Appello #2 - edili [ A ] La definizione di convergenza uniforme si può riscrivere nella forma

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1 Appello # - edili [ A ]. La successioe coverge putualmete alla uioe ( x ) i [ a, b ] se x [ a, b ], >, ( x, ) : >, ( x ) - ( x ) < La successioe coverge uiormemete alla uioe ( x ) i [ a, b ] se >, ( ): x [ a, b ] >, ( x ) - ( x ) < La deiiioe di covergea uiorme si può riscrivere ella orma -, poedo - sup ( x ) - ( x ). Nello spaio C [ a, b ] possiamo sostituire estremo superiore co massimo (teorema di Weierstrass). b a ( x ) dx deiisce ua orma ello spaio C [ a, b ] perché : ( i ) ( ii ) e la uioe è ulla, il suo itegrale (cioè la orma) è ullo. Viceversa, se suppoiamo che i u puto x sia ( x ) > ; per cotiuità questo sarebbe vero ache i tutto u itoro del puto e duque l itegrale o potrebbe essere ullo. (iii) λ λ (iv) + g + g /,. La supericie data è u semicilidro circolare tagliato dai piai oriotali,. Parametriiamo la supericie usado le coordiate cilidriche: x cosϑ, y se ϑ,, co ϑ,.

2 Φ area ϑ Φϑ Φ ( cosϑ, seϑ, ) ϑ Φ ( cosϑ, seϑ, ) Per motivi di simmetria, x G, G ½. d d. y G y d d seϑ d. rot F (,, - x ) (,, - cos ϑ ) rotf Φϑ Φ ( -) cosϑ lusso ( -) d cosϑ Calcoliamo la circuitaioe sul bordo della supericie opportuamete orietato: tale bordo si compoe di ua semicircoerea orietata i seso atiorario el piao, ua semicircoerea orietata i seso orario el piao, il segmeto da (,,) a (,,), il segmeto da (-,,) a (-,,). Calcoliamo successivamete il lavoro sui quattro tratti. ( i ) x cosϑ, y seϑ, L, ( cos ϑ seϑ, ) ( - seϑ, ) cos ϑ se ϑ se ϑ se t dt 4 8 ϑ - seϑ cosϑ 8. 8 (ii) x cosϑ, y seϑ, ; l orietameto o è quello richiesto. L - ( cos ϑ seϑ,, seϑ ) ( - seϑ, ) ( - cos ϑ se ϑ + cosϑ ). 8 (iii) x, y, t L (, t, ) (,,) dt (iv) x -, y, t L (,- t, ) (,, -) dt.

3 3. Poiché grad o è mai ullo, massimo e miimo soo assuti sulla rotiera del domiio ( la supericie serica di cetro (,, ) e raggio ). Possiamo studiare il problema co il metodo dei moltiplicatori di Lagrage. I puti staioari della uioe lagragiaa L y + + λ ( x + y + x - y ) risolvoo il sistema: x + λ y - λ + y λ x - λ + λ + - x - y Dalla prima equaioe ricaviamo λ oppure x. La soluioe λ è icompatibile co la secoda equaioe. ottraedo membro a membro secoda e tera equaioe e ricordado che λ è diverso da, si ottiee: y ; risolvedo il sistema ormato da questa equaioe e dalla quarta, si trovao i puti (,), (,, -),. Il primo è di massimo, il secodo di miimo.

4 Appello # - edili [ B ]. La successioe coverge putualmete alla uioe ( x ) i [ a, b ] se x [ a, b ], >, ( x, ) : >, ( x ) - ( x ) < La successioe coverge uiormemete alla uioe ( x ) i [ a, b ] se >, ( ): x [ a, b ] >, ( x ) - ( x ) < La deiiioe di covergea uiorme si può riscrivere ella orma -, poedo - sup ( x ) - ( x ). Nello spaio C [ a, b ] possiamo sostituire estremo superiore co massimo (teorema di Weierstrass). b a ( x ) dx deiisce ua orma ello spaio C [ a, b ] perché : ( i ) ( ii ) e la uioe è ulla, il suo itegrale (cioè la orma) è ullo. Viceversa, se suppoiamo che i u puto x sia ( x ) > ; per cotiuità questo sarebbe vero ache i tutto u itoro del puto e duque l itegrale o potrebbe essere ullo. (iii) λ λ (iv) + g + g /,. La supericie data è u semicilidro circolare tagliato dai piai oriotali,. Parametriiamo la supericie usado le coordiate cilidriche: x cosϑ, y se ϑ,, co / ϑ /,.

5 Φ area d Φϑ Φ ( cosϑ, seϑ, ) ϑ Φ ( cosϑ, seϑ, ) Per motivi di simmetria, y G, G ½. / -/ ϑ d. x G x d d / -/ cosϑ d. rot F (, -, - x y ) (, -, - seϑ cosϑ ) rotf Φ - cosϑ - se ϑ lusso d cos d / -/ / ϑ seϑ -. -/ Φϑ Calcoliamo la circuitaioe sul bordo della supericie opportuamete orietato: tale bordo si compoe di ua semicircoerea orietata i seso atiorario el piao, ua semicircoerea orietata i seso orario el piao, il segmeto da (,,) a (,,), il segmeto da (,-,) a (,-,). Calcoliamo successivamete il lavoro sui quattro tratti. ( i ) x cosϑ, y seϑ, L /, 3 ( cosϑ se ϑ, ) ( - seϑ, ) cosϑ se ϑ -/ (ii) x cosϑ, y seϑ, ; l orietameto o è quello richiesto. L - / ( cosϑ se ϑ, ) ( - seϑ, ) / / 3 ( cosϑ se ϑ cosϑ ) -. / (iii) x, y, t L (, t, ) (,,) dt (iv) x, y -, t L (, t, ) (,,) dt.

6 3. Poiché grad o è mai ullo, massimo e miimo soo assuti sulla rotiera del domiio ( la supericie serica di cetro (,, ) e raggio ). Possiamo studiare il problema co il metodo dei moltiplicatori di Lagrage. I puti staioari della uioe lagragiaa L x + + λ ( x + y + x - y ) risolvoo il sistema: x + λ x - λ + y λ y - λ + λ + - x - y Dalla secoda equaioe ricaviamo λ oppure y. La soluioe λ è icompatibile co la prima equaioe. ottraedo membro a membro prima e tera equaioe e ricordado che λ è diverso da, si ottiee: x ; risolvedo il sistema ormato da questa equaioe e dalla quarta, si trovao i puti (, -), (,,),. Il primo è di miimo, il secodo di massimo.