. Sull asse delle dinate è iptat il vale del ptenziale V V(z), calclat assumend che V(d) 0 : d ( ) ( z) V z z dz ρ ρ d ρ d ( d z ) ( d z) ( d + z) Nella figua è stat pst V d ρ se se se z < d z > d z < d V(z)/V z/d L enegia ptenziale Culmbiana di una caica in pesenza del ptenziale V è data da: U V Si vede dal gafic che uand la caica passa attaves la lasta, essa supea una baiea di enegia ptenziale di altezza U V Dunue essa deve pssedee almen l enegia cinetica K V J

7 3. Due sfee metalliche, di aggi R e R ispettivamente, sn cllegate da un sttile fil cndutte. Detta la caica ttale cmunicata al sistema, calclae (in cndizini di euilibi): e) il vale delle caiche e sulle due sfee; f) il vale del ptenziale elettstatic V alla supeficie delle sfee; g) il vale de camp elettic alla supeficie delle sfee (, ispettivamente). Detta d la distanza ta i centi delle sfee, si suppnga d >> R e d >> R. 0 nc ; R 0 cm ; R 50 cm ; Faad m - Le due sfee metalliche sn cllegate da un fil cndutte, e dunue si tvan all stess ptenziale elettstatic. Petant, detti ispettivamente V e V i ptenziali elettstatici delle sfee, deve essee: V V In linea di pincipi, la distibuzine supeficiale di caiche su ciascuna sfea nn è cstante; infatti, a causa dell induzine elettstatica dvuta alle caiche sull alta sfea, di segn uguale, ci saà una ceta tendenza ad accumulae caiche sul lat più lntan (vedi figua). Tuttavia, se le sfee sn abbastanza lntane (d >> R e d >> R ), uest effett è tascuabile. In uesta iptesi le densità di caica σ, σ sn appssimativamente unifmi, e i ptenziali sn dati dalle elazini: V 4π R ; V 4π R (ptenziale di sfea cnduttiva unifmemente caica). A uest punt, i vali delle caiche, si deteminan mettend a sistema l euazine pe l uguaglianza dei ptenziali, cn uella che espime la cnsevazine della caica ttale : 4π R π 4 R + Rislvend il sistema si tvan le elazini: R R + R R R + R da cui segun i vali numeici 3.3 nc ; 6.7 nc. Il vale del ptenziale è V V 300 V.

8 Il vale del camp elettic alla supeficie dei cndutti si icava facilmente in temini del teema di Culmb, che viene ui ipes. Cn ifeiment alla figua, si cnsidei una supeficie di Gauss Σ cstituita da un cilind ett, cn aea di base S, che pesenta la base supeie all esten del metall, e la base infeie all inten. Il teema di Gauss si scive: ( ) Q int Σ nˆ La supeficie Σ può essee scmpsta in te pati: la supeficie di base Σ, immesa nel vut; la supeficie di base Σ, immesa nel metall; la supeficie lateale Σ lat. Si ha dunue: Σ ( ) ( ) + ( ) + ( ) Σ Σ Σlat Sl il pim dei te addendi è dives da 0. Infatti, 0 nei punti di Σ (in elettstatica, nn c è camp all inten dei cndutti); inlte nˆ nei punti di Σ lat, uindi: ( ) Σ nˆ dσ 0 lat Σlat piché nˆ 0 (le linee di camp nn attavesan Σ lat ). Dunue si ha: ( ) Σ ( ) nˆ dσ Σ dσ S Σ Σ avend tenut cnt del fatt che il camp elettic alla supeficie di un cndutte è sempe allineat alla nmale alla supeficie del cndutte stess. Cme nt, uesta ppietà dipende dal fatt che la supeficie del cndutte è una supeficie euiptenziale, e che le supefici euiptenziali sn pependiclai alle linee del camp. A secnd memb, va a valutata la caica intena Q int. Questa è data in temini della densità di caica supeficiale σ : Q int σ S Infine, sstituend nell euazine che espime il teema di Gauss, si ha: σ S S da cui segue l espessine del Teema di Culmb: σ che espime il mdul del camp alla supeficie di un cndutte in temini della densità supeficiale di caica. Tnand al pblema assegnat, si deteminan innanzitutt le densità di caica supeficiale in base alle elazini: σ S 4π R 4π R ; σ ( R ) + R S 4π R 4π ( R + R ) R e infine i campi: σ 4π ; σ ( R + R ) R 4π ( R + R ) R

9 Numeicamente, si ha 30 V m - ; 6 V m - Si nti, a cmment finale, che le caiche, sn in ppzine dietta ai aggi R, R ; le densità di caica σ, σ sn in ppzine invesa ai aggi R, R ; csì pue i campi elettici,. Ciò ende cnt del csiddett effett delle punte: un cndutte cn un aggi di cuvatua lcale mlt piccl (una punta) avà in uel punt la massima densità di caica supeficiale, e uindi il massim camp elettic alla supeficie. Se l intensità di tale camp supea il camp di beakdwn (igidità dielettica) del dielettic in cui il metall è immes, si ha la ttua del dielettic, e sccca una scintilla. Nel sistema cnsideat, la scintilla pate sempe dalla sfea più piccla. Un appcci altenativ, sicuamente più apid, è il seguente. Il sistema può essee vist cme un mntaggi in paallel di due cndensati sfeici, la cui amatua estena è ptata all infinit. Nel mntaggi in paallel, la capacità effettiva C è la smma delle capacità dei singli cndensati C, C : C C + C Le capacità C, C sn date dalle elazini: C 4π R ; C 4π R e uindi C 4π ( R + R ) Il ptenziale V è dat da: V C 4π ( R + R ) e le caiche, si deteminan dalla definizine di capacità: C V 4π R C V 4π R 4π 4π ( R + R ) ( R + R ) R ( R + R ) ( R + R ) R

10 Camp magnetic 4. Il cicuit ettanglae in figua, di lati a e b (a izzntale e b veticale), è pecs dalla cente i ed è immes in un camp magnetic unifme. Il camp fma l angl θ cn la nmale al ettangl nˆ. Deteminae: a) il vale delle fze F, F, F3, F4 sui 4 lati del cicuit b) il vale della isultante F tt c) il vale del mment meccanic τ d) i vali di θ pe i uali il cicuit si tva in euilibi stabile e instabile ispettivamente. 3 nˆ 4 θ a 0.5 m ; b 0.3 m ; i.5 A ; 0.8 T ; θ 30 La fza magnetica che agisce su ciascun lat del cicuit è data dalla legge di Laplace: F i l dve l è un vette che ha la lunghezza del lat cnsideat ed è ientat nel ves della cente nella spia. F Le diezini dei vetti F, F, F3, F4 si deteminan facilmente e isultan cme in figua. Le uatt fze sn a due a due uguali e ppste. Pe ispndee alla pima dmanda basta calclae i mduli di F ed F. F i a senθ 0.5 Ν F i b 0.6 N F 3 La isultante F tt è nulla. Il mment meccanic si detemina ssevand che F, F 3 fman una cppia di fze di bacci null, mente F, F4 sn una cppia di fze cn bacci b a sen θ. Il mment meccanic di una cppia di fze è indipendente dal pl scelt pe il calcl. Il mdul è pai al pdtt di una della fze pe il bacci: τ b F a sen θ i b i S sen θ θ F 4 dve S è l aea della spia. Numeicamente si ha τ 0.5 N m Dalla elazine vettiale τ F4 (dve è il vette che dà la distanza ta il punt di F applicazine di F e uell di F 4 ) si vede che la diezine di τ è paallela a F. Si può ttenee un espessine vettiale pe τ intducend il mment di dipl magnetic m della spia: m i S nˆ Si ha infatti, in mdul diezine e ves, l identità: τ m

11 Le psizini di euilibi sn uelle in cui si annullan sia la isultante delle fze che uella dei mmenti. Deve essee dunue τ m 0, e ciè m // ppue m //, il che significa θ 0 e θ 80 ispettivamente. La pima psizine è di euilibi stabile, peché utand di un piccl angl il vette m (situazine nelle figue) si detemina un mment meccanic τ che tende a iptae il sistema all euilibi; la secnda è di euilibi instabile, peché utand di un piccl angl il vette m si detemina un mment meccanic τ che tende ad aumentae la distanza dall euilibi. Alla stessa cnclusine si aiva icdand l espessine dell enegia meccanica (enegia ptenziale) di un mment di dipl m immes nel camp : U mec m - m cs θ ssevand che il minim della funzine (-cs θ), e dunue di U mec, si ha in θ 0, ed il massim in θ 80.

12 5. Una baa cilindica di mateiale femagnetic di aggi a, altezza h, pesenta una magnetizzazine esidua M allineata all asse. Deteminae: a) il vale delle centi supeficiali di magnetizzazine; b) il vale del camp H all inten del cilind ; c) il vale del camp all inten del cilind, ed all esten, in pssimità della base supeie del cilind. M A m - ; Ω; µ 4π 0-7 Heny m - Le centi supeficiali di magnetizzazine sn date dalla elazine geneale: j m M nˆ dve nˆ è il vese nmale uscente dalla supeficie del mateiale magnetizzat. Nel cas di una baetta cilindica piuttst lunga, inteessa valutae j m sulla supeficie lateale. Se il vette M è diett ves l alt, si vede subit che j m descive una cente supeficiale che uta in sens antiai. In mdul: M j m nˆ j m M e uindi j m 500 A m -. Nella situazine cnsideata nn ci sn centi libee. In base alla simmetia del pblema (del tutt simile a uella di un slenide), dall euazine che espime la legge di Ampee applicata al ettangl Γ in figua, si icava subit che H 0: d s I cnc,lib H l 0 ; H 0 Γ Dalla elazine µ ( H + M) si tva subit il vale di : µ M da cui µ M 0.6 T Γ l All stess isultat si pteva pevenie in base alla elazine: ds µ I cnc Γ applicata alla cuva Γ mstata in figua. La cente cncatenata è pate della cente di magnetizzazine; csì: l µ jm l ; µ jm µ M

13 Quest ultima pcedua mette in evidenza l euivalenza ta una baetta cilindica magnetizzata e un slenide cn n spie pecs dalla cente i, in cui si abbia n i j m. Il camp magnetic all esten della baetta, in pssimità della supeficie supeie, si detemina in base alle cndizini di cntinuità del camp. La legge di Gauss Σ ( ) 0 è applicata alla supeficie Σ in figua, che ha base di aea A e altezza h piccla ispett alle alte dimensini caatteistiche del sistema (ppiamente, h è infinitesim di dine supeie ad A), ttenend: Σ ( ) A - A 0 ; In uesta elazine il pedice indica la valutazine nel vut; il pedice nel mezz mateiale; il simbl indica cmpnente pependiclae alla supeficie di sepaazine. I due addendi ecan segn ppst peché il pim è deteminat dal fluss attaves la base supeie, che ha nmale ivlta ves l alt, e il secnd attaves la base infeie, che ha nmale ivlta ves il bass. Il cntibut al fluss attaves la supeficie lateale è tascuabile nel limite h 0. Piché nel pblema in esame il camp ha sl cmpnente cmpnente pependiclae alla supeficie di sepaazine, segue che. Petant all esten, in pssimità della base supeie del cilind, ha l stess vale che ess assume all inten. Si ssevi infine che tale valutazine tascua il fatt che, a causa degli effetti di bd, le linee dei campi nn sn paallele all asse in pssimità della supeficie supeie, ed è petant valida sl appssimativamente.

14 6. Una lasta cnduttiva di spesse d è pecsa da una densità di cente unifme J. J Deteminae il camp geneat a distanza d dal pian di simmetia, e a distanza d dal pian di simmetia. z y d 0.5 cm ; J A m - x Le linee del camp magnetic, nell appssimazine di lasta indefinita, sn ette paallele all asse x, nel semispazi z > 0; e ette antipaallele all asse x, nel semispazi z < 0. Il camp magnetic geneat dalla distibuzine di cente assegnata può essee deteminat icend alla legge di cicuitazine di Ampee, tenend pesente la simmetia del pblema. Pe calclae il mdul di all esten della lasta, si applichi la legge al ettangl Γ mstat in figua, che ha due lati di lunghezza l psti simmeticamente ispett al pian z 0, alle ute z e z ispettivamente. Si ha: ds µ I c x 3 Γ 4 Γ z J Il ettangl Γ può essee scmpst nei uatt lati, e dunue: ds ds + ds + 3 ds + 4 ds Il secnd e il uat temine sn nulli. Infatti, sui lati, 4 si ha ds ; ds 0 Il pim e il tez temine sn uguali, peché su entambi i tatti si ha // ds ; ds ds. Quindi in definitiva: ds ds ds ds Γ l dve indica il vale del mdul del camp sui tatti, 3 (ciè all esten della lasta). Si è ui fatt us della elazine gemetica // ds, valida pe la scelta del ves di pecenza di Γ mstata in figua. Resta a da valutae la cente cncatenata a Γ. Cme si vede in figua, è attavesata da cente sl una pzine ' del ettangl, di altezza pai all spesse ttale d della lasta. Detta Σ la supeficie del ettangl Γ, e Σ la supeficie del ettangl di base l e altezza d, sa ha: Ic Σ J nˆ ds ' Σ J nˆ ds Qui si è fatt us del fatt che ' Σ J // nˆ J ds J ' Σ ds J d l di pecenza psitiv di Γ, è paallela e cncde all asse y., pechè la nmale psitiva, legata in base alla egla della man desta al ves

15 Infine, mettend insieme i due membi della legge di Ampee: l µ J d l ; µ J d Si nti che il vale iptat nn dipende da z (il camp è unifme in ciascun semispazi all esten della lasta). Numeicamente si tva 0.6 mt. Quest è anche il vale del camp a distanza d dal pian di simmetia. Il camp all inten della lasta si detemina icend alla legge di Ampee applicata al ettangl Γ, che ha le basi pste ispettivamente alla uta z e -z. Pcedend in md analg al cas pecedente, si tva che: ds ds ds z Γ ( ) ds ( z)l La cente cncatenata a Γ è data dall espessine: Ic Σ J nˆ ds Σ J ds J Σ ds J z l icavata tenend cnt del fatt che in uest cas la densità di cente su Σ è unifme. Infine, mettend insieme i due membi della legge di Ampee: ( ) l µ J z l ; ( z) J z z µ d d Il vale del camp a distanza dall asse è dunue 0.08 mt. L andament del mdul e della cmpnente x del camp in funzine di z sn iptati nel gafic in figua, dve si è pst µ J d / 0.5 x / z/d z/d

16 lettdinamica e nde 7. Una lasta di spesse d è cstituita da un di dielettic impefett cn cstante dielettica elativa e cnduttività ρ. La lasta è psta ta due amatue, alle uali è cllegat un geneate ideale di fem vaiabile f(t). Deteminae i vali assunti all istante τ dalle seguenti gandezze: a) densità di cente libea J lib ; b) densità di cente di plaizzazine J pl ; c) densità di cente di spstament J s. d 00 µm ; ; ρ Ω m ; Faad m - ; ( t) t f V τ e ; V V ; τ µs L euazine del cicuit in cui è mntat in cndensate è la seguente: f(t) V cn V diffeenza di ptenziale ai capi del cndensate, in uant nel cicuit esten nn ci sn esistenze elettiche e il geneate, cme ecita il test, può essee cnsideat ideale. Dunue la ddp V ai capi delle amatue è in gni istante pai a f(t). Nella lasta è pesente un camp elettic unifme, di mdul, dipendente dal temp. In appssimazine cicuitale, il mdul di è legat a V dalla elazine V d esattamente cme in elettstatica. Infatti: V V A ds d A A A ( ) V( ) ds ds avend cndtt l integale di linea lung il segment A, che unisce le amatue ed è paallel alle linee di camp. Si icdi che il ptenziale elettstatic, a ige, è definit sl in cndizini statiche. Tuttavia, se i tempi caatteistici del fenmen sn sufficientemente bevi, ess può essee anca utilizzat senza cmmettee gandi ei (appssimazine cicuitale). L appssimazine cicuitale ichiede che le dimensini caatteistiche del dispsitiv del cicuit sian piccle ispett alla distanza pecsa dalla luce nel temp caatteistic. In uest cas, la lunghezza caatteistica è il aggi a del cndensate; il temp caatteistic è τ. Quindi l appssimazine cicuitale è cetta puché isulti a << c τ 600 m il che è sicuamente ve pe gni ealistic dispsitiv. Si nti pe incis che le CPU dei cmpute cn tempi caatteistici τ, cn ν feuenza di clck, sn mai alla sglia del limite cicuitale. ν Tnand al pblema in esame, il mdul di è dunue dat da: t V V e τ d d Nt, si icavan le gandezze fisiche ichieste:

17 t V e τ Jlib ρ ρ d P J pl t t ( χ ) χ t ( ) V τ τ d e t J s t V τ d t e τ All istante t τ, i vali numeici sn ispettivamente J lib 0. A m - ; J pl A m - ; J s A m - Si nti la diffeenza di segn ta la cente libea e uelle di plaizzazine e di spstament. La ddp icda uella ai capi di un cndensate a facce piane e paallele duante la fase di scaica. Se il dielettic fsse pefett, la cente sceebbe all indiet nel cicuit esten. Anche le centi di plaizzazine e di spstament sceebbe all indiet. Infatti, cn ifeiment alla supeficie di Gauss in ss, pe la nta ppietà della cente di spstament si ha: ( J + Js ) La base supeie della supeficie di Gauss è attavesata dalle caiche libee che scn nel fil. Il fluss è diett ves l esten, dunue è psitiv. Il fluss attaves la base infeie deve essee alla negativ. Peciò le centi di plaizzazine e di spstament devn entae nella supeficie di Gauss; uindi esse puntan ves l alt. Piché il dielettic è impefett, c è anche una cente di cnduzine. Questa deve puntae sempe dall amatua psitiva a uella negativa, e uindi è dietta ves il bass.

18 8. Un nda M piana, mncmatica, pcede nel vut nella diezine dell asse x. L ampiezza del camp elettic è. Deteminae: a) l ampiezza del camp magnetic ; b) l intensità della adiazine; c) la pessine esecitata dalla adiazine su una supeficie pefettamente assbente psta pependiclamente all asse di ppagazine. 00 V m - ; Faad m - ; µ 4π 0-7 Heny m - In un nda piana che si ppaga nel vut, lntan dalle sgenti e da alte caiche libee, le ampiezze dei campi elettic e magnetic sn legate dalla elazine: c dve c µ m s Si ha uindi: 0.3 µ T c L intensità I di un nda M è il vale medi tempale del mdul del vette di Pynting. Quest è dat da: I µ k e siccme in un nda che si ppaga nel vut, si ha I µ Le diezini dei campi, e del vette d nda k sn iptate in figua. Dalla definizine, si vede che il vette di Pynting è paallel e cncde a k. In un nda mncmatica piana che si ppaga lung l asse x, i campi, hann mduli dati da: ( k x t) ( k x t) cs ω cs ω Sstituend le elazini date nell euazine pe I, e tenend cnt della elazine ta e, si ttiene: I µ cs ( k x ω t) cs ( k x ω t) c µ Il vale medi tempale è uguale pe ualunue vale di x, e uindi si può calclae in x 0. I c µ cs ( k x ω t) cs ( k x ω t) cs ( ω t) c µ c µ

19 Piché pi cs T dt T 0 ( ω t) cs ( ω t) si ha infine: I c µ Tnand ai dati del pblema, si ha uindi: I 3 W m Quand l nda incide su una supeficie fisica, essa mette in mt le caiche elettiche ivi pesenti. Pe deteminae la pessine esecitata, si cnsidei innanzitutt una singla caica sggetta all azine del camp M. Su di essa agisce la fza di Lentz, data da: F ( v + ) Il mdul della fza magnetica è mlt più piccl del mdul della fza elettica, a men che la caica nn acuisti una velcità pssima a uella della luce. Infatti, F ; F v e uindi: F F v v c << In pima istanza, la fza magnetica appae uindi tascuabile. Tuttavia, se inizialmente la caica è fema, la fza elettica la mette in scillazine tasvesalmente alla diezine di ppagazine dell nda, e la caica nn acuisisce una velcità media divesa da ze. La fza magnetica è invece allineata alla diezine di ppagazine, e può fnie alla caica una velcità media divesa da ze nella diezine di ppagazine dell nda. Se l nda incide su una supeficie di aea S, essa inteagisce cn la uantità di caica ttale N S σ S S dve σ è la densità supeficiale di caica. Quindi la fza magnetica cmplessiva è in mdul F M σ S v Il appt ta fza e supeficie dà la pessine dell nda: F p M S σ v Questa espessine può essee messa in temini un p divesi icdand che la ptenza W egata dall nda sulle stesse caiche è data da: W σ S v e uindi

20 σ W v S Sstituend uesta elazine si ttiene l espessine pe p: W p S c W S W La ptenza egata pe unità di supeficie cambia a secnda del tip di S mateiale. Pe una supeficie pefettamente assbente, in media essa è uguale all intensità dell nda incidente, cme si vede dall applicazine del teema di Pynting alla supeficie di Pynting in figua: du dt ( I) + W Passand ai vali medi: ( I) + W 0 ( I) W Si è ui fatt us del fatt che du dt 0, peché siam in pesenza di un fenmen peidic, e uindi U è una funzine peidica. Infatti: T du dt T 0 du dt' dt' T ( U( T) U( 0) ) 0 Tnand al teema di Pynting, si ha alla: 0 I S + W ; W S I Si nti il segn negativ pe il temine di fluss. Si tatta di un fluss entante, pe il uale I // nˆ. Tnand all espessine di p, e cnsideandne il vale medi, si ha: W I p c S c In base ai dati del pblema, si ha il vale numeic p N m Si ssevi che l agmentazine iptata nn vale nel cas di una supeficie pazialmente iflettente. Il mtiv fndamentale è che, pe un mezz nn pefettamente assbente, si deve tenee cnt della pesenza dell nda iflessa sia nel calcl della fza sulle caiche, che nel teema di Pynting. Pe una supeficie pefettamente iflettente si tva una pessine esattamente dppia ispett al vale ui iptat. La pessine saà in geneale cntenuta ta uesti vali limite.

21 . Due slenidi di altezza h sn mntati in asse, l un dent l alt. Il più inten ha aggi a, n spie pe unità di lunghezza, ed al su inten è pesente un nucle femagnetic dlce (cn cicl di isteesi stett), caatteizzat dalla pemeabilità magnetica elativa µ ; uell esten ha aggi b e n spie pe unità di lunghezza. Deteminae: d) l autinduttanza L del pim slenide; e) l autinduttanza L del secnd slenide; f) la mutua induttanza M dei due cicuiti. h 0 cm ; a cm ; n 0 3 m - ; b 6 cm ; n m - ; µ 0 L autinduttanza è data pe definizine da: L i ( ) dve ( ) è il fluss autindtt, ciè è il fluss del camp magnetic attaves la supeficie del cicuit che l ha geneat. Pe il calcl del cefficiente di autinduttanza del slenide inten, si suppnga dunue che ess sia alimentat da una cente i. Il camp magnetic nel slenide può essee icavat utilizzand la legge di cicuitazine di Ampee pe il camp H, icdand che ess è appssimativamente null all esten del slenide, e le linee di camp sn ette paallele all asse del slenide al su inten. Applicand la legge al cicuit Γ mstat in figua, si ha: H ds I cnc Si ha peò che H ds H l lib l peché l unic tatt della cicuitazine su cui si ha un cntibut nn null è uell inten, paallel all asse; e inlte Icnc lib n l i Dunue, cmbinand le due elazini: H n i Pe un mateiale femagnetic dlce, che abbia ciè un cicl di isteesi mlt stett, il camp (lntan dalla satuazine) è legat ad H dalla elazine appssimata: µ µ H e uindi µ µ n i

22 Il significat dell appssimazine è chia dal diagamma in figua, in cui è iptat un cicl di isteesi tipic di un femagnete dlce, insieme alla etta di euazine µ µ H. Il gafic mette in evidenza il fatt che l appssimazine è valida pe campi mlt mini del camp di satuazine H s, ciè del camp che pemette l allineament di tutti i mmenti di dipl magnetic e che uindi cispnde alla magnetizzazine di satuazine M s e all induzine s µ (H s + M s ). Si nti che invece al di spa di H s la magnetizzazine mantiene un vale cstante, e la elazine ta e H diventa µ (H + M s ). Il cefficiente anglae di uesta etta è µ << µ µ e uindi l asintt che essa appesenta appae paticamente izzntale / s H / H s Tniam al calcl di L. L aea del cicuit è la cllezine di N cechi di aea S π a. Quindi: ( ) N ( ) cn ( ) fluss attaves un cechi: ( ) nˆ ds ds ds π a avend fatt us della elazine gemetica // nˆ e del fatt che è unifme in tutt il slenide. Petant: ( ) N S µ n i N S µ n a h i π ; ( ) µ µ n a h L π i Il calcl di L pcede in md simile. Si deve peò cnsideae che il slenide è sl pazialmente iempit da un nucle femagnetic. Si suppnga che il slenide sia alimentat dalla cente i. Si ssevi che, essend immutata la simmetia assiale del pblema, il camp H nn isente in alcun md della pesenza del mateiale femagnetic. Ripetend dunue i passaggi pecedenti, si ttiene facilmente: H n i a b

23 Il calcl di ichiede attenzine. Cn ifeiment alla figua, si vede che bisgna distinguee due zne: uella intena al mateiale femagnetic ( < a) e uella estena ad ess ( a < < b ). Nella pima egine si ha: int µ µ H µ µ n i Nella secnda, invece, µ H e uindi ext µ H µ n i Il calcl del fluss pcede dunue in uest md: ( ) N ( ) cn ( ) fluss attaves un cechi: ( ) nˆ ds nˆ ds + nˆ ds Σint Σext Qui si è divis l integale di fluss in due pati, di cui Σ int è il cechi di aggi a, e Σ ext la cna ciclae cmpesa ta le cicnfeenze di aggi b e di aggi a. Pcedend nel calcl si ha: ( ) nˆ ds + nˆ ds int ds + ext ds int ds + ext ds int πa + ext ( πb π ) a Σint Σext Σint Σext Qui si è fatt us anca una vlta del fatt che dvunue // nˆ e del fatt che è unifme sia in Σ int che in Σ ext. Il fatte ( b πa ) π è l aea della cna ciclae. Cncludend, alla: ( ) N ( ) N πa + N ( πb πa ) N µ µ n i πa + N µ n i ( πb π ) e uindi: int ext a Σint Σext ( ) N µ µ n πa + N µ n ( πb πa ) µ n h π ( µ a + ( b ) ) L a i

24 I vali numeici isultanti sn L 3. mheny ; L 9 mheny Pe il calcl della mutua induttanza M si deve fa ifeiment alla elazine: ( ) i M che va intesa cme segue: si alimenta il cicuit cn la cente i ; si detemina il fluss del camp magnetic csì geneat attaves il cicuit ; si detemina il appt ta tale fluss e la cente i. Il camp è già stat deteminat. Si ha: > < µ µ a 0 a i n Quindi si ha: ( ) Σ Σ Σ + int ext int ds nˆ N ds nˆ ds nˆ N ds nˆ N Qui si è fatt us delle seguenti ppietà: a) l aea del cicuit è la cllezine di N cechi di aggi b; b) un cechi di aggi b, cme vist pe il calcl di L, si può sepaae nella supeficie Σ int + Σ ext ; c) 0 nei punti di Σ ext Pseguend nel calcl si ha: ( ) a N ds N ds N ds nˆ N int int int π Σ Σ Σ Sstituend il vale di e dividend pe i si tva M: ( ) a h n n a n N i a i n N i a N i M π µ µ π µ µ π µ µ π Il vale numeic è M 4.7 mheny