Componenti deterministiche e stocastiche nella destagionalizzazione delle serie storiche basata su modelli: una applicazione ed alcuni confronti.

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1 Componeni deerminisiche e socasiche nella desagionalizzazione delle serie soriche basaa su modelli: una applicazione ed alcuni confroni. Cosimo Viale Agosino Tarsiano(*) Universià degli sudi della Calabria Diparimeno di Economia e Saisica Arcavacaa di Rende (Cs) agoar@unical.i Riassuno. Il problema affronao riguarda la decomposizione, ed in paricolare la desagionalizzazione o depurazione sagionale di una serie sorica. In queso lavoro non verrà analizzao il problema dell'esisenza o meno di componeni deerminisiche, ma come e quando i processi rappresenabili con modelli della classe ARIMA inveribile possano conenere componeni deerminisiche e come sia possibile, uilizzando la modellisica ARIMA, enucleare componeni, siano esse deerminisiche o socasiche, a cui aribuire i classici significai di ciclo-rend, sagionalià e residuo. Keywords: Desagionalizzazione, decomposizione di una serie sorica, modelli ARIMA (*) Lavoro comparso nei quaderni di Saisica ed Economeria, vol VI, Aprile 1984, pp C. Viale ha scrio i paragrafi 1-5 A. Tarsiano i paragrafi 6-8 ed il programma di calcolo per la deerminazione dei filri e delle componeni.

2 1. Inroduzione Il problema che verrà affronao nel seguio riguarda la decomposizione, ed in paricolare la desagionalizzazione o depurazione sagionale di una serie sorica Y, =1,..., N. A ale proposio, supponiamo che Y sia il processo socasico coninuo a paramero discreo su cui è saa osservaa la suddea serie sorica e che sia: (1.1 ) Y F, Λ F (, Λ)= P1 + S1 Z = P + S + e = ove P 1 ed S 1 sono rispeivamene la pare deerminisica del ciclo-rend e della sagionalià, P ed S sono rispeivamene la pare socasica del ciclo-rend e della sagionalià, menre e è il residuo casuale non prevedibile e quindi possa considerarsi un whie noise: E(e )=0, var(e ) = σ e cov(e, e -k )=0, per k 0. In alri ermini, F(, Λ ) rappresena la pare deerminisica di Y, menre Z è la pare socasica. I problemi che analizzeremo sono: (i) sabilire quando in Y, dae deerminae condizioni, è possibile individuare una componene deerminisica del ipo F(, Λ); (ii) sabilire una o più meodologie che, a parire da dae condizioni impose su Y, perme ano di derivare alcune o ue le componeni preseni nella (1.1) ed in paricolare D = P 1 + P +e ed S = S 1 + S cioè la componene desagionalizzaa e quella sagionale, rispeivamene. Nei lavori di Abraham-Box (1978) ed in quello di Viale (198a) è sao affronao essen zialmene il puno (i) soo l'ipoesi che Y, sia un processo rappresenabile con un modello della classe ARIMA, menre nei lavori di Pierce (1978) ed Havenner-Swamy (1981 ) l'aenzione è saa posa essenzialmene sul puno (ii). In queso lavoro non verrà analizzao il problema dell'esisenza o meno di componeni deerminisiche, ma come e quando i processi rappresenabili con modelli della classe ARIMA inveribile possano conenere componeni deerminisiche e come sia possibile, uilizzando la modellisica ARIMA, enucleare componeni, siano esse deerminisiche o socasiche, a cui aribuire i classici significai di ciclo-rend, sagionalià e residuo. Più in paricolare, nel paragrafo illusreremo l'approccio proposo da Pierce (1978) commenandone le relaive deficienze. Nel paragrafo 3 preseneremo la meodologia proposa da Havenner-Swamy (1981), ne mosreremo i limii e dimosreremo come il modello da loro proposo sia riconducibile, assieme alle componeni generae, a complicai modelli della classe ARIMA in

3 cui i parameri MA sono funzione del empo. Nel paragrafo 4, seguendo il lavoro di Viale (198a), mosreremo come i processi rappresenabili con modelli ARIMA inveribili possano conenere, in casi abbasanza rilevani, componeni deerminisiche. Nel paragrafo 5 mosreremo come e quando un processo rappresenabile con un ARIMA(0, 1, r + 1)(0, 1, 0) r sia decomponibile nelle componeni correlae di sagionalià e desagionale, rappresenabili con paricolari ARIMA. Nel paragrafo 6 adaeremo alla serie analizzaa in Havenner-Swamy (1981) un modello ARIMA e lo decomporremo con la meodologia proposa nel paragrafo 5. Nel paragrafo 7 confroneremo i risulai oenui sull'applicazione con la procedura proposa da Pierce, da Havenner-Swamy, con il meodo X-11 e con quello da noi proposo. Le conclusioni, le prospeive ed i commeni saranno conenui nel paragrafo 8.. L'approccio di Pierce Nel lavoro di Pierce (1978) si suppone che sia con Y = D + S D = P + e e si osserva, giusamene, che il puno cruciale della problemaica della depurazione sagionale è quello di simare S. Infai, se Ŝ è una sima di S si oerrà Dˆ = Y Sˆ. La sima di S, in generale, viene oenua con uno dei due segueni meodi alernaivi: (a) Meodo che uilizza le medie mobili E' quello, in generale, più uilizzao nelle procedure sandard di desagionalizzazione come l'x-11 e consise nell'elaborare un filro simmerico del ipo media mobile come il seguene: j j (.1) WS( F, B)= ws0 + wsj F + B k j= 1 ove, al solio, B è un operaore lineare per cui B j X = X -j e F = B -1, ale che applicando il filro (.1) ad Y si abbia una sima di S : Sˆ W F, B Y = S

4 e quindi, per oerere una sima di D basa considerare: [ ] = Dˆ Y Sˆ 1 W FB, Y W FBY, = = S D Si può dimosrare (vedi per esempio Pierce (1979)) che se W S (F,B) è elaborao enendo cono della sruura ARIMA di Y allora W s (F, B) è oimale nel senso che minimizza gli errori quadraici medi della sima di S, cioè minimizza [ ˆ ] E ( S S) ed il filro (.1) è derivabile se il modello ARIMA per Y è inveribile (vedi per esempio Viale (198b)). D'alra pare, osserva Pierce (1978), pag. 4, se Y coniene una componene non sazionaria e deerminisica il modello per Y è non inveribile per cui quesa procedura è valida se e solo se in Y vi è non sazionarieà socasica. Nel paragrafo 5 mosreremo che quesa affermazione non è sempre vera. (b) Meodi che uilizzano modelli regressivi Se Y coniene componeni non sazionarie esclusivamene di ipo deerminisiche e quindi si ha: P = α c ; S = β a h j j j j j= 1 j= 1 m che implicano per Y il seguene modello di regressione Y = Ca+ Db+ e le componeni possono essere derivae con semplici meodi regressivi. In conclusione, Pierce afferma che se in Y vi sono componeni solo socasiche allora è necessario uilizzare le procedure descrie in (a), se vi sono componeni solo deerminisiche bisogna ricorrere alle procedure (b). Il problema diviene più complesso se Y coniene sia componeni deerminisiche che socasiche. In al caso, sosiene sempre Pierce, è necessario elaborare una procedura diversa da quelle aualmene in uso che in primo luogo verifichi la presenza di ali componeni. La procedura proposa da Pierce è a sadi e consise: (i) nella sima preliminare di P 1 ed S 1 con meodi regressivi oenendo ˆP 1 ed Ŝ 1 e quindi Zˆ = T Pˆ Sˆ 1 1

5 (ii) nel filraggio di Ẑ con un operaore lineare ipo ψ( B)= 1 ψ1b ψb ψ B le cui d radici sono ue sul cerchio uniario in modo da eliminare il rend socasico, soo l'ipoesi che non modifichi la sagionalià, e quindi oenere: d d = = + ψ BZˆ Xˆ Sˆ e (iii) nel decomporre ˆX in Ŝ ed e, ove e è un whie noise, ricorrendo al meodo della decomposizione canonica, cioè all'individuazione di e di modo che la sua varianza sia la massima possibile (vedi Box-Hillmer-Tiao (1978), Tiao-Hillmer (1978), Viale (1980)); (iv) nell'elaborazione di es che permeano di sabilire se Ie componeni deerminisiche e socasiche oenue sono significaive. Come si può noare, la procedura proposa da Pierce, è abbasanza generale e permee di derivare, anche se con una cera mole di calcoli, una soluzione al problema proposo. Resa il fao che, come si evidenzierà nel paragrafo 4, anche se Y coniene componeni deerminisiche e socasiche, il modello ARIMA che Io rappresena è, spesso, inveribile e quindi, nelle praiche applicazioni, è quasi sempre possibile uilizzare la procedura descria in (a). 3. L'approccio di Havenner-Swamy A differenza di Pierce, quesi Auori fanno osservare per prima cosa che nelle siuazioni praiche la decomposizione di Y in P, S ed e non è univoca a meno che quelle componeni non siano influenzae in modo differene da alre serie osservabili o da differeni poliiche economiche. Per ener cono di ale non univocià nella decomposizione i due Auori ciai permeono che P, S ed e siano fra di Ioro correlae e conengano, evenualmene, sia componeni deerminisiche che socasiche da derivare, a differenza di come proposo in Pierce, in modo simulaneo. Per ener cono di quese esigenze e supponendo che la serie osservaa sia mensile (ma la procedura può essere adaaa a serie con cadenza diversa) si considera il seguene modello: (3.1 ) Y = X ' β ove X e ß sono due veori di dimensione (1,13) dai rispeivamene da X ' =,cos π,cos π,,cos, sen,sen,,sen π π π π ' = 0, 1 1 β β β β

6 in cui si assume: ' ' (a) Εβ ( )= β = β, β β (b)( β β)= ϕ( β-1 β )+ a con φ marice (13,13) generalmene non diagonale (c) ue le radici caraerisiche di φ sono in modulo minore di uno (d) a è un whie noise mulivariao e precisamene a ~ WN(O; ) con marice (13,13) definia posiiva e generalmene non diagonale. Il modello (3.1) è un modello di regressione i cui parameri sono socasici e funzione di. Il vanaggio di queso modello consise nel fao che permee di individuare in modo piuoso semplice le segueni componeni: (i) β 0 = livello medio del processo; (ii) β 1 = rend deerminisico del processo; (iii) (β 1 - β 1 ) = rend socasico del processo; (iv) poso *' X = cos π,cos π,,cos, sen,sen,,sen π π π π *' β *' = ( β1, β β11 ); β = ( β1, β β 11) si ha che *' * X β = sagionalià deerminisica del processo; *' * X ( β β )= sagionalià socasica del processo; ( β β ) = residuo casuaie del processo. 0 0 La sima dei parameri del modello e quindi delle componeni viene faa con un meodo ieraivo e ricorrendo ad alcune approssimazioni. I risulai vengono applicai alla serie dei Deposii Usa dal 1969 al 1976 e confronai con quelli oenui da Pierce ed applicando il meodo X-11. Un limie di queso meodo è che la sua applicazione richiede la sima di un numero eievaissimo di parameri. In caso di serie mensile il numero dei parameri raggiunge la ben ragguardevole cifra di 73. Una conseguenza di queso sao di cose è che Ie sime che si oengono sono poco efficieni. Inolre, per la sima di si inroducono delle approssimazioni i cui effei sono del uo sconosciui. E' piuoso semplice verificare che il modello (3.1) è riconducibile ad un paricolare modello della classe ARIMA i cui parameri MA sono dipendeni dal empo. Infai, da ( β β)= ϕ( β-1 β )+ a

7 si ricava β β + Ι ϕβ 1 = [ ] a che sosiuia nella (3.1) implica (3.) ' ' Y Xβ+ X Ι ϕβ 1 a = [ ] Se indichiamo con A(B) l'aggiuna della marice (I-φ B) e con I-φ B il suo deerminane, la (3.) si può scrivere ' ' (3.3) I φby I φbx β+ X Α B a *' 1 *' *' = Dao che è X = B X = X 1 poso Z 1, X si avrà Z = B Z = Z ' ' ' ' ' *' = ' 1 *' ' 1 e quindi risula X = ( Z, ) ; X 1 = Z, 1 per cui applicando 1 = 1 B ad ambo i membri della (3.3) si avrà: 1 e quindi ' I φ = 1β I φ + A( B) BY X a I φby = 1β I φ + δ ( B) 1 1 a ove si è poso: δ ' ' [ ] = + B X A B a B B in cui a 13 (B) indica il veore cosiuio dall'ulima riga di A(B). Dao che δ ( B)a è una combinazione lineare di whie noise è possibile individuare un polinomio θ (B) ed un whie noise ε per cui risula θ ( B) ε = δ ( B)a In definiiva, il modello proposo da Havenner-Swamy può essere ricondoo ad uno del ipo (3.4) I φby = β I φ + θ ( B) ε 1 1

8 che è un modello sagionale della classe ARIMA con i parameri media mobile variabili nel empo. In paricolare, se è (3.5) a = Kε in cui si è poso K = (K o, K 1..., K 1 )' allora il polinomioθ (B) figurane nella (3.4) è dao semplicemene da ' θ ( B)= δ ( B) K Il modello ARIMA (3.4) è molo complesso, infai ha13 parameriauoregressivi e 4 media mobile e quesi ulimi sono variabili nel empo. Ciò, se rende ale modello molo flessibile, lo rende anche roppo complicao per la maggior pare delle praiche applicazioni in cui le serie possono essere rappresenae con modelli molo più semplici. La complessià di queso modello non ne giusifica, quindi,il suo uso. Ricordando che la sagionalià del modello (3.1) è daa da * S = X *' β indicando con A 1,13 (B) la marice (11,13) oenua da A(B) dopo averne eliminao la prima e l' ulima riga, non è difficile verificare che è: *' 1 1, 13 1 (3.6) I φbs = X A ( B) a che ha la sessa sruura AR del modello per Y, ed i parameri MA sono funzioni di in modo recursivo dao che è X (3.5), la (3.6) diviene: * * h = X 1 h=±1,,. Nel caso paricolare in cui è vera la *' (, ) I φbs = X A ( B) K a Si desume così che la sagionalià che implica il modello (3.1) è molo più complicaa di quella che può aendersi nelle praiche applicazioni o da quella presa in considerazione da alri meodi come l' X-11(vedi Cleveland-Tiao (1976)) che pure danno risulai molo buoni. Anche la componene ciclo-rend definia da P della classe ARIMA, infai: I φ P β a B a = + B 1 13 = β 1 è rappresenabile con un modello { }

9 e dividendo ambo i membri per si ricava I P β a B a φ = + B 1 13 che è un ARIMA con i parameri sia AR che MA cosani nel empo. In paricolare, se la (3.5) è vera si ha: I P φ β a B K ε [ ] = + B Il modello ARIMA e le componeni deerminisiche In queso paragrafo mosreremo, seguendo quano dimosrao in Viale (198a), come la classe dei modelli ARIMA inveribile possa rappresenare, in moli casi praici, processi che conengono sia componeni socasiche che deerminisiche. A al fine supponiamo che il processo Y sia dao da (4.1 ) Y = f(,λ)+ Z ove Z è un processo rappresenabile con un modello della classe ARIMA inveribile e precisamene ψ ( B) φ ( B) Z = θ ( B) a Z f Z menre f(, Λ) soddisfa la seguene equazione lineare alle differenze finie omogenea: ψ ( B) φ ( B) f(,λ)= θ f f f in cui: (i) sul cerchio uniario; (ii) φ Z ( B), θ Z ( B), θ f B radici fuori del cerchio uniario. ψ Z ( B) eψ f ( B) sono polinomi di grado, rispeivamene, d ed r con ue le radici sono polinomi di grado, rispeivamene, p, q, c con ue le Condizione necessaria e sufficiene (vedi Viale,198a) perchè Y sia rappresenabile con un ARIMA inveribile è che sia (4.) ψ ( B)= ψ ( B) ψ * ( B) Z f Z

10 ciò vuol dire che la pare socasica non sazionaria di Y deve"dominare" la pare deerminisica non sazionaria. D'alra pare, è molo difficile che, nelle praiche applicazioni, in un processo osservabile vi sia una componene non sazionaria perfeamene deerminisica non accompagnaa da una analoga componene socasi- ca con la sessa sruura AR. In alri ermini, è difficile immaginare in un processo l'esisenza di un rend, per esempio, perfeamene lineare che non sia accompagnao da un rend socasico che sia lineare solo in media. Ciò è confermao anche dalle innumerevoli applicazioni che sono sae fae con i modelli ARIMA in cui i casi di ARIMA non inveribili dovui alla presenza di componeni deerminisiche sono piuoso rari. In conclusione, si può affermare che nelle praiche applicazioni, anche se un processo coniene componeni deerminisiche può sempre essere rappresenao, magari con qualche approssimazione, con un modello della classe ARIMA inveribile. Ciò vuol dire che la ricerca di componeni come le classiche ciclo-rend, sagionalià e residuo può essere effeuaa, quasi sempre, con procedure che uilizzano le medie mobili basae su modelli ARIMA inveribili. In al modo risulano poco giusificae le procedure propose da Pierce e da Havenner-Swamy. 5. La decomposizione di un ARIMA(0, 1, r+1)(0,1, 0) r In queso paragrafo mosreremo come sia possibile decomporre in componeni correlae una serie a cui sia sao adaao un modello della classe ARIMA(0,1, r+1) (0,1, 0) r inveribile. Ovviamene, la meodologia qui delineaa può essere esesa, con gli aggiusameni del caso, per decomporre serie soriche a cui si sia adaao un modello qualsiasi della classe ARIMA. Sia, a ale proposio Y il processo su cui sia saa osservaa la serie sorica Y 1, Y, Y N e supponiamo chey possa essere rappresenao dal modello = r+ 1 r j (5.1) ( 1 B) 1 B Y 1 θjb a, a ~ WN 0, σ j= 1 ( a) I parameri del modello (5.1) possono essere simai uilizzando le N informazioni della serie sorica con gli usuali meodi di sima. Nel seguio supporremo, per rendere la raazione più snella, che quei parameri sono noi o simai in modo esao. Il modello (5.1) è abbasanza generale ed è in grado di rappresenare numerose serie specialmene di ipo economico con sagionalià di periodo r. In paricolare, il modello Hol-Winers (vedi Viale,1983) è un caso paricolare della (5.1), menre quello X-11 è molo bene approssimao da ale modello (vedi Cleveland-Tiao,1976).

11 Il problema che ci si pone è di decomporre Y di modo che sia (5.) Y = S + D, = 1,,, con S e D inerpreabili rispeivamene come la componene sagionale e quella desagionalizzaa enrambe rappresenabili con modelli della classe ARIMA. Si raa perciò di un ipico problema di disaggregazione per cui, a meno di non imporre uleriori resrizioni, ammee più di una (generalmene infinie) soluzioni. E' da soolineare, per il momeno, che richiedere che S e D siano rappresenabili con ARIMA è di per sè una resrizione che però non è sufficiene per individuare una soluzione unica. Nel seguio per oenere una sola soluzione uilizzeremo sia risulai eorici, sia considerazioni di ipo empirico o di opporunià connesse al paricolare problema che si sa esaminando. A ale proposio, noiamo che: (a) dao che S è la sagionalià di Y, il suo operaore AR può essere dao proprio da (1-B r ), di conseguenza l'operaore AR di D deve essere (1-B) ; (b) la componene D può conenere, a sua vola, una componene residua e supposa un whie noise e quindi può essere D = C + e ma in al caso il polinomio MA di D deve essere di ordine q (vedi Viale (1983)) per cui, enuo cono del principio di parsimonia dei parameri, si può porre q= e considerare per D il modello ( 1 B) D = 1 δ1b δb d, d ~ WN 0, σd (c) dao che S è una "pare" di Y è ragionevole imporre che le componeni AR ed MA di S siano più "semplici" (cioè di grado inferiore) delle rispeive componeni AR ed MA di Y, ciò vuoi dire che il polinomio MA di S deve essere al massimo di grado r. Tenuo cono di quese considerazioni, si può porre: (5.3) r ( 1 B ) S = θs( B) s, s ~ WN( 0, σs) ( 1 B) D = 1 δ1b δb d, d ~ WN 0, σd Le informazioni che ci forniscono congiunamene le (5.1) -(5.3) non sono sufficieni per arrivare ad una decomposizione univoca. E' necessario, a ale fine, ipoizzare i legami inercorreni fra S e D o equivalenemene fra S e d. Supponiamo, perciò, che sia s = αa (5.4) d = βa

12 e quindi che S e D siano fra di loro correlae. In al modo le (5.3) divenano r ( 1 B ) S = θs( B) αa (5.5) ( 1 B) D = ( 1 1B δ δb ) βa Da una prima analisi delle (5.5) emerge che: (i) se è α= 0 allora S è deerminisica, (ii) se è β= 0 allora D è deerminisica, (iii) se è θ s ( B)=0 ha almeno una radice coincidene con almeno una di (1-B r )= 0 allora S coniene necessariamene una componene deerminisica (vedi Viale, 198b), (iv) se 1 δ1b δb = 0 ha radici pari ad uno allora D coniene necessariamene una componene deerminisica (vedi Viale, 198b). Se ad ambo i membri della (5.) applichiamo l'operaore (1-B)(1-B r ), eniamo cono delle (5.5) e che è (1-B r )= (1-B)(1+B+B B ) avremo: (5.6) r ( 1 B) θs( B) α + ( 1+ B+ B + + B )( 1 δ1b δb ) β = 1 1 r+ 1 = ( θ B θ B θ r+ 1B ) Da quesa uguaglianza si ricava che θ s ( B) è al massimo di grado r, se si impone che il grado θ s ( B) sia esaamene pari a r-1. Uguagliando i coefficieni di ambo i membri della (5.6), si oiene il seguene sisema: (5.7) α + β = 1 θ1sα + α β + δ1β = θ1 θjsα + θj 1, sα + α β + δ1β + δβ+ = θj θr 1, sα + α β + δβ = θr δβ = θr+ 1 Se si suppone α o β noo, poso θ(1) = (1- θ 1 -θ - éθ r+1 ), si oiene la soluzione seguene: (5.8) α = 1 β δβ= β θ() 1 1 θ r r 1 δβ= θ r+ 1 j jθ θ α = () 1 js + θ + θ + 1 α = 1 1 r i r, j,, r i= 1 Dao che deve essere

13 risula θ 1 δ = r+ 1 β 1; δ + δ1 1; δ δ1 1; θ 1 = () 1 θ θ r β r 1, s 1 r 1 β 1 β 1 β + ( ) ( ) () i θ() 1 θ r r + () 1 0; θ + 1 r 1 r r ( ii) r r + () θ + + () 1 1 θ θ 1 β θ + 1; β θ + 1 r ; β ove la (i) definisce quando la decomposizione è possibile con la meodologia qui proposa, menre la (ii) definisce il campo di variazione di β (e quindi di a). Una vola accerao che, in una daa applicazione, la (i) è vera, bisogna scegliere un β in: (5.9) Max θr, θ 1 r + θr+ + () 1 1 β θ + θr + () 1 1 r In alri ermini, bisogna scegliere quano deve essere perequaa la componene desagionalizzaa o, equivalenemene, quano elevao deve essere il legame fra D ed S. Si noi che per β = 0, D è deerminisica e quindi le due componeni sono fra di loro incorrelae. Per deerminare β all'inerno del campo di variazione individuao si può scegliere quel valore per cui la relaiva componene desagionalizzaa preseni elemeni sagionali il meno possibile. Queso può essere verificao considerando le auocorrelazioni di U = (1-B) D ai lag sagionali r, r, 3r, ecc. Una vola effeuaa la decomposizione, è necessario elaborare il filro oimale che applicao ad Y generi una sima delle componeni. A ale proposio, dalla (5.1) e dalle (5.5) si ricava immediaamene ˆ 1 B θs B S Y W B Y; Dˆ = α θ B = = SBδ B β Y = W = W ( B) Y θ B s s D ove si è poso S(B)=1 + B + B B r-1 e δ(b) = 1 - δ 1 B - δ B, ed è facile verificare che è: W S (B) + W D (B) = 1. Noiamo ora che essendo il modello ARIMA per Y inveribile per ipoesi, è possibile scrivere: 1 B θ B s j Ws ( B)= α = wsjb, con wsj < θ( B) j= 0 j= 0 SD δ( B) j WD( B)= β = wdjb, con wdj < θ B j= 0 j= 0

14 che per B = 1 forniscono la somma dei pesi dei filri che in queso caso è facile verificare essere pari a: (5.10) W W s D ()= = 1 w 0 j= 0 sj ()= = 1 w 1 j= 0 come è da aendersi da filri che individuano rispeivamene la componene sagionale e quella desagionalizzaa. Da quese considerazioni segue che i pesi W Sj e W Dj endono ad essere rascurabili per valori elevai di j. Se è M quel valore di j per cui al poso dei filri W s (B) e W D (B) possiamo considerare quelli roncai in M oeniamo rispeivamene Dj M 1 M 1 j s= sj D= j= 0 j= 0 W B; M w B ; W B; M w B ; Dj j ovviamene quesi filri non soddisfano le (5.10). Per oenere un filro roncao e correo, consideriamo il seguene: ˆ ; W B; M W B M wdjb D j= 0 D= W 1; M W 1; M D = M 1 D j Applicando queso filro roncao e correo alla serie sorica osservaa su Y si oiene: M 1 Dˆ = Wˆ ( B; M) Y = w Y j= 0 Sˆ Y Dˆ = D Dj j = M, M + 1,, N Se si vuole una sima anche delle prime (M-1) osservazioni delle componeni si possono calcolare le previsioni Y 1 (-j) di Y 1-j, j=1,,...,m-1, considerare la serie esesa: ( + ) ( ) Y 1 M +1, Y 1 M, Y 1 1, Y 1, Y,, Y N ed applicare a quesa i filri roncai e correi. Tuavia, se quese correzioni garaniscono che la somma dei pesi per D sono pari ad uno, non garaniscono che sia anche N* S ˆ = 0 = 1

15 così come si richiede alla componene sagionale. Per far in modo che ciò accada si effeuano i segueni aggiusameni: (a) si calcola N * S ˆ = A ove è N*= kr con k = [N/r] = massimo inero di N/r. = 1 (b) si calcola ˆ* ˆ A S = S,,,, N = 1 N (c) si oiene infine: ˆ * D = Y Sˆ con quesi accorgimeni il problema della decomposizione di una serie rappresenabile con un ARIMA(0,1, r+1)(0,1,0) r risula soddisfacenemene risolo. Dao che i filri asimmerici inducono degli sfasameni nelle componeni è necessario ricorrere a filri simmerici che eviano un ale inconveniene anche se, come accade in queso caso di correlazione fra le componeni, ali filri sono suboimali. Se lavoriamo come se le componeni fossero incorrelae, i filri simmerici sono dai semplicemene da: (5.11) * = WD B; F WD B WD F * Ws ( B; F)= Ws( B) Ws( F) ove si è poso F = B -1. Ovviamene anche in queso caso risula: * W D ( 11 ; )= 1 W * S ( 11 ; )= 0 e quindi i pesi dei filri endono ad essere rascurabili dopo un cero j M. Similmene a quano viso per i filri asimmerici, si possono calcolare i pesi simmerici, correi e roncai ad M ramie: * W B F M W D B, F ; M D(, ; )= * W B, F; 1 * D Applicando queso filro ad Y si perdono le prime e le ulime M-1 osservazioni. Per avere le osservazioni delle componeni anche in ali puni esremi si può esendere la serie effeuando M-1 previsioni in avani a parire da N ed M-1 previsioni all'indiero a parire da 1 ed applicare su ale serie esesa il filro simmerico, correo e roncao ad M. E' sao dimosrao che queso modo di procedere fornisce risulai oimali nel senso che minimizza le revisioni (vedi Pierce,1980, Wallis, 198). 6. Una applicazione La meodologia di decomposizione illusraa nel paragrafo precedene viene applicaa alla serie Deposii Bancari negli USA (nel seguio DD ) osservaa mensilmene dal gennaio 1969 al dicembre 1976 e riporaa in appendice al lavoro di Havenner-Swamy (1981).

16 Dao che sia Pierce (1978) che Havenner-Swamy nell'analisi di ale serie considerano il suo logarimo, nel seguio noi faremo alreano e la serie cosi rasformaa la indicheremo con LD. Nella Fig. 1 è riporao il grafico di ale serie rasformaa da cui emerge l'esisenza di un fore rend ed una fore e regolare sagionalià. Uilizzando gli usuali meodi di idenificazione e sima dei modelli ARIMA, alla serie LD è sao adaao il seguene modello 1 = (6.1 ) 1 B 1 B D 1 θ B θ B a oenendo le sime dei parameri qui di seguio riporae (fra parenesi è indicao il corrispondene scaro quadraico medio simao) : θ θ σ a x10 4 che sono da considerarsi significaivamene diversi da zero. Nelle Fig. sono riporae le auocorrelazioni di (LD ), (LD ), 1 (LD ) e quella dei residui del modello (6.1) con i relaivi inervalli di confidenza approssimai al 5% che mosrano come siano compaibili con una realizzazione da whie noise, il che è indice di adeguaezza del modello considerao. I es globali di Box-Pierce e Ljung-Box danno un valore rispeivamene di Q = 11.9 e Q' = 14.5 ed indicano un oimo adaameno del modello alla serie dao che il relaivo chi-quadrao al 5% con 18 gradi di liberà dà un valore pari a 8.9. Nella Fig. 3 sono riporai i residui del modello simao e quesi non evidenziano nè valori eccessivamene anomali, nè un qualche soosane andameno regolare. Tuo queso sa a significare che il modello (6.1) adaao a LD rappresena abbasanza bene la serie enuo anche cono che spiega più del 99%, della sua variabilià. Nella Tab. 1 è riporaa la serie DD dal 1969 al 1976, le previsioni per il biennio ed il biennio (i valori sono espressi in milioni di dollari). Dai parameri simai per il modello, che nel seguio li considereremo come se fossero quelli veri, risula: θ() 1 + θr = 07. ; 0. β 085. r ciò vuoi dire che la decomposizione è possibile per ui i ß dell'in- ervallo [0., 0.85]. In

17 paricolare, per i segueni valori di b: 0.;.55;.85 si oengono i segueni modelli ARIMA per la componene desagionalizzaa: Per β= 0. si ha = ( ) ( ) = 1 B D B 0. a 1 B D B 0. a da cui segue che enrambe le radici della pare MA di D sono vicine al cerchio uniario, ciò vuoi dire che in D vi sono due componeni "quasi" deerminisiche. Per β= 0.55 si ha = ( ) ( ) = 1 B D B 0. 36B 0. 55a 1 B D B 0. 55a ed in queso caso D possiede almeno una componene "quasi" deerminisica; Per β= 0.85 si ha ( 1 B ) D = ( B 0. 57B ) 0. 85a ( 1 B ) D = ( B) ( B) 0. 85a e quesa siuazione è abbasanza simile alla precedene. In conclusione, si può affermare che quando b assume il valore minimo nel suo inervallo di definizione, in D vi sono due componeni che in praica possono considerarsi deerminisiche, menre negli alri casi è cero che di ali componeni ne esise una sola. D alra pare, nella sima del modello per la serie abbiamo viso che l incidenza del faore casuale a sulla evoluzione di (LD ), è inferiore all 1%, ciò vuoi dire che nella serie analizzaa sono preseni essenzialmene componeni deerminisiche. Quesa considerazione ci pora a scegliere un β =0.. Che quesa sia la scela più plausibile è confermao anche dal fao che le componeni desagionalizzae uilizzando il filro asimmerico ed un ß maggiore di. danno residui di sagionalià superiore a quella del caso β =0.. I valori desagionalizzai, oenui uilizzando il filro asimmerico e b=0., sono riporai, nella scala originaria e quindi dopo averne fao l anilogarimo, nella Fig.4 e nella Tab. dal cui esame emerge come in D sia ancora presene un residuo di sagionalià. Queso fenomeno è dovuo al fao che il modello di decomposizione uilizzao prevede che D ed S siano correlae. Dao che, in media, S è nulla, menre D è crescene, l unico modo perchè quese due componeni siano correlae è che D coninui a possedere un residuo sagionale così come si risconra nell applicazione. Queso residuo di sagionalià può essere drasicamene aenuao, ma non compleamene eliminao, come vedremo fra breve, se al poso del filro asimmerico se ne uilizza uno simmerico operando come se le componeni fossero incorrelae. A al fine dalle (5.11) si ha:

18 * Dj Dj D i j i= 0 w = w w, + e quindi i pesi simmerici possono essere facilmene oenui da quelli asimmerici. Uilizzando ques ulima relazione, dopo aver roncao la sommaoria a M=60, abbiamo calcolai i pesi w Dj j=0, l,..., 4 e li abbiamo correi di modo che la loro somma risulasse pari * ad uno. I pesi così oenui sono sai uilizzai per una nuova sima di D i cui valori sono riporai nella Tab. e rappresenai nella Fig. 5 e dalla loro analisi emerge come il residuo di sagionalià prima risconrao sia praicamene, ma non compleamene, scomparso. 7. Alcuni confroni I risulai oenui su (LD ) applicando la procedura di desagionalizzazione qui proposa li confroniamo, nel seguio, con quelli oenui applicando l X-11 e le procedure di Havenner e Swamy e di Pierce. Confroniamo, in primo, luogo, i risulai da noi oenui con quelli derivani dalla applicazione della procedura X-11. A ale proposio, dal lavoro di Cleveland e Tiao (1976) emerge che la componene ciclo-rend generaa da X-11 è oimale per il modello ARIMA seguene: = + 1 B T B 049. B ε Ciò vuoi dire che la componene desagionalizzaa è daa da D T e ; e ~ WN 0, σ che implica per D il seguene modello ARIMA: con ( 1 B) D = 1 δ B δ B u ( 1 ) = ( + ) + ( + ) 1 δ B δ B u B 0. 49B ε 1 B B e e 1 = + Tenuo cono che in X-11 le componeni si suppongono incorrelae e che è σ (Cleveland e Tiao, 1976) pag.583), in ermini di auocovarianze si ha: ( )ou= [1+(.49) ] da cui, dopo alcuni passaggi, poso 0uk..o, si ricava e = 14. 4σe = [ + ] δ1 + δ σu σ ε 6σe ( δ1+ δδ1) σu = [ ( 0. 49) ] σε 4σe = δσu. σε σe

19 da cui, dopo alcuni passaggi, posoσ u kσ ε =, si ricava δ1 = ( k ) δ =. k ( 13 9) ( 60 06) + ( 13 9) = 0 k. k. k.. k. da ques ulimo polinomio si ricava che l unica radice acceabile si ha per k= per cui il modello ARIMA per D risula = + 1 B D B B u; u ~ WN 0, σ ε Le radici del polinomio MA di D generao da X-11 sono complesse e lonane dal cerchio uniario. Ciò vuol dire che in D esise una periodicià socasica, ed in paricolare una sagionalià socasica di periodo pari a circa 13 mesi, anche se molo enue. In alri ermini, l esisenza di un residuo sagionale è sempre presene, anche se molo debole, nella componene D generaa da X-11 casi come è presene, per alra via, quando si posula che le componeni sono fra di loro correlae. La componene D generaa da X-11 per la nosra serie è riporaa nella Tab. e rappresenaa nella Fig. 6. Se si confronano le Fig. 5 e 6 si noa come quese siano molo simili. Ciò vuoi dire che, almeno in queso caso, i risulai oenibili con X-11 possono essere oenui con poca faica ramie una direa decomposizione degli ARIMA in ARIMA. Nella Fig. 7 e nella Tab. sono riporai i dai desagionalizzai uilizzando la procedura di Havenner e Swamy in cui è facile individuarvi un residuo di sagionalià daa anche la esrema somiglianza fra la Fig. 7 e la Fig.4. Ciò è dovuo, più che all esisenza di correlazione fra le componeni, al fao che con ale procedura i filri, così come avviene in ui i meodi regressivi, sono asimmerici. E da soolineare, comunque, come a frone della complessià del modello uilizzao per oenere i dai desagionalizzai, i risulai oenui siano piuoso modesi: gli sessi si possono oenere uilizzando il ben più semplice modello (6.1) ed il relaivo filro asimmerico. Ovviamene, se il filro è simmerico i risulai che si oengono (confrona le Fig. 5 e 7) sono decisamene migliori. Infine, nella Fig. 8 e nella Tab. sono riporai i dai desagionalizzai con la procedura proposa da Pierce. Quesirisulai non sono molo simili da quelli fornii da X-11 e a quelli oenui con il meodo da noi proposo uilizzando un filro simmerico.

20 8. Conclusioni e prospeive Nel paragrafo precedene abbiamo viso come la procedura di decomposizione da noi proposa fornisca, almeno nel paricolare caso da noi analizzao, risulai ceramene non peggiori di quelli oenuiramie l' X-11 e la procedura di Pierce, menre sono ceramene migliori di quelli oenui con la procedura proposa da Havenner e Swamy. Ovviamene, è ancora premauro rarre conclusioni generali dao che è necessaria una sperimenazione più esesa del meodo proposo; è comunque possibile affermare che: 1. l'imporanza dei filri simmerici è cruciale sia per decomporre in componeni correlae che incorrelae. Lo dimosra il fao che procedure complesse quale quella di Havenner e Swamy forniscono risulai non cero molo buoni e simili a quelli derivani da procedure esremamene più semplici come è la decomposizione degli ARIMA in componeni correlae e l' uso di filri asimmerici;. procedure piuoso semplici e poco "cosose" come quella da noi proposa possono fornire risulai abbasanza buoni e comparabili con quelli derivani dal ben noo e collaudao X-11 solo che si uilizzino filri simmerici; 3. la procedura di decomposizione qui proposa può essere, con la sessa ecnica, esesa per decomporre serie che hanno una sruura molo differene da un ARIMA(0,1,r+1)(0,1,0) r ; 4. è bene, comunque, ener presene che il modello ARIMA qui decomposo è di per sè abbasanza generale. Infai, ne sono suoi casi paricolari il ben noo modello ARIMA(0,1,r+1)(0,1,0) e quello generao da Hol-Winers (vedi per esempio Viale (1983)). Inolre, quel modello può approsimarne alri abbasanza bene come i segueni ARIMA(1,1,1)(0,1,1)r; ARIMA(,1,1)(0,1,1) r ; se i parameri AR sono "lonani" dalla regione di non sazionarieà. Così se è r = ( ) r 1 B 1 B 1 ϕb X 1 θb 1 θ B a ~ ARIMA 1,1,1 0,1,1 si può scrivere Tenuo cono che per φ < 1 è r = 1 r 1 B 1 B X 1 ϕb 1 θb 1 θb a ( 1 ϕb) 1 = 1+ ϕb+ ϕ B + φ 3 B è facile verificare che se risula, come succede in moli casi praici: φθ ( ϕ) ( θ ϕ r + 1 ) 0 allora si avrà: r

21 ARIMA 1,1,1 0,1,1 ARIMA 0,1,r - 1 0,1,0 r 5. la procedura proposa può essere compleamene, ed abbasanza facilmene, auomaizzaa in modo da desagionalizzare ue le serie rappresenabili con un ARIMA(0,1, r+1)(0,1,0) r. Per far queso è necessario procedere come segue: (i) rasformare preliminarmene la serie osservaa in modo da riporarla al modello addiivo Y = T + S + e. A ale proposio si veda quano proposo in D'Esposio (1984); (ii) ricercare ed aggiusare i valori "anomali" ed "eccezionali" preseni nella serie; più in generale è necessario renndere la serie "omogenea" con le solie ecniche predispose a queso scopo (vedi D'Esposio (1984)); (iii) simare gli r+1 parameri MA preseni nel modello ed esrapolare la serie in enrambi i lai per due o re anni; (iv) uilizzare i parameri simai per ricavare l'inervallo di definizione di β ed i valori assuni da d 1 e da d nel modello per D ; (v) fissare β in base ad informazioni a priori relaive alla maggiore o minore presenza di accidenalià nella serie osservaa o per enaivi esplorando in re o quaro puni il campo divariazione di β; (vi) calcolare i pesi asimmerici e simmerici roncai e correi per la componene D ; (vii) calcolare la serie desagionalizzaa e quella sagionale uilizzando i filri così deerminai. Noi crediamo che una ale procedura, anche se ancora da sperimenare a fondo, sia una valida alernaiva a mole di quelle aualmene in uso.

22 Sommario Si affrona il problema della desagionalizzazione di serie soriche quando quese conengono sia componeni deerminisiche chesocasiche. Si analizzano le procedure di Pierce ed Havenner-Swamy e se ne commenano i rispeivi limii. In paricolare, si mosra come, in conraso a quano affermao da Pierce, la decomposizione può essere oenua in praica sempre uilizzando la modellisica ARIMA anche in presenza di componeni deerminisiche nella serie da decomporre e che il modello relaivo alla procedura di Havenner- Swamy è un paricolare, anche se complesso, modello ARIMA con i parameri MA variabili nel empo. Si propone un meodo alernaivo per desagionalizzare serie rappresenabili con ARIMA (0, 1, r+1)(0, 1, 0)r in componeni ARIMA correlae e si applica alla serie deposii USA. I risulai, confronai con quelli oenui applicando le procedure X-11, Pierce ed Havanner-Swamy, dimosrano come la procedura proposa sia una valida alernaiva ad alcune aualmene in uso. Summary We consider he seasonal adjusmen problem of a ime series conaining sochasic and deerminisic componens. We analyse he procedure proposed by Pierce and Havenner- Swamy explyning heir deficiencis. Paricularly, we show, in conras o wha affirmed by Pierce, ha he seasonal adjusmen can always be done ulilising he ARIMA models, even if here are deerminisic componens in he observed ime series, and he Havenner- Swamy model is a paricular, bu complex, ARIMA model wih he MA parameers variing in he ime. We propose an alernaive procedure o seasonal adjusmen of ime series following ARIMA(0, 1, r+1)(0, 1, 0)r in correlaed ARIMA componens and we apply o he demand deposi series for he USA. The resuls, compared wih he X-11, Pierce and Havenner-Swamy procedures, show ha our approach is a valid alernaive o some correnely uilized procedures.

23 Tab.1. Deposi i USA ( milioni di dollari): , :previs i :osserva i Mesi Anni G F M A M G L A S O N D O

24 Tab.. Componeni desagionalizzae xon i diversi meodi Mesi Anni G F M A M G L A S O N D METODO PROPOSTO: FILTRI ASIMM METODO PROPOSTO: FILTRI SIMM METODO X METODO DI HAVENNER - SW METODO DI PIER

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28 BIBLIOGRAFIA 1. ABRAHAM, B., BOX, G.E.P. (1978): "Deerminisic and forecas adapive dependen models" Applied Saisics, vol. 7 pp BOX, G.E.P., HILLMER, R.S.C., TIAO, G.C. (1978): "Analysis and modelling of seasonal ime series" Washingon, D.C., NBER-Bureau of he Census Conference on Seasonal AnaIysis of Economic Time Series, 9-19, sepember (1976), pubblicao in A. Zellner (edi.): "Seasonal Analysis of Economic Time Series" (1978). 3. CLEVELAND, W. P., TIAO G. C. (1976): "Decomposiion of seasonal ime series: a mode for he Census X-11 program", JASA, vol. 71 pp D'ESPOSITO, M. R. (1984): "Meodi esploraivi e scela di una rasformazione per dai sagionali" in XXX I Riunione Scienifica S.I.S., voi l pp HAVENNER, A., SWAMY, P.A.V.B. (1981): "A random coefficien approach o seasonal adjusmen of economic ime series" J. Economerics, vol I5, pp

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