SERIE STORICHE, PROCESSI E MODELLI STOCASTICI PER L IDROLOGIA E LA GESTIONE DELLE RISORSE IDRICHE

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1 SERIE STORICHE, PROCESSI E MODELLI STOCASTICI PER L IDROLOGIA E LA GESTIONE DELLE RISORSE IDRICHE Pierluigi Claps DITIC POLITECNICO DI TORINO [claps@polio.i] Appuni scrii per il Corso di III livello: Simulazione socasica di serie idrologiche a supporo della pianificazione e gesione dei sisemi idrici. Poliecnico di Torino, 0- Novembre 00

2 . INTRODUZIONE Si parla di serie soriche (o serie emporali) quando si considera un fenomeno in relazione alla sua evoluzione nel empo. L'osservazione quoidiana dei fenomeni emporali ne offre infinii esempi: si pensi ad esempio all'andameno dei prezzi di ceri beni, specie in periodo di economia foremene dinamica, o all'alezza del mare in un dao luogo. La regisrazione del fenomeno, posa su un grafico per evidenziarne la dinamica emporale, porebbe, in linea di principio, essere consideraa come una successione di dai cosiueni un insieme campionario per la cui invesigazione sono disponibili srumeni saisici adeguai. Tuavia, la saisica maemaica, e l'inferenza in paricolare, si sviluppa per lo più su dai non connessi emporalmene; ciò spiega il moivo per cui sono sai ricercai uleriori srumeni, i processi socasici, per effeuare l'analisi delle serie soriche. E bene chiarire il significao di serie sorica, processo e modello: la serie sorica è una collezione di numeri reali, ordinai secondo la variabile empo, la quale cosiuisce una pare finia di una realizzazione di un processo socasico. per processo socasico, a paramero discreo, si inende una successione di variabili casuali la cui complea conoscenza è assicuraa solo dalla conoscenza della famiglia delle riparizioni finie. un modello socasico cosiuisce una paramerizzazione di un processo in ermini di una funzione esplicia di parameri noi. Menre un processo socasico è noo oppure no, un modello può essere simao a parire dai dai, ovvero dalla serie sorica osservaa Finalià dello sudio di una serie sorica è quello di descrivere ed inerpreare il fenomeno fisico da essa rappresenao in modo da poer effeuare delle previsioni sulla dinamica emporale del fenomeno sesso, o delle generazioni di serie sineiche con esensione molo maggiore del periodo di osservazione Dal puno di visa saisico quesa indagine è di ipo inferenziale in quano bisogna risalire da un campione (nel caso in esame emporale) ad un modello eorico il quale sia in grado di generare una serie sineica o di effeuare operazioni di previsione dell'evoluzione del fenomeno emporale. L'indagine saisica sulle serie emporali si aricola essenzialmene in re fasi: ) idenificazione del modello eorico; ) sima dei parameri del modello; 3) conrollo della bonà di adaameno del modello ai dai. Molo imporane è la fase di idenificazione del modello che descrive ed inerprea la serie emporale. Quesa operazione richiede un'approfondia conoscenza dei processi socasici e mola esperienza. Infai, l'individuazione univoca di un modello univoco avviene solamene in casi paricolari (es. quando si dispone di informazioni a priori sul fenomeno). Nell'usuale approccio saisico, la ecnica usaa per l'idenificazione dei modelli consene di ridurne l'indeerminazione ad un numero limiao (due o re) fra i quali si procede alla selezione del modello definiivo. Per usuale approccio saisico inendiamo, ormai, quello proposo da Box e Jenins (970), i quali hanno proposo un meodo di analisi nel quale sia la serie sorica ad orienare verso il modello e non viceversa (series speaing for hemselves), evidenziando, così, che evenuali conoscenze a priori sulla serie emporale che si inende esaminare porebbero porare all'idenificazione di modelli non oimali soo il profilo della bonà di adaameno. Si vedrà, più avani, che in ambio idrologico esisono invece moli puni a favore di modelli selezionai sulla

3 base di informazioni a priori.. SERIE TEMPORALI E PROCESSI STOCASTICI.. Alcuni esempi di serie emporali osservae Qualunque fenomeno venga considerao in relazione al empo dà luogo ad una serie emporale. Gli esempi che si possono fare sono, perano, innumerevoli. Imporani sono i fenomeni appareneni al mondo economico, alcuni dei quali sono seguii con paricolare ineresse allo scopo di individuare endenze che possano permeere di capire l'evoluzione del fenomeno sesso. Si pensi ad esempio alle serie emporali relaive ai prezzi di diverse merci e servizi, alle imporazioni ed alle esporazioni, alla bilancia dei pagameni ec. Possiamo rirovare esempi di serie emporali anche in alri campi quali l'economia aziendale, la produzione indusriale, per la quale l'analisi delle serie soriche ha cosiuio il puno di parenza per lo sudio del "conrollo saisico di qualià", la meeorologia. Si possono schemaizzare diverse caegorie di serie emporali, riferibili ad alreane caegorie di processi socasici: processi a fenomeno discreo ed a paramero discreo (n. di giorni piovosi in un mese) processi a fenomeno discreo ed a paramero coninuo (paricelle radioaive regisrae da un conaore geiger) processi a fenomeno coninuo ed a paramero discreo (caso più diffuso) processi a fenomeno coninuo ed a paramero coninuo (eleroencefalogramma) Le serie emporali di ineresse idrologico riguardano essenzialmene la successione dei deflussi misurai alle sazioni idromeriche, ed, evenualmene, quella degli afflussi meeorici, misuraa ai pluviomeri. Si riferiscono quindi al erzo dei casi sopra enunciai. Nelle figure. e. sono riporai andameni cronologici ipici dei due fenomeni. Tile: MATLAB graph Creaor: MATLAB, The MahWors, Inc CreaionDae: 0/7/95 0:37:4 Fig... Serie di deflussi mensili.

4 Tile: MATLAB graph Creaor: MATLAB, The MahWors, Inc CreaionDae: 0/7/95 0:54:8 Fig... Serie di precipiazioni mensili... Le serie emporali coninue e discree Consideriamo una grandezza z la quale vari nel empo, quale, ad esempio, la emperaura in un dao luogo. Possiamo rovarci in presenza di due diverse siuazioni: ) la grandezza z è funzione coninua del empo ed in al caso la indicheremo con z(). In quesa ipoesi il diagramma rappresenaivo dell'andameno emporale del fenomeno si presena come indicao nella figura.3.a e la serie emporale è dea coninua; ) la grandezza z viene rilevaa solamene in ceri isani =0,,, 3... In quesa ipoesi il diagramma rappresenaivo dell'andameno emporale del fenomeno si presena come indicao nella figura.3.b e la serie emporale è dea discrea. a Fig..3. Serie emporale coninua (a) e discrea (b). b.3. Serie deerminisiche e serie probabilisiche Quando si sudia una serie emporale ci si può rovare in presenza di due comporameni, conceualmene ben disini, indicai, rispeivamene, come andameno deerminisico ed andameno socasico o probabilisico. Si dice che un andameno emporale è di ipo deerminisico quando si può prevedere il suo sviluppo fuuro senza errore. Esempi di andameni emporali di ipo deerminisico sono riporai 3

5 nella figura.4. Tali andameni emporali sono rappresenai da funzioni maemaiche che consenono di deerminare, in modo cero, il loro valore in qualunque isane. Moli comporameni emporali sono invece caraerizzai da andameni erraici, con oscillazioni irregolari di segno posiivo e negaivo. Sono quese le caraerisiche degli andameni di ipo socasico il cui nome deriva dal fao che essi si possono spiegare come manifesazioni di eveni casuali. Rispeo al problema della previsione, quesi fenomeni si presenano in modo esaamene opposo a quelli deerminisici, in quano la previsione delle loro fuure manifesazioni è sempre affea da errori. E' opporuno ricordare, però, che gli eveni casuali non sono prevedibili nelle loro singole manifesazioni, ma si possono fare previsioni (in ermini probabilisici) quando si considerano "masse di casi". L'esame saisico delle serie emporali di ipo non deerminisico può fornire uili informazioni ali da consenire di scoprire il "meccanismo" che governa la serie sessa consenendo, così, una previsione abbasanza precisa del fuuro andameno del fenomeno emporale. Fig..4. Esempi di serie emporali deerminisiche La gran pare degli andameni emporali che è possibile osservare sembrano oenui dalla sovrapposizione di un andameno deerminisico con uno probabilisico (vedi figura.5). In queso caso si parla di andameno miso che si suppone sia oenuo dalla somma di due andameni elemenari. Il modello che rappresena un andameno emporale miso può essere scrio, in generale, come segue: z()=f()+a() dove: f() è la componene deerminisica del modello; a() è la componene probabilisica del modello; z() è l'andameno risulane, cioè la serie emporale generaa dal modello. 4

6 Fig..5. Esempio di serie emporale con andameno miso.4 Le componeni di una serie emporale Il conceo di composizione di più andameni di ipo diverso cosiuisce un imporane aspeo della eoria delle serie emporali. Quando si osservano sequenze emporali si risconrano evoluzioni che sembrano non avere caraerisiche di similiudine. Ad un'analisi più aena, però, ci si accorge che ci sono dei comporameni elemenari che si ripeono frequenemene sia da soli, sia accompagnai ad alri. In una serie emporale empirica z si possono osservare i segueni andameni elemenari, ui funzione del empo : ) un rend (endenza) che indicheremo con T ) una componene ciclica che indicheremo con C 3) una componene sagionale che indicheremo con S 4) un residuo o componene casuale a Con il nome di rend si inende un andameno non sazionario privo di irregolarià accidenali, che si evidenzia quando si considerano serie lunghe. Il rend viene generalmene rappresenao con una funzione maemaica di ipo semplice, come, ad esempio, un polinomio o una funzione esponenziale nel empo. L'andameno emporale riporao nella figura.6 è un chiaro esempio di rend. Fig..6. Esempio di rend in una serie emporale La gran pare delle serie emporali relaive a fenomeni economici, sociali e soprauo meeorologici, conengono una componene ciclica, più o meno regolare, con un periodo prossimo ai mesi. Quesa componene, che causa effei che endono a ripeersi in empi corrispondeni, si chiama componene sagionale e si evidenzia quando si esaminano serie con inervallo di rilevazione inferiori all'anno (serie mensili, seimanali, ec.). Un esempio evidene della componene ciclica in una serie emporale è riporaa nella figura.7. La componene 5

7 sagionale è, in generale, la più agevole da riconoscere in quano la periodicià di ipo regolare che la caraerizza è evidenziaa dal semplice esame del grafico. Fig..7. Serie emporale con presenza di componene sagionale In ue le serie emporali che non siano di ipo deerminisico sono sempre preseni delle irregolarià, di segno posiivo e negaivo rispeo alla media del fenomeno, che sembrano prodoe da un comporameno di ipo aleaorio. Tale componene si chiama casuale (o accidenale) ed assomma in sè gli elemeni di incerezza (o aleaorieà) che caraerizzano fenomeni naurali, sociali, economici ec. L'andameno emporale mosrao nella figura.8 evidenzia la presenza della componene accidenale nella serie sorica rappresenaa. Fig..8. Componene casuale di una serie emporale Le serie emporali osservae o reali sono dae dalle successioni delle misurazioni dei valori assuni da un cero fenomeno. E' però possibile cosruire arificialmene delle serie emporali mediane l'uso di apposii meodi maemaici. La simulazione di serie sineiche consene di valuare le presazioni del modello socasico uilizzao, mediane confrono ra serie generae ed osservae. Consene inolre di effeuare previsioni, sia diree, a breve ermine, che probabilisiche, inese come valuazioni del livello di criicià di una cera configurazione dei dai idrologici o di un sisema idrico sooposo a lunghe sequenze di inpu simulai. 6

8 3. PROCESSI STOCASTICI E LORO CARATTERIZZAZIONE 3. Definizioni Un processo socasico Z è una famiglia di variabili casuali descrie da un paramero apparenene ad un insieme paramerico T. Nei fenomeni di ipo idrologico le rilevazioni avvengono ad inervalli equispaziai. I processi socasici che prenderemo in considerazione sono quindi definii da successioni di v.c. coninue Z, T e T={,,3,..}. Tali processi sono dei processi socasici coninui a paramero discreo. Consideriamo, ad esempio, la successione dei deflussi annui misurai in una sazione idromerica: S={d} =,, 3,... Per fissao, d è una variabile casuale coninua; il paramero del processo socasico è un paramero discreo ed il processo è, quindi, coninuo a paramero discreo. Per la conoscenza di un processo socasico coninuo a paramero discreo del ipo {Z, Z,...} occorre specificare le funzioni di densià di probabilià di ciascuna combinazione di esse. Più precisamene, un processo coninuo a paramero discreo è noo se, conemporaneamene: ) sono noe le funzioni di probabilià univariae f(z), f(z),... per ciascuna v.c. {Z, Z,...} componene il processo; ) sono noe le funzioni di densià bivariae f,(z,z), f,3(z,z3),..., fn-,n(zn-,zn) per ciascuna coppia ordinaa di v.c. (Z,Z), (Z,Z3),...(Zn-,Zn); 3) sono noe le funzioni di densià rivariae f,,3(z,z,z3), f,,4(z,z,z4),... per ciascuna erna ordinaa di v.c. (Z,Z,Z3), (Z,Z,Z4),...; ec... In generale, un processo socasico Z è noo se è noa la funzione di densià mulivariaa della -pla di v.c. (Z,Z,...Z) per ogni e per ogni -pla (,,...) di v.c. La definizione sessa di processo socasico fa già inuire l'esrema complicazione dello sudio di un ale ipo di processi nella loro generalià e, soprauo, la praica impossibilià di inferire direamene su di essi. Supponiamo che un processo socasico Z rappreseni il risulao di un esperimeno in successivi isani di empo. Se nel processo Z fissiamo la prova da effeuare, oeniamo una successione di risulai campionari {Z, Z,...}, funzioni della variabile, chiamaa realizzazione o raieoria del processo. E' evidene che, dao un processo Z, esise un'infinià di possibili realizzazioni che sono, precisamene, ue quelle che si possono osservare ripeendo indefiniamene l'esperimeno: nella figura 3. sono illusrae alcune di esse per un ipoeico processo Z. 7

9 Fig. 3.. Esempi di possibili realizzazioni di un processo socasico Dalle definizioni dae in precedenza possiamo rarre una nuova definizione di serie sorica {z }=,,3,...N inesa come una pare finia di una realizzazione di un processo socasico (finia in quano le N osservazioni sono solo una pare delle possibili osservazioni del processo). Una ale definizione di serie sorica, però, esplicia anche la limiazione delle informazioni sul processo che sono, in generale, desumibili dalla conoscenza della serie sorica. Difai, la serie sorica è una pare finia di una singola realizzazione del processo; quindi, non solo cosiuisce un campione unico della famiglia delle v.c. che caraerizzano il processo, ma è anche un campione roncao perché si osserva solo per =,,...,N isani di empo. Tuo ciò impone, quindi, una limiazione della classe dei processi socasici su cui è possibile inferire saisicamene, perché solo in una classe più risrea sarà possibile dedurre informazioni consiseni dalle realizzazioni finie che si conoscono nelle applicazioni reali. 3. Momeni di un processo socasico I processi socasici, per loro sessa definizione, sono in grado di generare una serie emporale illimiaa, cioè di lunghezza infinia. Poiché, però, non è pensabile di fornire le caraerisiche dei processi socasici mediane le serie emporali da essi generae, è necessario riassumere le loro principali proprieà mediane poche grandezze caraerisiche: i momeni eorici. Quesi sono infinii in numero ma, in praica, se ne uilizzano pochi e precisamene: - il momeno del primo ordine, cioè il valor medio (o valore aeso) del processo; - i momeni del secondo ordine, cosiuii dalla covarianza e dalle grandezze ad essa collegae. Sia, allora, {Z} un processo socasico coninuo a paramero discreo. Vediamo quali sono le espressioni dei momeni più usai. Valore medio aeso Il valore medio eorico, indicao con µ(), è espresso dalla relazione: 8

10 µ()=e(z) = + u f ( u du (3.) Z ) dove il simbolo E indica il valore aeso. In praica, in base alla (3.), il valore aeso del processo socasico al empo è pari al valore aeso della v.c. Z definia all'isane. Nel caso del uo generale espresso dalla (3.), il valor medio del processo è funzione del empo. Ovviamene, il valore aeso E(Z) sarebbe noo se fosse noa la pdf della v.c. Z. Varianza (eorica) In Saisica, daa una v.c. Z, la varianza viene definia come "il valor medio dei quadrai degli scari fra la variabile Z e la sua media eorica µ()". La varianza di un processo socasico, indicaa con σ (), è definia dalla relazione seguene: σ ()= E[Z µ()] = var(z) = ed è, in generale, funzione del empo. + [ u µ ( )] f ( u du (3.) Z ) Come si rileva dalla (3.) la varianza è un momeno del secondo ordine e serve ad avere una misura della dispersione media dei dai aorno alla loro media. Spesso, al poso della varianza, se ne usa la radice quadraa che si chiama scaro quadraico medio e si indica con σ. Auocovarianza (eorica) Si considerino due variabili casuali X ed Y. In Saisica quando si sudiano le relazioni che inercorrono fra due v.c. si usa la covarianza, indicaa con XY, definia come "valor medio aeso del prodoo degli scari di X dalla sua media µx per gli scari di Y dalla sua media µy": XY=E[(X µx)(y µy)]=cov(xy) (3.3) La covarianza, a differenza della varianza, può essere posiiva o negaiva. E' posiiva quando valori cresceni [decresceni] di X si associano con valori cresceni [decresceni] di Y. E' negaiva quando valori cresceni [decresceni] di X si associano con valori decresceni [cresceni] di Y. La covarianza misura, quindi, la endenza di X ed Y a variare nello sesso senso. La (3.3), applicaa ad una serie emporale, realizzazione di un processo socasico, ne definisce l'auocovarianza. Infai, in una serie emporale, la grandezza è sempre la sessa, ma è riferia a due isani diversi e +. Perano le v.c. sono Z e Z+ e la relazione che definisce l'auocovarianza del processo socasico fra gli isani e + è: (,+)=E[(Z µ())(z + µ(+))]=cov(z,z + ) 3.4) La varianza è un caso paricolare della covarianza: se, infai, nella (3.4) si pone =0, si ha (,)=E[(Z µ())(z µ())]=e[z µ()] = var(z )= σ () (3.5) Auocorrelazione (eorica) L'auocovarianza, pur essendo una grandezza fondamenale per lo sudio delle serie emporali, ha il difeo di non essere compresa fra limii fissi per cui è difficile giudicare il significao di un dao valore. Per queso moivo è saa inrodoa l'auocorrelazione che si ricava immediaamene dall'auocovarianza e che presena il vanaggio di essere compresa fra i limii fissi - e +. 9

11 L'auocorrelazione si oiene semplicemene dividendo l'auocovarianza per il prodoo degli scari quadraici medi di Z e Z+. La relazione che definisce l'auocorrelazione è, quindi: E[ ( z µ ( ))( z + µ ( + ))] cov( z, z+ ) ρ ( ) = = (3.6) E z µ ( ) E z µ ( + ) σ ( z ) σ ( z + [ ] [ ] ) + L'auocorrelazione è sempre compresa fra e +; quando ρ=0, Z e Z+ non sono correlai. Prima di concludere il paragrafo è opporuno noare che ue le grandezze finora considerae risulano funzione del empo. E' queso un grosso vincolo, sia sul piano eorico che nelle applicazioni concree. Il problema si aggira inroducendo un'ipoesi semplificarice, molo imporane, che va soo il nome di sazionarieà. 3.3 Le ipoesi di sazionarieà e di inveribilià Nello sudio delle serie emporali si inconra molo spesso un'ipoesi semplificarice, quasi sempre necessaria, che va soo il nome di sazionarieà. Tale ipoesi suppone che cere proprieà saisiche di una serie risulino invariani rispeo ad una raslazione nel empo. In alri ermini, la sazionarieà suppone che cere proprieà non varino nel empo. La sazionarieà può riguardare ui i momeni oppure solamene alcuni. Esisono, perano, due ipi di sazionarieà che vengono comunemene indicai come: - sazionarieà complea o oale; - sazionarieà ridoa o debole. Un processo socasico {Z} si dice che è compleamene sazionario quando la disribuzione congiuna della n-pla di v.c. Z, Z,...Zn è uguale alla disribuzione congiuna della n-pla Z+T,Z+T,...Zn+T per ui i valori di T. Ciò significa che se si fa scorrere il empo di una quanià arbiraria T, ue le disribuzioni congiune non si modificano. E', comunque, opporuno noare che l'ipoesi di sazionarieà complea è una condizione ideale, irraggiungibile nella praica. Perano ci si acconena, spesso, di sazionarieà più deboli o ridoe. Normalmene ci si limia ad ipoizzare una sazionarieà del secondo ordine, ossia una sazionarieà che invese la media (momeno del primo ordine) ed i momeni del secondo ordine. Olre all'ipoesi di sazionarieà si inconra molo frequenemene l'ipoesi di inveribilià che viene inrodoa allo scopo di eviare la "moleplicià dei modelli". Essa indica la possibilià di esprimere un processo X ramie le v.c. del passao, ovvero ramie una funzione che collega X con le v.c. X s del empo s<. Ciò avviene, ovviamene, in senso socasico, cioè meendo in cono un errore casuale ε. In seguio sarà chiario che esisono dei casi in cui ad uguali sruure saisiche corrispondono due o più modelli socasici diversi; la condizione di inveribilià permee di individuare in modo univoco il modello uile all'analisi che si sa effeuando. 3.4 Momeni eorici di un processo socasico a sazionarieà debole L'ipoesi di sazionarieà debole compora l'indipendenza del valore medio e della varianza del processo socasico dal empo, ossia: µ()=µ σ ()=σ (3.7) (3.8) L'ipoesi di sazionarieà debole riduce l'espressione dell'auocovarianza a quella molo più semplice: 0

12 =E[(Z µ)(z+ µ)]= E[(Z µ)(z µ)] (3.9) dalla quale si evince che l'auocovarianza fra due v.c. componeni il processo socasico dipende solo dal lag e non dal valore iniziale del empo. Si noi che, per =0, la relazione (3.9) fornisce la varianza del processo. Si mosra facilmene, inolre, che: = In conclusione, la sazionarieà debole richiede che: a) media e varianza del processo risulino cosani; b) l'auocovarianza fra le componeni il processo socasico sia funzione solo del lag. Trova grande applicazione nello sudio delle serie emporali la marice delle varianzecovarianze o marice di dispersione che riassume le varianze e le covarianze di un dao processo socasico. Essa si indica generalmene con Γ ed è espressa dalla seguene marice quadraa... 0 Γ = (3.0) Per l'ipoesi di sazionarieà debole, la marice di dispersione è simmerica e coniene gli sessi valori su ua la diagonale principale e sulle diagonali parallele a quesa. Si noi, infine, che la marice delle auocovarianze, in un processo sazionario, è definia posiiva e, quindi, i deerminani di ui i minori principali sono posiivi. La semplificazione indoa sul calcolo dell'auocovarianza fra due isani diversi del processo dall'ipoesi di sazionarieà debole si ripercuoe sull'auocorrelazione la cui espressione divena: ρ = (3.) 0 da cui si evince facilmene che: ρ0= (3.) Tale risulao è del uo logico in quano l'auocorrelazione di una componene del processo socasico rispeo a sè sessa non può che essere perfea. I coefficieni di auocorrelazione godono delle sesse proprieà dei coefficieni di correlazione ordinari e cioè: ρ ρ 0 = (3.3) ρ =ρ Anche i coefficieni di auocorrelazione si possono riunire in una marice quadraa R che assume la forma seguene:

13 ρ0 ρ... ρ = ρ ρ0... ρ R (3.4) ρ ρ... ρ0 Per la (3.) le due marici delle auocovarianze e delle auocorrelazioni sono legae dalla relazione: Γ = σ z R (3.5) In base alla (3.5) si può dedurre che le informazioni fornie dalla funzione di auocorrelazione e dalla varianza del processo sono esaamene uguali a quelle fornie dalla funzione di auocovarianza. Anche la marice delle auocorrelazioni di un processo socasico sazionario è definia posiiva. Ciò dà luogo ad alcune conseguenze limiarici sui valori che possono assumere i coefficieni di auocorrelazione. Se consideriamo un processo socasico sazionario e calcoliamo le auocorrelazioni eoriche ρ per =0,,,3... oeniamo delle coppie di valori del ipo (,ρ) che, radoi in grafico, danno luogo ad un diagramma che prende nome di correlogramma di cui vengono fornii due esempi nella figura 3.. Fig. 3.. Esempi di auocorrelogrammi di una serie sorica. Il correlogramma è uno srumeno di noevole ineresse praico perché serve a discriminare un processo socasico da un alro (è quindi uno degli srumeni uilizzai nella fase di idenificazione del modello). Olre ai coefficieni di correlazione oale ρ, in un processo socasico si possono calcolare anche dei coefficieni di correlazione parziali le cui espressioni sono alquano semplici nel caso di processi sazionari. Per definire in modo semplice i coefficieni di correlazione parziale consideriamo il caso di una grandezza x che dipenda da più variabili x, x 3,... in modo,lineare araverso i coefficieni α, α3,... secondo la relazione: x = α x + α x Si possono perano calcolare i coefficieni di correlazione oale fra la variabile dipendene x e le alre singole variabili indipendeni, cioè ρ, ρ 3, ρ 4,... che, nel caso dei processi socasici, rappresenano i coefficieni di correlazione oale.

14 E' però possibile calcolare, ad esempio, anche la correlazione fra le variabili x ed x 3 nell'ipoesi che il valore x sia cosane, indicaa con ρ3. Nel caso delle serie emporali quesi coefficieni si chiamano di auocorrelazione parziale e si indicano con Φ. Si può dimosrare che, nel caso di processo socasico sazionario, quesi coefficieni sono espressi dal rapporo: R * Φ = (3.6) R in cui sia il numeraore che il denominaore sono i deerminani di due marici quadrae definie come segue: ρ0 ρ... ρ = ρ ρ0... ρ R de (3.7) ρ ρ... ρ0 * R ρ0 ρ = de... ρ ρ ρ ρ ρ ρ... ρ (3.8) L'espressione del numeraore R* è uguale a quella di R con la sola differenza che l'ulima colonna viene sosiuia dai coefficieni ρ, ρ,...ρ: 3.5 Momeni campionari calcolai su una serie osservaa Come abbiamo osservao nel paragrafo precedene, i momeni eorici si riferiscono al processo socasico che si suppone generi la serie emporale osservaa. Gli sessi momeni, quando sono calcolai su ques'ulima, si chiamano momeni campionari e queso perchè una serie empirica può sempre essere consideraa come un campione ricavao dal modello socasico. Al solio, secondo le convenzioni della saisica, i momeni campionari vengono indicai con le leere dell'alfabeo laino per disinguerli dai corrispondeni momeni eorici, indicai con le leere dell'alfabeo greco. E' imporane precisare che, per il calcolo dei momeni campionari, noi supponiamo sempre di operare su una serie emporale discrea, di ipo sazionario e di ampiezza N. Ciò sarà chiario alla fine del paragrafo. Media arimeica Come è ben noo, la media arimeica di n dai z, z,... z n è espressa dalla relazione: zi M ( z ) = = z (3.9) n Va noao l'uso del simbolo M al poso del simbolo E (expeced value) uilizzao nel paragrafo precedene. 3

15 Varianza campionaria La varianza campionaria, inesa come sima non disora (o correa) della varianza del processo socasico che ha generao la serie osservaa è daa dalla relazione: ( z ) z s* ( z ) = (3.0) n Quando, però, n è grande, come di norma accade nelle serie emporali, la sima della varianza del processo socasico, daa dalla relazione: z z ( ) s ( z ) = (3.) n risula sosanzialmene non disora. Auocovarianza campionaria La formula esaa per il calcolo dell'auocovarianza campionaria fra le osservazioni spaziae di inervalli è daa da: n * c = ( z z)( z+ z ) (3.) n = in cui z è la media dei primi n dai della serie; è la media degli ulimi n dai della serie; z Una formula spesso usaa al poso della (3.) per il calcolo dell'auocovarianza campionaria, avene il vanaggio di non conenere i prodoi degli scari è riporaa di seguio: c = z z+ zz (3.3) n * Auocorrelazione campionaria Analogamene all'auocorrelazione eorica si calcola l'auocorrelazione campionaria r definia dal rapporo: c r = (3.4) c 0 Al solio, per =0, si ha che r 0 =. Correlogramma campionario Il correlogramma campionario si cosruisce analogamene al correlogramma eorico uilizzando i valori campionari r 0, r, r,... delle auocorrelazioni. Auocorrelazione parziale campionaria I coefficieni di auocorrelazione parziale campionaria si calcolano uilizzando la sessa formula valida per il processo eorico avendo cura di sosiuire ai valori eorici ρ (ignoi) quelli campionari r. Si ha, dunque: R * Φ =, (3.5) R dove (considerando ovviamene ρ 0 =): 4

16 ρ0 ρ... ρ = ρ ρ0... ρ R de (3.6) ρ ρ... ρ0 * R ρ0 ρ = de... ρ ρ ρ ρ ρ ρ... ρ (3.7) E' opporuno noare che, quando una serie emporale non è sazionaria, non è possibile uilizzare nessuna delle precedeni relazioni per calcolare i momeni campionari della serie. Infai esse conengono ue la media arimeica della serie emporale che si suppone cosane. Nelle serie non sazionarie, invece, la media varia con il empo per cui è necessario ricorrere ad opporuni meodi per l'individuazione del rend e/o della sagionalià. 3.6 L'ipoesi di ergodicià Anicipando quano sarà meglio specificao in seguio, osserviamo che i momeni campionari di una serie sorica definii nel precedene paragrafo vengono usai come sime corree dei corrispondeni momeni eorici del processo socasico sazionario. Il fao che si possa oenere una sima (consisene) delle proprieà saisiche di un processo socasico sazionario dallo sudio di un solo campione emporale di lunghezza finia non è affao ovvio, conrariamene a quano porebbe sembrare. Per definire in ermini quaniaivi l'ipoesi di ergodicià, consideriamo, da un lao una singola manifesazione di un processo socasico (figura 3.3) e, dall alro, un insieme di manifesazioni campionarie derivae ue dallo sesso processo (figura 3.4). Fig Singola realizzazione campionaria derivane da un processo socasico. Con riferimeno alla figura 3.3, consideriamo n puni emporali equidisani oenendo i valori z ( ), z ( ),... dai quali possiamo ricavare la quanià: z ( i ) z( ) = (3.8) n che prende nome di media emporale. 5

17 Fig 3.4. Insieme di realizzazioni campionarie provenieni dallo sesso modello socasico Con riferimeno alla figura 3.4, possiamo considerare un dao isane emporale, per esempio, ed effeuare la media dei valori emporali di un gran numero di quese manifesazioni z ( ), z ( ),... oenendo, in al modo, la quanià: zi ( ) z( ) = (3.9) n che prende nome di media d'insieme. Ciò premesso, un processo emporale si dice ergodico se la media d'insieme ende alla media emporale, almeno quando n è molo grande. Si può dimosrare che se un processo emporale è sazionario, è anche ergodico. Se è valida l'ipoesi di ergodicià, la rilevazione effeuaa su una singola manifesazione emporale in un gran numero di puni successivi pora alle sesse disribuzioni saisiche che si oerrebbero considerando un gran numero di valori riferii allo sesso isane i. 3.7 Tes di significaivià ed inervalli di confidenza E' noa la profonda differenza conceuale fra i momeni eorici, calcolai su un modello, ed i momeni campionari, calcolai sui dai osservai. Menre i primi, nell'ipoesi di sazionarieà, sono delle cosani, i momeni campionari, essendo funzione dei dai osservai, variano da campione a campione. Quindi le saisiche campionarie, ossia qualunque grandezza calcolaa sui dai campionari, sono esse sesse delle v.c. ed il paricolare valore ricavao da un dao campione è una paricolare manifesazione di quella variabile casuale. Nel caso delle serie emporali, le saisiche campionarie che ineressano maggiormene sono r e Φ. Il problema che si pone è allora quello di valuare se il valore calcolao sul campione dell'auocorrelazione oale e parziale sia rappresenaivo o meno del corrispondene valore eorico (si raa, quindi, di valuare se il campione di osservazioni disponibili possa o meno rienersi esrao da una popolazione di caraerisiche noe). Tale problema si risolve calcolando, per ciascuna quanià simaa, lo scaro quadraico medio della sua disribuzione campionaria (sandard error) il quale dà un'idea della dispersione dei valori campionari aorno alla media. La valuazione dello sandard error permee di eseguire dei es di significaivià sui valori calcolai delle saisiche campionarie di ineresse. 6

18 L'esecuzione di un es di significaivià su un valore campionario dell'auocorrelazione deve permeere di giudicare se un dao valore, ad esempio r=0., può rienersi, con un assegnao livello di significaivià, proveniene da un modello con ρ=, che rappresena la condizione di indipendenza seriale del processo (processo in correlao). Barle ha dimosrao che quando ρ=0, la disribuzione campionaria di r è all'incirca normale, con media nulla e varianza σ (r) daa dalla relazione: q σ ( r ) ( + r i ) (3.30) n i= nella quale q indica il valore olre il quale le auocorrelazioni eoriche sono ue nulle. Ne consegue che la variabile sandardizzaa (r-ρ)/σ(r) è anch'essa una v.c., caraerizzaa da una disribuzione normale di media nulla e varianza uniaria. Ciò si può esprimere sineicamene scrivendo: r N(0, ) per =q+, q+,... (3.3) σ( r ) Per le proprieà della disribuzione normale, si ha che: { ( r )} Pr r σ = (3.3) Possiamo perano definire il seguene es per sabilire se il valore eorico dell'auocorrelazione oale sia nullo: TEST: se r σ ( r ) per =q+, q+,... (3.33) si accea l'ipoesi che ρ=0. Poiché si può dimosrare che se X,X,...Xn sono v.c. idenicamene disribuie la sima di ρ (cioè r) è disribuia all'incirca in modo normale con parameri: E(r )= /n var(r ) /n, per la precedene proprieà, è anche facile calcolare i limii di confidenza al 95% di probabilià, che risulano: E( r ) ± σ ( r ) = ± (3.34) n n n Va noao che circa un coefficiene ogni 0 può cadere al di fuori dei limii sessi senza che debba essere rifiuaa l'ipoesi. Una procedura assoluamene analoga si segue per la funzione di auocorrelazione parziale campionaria Φ. E' sao infai dimosrao che quando Φ=0 (>p), la sima Φ è disribuia con legge normale con media zero e varianza uniaria. Il es sul valore campionario del coefficiene di auocorrelazione parziale Φ può essere formulao come segue: TEST: se Φ (3.35) n si accea l'ipoesi che Φ=0. 7

19 4. I MODELLI STOCASTICI DI BOX E JENKINS Come abbiamo avuo modo di affermare in precedenza, la moderna eoria delle serie emporali ipoizza che una serie osservaa sia una manifesazione di un cero processo o modello socasico. I modelli di Box e Jenins, espressione di processi socasici sazionari, sono quelli che vengono generalmene usai per le indagini sulle serie emporali. Prima di esaminare in deaglio i modelli di Box e Jenins, consideriamo un paricolare ipo di processo socasico, deo Whie Noise (rumore bianco) che genera delle serie emporali non correlae. 4. Il processo socasico Whie Noise Un processo socasico Whie Noise è rappresenao da una serie di prove indipendeni effeuae sulla sessa variabile casuale avene media e varianza cosani. Tale processo dà luogo ad una serie di dai non correlai z, z, z3,... che cosiuiscono, quindi, un processo puramene casuale. L'equazione del modello Whie Noise è daa semplicemene da: z = a (=,, 3,...) (4.) Se le variabili, come d'alra pare abbiamo supposo, hanno media e varianza cosani, anche la media e la varianza del processo saranno cosani e quindi: E(z )=cosane (4.) var(z )=cosane (4.3) Inolre, essendo le variabili casuali a indipendeni, la loro auocovarianza sarà nulla e, quindi: cov( z z ) = 0 per ui i valori di (4.4) = + Perano sarà nulla anche la serie dei coefficieni di auocorrelazione ρ, salvo ρ 0 =. Per uo quano deo, il processo socasico di ipo Whie Noise è facilmene riconoscibile in quano, fra ue le auocorrelazioni, solo ρ 0 è diversa da zero. Poichè i momeni di primo e secondo ordine non dipendono dal empo, il processo è sicuramene caraerizzao da una sazionarieà debole. Si può però facilmene dimosrare che il processo è sazionario in modo compleo. 4. Il modello AR(p) A. Equazione del modello La forma generale di un processo auoregressivo di ordine p, indicao sineicamene con AR(p), è espressa dalla relazione: z + = Φ z + Φ z Φ p z p a (4.5) e risula, quindi, come una "somma ponderaa di valori passai di z alla quale si aggiunge un 8

20 disurbo a calcolao sul valore auale del empo". La relazione (4.5) si può anche scrivere come: z Φ z Φ z... Φ p z p = a (4.6) Uilizzando l'operaore all'indiero (bacward) B, definio dalla relazione: B z = z (4.7) si ha: p ( Φ B Φ B... Φ pb ) z = a (4.8) e quindi, indicando con Φ(B) la quanià fra parenesi, si può sineizzare come segue: Φ(B) z = a (4.9) Se il processo non è a media nulla nell'equazione che esprime il modello AR(p) si aggiunge una cosane δ, che misura il "livello del processo" (approssima la sua media se esso è sazionario): Φ(B) z = a + δ B. Sazionarieà La condizione affinchè un processo AR(p) sia sazionario è legaa alle radici dell'equazione caraerisica che si oiene uguagliando a zero l'operaore Φ(B): Φ p B ΦB... Φ pb 0 (4.0) = Considerando B come incognia si dimosra che la sazionarieà di un processo AR(p) si ha quando le radici dell'equazione caraerisica (4.0) sono in modulo maggiori dell'unià, ossia sono eserne al cerchio di raggio uniario: ΦBi = 0 Bi > i=,, p C. Inveribilià Come accennao in precedenza, l'uilizzo di un modello di Box-Jenins richiede, in generale, anche l'esame del problema dell'inveribilià. Nel caso paricolare del processo AR(p) queso esame è superfluo in quano si può dimosrare che non si richiede alcuna condizione ai parameri Φ, Φ,..., Φ p, affinché il modello sia inveribile. D. Valor medio Se le v.c. a hanno valor medio nullo, il valore medio aeso del processo AR(p) è dao da: E( z ) = Φ δ Φ... Φ p (4.) E. Varianza ed auocovarianza La varianza 0 e le auocovarianze,,..., p si calcolano mediane le relazioni: 9

21 = Φ +Φ Φ + σ = σ var( ) (4.) 0 p p a z = z = Φ + Φ + + Φ p p =,,...,p (4.3)... dove con σ a si indica la varianza della componene casuale del processo. E' opporuno noare che le auocovarianze eoriche del processo AR(p) sono in numero infinio. Per i valori di j (con j>p) si ricorre ancora ad una relazione del ipo: = Φ... j j + Φ j + + Φ p j p (j>p) (4.4) che prende nome di equazione di Yule-Waler. La relazione (4.4) è molo uile in quano consene di risolvere due problemi: ) una vola noo un cero modello AR(p) e, quindi, noi i valori dei parameri Φ,... Φ p si possono calcolare le auocovarianze eoriche corrispondeni al modello scelo; ) se di un dao modello sono ignoi i parameri Φ,... Φ p, quesi possono essere simai sosiuendo ai valori eorici delle auocovarianze i corrispondeni valori campionari c p,... c p che si ricavano dalla serie osservaa (meodo dei momeni). F. Auocorrelazione Se si divide la relazione (4.3) per 0 si oiene la formula ricorrene: ρ = Φ... ρ ρ + Φ ρ + + Φ p p =,,3... (4.5) anch'essa noa con il nome di equazione di Yule-Waler. Parendo da ρ 0 = si oengono, con la formula ricorrene (4.5), ui gli alri coefficieni di auocorrelazione eorica del processo AR(p). Analogamene a quano noao per le auocovarianze, la relazione (4.5) consene di risolvere due problemi, e precisamene: ) calcolare le auocorrelazioni quando è noo il modello AR(p); ) simare i parameri Φ,... Φ p sosiuendo ai valori eorici delle auocorrelazioni i corrispondeni valori campionari r,... r p desuni dalla serie osservaa (meodo dei momeni). G. Correlogramma Il correlogramma di un processo AR(p), come si evince dalla (4.5) è cosiuio da infinii ermini. Si può, inolre, dimosrare che quesi infinii ermini possono endere a zero in modo monoonico oppure con oscillazioni a seconda del valore assuno dai parameri del modello. H. Auocorrelazione parziale Nel modello AR(p) l'auocorrelazione parziale è uno srumeno molo imporane in quano è cosiuia da p ermini, cioè esaamene da ani ermini quano è l'ordine del processo. Si dimosra, infai, che i coefficieni di auocorrelazione parziale Φ sono nulli per >p. Si vede dunque l'uilià dell'auocorrelazione parziale dal momeno che quella oale è sempre cosiuia da infinii ermini in ui i processi AR(p). 0

22 4.3. Caso paricolare: il processo AR() A. Equazione del modello La forma generale del processo auoregressivo di ordine, indicao sineicamene con AR(), è espressa dalla relazione: z + = Φ z a (4.6) Da quesa relazione risula che il valore della serie emporale al empo, ossia z, è uguale ad una frazione del valore precedene z aumenaa (in senso algebrico) della componene casuale a. B. Sazionarieà La condizione affinchè un processo AR() sia sazionario richiede che le radici dell'equazione caraerisica nell'incognia B: Φ B = 0 (4.7) siano eserne al cerchio di raggio uniario. Ciò equivale a dire che, per la sazionarieà, deve essere verificaa la disuguaglianza (quesa vola applicaa al paramero Φ): Φ < (4.8) C. Valor medio Se le v.c. a hanno come valor medio E(a )=0, il valore medio aeso del processo AR() è anch'esso nullo: E ( ) = 0 (4.9) z D. Varianza La varianza del processo è daa dalla relazione: ( ) σ a σ z = = 0 (4.0) Φ Dalla relazione precedene si ha una conferma al fao che deve risulare Φ <. Infai, affinché il processo abbia varianza posiiva, il paramero Φ deve essere minore dell'unià, come rilevao in precedenza a proposio della sazionarieà. E. Auocovarianza L'auocovarianza di un processo AR() si ricava mediane la relazione: a = σ Φ =,,3... (4.) Φ Se si iene cono dell'espressione della varianza del processo, si può scrivere, più semplicemene: = Φ 0 =,,3... (4.) F. Auocorrelazione Dalla relazione (4.) per si ricavano immediaamene le auocorrelazioni del processo che sono espresse da:

23 ρ = Φ =,,3... (4.3) G. Correlogramma Il correlogramma di un processo AR(), sempre cosiuio da infinii ermini, ha forma diversa a seconda del segno assuno dal paramero Φ del modello, come si evince dalla figura 4.. Fig 4. Correlogrammi di un modello AR() H. Auocorrelazione parziale Nel modello AR(), per quano deo in precedenza, l'auocorrelazione parziale è cosiuia da un solo ermine. L'espressione è: Φ=Φ=ρ (4.4) Φ=0 per > (4.5) 4.3 Il modello MA(q) A. Equazione del modello La forma generale di un processo a media mobile di ordine q, indicao sineicamene con MA(q), è espressa dalla relazione: z = a + Ψ a + Φa Φ qa q (4.6) e risula, quindi, come una "somma ponderaa dei valori di una successione di variabili casuali indipendeni, aveni media e varianza cosani". E' consueudine, nell'espressione di un modello a media mobile, indicarne i paremeri con la leera Θ per cui, ponendo Ψ i = Θ i, si ha: z = a Θ a Θa... Θqa q (4.7) Uilizzando l'operaore all'indiero bacward, la (4.7) può essere scria sineicamene come: z = Θ( B) a (4.8) avendo indicao con Θ(B) l'operaore MA(q) espresso dalla relazione Θ( B) = Θ B Θ B... Θ B B. Sazionarieà q q (4.9) Poichè la serie (4.7) è finia, nessuna resrizione è necessaria per i parameri del modello

24 Media Mobile per assicurarne la sazionarieà. C. Inveribilià La valuazione dell'inveribilià del modello socasico è paricolarmene ineressane in quano nei modelli a media mobile esise il problema della moleplicià dei modelli, ossia, ad una cera funzione di auocorrelazione possono corrispondere due o più modelli diversi. Queso fao sarà mosrao in seguio con riferimeno al caso semplice del modello MA(). La condizione affinchè un processo MA(q) sia inveribile si desume dalle radici dell'equazione caraerisica: q Θ B Θ B... Θ B = 0 (4.30) q Si dimosra che l'inveribilià di un processo MA(q) si ha quando le radici della (4.30), sono in modulo maggiori dell'unià, ossia sono eserne al cerchio di raggio uniario: Θ( Bi) = 0 Bi > D. Valor medio i =,..., q Se le v.c. a hanno come valor medio E(a)=0, il valore medio aeso del processo MA(q) è pure nullo e, quindi: E( z ) = 0 (4.3) E. Auocovarianza e varianza Le auocovarianze in un processo MA(q) si calcolano mediane le relazioni: = ( Θ + ΘΘ + Θ Θ ΘqΘ q ) σ a =,,...,q (4.3) = 0 >q (4.33) dove con σ a si indica la varianza delle componeni casuali del processo. La varianza eorica del modello MA(q) si oiene ponendo =0 nella (4.3): = ( + Θ + Θ Θ ) σ q a (4.34) 0 Dalle relazioni precedeni si evince che il processo MA(q) è sempre sazionario in quano le grandezze ora vise non dipendono dal empo. F. Auocorrelazione Dalle relazioni (4.3) e (4.34) si ricava subio: q q ρ = Θ + Θ + + Θ... Θ Θ + Θ Θ q =,,...q (4.35) ρ = 0 >q (4.36) G. Correlogramma Il correlogramma di un processo MA(q), come si evince dalle (4.35) e (4.36), è cosiuio da q ermini e quesa informazione è esremamene preziosa in quano, se ciò si verifica in un 3

25 correlogramma empirico, consene di orienarsi verso ale modello. H. Auocorrelazione parziale Le espressioni delle auocorrelazione parziali Φ si presenano in forma alquano complicaa. Nel seguio è riporaa l'espressione dell'auocorrelazione parziale per il caso semplice del processo MA() Caso paricolare: il processo MA() A. Equazione del modello La forma generale del processo media mobile di ordine, indicao sineicamene con MA(), è espressa dalla relazione: z = a Θa (4.37) B. Sazionarieà Per quano deo in precedenza, il modello MA() è sempre sazionario qualunque sia il valore del paramero Θ. C. Valor medio Se le v.c. a hanno come valor medio E(a)=0, il valore medio aeso del modello MA() è anch'esso nullo: E( z ) = 0 (4.38) D. Varianza La varianza del processo è daa dalla relazione: = ( + ) σ = σ = var( z ) (4.39) 0 E. Auocovarianza Θ a z L'auocovarianza di un processo MA() si ricava mediane la relazione: = Θσ a (4.40) = 0 > (4.4) F. Auocorrelazione Dalle relazioni precedeni si ricavano immediaamene le auocorrelazioni del processo che sono espresse da: ρ = = Θ (4.4) + Θ ρ = 0 > (4.43) G. Correlogramma Il correlogramma di un processo MA() è cosiuio da un solo ermine, posiivo o negaivo a seconda del segno del paramero del modello (vedi figura 4.) 4

26 a) b) Fig 4.. Esempio di auocorrelogramma per il modello MA(): Caso a): Θ<0; Caso b:) Θ>0. H. Auocorrelazione parziale Si può dimosrare che le auocorrelazioni parziali di un modello MA() sono dae da: Θ Θ Φ = ( ) ( + ) =,, 3,... (4.44) Θ Da quesa relazione si ricava che i coefficieni di auocorrelazione parziale non si esauriscono di colpo ma si smorzano in modo esponenziale, anche con oscillazioni di segno. I. Inveribilià Il problema dell'inveribilià può essere illusrao molo bene nel caso del processo MA() considerando la funzione di auocorrelazione. Supponiamo di avere due processi MA() aveni come parameri, rispeivamene, Θ e /Θ: z = a Θa (4.45) z' = a a Θ (4.46) Se calcoliamo i coefficieni di auocorrelazione dei due processi oeniamo: ρ ( z ) = Θ + Θ / ρ ( z' ) = Θ = Θ + / Θ + Θ (4.47) (4.48) Come si può noare, i due processi, pur essendo diversi, presenano la sessa auocorrelazione. E' queso un ipico esempio di moleplicià dei modelli. Il problema può essere affronao esprimendo a in funzione di z, z-,... oenendo: a = z Θz + Θ z... (4.49) a' = z' / Θz' + / Θ z'... (4.50) Ricorrendo all'operaore B, si oiene: a = ( ΘB + Θ B... ) z (4.5) a = ( / ΘB + / Θ B...) z' (4.5) 5

27 E' uile osservare che, per Θ < la prima serie converge menre la seconda diverge. In alre parole, si dice che, quando Θ < il modello MA() è inveribile ossia esise un unico processo che corrisponde ad una cera funzione di auocorrelazione. Queso risulao coincide con la condizione generale di inveribilià daa in precedenza. Infai, dire che Θ < equivale ad affermare che le radici dell'equazione caraerisica del modello MA(): -Θ(B)=0 (4.53) cadono al di fuori del cerchio di raggio uniario. 4.5 Il modello ARMA(p,q) A. Equazione del modello I due processi che abbiamo considerao separaamene possono venire composi in un unico modello miso in base alla seguene considerazione. Il modello AR(p) si presena nella forma: z Φz Φz... Φ pz p = a (4.54) Si suppone, quindi, che il residuo sia cosiuio dalla variabile casuale a le cui manifesazioni siano normali, indipendeni, con media nulla e varianza cosane. In diversi casi è sao però consaao che queso residuo ha le caraerisiche di una media mobile di ordine q, sempre sulla variabile a e, quindi, risula del ipo: z = a Θ a... Θqa q (4.55) L'equazione del modello miso auoregressivo di ordine p con media mobile di ordine q, indicao con ARMA(pq), è, quindi: z Φ z Φ z... Φ z = a Θ a... Θ a (4.56) p p q q Ricorrendo all'operaore B si oiene l'espressione: Φ( B) = Θ( B) a (4.57) in cui: Φ( B) = Φ z Φ z... Φ z p p rappresena l'operaore auoregressivo e q Θ( B) = Θ B Θ B... Θ B rappresena l'operaore media mobile. q L'imporanza praica del modello miso risiede nel fao che per mole serie emporali esso richiede un numero di parameri inferiore a quelli necessari per un modello auoregressivo puro. B. Sazionarieà La condizione affinchè un processo ARMA(p,q) sia sazionario è legaa ancora alle radici dell'equazione caraerisica della pare auoregressiva del modello, che si oiene uguagliando a zero l'operaore Φ(B) considerando B come incognia: p Φ B Φ B... Φ B = 0 (4.58) p Si dimosra che "la sazionarieà di un processo ARMA(p,q) si ha quando le radici 6

28 dell'equazione caraerisica (4.58), sono in modulo maggiori dell'unià, ossia sono eserne al cerchio di raggio uniario". C. Inveribilià La condizione affinchè un processo ARMA(p,q) sia inveribile si desume dalle radici dell'equazione caraerisica della pare media mobile del modello, che si oiene, uguagliando a zero l'operaore Θ(B) considerando B come incognia: q Θ( B) = Θ B Θ B... Θ B = 0 (4.59) q Si dimosra che "l'inveriilià di un processo ARMA(p,q) si ha quando le radici dell'equazione caraerisica (4.59) sono in modulo maggiori dell'unià, ossia sono eserne al cerchio di raggio uniario". D. Valor medio Se il processo miso è compleo, e quindi coniene anche una cosane δ, la media eorica del modello risula: E( z ) = δ + ΦE( z ) Φ pe( z p ) + E( a ) ΘE( a )... ΘqE( a q ) (4.60) da cui si ricava in modo semplice che: δ E( z ) = (4.6) Φ Φ... Φ p E. Auocovarianza Le espressioni delle auocovarianze in un modello ARMA(p,q) sono fornie dalle relazioni: = Φ Φ p p + za( ) Θ za( )... Θq za( q) (<q) (4.6) = Φ + Φ Φ p p ( q+) (4.6) dove con za() si è indicaa la covarianza incrociaa fra le variabili z ed a : za ( ) = E ( z z)( a a ) (4.63) F. Varianza [ ] La varianza del processo ARMA(p,q) è espressa dalla relazione: 0 = Φ Φ p p + σ a Θ za ( )... Θ q za ( q ) (4.64) Si noi che la varianza del modello può essere calcolaa solo dopo aver risolo le p relazioni (4.6) per =,,...p in modo da oenere,,...,p. G. Auocorrelazione Dalla relazione (4.6) si oiene immediaamene: ρ = Φρ + Φρ Φ pρ p ( q+) (4.65) H. Auocorrelazione parziale Nel modello ARMA(p,q) l'auocorrelazione parziale è cosiuia da infinii ermini ed ha un andameno simile a quello dell'auocorrelazione parziale di un processo a media mobile. 7

29 4.5. Caso paricolare: il processo ARMA(,) A. Equazione del modello Il caso più semplice ed usao del processo di ipo miso è il modello ARMA(,), caraerizzao dalla relazione: z Φz = a Θa (4.66) B. Sazionarieà La condizione affinchè un processo ARMA(,) sia sazionario è analoga a quella di sazionarieà di un processo AR(), cioè: Φ < (4.67) C. Inveribilià La condizione affinchè un processo ARMA(,) sia inveribile è analoga a quella di inveribilià di un processo MA(), cioè: Θ < (4.68) D. Valor medio Se il processo ARMA(,) è compleo, cioè si presena soo la forma: z Φ z = δ + a Θ a (4.69) il valor medio aeso si ricava dalla seguene relazione: E( z ) ΦE( z ) = δ + E( a ) ΘE( a ) (4.70) da cui: δ E( z ) = (4.7) Φ E. Auocovarianza Le espressioni delle auocovarianze di un processo ARMA(,) risulano: ( ΦΘ )( Φ Θ) = σ a (4.7) Φ Φ =,3,... (4.73) = F. Varianza La varianza del processo è daa dalla relazione: var( z ) = = + Φ Θ 0 σ a Φ (4.74) G. Auocorrelazione Dalle relazioni precedeni si ricava immediaamene: ρ = (4.75) 0 ρ Φ ρ =,3,4... (4.76) = 8