SERIE STORICHE, PROCESSI E L IDROLOGIA E LA GESTIONE DELLE RISORSE IDRICHE. Pierluigi Claps DITIC! POLITECNICO DI TORINO

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1 SERIE STORICHE, PROCESSI E MODELLI STOCASTICI PER L IDROLOGIA E LA GESTIONE DELLE RISORSE IDRICHE Pierluigi Clas DITIC POLITECNICO DI TORINO [clas@olio.i] Auni scrii er il Corso di III livello: Simulazione socasica di serie idrologiche a suoro della ianificazione e gesione dei sisemi idrici. Poliecnico di Torino, - Novembre

2 . INTRODUZIONE Si arla di serie soriche o serie emorali) quando si considera un fenomeno in relazione alla sua evoluzione nel emo. L'osservazione quoidiana dei fenomeni emorali ne offre infinii esemi: si ensi ad esemio all'andameno dei rezzi di ceri beni, secie in eriodo di economia foremene dinamica, o all'alezza del mare in un dao luogo. La regisrazione del fenomeno, osa su un grafico er evidenziarne la dinamica emorale, orebbe, in linea di rinciio, essere consideraa come una successione di dai cosiueni un insieme camionario er la cui invesigazione sono disonibili srumeni saisici adeguai. Tuavia, la saisica maemaica, e l'inferenza in aricolare, si svilua er lo iù su dai non connessi emoralmene; ciò siega il moivo er cui sono sai ricercai uleriori srumeni, i rocessi socasici, er effeuare l'analisi delle serie soriche. E bene chiarire il significao di serie sorica, rocesso e modello: la serie sorica è una collezione di numeri reali, ordinai secondo la variabile emo, la quale cosiuisce una are finia di una realizzazione di un rocesso socasico. er rocesso socasico, a aramero discreo, si inende una successione di variabili casuali la cui comlea conoscenza è assicuraa solo dalla conoscenza della famiglia delle riarizioni finie. un modello socasico cosiuisce una aramerizzazione di un rocesso in ermini di una funzione eslicia di arameri noi. Menre un rocesso socasico è noo oure no, un modello uò essere simao a arire dai dai, ovvero dalla serie sorica osservaa Finalià dello sudio di una serie sorica è quello di descrivere ed inerreare il fenomeno fisico da essa raresenao in modo da oer effeuare delle revisioni sulla dinamica emorale del fenomeno sesso, o delle generazioni di serie sineiche con esensione molo maggiore del eriodo di osservazione Dal uno di visa saisico quesa indagine è di io inferenziale in quano bisogna risalire da un camione nel caso in esame emorale) ad un modello eorico il quale sia in grado di generare una serie sineica o di effeuare oerazioni di revisione dell'evoluzione del fenomeno emorale. L'indagine saisica sulle serie emorali si aricola essenzialmene in re fasi: ) idenificazione del modello eorico; ) sima dei arameri del modello; 3) conrollo della bonà di adaameno del modello ai dai. Molo imorane è la fase di idenificazione del modello che descrive ed inerrea la serie emorale. Quesa oerazione richiede un'arofondia conoscenza dei rocessi socasici e mola eserienza. Infai, l'individuazione univoca di un modello univoco avviene solamene in casi aricolari es. quando si disone di informazioni a riori sul fenomeno). Nell'usuale aroccio saisico, la ecnica usaa er l'idenificazione dei modelli consene di ridurne l'indeerminazione ad un numero limiao due o re) fra i quali si rocede alla selezione del modello definiivo. Per usuale aroccio saisico inendiamo, ormai, quello rooso da Box e Jenins 97), i quali hanno rooso un meodo di analisi nel quale sia la serie sorica ad orienare verso il modello e non viceversa series seaing for hemselves), evidenziando, così, che evenuali conoscenze a riori sulla serie emorale che si inende esaminare orebbero orare all'idenificazione di modelli non oimali soo il rofilo della bonà di adaameno. Si vedrà, iù avani, che in ambio idrologico esisono invece moli uni a favore di modelli selezionai sulla base di informazioni a riori.

3 . SERIE TEMPORALI E PROCESSI STOCASTICI.. Alcuni esemi di serie emorali osservae Qualunque fenomeno venga considerao in relazione al emo dà luogo ad una serie emorale. Gli esemi che si ossono fare sono, erano, innumerevoli. Imorani sono i fenomeni aareneni al mondo economico, alcuni dei quali sono seguii con aricolare ineresse allo scoo di individuare endenze che ossano ermeere di caire l'evoluzione del fenomeno sesso. Si ensi ad esemio alle serie emorali relaive ai rezzi di diverse merci e servizi, alle imorazioni ed alle esorazioni, alla bilancia dei agameni ec. Possiamo rirovare esemi di serie emorali anche in alri cami quali l'economia aziendale, la roduzione indusriale, er la quale l'analisi delle serie soriche ha cosiuio il uno di arenza er lo sudio del conrollo saisico di qualià, la meeorologia. Si ossono schemaizzare diverse caegorie di serie emorali, riferibili ad alreane caegorie di rocessi socasici: rocessi a fenomeno discreo ed a aramero discreo n. di giorni iovosi in un mese) rocessi a fenomeno discreo ed a aramero coninuo aricelle radioaive regisrae da un conaore geiger) rocessi a fenomeno coninuo ed a aramero discreo caso iù diffuso) rocessi a fenomeno coninuo ed a aramero coninuo eleroencefalogramma) Le serie emorali di ineresse idrologico riguardano essenzialmene la successione dei deflussi misurai alle sazioni idromeriche, ed, evenualmene, quella degli afflussi meeorici, misuraa ai luviomeri. Si riferiscono quindi al erzo dei casi sora enunciai. Nelle figure. e. sono riorai andameni cronologici iici dei due fenomeni. 3 Sinni a Valsinni 5 deflusso mensile Mmc) mesi Fig... Serie di deflussi mensili.

4 6 5 iogge mensili mm) mesi Fig... Serie di reciiazioni mensili... Le serie emorali coninue e discree Consideriamo una grandezza z la quale vari nel emo, quale, ad esemio, la emeraura in un dao luogo. Possiamo rovarci in resenza di due diverse siuazioni: ) la grandezza z è funzione coninua del emo ed in al caso la indicheremo con z). In quesa ioesi il diagramma raresenaivo dell'andameno emorale del fenomeno si resena come indicao nella figura.3.a e la serie emorale è dea coninua; ) la grandezza z viene rilevaa solamene in ceri isani =,,, 3... In quesa ioesi il diagramma raresenaivo dell'andameno emorale del fenomeno si resena come indicao nella figura.3.b e la serie emorale è dea discrea. a Fig..3. Serie emorale coninua a) e discrea b). b.3. Serie deerminisiche e serie robabilisiche Quando si sudia una serie emorale ci si uò rovare in resenza di due comorameni, conceualmene ben disini, indicai, riseivamene, come andameno deerminisico ed andameno socasico o robabilisico. Si dice che un andameno emorale è di io deerminisico quando si uò revedere il suo sviluo fuuro senza errore. Esemi di andameni emorali di io deerminisico sono riorai 3

5 nella figura.4. Tali andameni emorali sono raresenai da funzioni maemaiche che consenono di deerminare, in modo cero, il loro valore in qualunque isane. Moli comorameni emorali sono invece caraerizzai da andameni erraici, con oscillazioni irregolari di segno osiivo e negaivo. Sono quese le caraerisiche degli andameni di io socasico il cui nome deriva dal fao che essi si ossono siegare come manifesazioni di eveni casuali. Riseo al roblema della revisione, quesi fenomeni si resenano in modo esaamene ooso a quelli deerminisici, in quano la revisione delle loro fuure manifesazioni è semre affea da errori. E' ooruno ricordare, erò, che gli eveni casuali non sono revedibili nelle loro singole manifesazioni, ma si ossono fare revisioni in ermini robabilisici) quando si considerano masse di casi. L'esame saisico delle serie emorali di io non deerminisico uò fornire uili informazioni ali da consenire di scorire il meccanismo che governa la serie sessa consenendo, così, una revisione abbasanza recisa del fuuro andameno del fenomeno emorale. Fig..4. Esemi di serie emorali deerminisiche La gran are degli andameni emorali che è ossibile osservare sembrano oenui dalla sovraosizione di un andameno deerminisico con uno robabilisico vedi figura.5). In queso caso si arla di andameno miso che si suone sia oenuo dalla somma di due andameni elemenari. Il modello che raresena un andameno emorale miso uò essere scrio, in generale, come segue: z)=f)+a) dove: f) è la comonene deerminisica del modello; a) è la comonene robabilisica del modello; z) è l'andameno risulane, cioè la serie emorale generaa dal modello. 4

6 Fig..5. Esemio di serie emorale con andameno miso.4 Le comoneni di una serie emorale Il conceo di comosizione di iù andameni di io diverso cosiuisce un imorane aseo della eoria delle serie emorali. Quando si osservano sequenze emorali si risconrano evoluzioni che sembrano non avere caraerisiche di similiudine. Ad un'analisi iù aena, erò, ci si accorge che ci sono dei comorameni elemenari che si rieono frequenemene sia da soli, sia accomagnai ad alri. In una serie emorale emirica z si ossono osservare i segueni andameni elemenari, ui funzione del emo : ) un rend endenza) che indicheremo con T ) una comonene ciclica che indicheremo con C 3) una comonene sagionale che indicheremo con S 4) un residuo o comonene casuale a Con il nome di rend si inende un andameno non sazionario rivo di irregolarià accidenali, che si evidenzia quando si considerano serie lunghe. Il rend viene generalmene raresenao con una funzione maemaica di io semlice, come, ad esemio, un olinomio o una funzione esonenziale nel emo. L'andameno emorale riorao nella figura.6 è un chiaro esemio di rend. Fig..6. Esemio di rend in una serie emorale La gran are delle serie emorali relaive a fenomeni economici, sociali e sorauo meeorologici, conengono una comonene ciclica, iù o meno regolare, con un eriodo rossimo ai mesi. Quesa comonene, che causa effei che endono a rieersi in emi corrisondeni, si chiama comonene sagionale e si evidenzia quando si esaminano serie con inervallo di rilevazione inferiori all'anno serie mensili, seimanali, ec.). Un esemio evidene della comonene ciclica in una serie emorale è rioraa nella figura.7. La comonene 5

7 sagionale è, in generale, la iù agevole da riconoscere in quano la eriodicià di io regolare che la caraerizza è evidenziaa dal semlice esame del grafico. Fig..7. Serie emorale con resenza di comonene sagionale In ue le serie emorali che non siano di io deerminisico sono semre reseni delle irregolarià, di segno osiivo e negaivo riseo alla media del fenomeno, che sembrano rodoe da un comorameno di io aleaorio. Tale comonene si chiama casuale o accidenale) ed assomma in sè gli elemeni di incerezza o aleaorieà) che caraerizzano fenomeni naurali, sociali, economici ec. L'andameno emorale mosrao nella figura.8 evidenzia la resenza della comonene accidenale nella serie sorica raresenaa. Fig..8. Comonene casuale di una serie emorale Le serie emorali osservae o reali sono dae dalle successioni delle misurazioni dei valori assuni da un cero fenomeno. E' erò ossibile cosruire arificialmene delle serie emorali mediane l'uso di aosii meodi maemaici. La simulazione di serie sineiche consene di valuare le resazioni del modello socasico uilizzao, mediane confrono ra serie generae ed osservae. Consene inolre di effeuare revisioni, sia diree, a breve ermine, che robabilisiche, inese come valuazioni del livello di criicià di una cera configurazione dei dai idrologici o di un sisema idrico soooso a lunghe sequenze di inu simulai. 6

8 3. PROCESSI STOCASTICI E LORO CARATTERIZZAZIONE 3. Definizioni Un rocesso socasico Z è una famiglia di variabili casuali descrie da un aramero aarenene ad un insieme aramerico T. Nei fenomeni di io idrologico le rilevazioni avvengono ad inervalli equisaziai. I rocessi socasici che renderemo in considerazione sono quindi definii da successioni di v.c. coninue Z, T e T={,,3,..}. Tali rocessi sono dei rocessi socasici coninui a aramero discreo. Consideriamo, ad esemio, la successione dei deflussi annui misurai in una sazione idromerica: S={d} =,, 3,... Per fissao, d è una variabile casuale coninua; il aramero del rocesso socasico è un aramero discreo ed il rocesso è, quindi, coninuo a aramero discreo. Per la conoscenza di un rocesso socasico coninuo a aramero discreo del io { Z, Z,...} occorre secificare le funzioni di densià di robabilià di ciascuna combinazione di esse. Più recisamene, un rocesso coninuo a aramero discreo è noo se, conemoraneamene: ) sono noe le funzioni di robabilià univariae fz), fz),... er ciascuna v.c. { Z, Z,...} comonene il rocesso; ) sono noe le funzioni di densià bivariae f,z,z), f,3z,z3),..., fn-,nzn-,zn) er ciascuna coia ordinaa di v.c. Z,Z), Z,Z3),...Zn-,Zn); 3) sono noe le funzioni di densià rivariae f,,3z,z,z3), f,,4z,z,z4),... er ciascuna erna ordinaa di v.c. Z,Z,Z3), Z,Z,Z4),...; ec... In generale, un rocesso socasico Z è noo se è noa la funzione di densià mulivariaa della -la di v.c. Z,Z,...Z) er ogni e er ogni -la,,...) di v.c. La definizione sessa di rocesso socasico fa già inuire l'esrema comlicazione dello sudio di un ale io di rocessi nella loro generalià e, sorauo, la raica imossibilià di inferire direamene su di essi. Suoniamo che un rocesso socasico Z rareseni il risulao di un eserimeno in successivi isani di emo. Se nel rocesso Z fissiamo la rova da effeuare, oeniamo una successione di risulai camionari { Z, Z,...}, funzioni della variabile, chiamaa realizzazione o raieoria del rocesso. E' evidene che, dao un rocesso Z, esise un'infinià di ossibili realizzazioni che sono, recisamene, ue quelle che si ossono osservare rieendo indefiniamene l'eserimeno: nella figura 3. sono illusrae alcune di esse er un ioeico rocesso Z. 7

9 Fig. 3.. Esemi di ossibili realizzazioni di un rocesso socasico Dalle definizioni dae in recedenza ossiamo rarre una nuova definizione di serie sorica { z} =,,3,...N inesa come una are finia di una realizzazione di un rocesso socasico finia in quano le N osservazioni sono solo una are delle ossibili osservazioni del rocesso). Una ale definizione di serie sorica, erò, eslicia anche la limiazione delle informazioni sul rocesso che sono, in generale, desumibili dalla conoscenza della serie sorica. Difai, la serie sorica è una are finia di una singola realizzazione del rocesso; quindi, non solo cosiuisce un camione unico della famiglia delle v.c. che caraerizzano il rocesso, ma è anche un camione roncao erché si osserva solo er =,,...,N isani di emo. Tuo ciò imone, quindi, una limiazione della classe dei rocessi socasici su cui è ossibile inferire saisicamene, erché solo in una classe iù risrea sarà ossibile dedurre informazioni consiseni dalle realizzazioni finie che si conoscono nelle alicazioni reali. 3. Momeni di un rocesso socasico I rocessi socasici, er loro sessa definizione, sono in grado di generare una serie emorale illimiaa, cioè di lunghezza infinia. Poiché, erò, non è ensabile di fornire le caraerisiche dei rocessi socasici mediane le serie emorali da essi generae, è necessario riassumere le loro rinciali rorieà mediane oche grandezze caraerisiche: i momeni eorici. Quesi sono infinii in numero ma, in raica, se ne uilizzano ochi e recisamene: - il momeno del rimo ordine, cioè il valor medio o valore aeso) del rocesso; - i momeni del secondo ordine, cosiuii dalla covarianza e dalle grandezze ad essa collegae. Sia, allora, {Z} un rocesso socasico coninuo a aramero discreo. Vediamo quali sono le esressioni dei momeni iù usai. Valore medio aeso Il valore medio eorico, indicao con ), è esresso dalla relazione: 8

10 )=EZ) = + # u f u du 3.) Z ) dove il simbolo E indica il valore aeso. In raica, in base alla 3.), il valore aeso del rocesso socasico al emo è ari al valore aeso della v.c. Z definia all'isane. Nel caso del uo generale esresso dalla 3.), il valor medio del rocesso è funzione del emo. Ovviamene, il valore aeso EZ) sarebbe noo se fosse noa la df della v.c. Z. Varianza eorica) In Saisica, daa una v.c. Z, la varianza viene definia come il valor medio dei quadrai degli scari fra la variabile Z e la sua media eorica ). La varianza di un rocesso socasico, indicaa con ), è definia dalla relazione seguene: )= E[Z)] = varz) = + # ed è, in generale, funzione del emo. [ u # )] f u du 3.) Z ) Come si rileva dalla 3.) la varianza è un momeno del secondo ordine e serve ad avere una misura della disersione media dei dai aorno alla loro media. Sesso, al oso della varianza, se ne usa la radice quadraa che si chiama scaro quadraico medio e si indica con. Auocovarianza eorica) Si considerino due variabili casuali X ed Y. In Saisica quando si sudiano le relazioni che inercorrono fra due v.c. si usa la covarianza, indicaa con #XY, definia come valor medio aeso del rodoo degli scari di X dalla sua media X er gli scari di Y dalla sua media Y: #XY=E[XX)YY)]=covXY) 3.3) La covarianza, a differenza della varianza, uò essere osiiva o negaiva. E' osiiva quando valori cresceni [decresceni] di X si associano con valori cresceni [decresceni] di Y. E' negaiva quando valori cresceni [decresceni] di X si associano con valori decresceni [cresceni] di Y. La covarianza misura, quindi, la endenza di X ed Y a variare nello sesso senso. La 3.3), alicaa ad una serie emorale, realizzazione di un rocesso socasico, ne definisce l'auocovarianza. Infai, in una serie emorale, la grandezza è semre la sessa, ma è riferia a due isani diversi e +. Perano le v.c. sono Z e Z+ e la relazione che definisce l'auocovarianza del rocesso socasico fra gli isani e + è: #,+)=E[Z ))Z + +))]=covz,z + ) 3.4) La varianza è un caso aricolare della covarianza: se, infai, nella 3.4) si one =, si ha #,)=E[Z ))Z ))]=E[Z )] = varz )= ) 3.5) Auocorrelazione eorica) L'auocovarianza, ur essendo una grandezza fondamenale er lo sudio delle serie emorali, ha il difeo di non essere comresa fra limii fissi er cui è difficile giudicare il significao di un dao valore. Per queso moivo è saa inrodoa l'auocorrelazione che si ricava immediaamene dall'auocovarianza e che resena il vanaggio di essere comresa fra i limii fissi - e +. 9

11 L'auocorrelazione si oiene semlicemene dividendo l'auocovarianza er il rodoo degli scari quadraici medi di Z e Z+. La relazione che definisce l'auocorrelazione è, quindi: E[ z )) z+ + )) ] cov z, z+ ) # ) = = 3.6) E z ) E z + ) z ) z+ [ ] [ ] ) + L'auocorrelazione è semre comresa fra e +; quando =, Z e Z+ non sono correlai. Prima di concludere il aragrafo è ooruno noare che ue le grandezze finora considerae risulano funzione del emo. E' queso un grosso vincolo, sia sul iano eorico che nelle alicazioni concree. Il roblema si aggira inroducendo un'ioesi semlificarice, molo imorane, che va soo il nome di sazionarieà. 3.3 Le ioesi di sazionarieà e di inveribilià Nello sudio delle serie emorali si inconra molo sesso un'ioesi semlificarice, quasi semre necessaria, che va soo il nome di sazionarieà. Tale ioesi suone che cere rorieà saisiche di una serie risulino invariani riseo ad una raslazione nel emo. In alri ermini, la sazionarieà suone che cere rorieà non varino nel emo. La sazionarieà uò riguardare ui i momeni oure solamene alcuni. Esisono, erano, due ii di sazionarieà che vengono comunemene indicai come: - sazionarieà comlea o oale; - sazionarieà ridoa o debole. Un rocesso socasico {Z} si dice che è comleamene sazionario quando la disribuzione congiuna della n-la di v.c. Z, Z,...Zn è uguale alla disribuzione congiuna della n-la Z+T,Z+T,...Zn+T er ui i valori di T. Ciò significa che se si fa scorrere il emo di una quanià arbiraria T, ue le disribuzioni congiune non si modificano. E', comunque, ooruno noare che l'ioesi di sazionarieà comlea è una condizione ideale, irraggiungibile nella raica. Perano ci si acconena, sesso, di sazionarieà iù deboli o ridoe. Normalmene ci si limia ad ioizzare una sazionarieà del secondo ordine, ossia una sazionarieà che invese la media momeno del rimo ordine) ed i momeni del secondo ordine. Olre all'ioesi di sazionarieà si inconra molo frequenemene l'ioesi di inveribilià che viene inrodoa allo scoo di eviare la molelicià dei modelli. Essa indica la ossibilià di esrimere un rocesso X ramie le v.c. del assao, ovvero ramie una funzione che collega X con le v.c. X s del emo s<. Ciò avviene, ovviamene, in senso socasico, cioè meendo in cono un errore casuale. In seguio sarà chiario che esisono dei casi in cui ad uguali sruure saisiche corrisondono due o iù modelli socasici diversi; la condizione di inveribilià ermee di individuare in modo univoco il modello uile all'analisi che si sa effeuando. 3.4 Momeni eorici di un rocesso socasico a sazionarieà debole L'ioesi di sazionarieà debole comora l'indiendenza del valore medio e della varianza del rocesso socasico dal emo, ossia: )= # )=# L'ioesi di sazionarieà debole riduce l'esressione dell'auocovarianza a quella molo iù semlice: 3.7) 3.8)

12 =E[Z)Z+)]= E[Z)Z)] 3.9) dalla quale si evince che l'auocovarianza fra due v.c. comoneni il rocesso socasico diende solo dal lag e non dal valore iniziale del emo. Si noi che, er =, la relazione 3.9) fornisce la varianza del rocesso. Si mosra facilmene, inolre, che: = In conclusione, la sazionarieà debole richiede che: a) media e varianza del rocesso risulino cosani; b) l'auocovarianza fra le comoneni il rocesso socasico sia funzione solo del lag. Trova grande alicazione nello sudio delle serie emorali la marice delle varianzecovarianze o marice di disersione che riassume le varianze e le covarianze di un dao rocesso socasico. Essa si indica generalmene con ed è esressa dalla seguene marice quadraa & ) )... ) # ) )... ) ' =... %) ) ) 3.) Per l'ioesi di sazionarieà debole, la marice di disersione è simmerica e coniene gli sessi valori su ua la diagonale rinciale e sulle diagonali arallele a quesa. Si noi, infine, che la marice delle auocovarianze, in un rocesso sazionario, è definia osiiva e, quindi, i deerminani di ui i minori rinciali sono osiivi. La semlificazione indoa sul calcolo dell'auocovarianza fra due isani diversi del rocesso dall'ioesi di sazionarieà debole si riercuoe sull'auocorrelazione la cui esressione divena: = 3.) da cui si evince facilmene che: #= 3.) Tale risulao è del uo logico in quano l'auocorrelazione di una comonene del rocesso socasico riseo a sè sessa non uò che essere erfea. I coefficieni di auocorrelazione godono delle sesse rorieà dei coefficieni di correlazione ordinari e cioè: # # = 3.3) # =# Anche i coefficieni di auocorrelazione si ossono riunire in una marice quadraa R che assume la forma seguene:

13 &... ' # =... ' R 3.4) % ' '... Per la 3.) le due marici delle auocovarianze e delle auocorrelazioni sono legae dalla relazione: = z R 3.5) In base alla 3.5) si uò dedurre che le informazioni fornie dalla funzione di auocorrelazione e dalla varianza del rocesso sono esaamene uguali a quelle fornie dalla funzione di auocovarianza. Anche la marice delle auocorrelazioni di un rocesso socasico sazionario è definia osiiva. Ciò dà luogo ad alcune conseguenze limiarici sui valori che ossono assumere i coefficieni di auocorrelazione. Se consideriamo un rocesso socasico sazionario e calcoliamo le auocorrelazioni eoriche # er =,,,3... oeniamo delle coie di valori del io,#) che, radoi in grafico, danno luogo ad un diagramma che rende nome di correlogramma di cui vengono fornii due esemi nella figura 3.. Fig. 3.. Esemi di auocorrelogrammi di una serie sorica. Il correlogramma è uno srumeno di noevole ineresse raico erché serve a discriminare un rocesso socasico da un alro è quindi uno degli srumeni uilizzai nella fase di idenificazione del modello). Olre ai coefficieni di correlazione oale, in un rocesso socasico si ossono calcolare anche dei coefficieni di correlazione arziali le cui esressioni sono alquano semlici nel caso di rocessi sazionari. Per definire in modo semlice i coefficieni di correlazione arziale consideriamo il caso di una grandezza x che dienda da iù variabili x, x 3,... in modo,lineare araverso i coefficieni, 3,... secondo la relazione: x = x + x Si ossono erano calcolare i coefficieni di correlazione oale fra la variabile diendene x e le alre singole variabili indiendeni, cioè #, # 3, # 4,... che, nel caso dei rocessi socasici, raresenano i coefficieni di correlazione oale.

14 E' erò ossibile calcolare, ad esemio, anche la correlazione fra le variabili x ed x 3 nell'ioesi che il valore x sia cosane, indicaa con 3. Nel caso delle serie emorali quesi coefficieni si chiamano di auocorrelazione arziale e si indicano con. Si uò dimosrare che, nel caso di rocesso socasico sazionario, quesi coefficieni sono esressi dal raoro: R * = 3.6) R in cui sia il numeraore che il denominaore sono i deerminani di due marici quadrae definie come segue: &... ' # =... ' R de 3.7) % ' '... * R & = de... % '... ' # ) L'esressione del numeraore R* è uguale a quella di R con la sola differenza che l'ulima colonna viene sosiuia dai coefficieni,,...: 3.5 Momeni camionari calcolai su una serie osservaa Come abbiamo osservao nel aragrafo recedene, i momeni eorici si riferiscono al rocesso socasico che si suone generi la serie emorale osservaa. Gli sessi momeni, quando sono calcolai su ques'ulima, si chiamano momeni camionari e queso erchè una serie emirica uò semre essere consideraa come un camione ricavao dal modello socasico. Al solio, secondo le convenzioni della saisica, i momeni camionari vengono indicai con le leere dell'alfabeo laino er disinguerli dai corrisondeni momeni eorici, indicai con le leere dell'alfabeo greco. E' imorane recisare che, er il calcolo dei momeni camionari, noi suoniamo semre di oerare su una serie emorale discrea, di io sazionario e di amiezza N. Ciò sarà chiario alla fine del aragrafo. Media arimeica Come è ben noo, la media arimeica di n dai z, z,... z n è esressa dalla relazione: zi M z ) = = z 3.9) n Va noao l'uso del simbolo M al oso del simbolo E execed value) uilizzao nel aragrafo recedene. 3

15 Varianza camionaria La varianza camionaria, inesa come sima non disora o correa) della varianza del rocesso socasico che ha generao la serie osservaa è daa dalla relazione: z ) z s* z ) = 3.) n Quando, erò, n è grande, come di norma accade nelle serie emorali, la sima della varianza del rocesso socasico, daa dalla relazione: z z ) s z ) = 3.) n risula sosanzialmene non disora. Auocovarianza camionaria La formula esaa er il calcolo dell'auocovarianza camionaria fra le osservazioni saziae di inervalli è daa da: n * c = z n = z) z+ z ) 3.) in cui z è la media dei rimi n dai della serie; è la media degli ulimi n dai della serie; z Una formula sesso usaa al oso della 3.) er il calcolo dell'auocovarianza camionaria, avene il vanaggio di non conenere i rodoi degli scari è rioraa di seguio: * c = z z+ zz 3.3) n Auocorrelazione camionaria Analogamene all'auocorrelazione eorica si calcola l'auocorrelazione camionaria r definia dal raoro: c r = 3.4) c Al solio, er =, si ha che r =. Correlogramma camionario Il correlogramma camionario si cosruisce analogamene al correlogramma eorico uilizzando i valori camionari r, r, r,... delle auocorrelazioni. Auocorrelazione arziale camionaria I coefficieni di auocorrelazione arziale camionaria si calcolano uilizzando la sessa formula valida er il rocesso eorico avendo cura di sosiuire ai valori eorici ignoi) quelli camionari r. Si ha, dunque: R * =, 3.5) R dove considerando ovviamene =): 4

16 &... ' # =... ' R de 3.6) % ' '... * R & = de... % '... ' # ) E' ooruno noare che, quando una serie emorale non è sazionaria, non è ossibile uilizzare nessuna delle recedeni relazioni er calcolare i momeni camionari della serie. Infai esse conengono ue la media arimeica della serie emorale che si suone cosane. Nelle serie non sazionarie, invece, la media varia con il emo er cui è necessario ricorrere ad ooruni meodi er l'individuazione del rend e/o della sagionalià. 3.6 L'ioesi di ergodicià Aniciando quano sarà meglio secificao in seguio, osserviamo che i momeni camionari di una serie sorica definii nel recedene aragrafo vengono usai come sime corree dei corrisondeni momeni eorici del rocesso socasico sazionario. Il fao che si ossa oenere una sima consisene) delle rorieà saisiche di un rocesso socasico sazionario dallo sudio di un solo camione emorale di lunghezza finia non è affao ovvio, conrariamene a quano orebbe sembrare. Per definire in ermini quaniaivi l'ioesi di ergodicià, consideriamo, da un lao una singola manifesazione di un rocesso socasico figura 3.3) e, dall alro, un insieme di manifesazioni camionarie derivae ue dallo sesso rocesso figura 3.4). Fig Singola realizzazione camionaria derivane da un rocesso socasico. Con riferimeno alla figura 3.3, consideriamo n uni emorali equidisani oenendo i valori z ), z ),... dai quali ossiamo ricavare la quanià: z i ) z ) = 3.8) n che rende nome di media emorale. 5

17 Fig 3.4. Insieme di realizzazioni camionarie rovenieni dallo sesso modello socasico Con riferimeno alla figura 3.4, ossiamo considerare un dao isane emorale, er esemio, ed effeuare la media dei valori emorali di un gran numero di quese manifesazioni z ), z ),... oenendo, in al modo, la quanià: zi ) z ) = 3.9) n che rende nome di media d'insieme. Ciò remesso, un rocesso emorale si dice ergodico se la media d'insieme ende alla media emorale, almeno quando n è molo grande. Si uò dimosrare che se un rocesso emorale è sazionario, è anche ergodico. Se è valida l'ioesi di ergodicià, la rilevazione effeuaa su una singola manifesazione emorale in un gran numero di uni successivi ora alle sesse disribuzioni saisiche che si oerrebbero considerando un gran numero di valori riferii allo sesso isane i. 3.7 Tes di significaivià ed inervalli di confidenza E' noa la rofonda differenza conceuale fra i momeni eorici, calcolai su un modello, ed i momeni camionari, calcolai sui dai osservai. Menre i rimi, nell'ioesi di sazionarieà, sono delle cosani, i momeni camionari, essendo funzione dei dai osservai, variano da camione a camione. Quindi le saisiche camionarie, ossia qualunque grandezza calcolaa sui dai camionari, sono esse sesse delle v.c. ed il aricolare valore ricavao da un dao camione è una aricolare manifesazione di quella variabile casuale. Nel caso delle serie emorali, le saisiche camionarie che ineressano maggiormene sono r e. Il roblema che si one è allora quello di valuare se il valore calcolao sul camione dell'auocorrelazione oale e arziale sia raresenaivo o meno del corrisondene valore eorico si raa, quindi, di valuare se il camione di osservazioni disonibili ossa o meno rienersi esrao da una oolazione di caraerisiche noe). Tale roblema si risolve calcolando, er ciascuna quanià simaa, lo scaro quadraico medio della sua disribuzione camionaria sandard error) il quale dà un'idea della disersione dei valori camionari aorno alla media. La valuazione dello sandard error ermee di eseguire dei es di significaivià sui valori calcolai delle saisiche camionarie di ineresse. 6

18 L'esecuzione di un es di significaivià su un valore camionario dell'auocorrelazione deve ermeere di giudicare se un dao valore, ad esemio r=., uò rienersi, con un assegnao livello di significaivià, roveniene da un modello con =, che raresena la condizione di indiendenza seriale del rocesso rocesso in correlao). Barle ha dimosrao che quando =, la disribuzione camionaria di r è all'incirca normale, con media nulla e varianza r) daa dalla relazione: q # r ) + r i ) 3.3) n i= nella quale q indica il valore olre il quale le auocorrelazioni eoriche sono ue nulle. Ne consegue che la variabile sandardizzaa r-)/r) è anch'essa una v.c., caraerizzaa da una disribuzione normale di media nulla e varianza uniaria. Ciò si uò esrimere sineicamene scrivendo: r N,) er =q+, q+, ) r ) Per le rorieà della disribuzione normale, si ha che: { r )}. 95 Pr r = 3.3) Possiamo erano definire il seguene es er sabilire se il valore eorico dell'auocorrelazione oale sia nullo: TEST: se r r ) er =q+, q+, ) si accea l'ioesi che =. Poiché si uò dimosrare che se X,X,...Xn sono v.c. idenicamene disribuie la sima di cioè r) è disribuia all'incirca in modo normale con arameri: Er )=#/n varr )/n, er la recedene rorieà, è anche facile calcolare i limii di confidenza al 95% di robabilià, che risulano: E r ) ± # r ) = ± 3.34) n n n Va noao che circa un coefficiene ogni uò cadere al di fuori dei limii sessi senza che debba essere rifiuaa l'ioesi. Una rocedura assoluamene analoga si segue er la funzione di auocorrelazione arziale camionaria %. E' sao infai dimosrao che quando %= >), la sima % è disribuia con legge normale con media zero e varianza uniaria. Il es sul valore camionario del coefficiene di auocorrelazione arziale % uò essere formulao come segue: TEST: se 3.35) n si accea l'ioesi che %=. 7

19 4. I MODELLI STOCASTICI DI BOX E JENKINS Come abbiamo avuo modo di affermare in recedenza, la moderna eoria delle serie emorali ioizza che una serie osservaa sia una manifesazione di un cero rocesso o modello socasico. I modelli di Box e Jenins, esressione di rocessi socasici sazionari, sono quelli che vengono generalmene usai er le indagini sulle serie emorali. Prima di esaminare in deaglio i modelli di Box e Jenins, consideriamo un aricolare io di rocesso socasico, deo Whie Noise rumore bianco) che genera delle serie emorali non correlae. 4. Il rocesso socasico Whie Noise Un rocesso socasico Whie Noise è raresenao da una serie di rove indiendeni effeuae sulla sessa variabile casuale avene media e varianza cosani. Tale rocesso dà luogo ad una serie di dai non correlai z, z, z3,... che cosiuiscono, quindi, un rocesso uramene casuale. L'equazione del modello Whie Noise è daa semlicemene da: z = a =,, 3,...) 4.) Se le variabili, come d'alra are abbiamo suoso, hanno media e varianza cosani, anche la media e la varianza del rocesso saranno cosani e quindi: Ez )=cosane 4.) varz )=cosane 4.3) Inolre, essendo le variabili casuali a indiendeni, la loro auocovarianza sarà nulla e, quindi: cov z z ) = er ui i valori di 4.4) = + Perano sarà nulla anche la serie dei coefficieni di auocorrelazione, salvo =. Per uo quano deo, il rocesso socasico di io Whie Noise è facilmene riconoscibile in quano, fra ue le auocorrelazioni, solo è diversa da zero. Poichè i momeni di rimo e secondo ordine non diendono dal emo, il rocesso è sicuramene caraerizzao da una sazionarieà debole. Si uò erò facilmene dimosrare che il rocesso è sazionario in modo comleo. 4. Il modello AR) A. Equazione del modello La forma generale di un rocesso auoregressivo di ordine, indicao sineicamene con AR), è esressa dalla relazione: z + = z + z z a 4.5) e risula, quindi, come una somma onderaa di valori assai di z alla quale si aggiunge un 8

20 disurbo a calcolao sul valore auale del emo. La relazione 4.5) si uò anche scrivere come: z z z... z = a 4.6) Uilizzando l'oeraore all'indiero bacward) B, definio dalla relazione: B z = z 4.7) si ha: B B... B ) z = a 4.8) e quindi, indicando con B) la quanià fra arenesi, si uò sineizzare come segue: B) z = a 4.9) Se il rocesso non è a media nulla nell'equazione che esrime il modello AR) si aggiunge una cosane #, che misura il livello del rocesso arossima la sua media se esso è sazionario): B) z = a + # B. Sazionarieà La condizione affinchè un rocesso AR) sia sazionario è legaa alle radici dell'equazione caraerisica che si oiene uguagliando a zero l'oeraore B): B B... 4.) B = Considerando B come incognia si dimosra che la sazionarieà di un rocesso AR) si ha quando le radici dell'equazione caraerisica 4.) sono in modulo maggiori dell'unià, ossia sono eserne al cerchio di raggio uniario: # Bi = Bi > i=,, C. Inveribilià Come accennao in recedenza, l'uilizzo di un modello di Box-Jenins richiede, in generale, anche l'esame del roblema dell'inveribilià. Nel caso aricolare del rocesso AR) queso esame è suerfluo in quano si uò dimosrare che non si richiede alcuna condizione ai arameri,,...,, affinché il modello sia inveribile. D. Valor medio Se le v.c. a hanno valor medio nullo, il valore medio aeso del rocesso AR) è dao da: E z ) = #... 4.) E. Varianza ed auocovarianza La varianza e le auocovarianze,,..., si calcolano mediane le relazioni: 9

21 # = # + # # + = var ) 4.) a z = z = # + # + + # #... =,,..., 4.3) dove con a si indica la varianza della comonene casuale del rocesso. E' ooruno noare che le auocovarianze eoriche del rocesso AR) sono in numero infinio. Per i valori di j con j>) si ricorre ancora ad una relazione del io: # j = # j + # j # j j>) 4.4) che rende nome di equazione di Yule-Waler. La relazione 4.4) è molo uile in quano consene di risolvere due roblemi: ) una vola noo un cero modello AR) e, quindi, noi i valori dei arameri,... si ossono calcolare le auocovarianze eoriche corrisondeni al modello scelo; ) se di un dao modello sono ignoi i arameri,..., quesi ossono essere simai sosiuendo ai valori eorici delle auocovarianze i corrisondeni valori camionari c,... c che si ricavano dalla serie osservaa meodo dei momeni). F. Auocorrelazione Se si divide la relazione 4.3) er # si oiene la formula ricorrene: # = # + # # =,, ) anch'essa noa con il nome di equazione di Yule-Waler. Parendo da = si oengono, con la formula ricorrene 4.5), ui gli alri coefficieni di auocorrelazione eorica del rocesso AR). Analogamene a quano noao er le auocovarianze, la relazione 4.5) consene di risolvere due roblemi, e recisamene: ) calcolare le auocorrelazioni quando è noo il modello AR); ) simare i arameri,... sosiuendo ai valori eorici delle auocorrelazioni i corrisondeni valori camionari r,... r desuni dalla serie osservaa meodo dei momeni). G. Correlogramma Il correlogramma di un rocesso AR), come si evince dalla 4.5) è cosiuio da infinii ermini. Si uò, inolre, dimosrare che quesi infinii ermini ossono endere a zero in modo monoonico oure con oscillazioni a seconda del valore assuno dai arameri del modello. H. Auocorrelazione arziale Nel modello AR) l'auocorrelazione arziale è uno srumeno molo imorane in quano è cosiuia da ermini, cioè esaamene da ani ermini quano è l'ordine del rocesso. Si dimosra, infai, che i coefficieni di auocorrelazione arziale sono nulli er >. Si vede dunque l'uilià dell'auocorrelazione arziale dal momeno che quella oale è semre cosiuia da infinii ermini in ui i rocessi AR).

22 4.3. Caso aricolare: il rocesso AR) A. Equazione del modello La forma generale del rocesso auoregressivo di ordine, indicao sineicamene con AR), è esressa dalla relazione: z + = z a 4.6) Da quesa relazione risula che il valore della serie emorale al emo, ossia z, è uguale ad una frazione del valore recedene z aumenaa in senso algebrico) della comonene casuale a. B. Sazionarieà La condizione affinchè un rocesso AR) sia sazionario richiede che le radici dell'equazione caraerisica nell'incognia B: B = 4.7) siano eserne al cerchio di raggio uniario. Ciò equivale a dire che, er la sazionarieà, deve essere verificaa la disuguaglianza quesa vola alicaa al aramero ): < 4.8) C. Valor medio Se le v.c. a hanno come valor medio Ea )=, il valore medio aeso del rocesso AR) è anch'esso nullo: E ) = 4.9) z D. Varianza La varianza del rocesso è daa dalla relazione: a z ) = = 4.) # Dalla relazione recedene si ha una conferma al fao che deve risulare <. Infai, affinché il rocesso abbia varianza osiiva, il aramero deve essere minore dell'unià, come rilevao in recedenza a roosio della sazionarieà. E. Auocovarianza L'auocovarianza di un rocesso AR) si ricava mediane la relazione: a = # =,, ) Se si iene cono dell'esressione della varianza del rocesso, si uò scrivere, iù semlicemene: = =,, ) F. Auocorrelazione Dalla relazione 4.) er si ricavano immediaamene le auocorrelazioni del rocesso che sono esresse da:

23 = =,, ) G. Correlogramma Il correlogramma di un rocesso AR), semre cosiuio da infinii ermini, ha forma diversa a seconda del segno assuno dal aramero del modello, come si evince dalla figura 4.. Fig 4. Correlogrammi di un modello AR) H. Auocorrelazione arziale Nel modello AR), er quano deo in recedenza, l'auocorrelazione arziale è cosiuia da un solo ermine. L'esressione è: == 4.4) = er > 4.5) 4.3 Il modello MAq) A. Equazione del modello La forma generale di un rocesso a media mobile di ordine q, indicao sineicamene con MAq), è esressa dalla relazione: z = a + # a + a qa q 4.6) e risula, quindi, come una somma onderaa dei valori di una successione di variabili casuali indiendeni, aveni media e varianza cosani. E' consueudine, nell'esressione di un modello a media mobile, indicarne i aremeri con la leera # er cui, onendo i =# i, si ha: z = a a a... qa q 4.7) Uilizzando l'oeraore all'indiero bacward, la 4.7) uò essere scria sineicamene come: z = B) a 4.8) avendo indicao con #B) l'oeraore MAq) esresso dalla relazione q B) = B B... B B. Sazionarieà q 4.9) Poichè la serie 4.7) è finia, nessuna resrizione è necessaria er i arameri del modello

24 Media Mobile er assicurarne la sazionarieà. C. Inveribilià La valuazione dell'inveribilià del modello socasico è aricolarmene ineressane in quano nei modelli a media mobile esise il roblema della molelicià dei modelli, ossia, ad una cera funzione di auocorrelazione ossono corrisondere due o iù modelli diversi. Queso fao sarà mosrao in seguio con riferimeno al caso semlice del modello MA). La condizione affinchè un rocesso MAq) sia inveribile si desume dalle radici dell'equazione caraerisica: q B B... B = 4.3) q Si dimosra che l'inveribilià di un rocesso MAq) si ha quando le radici della 4.3), sono in modulo maggiori dell'unià, ossia sono eserne al cerchio di raggio uniario: # Bi ) = Bi > i =,..., q D. Valor medio Se le v.c. a hanno come valor medio Ea)=, il valore medio aeso del rocesso MAq) è ure nullo e, quindi: Ez )= 4.3) E. Auocovarianza e varianza Le auocovarianze in un rocesso MAq) si calcolano mediane le relazioni: = # + # + # q # q) a =,,...,q 4.3) = >q 4.33) dove con a si indica la varianza delle comoneni casuali del rocesso. La varianza eorica del modello MAq) si oiene onendo = nella 4.3): = + # + # # q ) a 4.34) Dalle relazioni recedeni si evince che il rocesso MAq) è semre sazionario in quano le grandezze ora vise non diendono dal emo. F. Auocorrelazione Dalle relazioni 4.3) e 4.34) si ricava subio: q q = # + # + + #... # # + # # q =,,...q 4.35) = >q 4.36) G. Correlogramma Il correlogramma di un rocesso MAq), come si evince dalle 4.35) e 4.36), è cosiuio da q ermini e quesa informazione è esremamene reziosa in quano, se ciò si verifica in un 3

25 correlogramma emirico, consene di orienarsi verso ale modello. H. Auocorrelazione arziale Le esressioni delle auocorrelazione arziali si resenano in forma alquano comlicaa. Nel seguio è rioraa l'esressione dell'auocorrelazione arziale er il caso semlice del rocesso MA) Caso aricolare: il rocesso MA) A. Equazione del modello La forma generale del rocesso media mobile di ordine, indicao sineicamene con MA), è esressa dalla relazione: z = a a 4.37) B. Sazionarieà Per quano deo in recedenza, il modello MA) è semre sazionario qualunque sia il valore del aramero. C. Valor medio Se le v.c. a hanno come valor medio Ea)=, il valore medio aeso del modello MA) è anch'esso nullo: Ez )= 4.38) D. Varianza La varianza del rocesso è daa dalla relazione: = + ) = = var z ) 4.39) E. Auocovarianza # a z L'auocovarianza di un rocesso MA) si ricava mediane la relazione: = # a 4.4) = > 4.4) F. Auocorrelazione Dalle relazioni recedeni si ricavano immediaamene le auocorrelazioni del rocesso che sono esresse da: = = # 4.4) + = > 4.43) G. Correlogramma Il correlogramma di un rocesso MA) è cosiuio da un solo ermine, osiivo o negaivo a seconda del segno del aramero del modello vedi figura 4.) 4

26 a) b) Fig 4.. Esemio di auocorrelogramma er il modello MA): Caso a): <; Caso b:) >. H. Auocorrelazione arziale Si uò dimosrare che le auocorrelazioni arziali di un modello MA) sono dae da: = # # ) + ) =,, 3, ) # Da quesa relazione si ricava che i coefficieni di auocorrelazione arziale non si esauriscono di colo ma si smorzano in modo esonenziale, anche con oscillazioni di segno. I. Inveribilià Il roblema dell'inveribilià uò essere illusrao molo bene nel caso del rocesso MA) considerando la funzione di auocorrelazione. Suoniamo di avere due rocessi MA) aveni come arameri, riseivamene, e /: z = a a 4.45) z' = a a 4.46) Se calcoliamo i coefficieni di auocorrelazione dei due rocessi oeniamo: z ) = # + # / z' ) = # / = # + # + # 4.47) 4.48) Come si uò noare, i due rocessi, ur essendo diversi, resenano la sessa auocorrelazione. E' queso un iico esemio di molelicià dei modelli. Il roblema uò essere affronao esrimendo a in funzione di z, z-,... oenendo: a = z z + z ) a' = z' / z' + / z' ) Ricorrendo all'oeraore B, si oiene: a = B + B...) z 4.5) a = / B + / B...) z' 4.5) 5

27 E' uile osservare che, er < la rima serie converge menre la seconda diverge. In alre arole, si dice che, quando < il modello MA) è inveribile ossia esise un unico rocesso che corrisonde ad una cera funzione di auocorrelazione. Queso risulao coincide con la condizione generale di inveribilià daa in recedenza. Infai, dire che < equivale ad affermare che le radici dell'equazione caraerisica del modello MA): - B)= 4.53) cadono al di fuori del cerchio di raggio uniario. 4.5 Il modello ARMA,q) A. Equazione del modello I due rocessi che abbiamo considerao searaamene ossono venire comosi in un unico modello miso in base alla seguene considerazione. Il modello AR) si resena nella forma: z z z... z = a 4.54) Si suone, quindi, che il residuo sia cosiuio dalla variabile casuale a le cui manifesazioni siano normali, indiendeni, con media nulla e varianza cosane. In diversi casi è sao erò consaao che queso residuo ha le caraerisiche di una media mobile di ordine q, semre sulla variabile a e, quindi, risula del io: z = a a... qa q 4.55) L'equazione del modello miso auoregressivo di ordine con media mobile di ordine q, indicao con ARMAq), è, quindi: z z z... z = a # a...# a 4.56) q q Ricorrendo all'oeraore B si oiene l'esressione: B) = B) a 4.57) in cui: B) = z z... z raresena l'oeraore auoregressivo e q B) = B B... B raresena l'oeraore media mobile. q L'imoranza raica del modello miso risiede nel fao che er mole serie emorali esso richiede un numero di arameri inferiore a quelli necessari er un modello auoregressivo uro. B. Sazionarieà La condizione affinchè un rocesso ARMA,q) sia sazionario è legaa ancora alle radici dell'equazione caraerisica della are auoregressiva del modello, che si oiene uguagliando a zero l'oeraore #B) considerando B come incognia: B B... B = 4.58) Si dimosra che la sazionarieà di un rocesso ARMA,q) si ha quando le radici 6

28 dell'equazione caraerisica 4.58), sono in modulo maggiori dell'unià, ossia sono eserne al cerchio di raggio uniario. C. Inveribilià La condizione affinchè un rocesso ARMA,q) sia inveribile si desume dalle radici dell'equazione caraerisica della are media mobile del modello, che si oiene, uguagliando a zero l'oeraore B) considerando B come incognia: q B) = B B... B = 4.59) q Si dimosra che l'inveriilià di un rocesso ARMA,q) si ha quando le radici dell'equazione caraerisica 4.59) sono in modulo maggiori dell'unià, ossia sono eserne al cerchio di raggio uniario. D. Valor medio Se il rocesso miso è comleo, e quindi coniene anche una cosane, la media eorica del modello risula: E z ) = + # E z ) # E z ) + E a ) E a )... qe a q ) 4.6) da cui si ricava in modo semlice che: Ez ) = 4.6) # #... # E. Auocovarianza Le esressioni delle auocovarianze in un modello ARMA,q) sono fornie dalle relazioni: = # # + za ) za )... q za q) <q) 4.6) = # + # # q+) 4.6) dove con za) si è indicaa la covarianza incrociaa fra le variabili z ed a : za ) = E z z) a a) 4.63) F. Varianza [ ] La varianza del rocesso ARMA,q) è esressa dalla relazione: = a # % za # ) #...#% q za # q ) 4.64) Si noi che la varianza del modello uò essere calcolaa solo doo aver risolo le relazioni 4.6) er =,,... in modo da oenere #,#,...,#. G. Auocorrelazione Dalla relazione 4.6) si oiene immediaamene: = # + # # q+) 4.65) H. Auocorrelazione arziale Nel modello ARMA,q) l'auocorrelazione arziale è cosiuia da infinii ermini ed ha un andameno simile a quello dell'auocorrelazione arziale di un rocesso a media mobile. 7

29 4.5. Caso aricolare: il rocesso ARMA,) A. Equazione del modello Il caso iù semlice ed usao del rocesso di io miso è il modello ARMA,), caraerizzao dalla relazione: z z = a # a 4.66) B. Sazionarieà La condizione affinchè un rocesso ARMA,) sia sazionario è analoga a quella di sazionarieà di un rocesso AR), cioè: < C. Inveribilià 4.67) La condizione affinchè un rocesso ARMA,) sia inveribile è analoga a quella di inveribilià di un rocesso MA), cioè: < 4.68) D. Valor medio Se il rocesso ARMA,) è comleo, cioè si resena soo la forma: z z = + a # a 4.69) il valor medio aeso si ricava dalla seguene relazione: E z ) E z ) = + E a ) # E a ) 4.7) da cui: Ez )= 4.7) # E. Auocovarianza Le esressioni delle auocovarianze di un rocesso ARMA,) risulano: # % ) #% ) = a 4.7) # # =,3, ) = F. Varianza La varianza del rocesso è daa dalla relazione: var z ) = = + % # a 4.74) G. Auocorrelazione Dalle relazioni recedeni si ricava immediaamene: = 4.75) # =,3, ) = 8

30 La funzione di auocorrelazione resena un andameno smorzao di io esonenziale con segni ui uguali o alernai a seconda che risuli > oure < H. Correlogramma Il correlogramma di un rocesso ARMA,) uò assumere andameni diversi in funzione dei valori assuni dai arameri che caraerizzano il rocesso sesso v. figura 4.3). I. Auocorrelazione arziale Nel modello ARMA,) la funzione di auocorrelazione arziale are dal valore iniziale = e va smorzandosi in modo monoonico o con alernanze di segno v. figura. 4.3). Fig Funzioni di auocorrelazione oale, e arziale, er il rocesso ARMA,). 9