Il binomio di Newton Nota sul calcolo esatto dei suoi coefficienti

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1 Cristiao Teodoro Il biomio di Newto Nota sul calcolo esatto dei suoi coefficieti Sommario: i questa ota viee illustrato il calcolo dei coefficieti del biomio di Newto ( a + b ) co l ausilio di due diversi algoritmi: uo utilizzate la ota formula relativa al coefficiete: C,!, l altro facete riferimeto alla formula ricorsiva! ( )! C, C 1, 1 + C 1,. Per avere risultati cocreti si mostrao quattro programmi realizzati i Qbasic, atti a trovare il valore umerico esatto di questi coefficieti. I primi due fao riferimeto al 1 Algoritmo e soo relativi, uo al calcolo di tutti i coefficieti per u qualsiasi 40; l altro preposto al calcolo, co l utilizzo di u aritmetica a precisioe multipla, di u solo prefissato coefficiete alla volta ache per valori elevati di e. Gli atri due programmi sfruttao il 2 tipo di algoritmo: il primo riguarda il calcolo di tutti i coefficieti per u qualsiasi espoete 50; il secodo ifie co l utilizzo sempre di u aritmetica a precisioe multipla riguarda di uovo il calcolo di tutti o di ua parte scelta dei coefficieti, ma per u qualsiasi espoete 400. I coda all articolo soo riportati alcui esempi di risultati di calcolo. Abstract: i this short paper we illustrate the computatio of biomial coefficiets by two differet algorithms: the oe usig the well-ow formula C,!, the other! ( )! with referece to recursive formula C, C 1, 1 + C 1,. We show the actual results by four programs, fulfilled i Qbasic laguage. The first is able to fid the exact umerical value of coefficiets for the expoet values util 40, the secod cocer the computatio for a sigle coefficiet, but as well for high values of ad by usig a multiple precisio arithmetic. d The third ad the fourth programs regard the 2 Algorithm ad are able to fid respectively the exact coefficiets values util 50, ad the exact coefficiets computatio, but for the values util 400 by usig a multiple precisio arithmetic. To the tail ed we report some example of computatio results. Per il calcolo del valore umerico dei coefficieti relativi al biomio come biomio di Newto ( 1) si può procedere attraverso due distiti algoritmi. 1 Algoritmo Questo algoritmo prede i cosiderazioe il be oto sviluppo del biomio: ( a + b), coosciuto ( a + b ) C, a b co 0,1, 2,..! e dove il geerico coefficiete è C, (1)! ( )! Per covezioe si ha :! 1 per 0 e!1 per 1 Ioltre:! ( 2) ( 1)! ( 2) ( 1) ( )! ( 2) ( 1) ( ) (1): vi soo vari siti su Iteret riguardati questo argometo; si vedao ad esempio quelli citati ei Riferimeti. 1

2 Il valore C, è importate el calcolo combiatorio [4], [5], [6] i quato esso idica, dato u isieme di elemeti, il umero delle combiazioi semplici a a (co ) di questi elemeti, vale a dire il umero di gruppi di elemeti scelti fra gli elemeti dell isieme tali che, come esposto chiaramete i [4] o [5] : - i ogi gruppo gli elemeti o si possoo ripetere,(ad esempio per 3 il gruppo AAB o è u gruppo valido) - i gruppi o differiscoo per l'ordie degli elemeti, (ad esempio per 3 i gruppi ABC e ACB soo da cosiderarsi u uico gruppo). Per trovare il valore umerico di ogi coefficiete occorre effettuare il calcolo dei suddetti fattoriali. Si può però semplificare il calcolo ed avere sia il mior umero possibile di operazioi elemetari di moltiplicazioe da eseguire sia ache u deomiatore il più piccolo possibile poedo: ( + 1) ( + 2)( + 3)... ( 2) ( 1) per < C, (2) 2! ( + 1) ( + 2) ( + 3)... ( 2) ( 1) per C, 2 ( )! (3) Ua volta calcolati il valore del umeratore e del deomiatore della (2) o della (3) si dovrà eseguire la divisioe fra questi due valori. L utilizzo delle due suddette formule al posto della (1) riduce drasticamete il umero delle moltiplicazioi elemetari da eseguire. Ioltre co la riduzioe del valore umerico sia del loro umeratore che del loro deomiatore si ottegoo risultati più precisi. Si può costatare che fio ad u espoete 40 del biomio si ottegoo risultati esatti el calcolo del valore umerico di ogi di ogi coefficiete C, (2) utilizzado l aritmetica a doppia precisioe dispoibile sul PC i ogi liguaggio evoluto. Ma già per > 53 i valori dei C, comiciao ad avere valori errati sulla cifra delle uità e per valori di > 56 ma mao che l espoete aumeta u sempre maggior umero di risultati umerici per i valori dei C, vegoo espressi i otazioe co matissa ed espoete. Esempio C 58, D+16. Questo tipo di algoritmo o risulta particolarmete coveiete qualora si volessero calcolare i sequeza tutti i coefficieti per u espoete grade i quato sarebbe ecessario eseguire fra umeri composti ache da decie di cifre almeo 2 divisioi, operazioi queste particolarmete complicate quado si fa uso di ua ecessaria aritmetica a precisioe multipla. Il secodo algoritmo proposto risulta ivece più idoeo a questo scopo per ua programmazioe riguardate ua aritmetica a precisioe multipla i quato per esso si utilizzao solo operazioi di addizioe e di sostituzioe. (2) Può essere di qualche iteresse cooscere di quate cifre è composto u coefficiete di valore molto elevato. Posto C, ha x log( C, ). Per la formula (1) e per le proprietà dei logaritmici si trae x Il umero c di cifre che compogoo C, è dato allora da c a 2 log a log b b 2 c 2 log c. x 10 si x : tale valore può essere poi trovato co questo programma: REM Calcolo del umero di cifre del coefficiete biario!/[!*(-)!] CLS : DEFDBL A-Z: INPUT ""; : INPUT ""; a 0: b 0: c 0: h 1 DO: h h + 1: a a + LOG(h) IF h THEN b a IF h - THEN c a LOOP UNTIL h a a / LOG(10): b b / LOG(10): c c / LOG(10): x a - b - c PRINT "umero c di cifre del coefficiete C(,)"; INT(x) + 1 Esempio: co detto programma si può ricavare immediatamete che il coefficiete C 400, 191 è composto da 119 cifre. 2

3 Si riporta qui di seguito il listato di u semplice programma realizzate l algoritmo PROGRAMMA.1 REM programma COEFBIN! REM programma relativo al calcolo dei coefficieti REM relativi al biomio (a+b)^ co la formula REM C(,)!/(!*(-)!) REM co questo programma si ottegoo valori esatti REM dei coefficieti per u o superiore a 40 REM CLS : DEFDBL A-Z: DIM C(200): INPUT ""; t1 TIMER FOR 0 TO : IF > / 2 GOTO 25 x 1: FOR h TO : x x * h: NEXT h y 1: FOR j 1 TO : y y * j: NEXT j C() x / y: PRINT "C("; ; ")"; x / y GOTO es 25 REM > /2 x 1: FOR h + 1 TO : x x * h: NEXT h y 1: FOR j 2 TO - : y y * j: NEXT j C() x / y: PRINT "C("; ; ")"; x / y es: NEXT t2 TIMER - t1: PRINT : PRINT "t2 "; t2; "sec." Tuttavia questo 1 Algoritmo può essere impiegato utilmete per calcolare u dato coefficiete, ad esempio il coefficiete C,, seza peraltro passare al calcolo ordiato di tutti i coefficieti relativi ad u valore più piccolo di, come ivece si costaterà per il 2 l algoritmo che sarà illustrato più avati. Ciò risulta particolarmete coveiete quado sia che soo gradi o molto gradi. Pertato, utilizzado la formula (2) o la formula (3) si può realizzare u programma (ad esempio il PROGAMMA 2 i liguaggio Qbasic riportato el relativo sottostate riquadro), co cui, effettuado le ecessarie operazioi di moltiplicazioe e di divisioe tramite l impiego di u aritmetica a precisioe multipla, si riesce a trovare i tempi di calcolo brevi il valore umerico esatto del coefficiete relativo ad u ed u prefissati e relativamete elevati. U esempio di risultato otteibile co l uso di questo programma, come compare sullo schermo del moitor, viee riportato qui di seguito: calcolo i aritmetica a precisioe multipla del coefficiete biomiale C(,)!/(!*(-)!) itrodurre il umero : 2100 itrodurre il umero : 923 C( 2100, 923 ) il valore trovato di C( 2100, 923 ) è corretto ed il umero di cifre che lo compogoo è 624 tempo impiegato: secodi 3

4 PROGRAMMA. 2 REM programma COEFBIA! CLS : DEFDBL A-Z PRINT "calcolo i aritmetica a precisioe multipla" PRINT "del coefficiete biomiale C(,)!/(!*(-)!)" PRINT " " INPUT "itrodurre il umero : ", : PRINT INPUT "itrodurre il umero : ", : PRINT t1 TIMER: DIM a(1000), b(1000), r(1000), qz(1000) g 7: pr 10 ^ g: a(0) 1: b(0) 1: 1 IF > / 2 THEN - v 0: y FOR h y TO : q 0 FOR j 0 TO v x a(j) * h + q: q INT(x / pr): a(j) x - q * pr NEXT j IF q > 0 THEN v v + 1: a(v) q NEXT h ca v: v 0: ' FOR l ca TO 0 STEP -1: PRINT a(l); : NEXT l FOR h 2 TO : q 0 FOR j 0 TO v x b(j) * h + q: q INT(x / pr): b(j) x - q * pr NEXT j IF q > 0 THEN v v + 1: b(v) q NEXT h cb v: ' FOR l cb TO 0 STEP -1: PRINT b(l); : NEXT l REM DIVISIONE div: FOR ca TO 0 STEP -1: r() a(): NEXT d b(cb) + 1: IF cb 0 THEN d d - 1 FOR h ca TO cb + 1 STEP -1: a r(h): sv cb IF a < d THEN a r(h) * pr + r(h - 1): sv cb + 1 qz INT(a / d): qz(h - sv) qz(h - sv) + qz: 'sm 0 FOR 0 TO cb x qz * b() + r: r INT(x / pr): z x - r * pr: s + h - sv IF z > r(s) THEN r(s) pr + r(s): r(s + 1) r(s + 1) - 1 r(s) r(s) - z NEXT r(h) r(h) - r: r 0: IF r(h) <> 0 THEN h h + 1 NEXT h trovar: FOR j cb TO 0 STEP -1 IF r(j) < b(j) THEN j 0: GOTO resto IF r(j) > b(j) THEN j 0: GOTO cotiua NEXT j cotiua: r 0: d b(cb) + 1: IF r(cb) b(cb) THEN d b(cb) qz INT(r(cb) / d): qz(0) qz(0) + qz: ' ss 0 FOR j 0 TO cb x qz * b(j) + r: r INT(x / pr): z x - r * pr IF z > r(j) THEN r(j) pr + r(j): r(j + 1) r(j + 1) - 1 r(j) r(j) - z NEXT j IF r(cb) > 0 GOTO trovar resto: FOR j cb TO 0 STEP -1 IF r(j) > 0 THEN crt j: j 0 NEXT j cqz ca - cb: IF qz(cqz) 0 THEN cqz cqz - 1 rs 0: FOR 0 TO cqz: x qz() + rs: rs INT(x / pr): qz() x - rs * pr: NEXT IF rs > 0 THEN cqz cqz + 1: qz(cqz) rs PRINT : PRINT : PRINT "C("; ; ","; 1; ") "; : FOR s cqz TO 0 STEP -1: IF qz(s) 0 GOTO ess a qz(s): a$ STR$(a): lc LEN(a$) - 1 c$ RIGHT$(a$, lc): cz g - lc: z$ "": IF qz(s) < 10 ^ (g - 1) AND w 0 GOTO 101 IF cz 0 GOTO 101 FOR 1 TO cz: z$ z$ + "0": NEXT 101 c$ z$ + c$: PRINT c$; w w + 1 ess: NEXT s a qz(cqz): a$ STR$(a): lc1 LEN(a$) - 1 IF crt 0 AND r(crt) 0 THEN cc 1: PRINT : PRINT IF cc 1 THEN PRINT "il valore trovato di C("; ; ","; 1; ") è corretto" PRINT "ed il umero di cifre che lo compogoo Š:"; lc1 + cqz * g tempo: t2 TIMER - t1: PRINT : PRINT "tempo impiegato:"; t2; "secodi":end Programma i Qbasic per il calcolo i aritmetica a precisioe multipla del coefficiete biomiale desiderato C,!! ( )! 4

5 2 algoritmo Questo algoritmo fa riferimeto al triagolo di Pascal o di Tartaglia. Per ua migliore compresioe di quato sarà esposto più avati, si riporta la seguete tabella i cui su di ua stessa riga risultao i valori dei coefficieti C, relativi ad ogi biomio del tipo ( a + b) co 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Triagolo di PASCAL Triagolo di TARTAGLIA Osservado i valori dei coefficieti riportati i tabella i relazioe al triagolo di Pascal si può riscotrare che su ogi riga, ad esclusioe del primo termie e dell ultimo termie di valore sempre 1, vale almeo per essi la seguete relazioe : C, C 1, 1 + C 1, Esempi: 10 C5,2 C 4,1 + C4, ; 15 C 6,4 C5,3 + C5, C8,4 C 7,3 + C7, ; 21 C7,5 C6,4 + C6, Ma la relazioe C, C 1, 1 + C 1, è valida per qualsiasi coefficiete come viee dimostrato el riquadro sottostate: Verifica della relazioe C, C 1, 1 + C 1,! ( 1) ( 2)...( 1) A C + +,!( )! ( )! ( )! (8) co A ( + 1) ( + 2)... ( 1) ( 1)! ( + 1) ( + 2).... ( 2) ( 1) A C 1, 1 ( 1)!( )! ( )! ( )! ( 1)! ( + 1) ( + 2)... ( 2) ( 1) A ( ) A ( ) C 1,!( 1 )! ( 1 )! ( 1 )!( ) ( )! A A ( ) A+ A A A C 1, 1 + C 1, + (9) ( )! ( )! ( )! ( )! Dal cofroto della (8) co la (9) risulta valida la suddetta relazioe 5

6 Teedo presete pertato questa relazioe si può realizzare u efficiete algoritmo di tipo ricorsivo per il calcolo dei coefficieti biomiali (ad esempio co u programma i liguaggio Qbasic riportato el sottostate riquadro) PROGRAMMA. 3 REM programma COEFBINT.BAS REM calcolo dei coefficieti biomiali co REM formule ricorreti ricavabili osservado REM il triagolo di PASCAL; co questo programma REM si ottegoo valori esatti dei coefficieti REM per u o superiore a 50 CLS : DEFDBL A-Z INPUT " espoete del biomio (a+b)^ "; t1 TIMER DIM b(), a(): a(1) 1: b(0) 1 DO s s + 1 FOR 1 TO s: b() a( - 1) + a(): NEXT FOR h 0 TO s: a(h) b(h): NEXT h LOOP UNTIL s FOR h 0 TO : PRINT h; ")"; b(h): NEXT h t2 TIMER - t1: PRINT : PRINT t2; "sec." END Programma di calcolo dei coefficieti biomiali co formula ricorrete Tale programma è valido per il calcolo esatto di coefficieti relativi al biomio di Newto ( a + b) per u valore di o superiore a 50, i quato ci si è limitati ad utilizzare i esso l aritmetica a doppia precisioe. Per valori più elevati di si potrebbero otteere risultati di calcolo arrotodati i diversi coefficieti. Il listato di u programma sempre i liguaggio Qbasic relativo a questo algoritmo, ma i cui le 7 operazioi aritmetiche soo effettuate utilizzado ua aritmetica a precisioe multipla i Base 10 viee riportato qui di seguito el riquadro sottostate( PROGRAMMA 4.) Co tale programma si è i grado di trovare i valori umerici esatti dei coefficieti del biomio di Newto ( a + b) ache per valori dell espoete abbastaza più elevati rispetto ai valori massimi per relativi agli altri summezioati programmi ( < 50). I effetti co esso si è i grado di calcolare i coefficieti del biomio di Newto per u qualsiasi espoete sio ad u valore massimo di 400. Questo valore è dovuto alle limitazioi del umero massimo di elemeti che può avere u matrice (array a due dimesioi) el software del liguaggio utilizzato (il Qbasic). Per valori dell espoete o è sempre possibile visualizzare i ua sola schermata tutti i coefficieti del biomio specie se è grade; si può osservare però, che per cooscere il valore umerico di tutti i coefficieti è sufficiete trovare il valore dei primi 2 coefficieti i quato i restati coefficieti si possoo ricavare facilmete perché vale la seguete uguagliaza: C, C, dimostrabile immediatamete se si tiee coto della ( 1 ). 6

7 PROGRAMMA 4 REM programma COEFBITP.BAS REM calcolo dei coefficieti biomiali co formule ricorreti REM tratte dal (triagolo di PASCAL); si utilizza aritmetica REM a precisioe multipla i Base (Radix) pr10^7 CLS : DEFDBL A-Z 5 INPUT " espoete >1 del biomio (a+b)^ "; 0 IF 0 > 400 THEN PRINT " valore di troppo grade; ridigita": GOTO 5 PRINT "i Coefficieti del biomio (a+b) ^"; 0; "soo i segueti:" t1 TIMER DIM b(410, 18), a(410, 18): g 7: pr 10 ^ g: j 4: 0 a(1, 0) 1: a(2, 0) 1: 1 DO: + 1 FOR j 1 TO j + 1 FOR 0 TO : b(j, ) a(j - 1, ) + a(j, ) + r: r 0 IF b(j, ) > pr THEN b(j, ) b(j, ) - pr: r 1 NEXT IF r 1 THEN + 1: b(j, ) r r 0 NEXT j FOR h 1 TO j + 1: FOR s TO 0 STEP -1 a(h, s) b(h, s): IF a(h, s) 0 GOTO es es: NEXT s NEXT h j j + 1: LOOP UNTIL 0 REM --- messa i forma e stampa dei valori umerici dei coefficieti FOR h 1 TO ( + 1): w 0: c$ "": PRINT "C"; h - 1; " "; FOR s TO 0 STEP -1: IF a(h, s) 0 GOTO ess a a(h, s): a$ STR$(a): lc LEN(a$) - 1 c$ RIGHT$(a$, lc): cz g - lc: z$ "": IF a(h, s) < 10 ^ (g - 1) AND w 0 GOTO 101 IF cz 0 GOTO 101 FOR 1 TO cz: z$ z$ + "0": NEXT 101 c$ z$ + c$: PRINT c$; w w + 1 ess: NEXT s PRINT : 'DO: y$ INKEY$: LOOP WHILE y$ "" NEXT h t2 TIMER - t1: PRINT t2; "sec." END Pertato visualizzado i pratica solo la prima metà dei coefficieti, la secoda metà dei coefficieti è coosciuta i quato essi hao gli stessi valori, simmetricamete disposti rispetto al coefficiete mediao, di quelli della prima metà. Se poi si volesse visualizzare solo u isieme di coefficieti, il programma prevede ache questa possibilità, partedo da u coefficiete Ci fio ad u coefficiete Cf. Per otteere tutti i coefficieti evetualmete co diverse schermate, che scorroo i modo automatico, si dovrà porre Ci 0 e Cf. Si riportao i coda a questo articolo alcui esempi di risultati otteibili co il PROGRAMMA 2 ed il PROGRAMMA 4 così come compaioo sullo schermo del moitor. 7

8 RIFERIMENTI [1] [2] [3] [4] [5] [6] ritratto di Isacco Newto 8

9 ESEMPI DI RISULTATI OTTENIBILI CON IL PROGRAMMA 2. attieti al 1 Algoritmo 1 esempio calcolo i aritmetica a precisioe multipla del coefficiete biomiale C(,)!/(!*(-)!) itrodurre il umero : 307 itrodurre il umero : 123 C( 307, 123 ) il valore trovato di C( 307, 123 ) è corretto ed il umero di cifre che lo compogoo è: 89 tempo impiegato: 0 secodi 2 esempio calcolo i aritmetica a precisioe multipla del coefficiete biomiale C(,)!/(!*(-)!) itrodurre il umero : 2987 itrodurre il umero : 1079 C( 2987, 1079 ) il valore trovato di C( 2987, 1079 ) è corretto ed il umero di cifre che lo compogoo è: 847 tempo impiegato: secodi 9

10 3 esempio calcolo i aritmetica a precisioe multipla del coefficiete biomiale C(,)!/(!*(-)!) itrodurre il umero : itrodurre il umero : 4761 C( 10000, 4761 ) il valore trovato di C( 10000, 4761 ) è corretto ed il umero di cifre che lo compogoo è: 3004 tempo impiegato: secodi 10

11 ESEMPI DI RISULTATI OTTENIBILI CON IL PROGRAMMA 4 Attieti al 2 Algoritmo 1 ESEMPIO quale espoete >1 del biomio (a+b)^ vuoi? 40 da quale coefficiete vuoi visualizzare i risultati? 0 sio a quale coefficiete vuoi visualizzarli? 40 i coefficieti del biomio (a+b)^ 40 da C 0 a C 40 soo: C 0 1 C 1 40 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 40 1 tempo di calcolo: 0 secodi 11

12 2 ESEMPIO quale espoete >1 del biomio (a+b)^ vuoi? 82 da quale coefficiete vuoi visualizzare i risultati? 0 sio a quale coefficiete vuoi visualizzarli? 41 i coefficieti del biomio (a+b)^ 82 C 0 1 C 1 82 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C da C 0 a C 41 soo i segueti: tempo di calcolo: secodi 12

13 3 ESEMPIO quale espoete >1 del biomio (a+b)^ vuoi? 82 da quale coefficiete vuoi visualizzare i risultati? 41 sio a quale coefficiete vuoi visualizzarli? 82 i Coefficieti del biomio (a+b)^ 82 da C 41 a C 82 soo: C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 82 1 tempo di calcolo: secodi 13

14 4 ESEMPIO quale espoete >1 del biomio (a+b)^ vuoi? 230 da quale coefficiete vuoi visualizzare i risultati? 80 sio a quale coefficiete vuoi visualizzarli? 120 i coefficieti del biomio (a+b)^ 230 da C 80 a C 120 soo: C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C tempo di calcolo: secodi 14

15 5 ESEMPIO quale espoete >1 del biomio (a+b)^ vuoi? 350 da quale coefficiete vuoi visualizzare i risultati? 287 sio a quale coefficiete vuoi visualizzarli? 325 i coefficieti del biomio (a+b)^ 350 da C 287 a C 325 soo: C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C tempo di calcolo: secodi 15

16 6 ESEMPIO quale espoete >1 del biomio (a+b)^ vuoi? 400 da quale coefficiete vuoi visualizzare i risultati? 190 sio a quale coefficiete vuoi visualizzarli? 210 i Coefficieti del biomio (a+b)^ 400 da C 190 a C 210 soo: C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C tempo di calcolo: secodi 16