CLASSIFICAZIONE DELLE STRUTTURE PIANE

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1 CLASSIFICAZIONE DELLE STRUTTURE PIANE ANALISI CINEMATICA ANALISI STATICA ESEMPI riera della esisteza di atti di moto rigido della struttura a presidere dalle ause he lo geerao riera della possibilità di equilibrio statio della struttura per la speifia odizioe di ario appliata ATTO DI MOTO CLASSIFICAZIONE STRUTTURA VINCOLI CONDIZIONE CINEMATICA EQUILIBRIO CLASSIFICAZIONE STRUTTURA REAZIONI VINCOLARI CONDIZIONE STATICA o osetito dai violi FISSA tutti eessari v = sovrabbodati v > isodetermiata iperdetermiata sempre osetito dai violi sempre osetito dai violi EQUILIBRATA tutte eessarie isostatia EQUILIBRATA sovrabbodati iperstatia v = v > isuffiieti v < osetito per partiolari odizioi di ario dai violi EQUILIBRATA tutte eessarie sovrabbodati statiamete determiata statiamete idetermiata v < v = osetito dai violi LABILE suffiieti ma maldisposti v = ipodetermiata v > sovrabbodati ma maldisposti v > o osetito dai violi NON EQUILIBRATA isuffiieti ipostatia v < v = v > NOTE: = umero di elemeti strutturali v = umero di odizioi elemetari di violo G. ZAVARISE /04/007

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4 Poliomi di terzo grado - Soluzioe mediate la Formula di Cardao Giorgio Zavarise Dept. of Iovatio Egieerig - Uiversity of Saleto Marh 8, 007 Premessa Questo materiale didattio o è stato aora sottoposto a revisioe. Si prega di segalare evetuali errori o impreisioi via all autore: giorgio.zavarise@uile.it. Soluzioe geerale Per idividuare le radii dell equazioe + a + b + =0 () la soluzioe si osegue utilizzado la formula di Cardao. Il metodo rihiede ua trasformazioe mediate ambio di variabile, al fie di elimiare il termie di seodo grado. Il risultato si osegue appliado la sostituzioe he permettere di risrivere l equazioe origiale ome dove = y a () y + py + q =0 () p = b a, q= 7 a ab + (4) Per questa equazioe la soluzioe è data dalla formula di Cardao (p ( q (p q ( q y = + + q + La soluzioe può presetare radii reali e radii immagiarie. Ulteriori dettagli possoo essere reperiti i vari siti web. Soo iteressati, i partiolare i segueti url: (5) equazioe_di_terzo_grado.html Soluzioe partiolare per il aso a radii tutte reali Cosideriamo il aso partiolare a radii reali a b =0 (6) Il sego egativo dei oeffiieti è stato itrodotto per avere la stessa struttura dell equazioe he si ottiee i geerale ella riera delle tesioi o delle deformazioi priipali. I questo aso a, b e orrispodoo, rispettivamete al primo, seodo e terzo ivariate. Coeretemete o il metodo geerale, la soluzioe rihiede la determiazioe di due parametri di trasformazioe, he i questo aso divetao p = b a, q= 7 a ab (7) mediate questi oeffiieti è possibile risrivere l equazioe elimiado il termie quadratio. La soluzioe, essedo erti del fatto he le radii soo reali, possoo esssere otteute itroduedo i segueti ulteriori parametri r = p θ = aros 4q r θ θ +π θ +4π f = os, f = os, f = os he permettoo di determiare la soluzioe ome (8) (9)

5 metre le ulteriori ostati r e θ assumoo i segueti valori 4 Esempio =rf + a (0) =rf + a () =rf + a () Costruiamo per omodità u equazioe ubia di ui oosiamo a priori le radii, he assumiamo essere le segueti =5, =, = () La ostruzioe dell equazioe avviee, sempliemete, mediate il prodotto di tre moomi Lo sviluppo dell equazoe forise i segueto risultati ( ( + ) = ( ( + ) ( 5) ( ) ( + ) = 0 (4) = = 0 (5) La forma fiale dell equazioe, da utilizzarsi el ostro aso ome equazioe di parteza per riavare le radii o il metodo delieato al paragrafo preedete, è quidi r = p = θ =aros ( ) = 4.6 (0) 4q r = aros = () metre per quato riguarda f, f ed f si ottiee θ f = os = os = () θ +π π f = os = os = () θ +4π π f = os = os =0.409 (4) Le radii dell equazioe ubia soo quidi le segueti = rf + a = =5 (5) = rf + a = = (6) = rf + a = = (7) he oiidoo, orrettamete, o i valori di parteza = 0 (6) Coordemete o i segi del aso partiolare, i oeffiieti soo pari a a =6, b=, = 0 (7) Le ostati p e q divetao quidi p = b a = 6 = (8) q = 7 a ab = ( 0) = = = = (9) 7

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11 TABELLA DERIVATE y = k y' = 0 y = y' = y = y' =! y= { f ( ) }! y' = { f ( ) } f'( ) y = y' = y = f ( ) y = f ( ) f '( ) y = y' = y = f ( ) y' =!! f ( ) m y = m y' = y { f } m = ( )! m! m f ( ) { } y = si y' = os y = si f() y' = os f() f'() y = os y' = - si y = os f() y' = - si f() f'() y = tg y' = y = tg f() y' = '( ) os os f ( ) f y = tg y' =! y =tg f() y' =! si si f f '( ( ) ) y = arsi y' = y = arsi f() y' =!! f ( ) { } y = aros y' =!! y = aros f() y' =!! { f ( ) } y = artg y' = + y = artg f() y' = { ( )} + f y = artg y' =! + y =atg f() y' =! + { f( ) } y = log a y' = log a e y = log a ( ) f y' = log a e f ( ) y = log a f ( ) y' = f( ) la y = l y' = y = l f() y' = f f '( ( ) ) y = a y' = a l a y = a f ) f ( y' = a l a y = e y' = e y = e f ) f ( ) y' = e y = y' = ( l ) + y = { f ( ) } y' = { }! ( )! ( ) #!( ) f ( )!'( )l f( ) + f ( ) f '( & $ )' % (

12 TABELLA INTEGRALI 0! d = d = + k! f( ) = k! f ( ) d + d =,( ) + + #$ ' + [ f( ) ]! f ( ) d = [ f( ) ] + + d f ' ( ) d = + d = f ( ) + f ( ) si d = $ os + se f ( )! f'( ) d = $ os f ( ) + os d = se + os f( )! d = se f( ) + d = tg + d tg f os = ( ) + os f ( ) d = $ tg + d tg f se ( ) = $ + se f ( ) d = arsi+ d = arsi f ( ) + $ $ f ( ) d = artg + + d = l + + [ ] [ f ( ) ] d = artg f ( ) + f d = l ( ) f ( ) + e d = e + e f ( ) d = e f ( ) + a a d = + la m+ m ( + a) ( + a) d = + m + d = artg + a + a a + ( a + b) ( a + b) d = + b ( + ) + = + $ d l $ f ( ) f ( ) a a d = + l a + ( a + b) ( a + b) d = + b ( + ) d = $ + ( a + b) ba ( + b) d = $ + ( a + b) ba ( + b) = tg + + os

13 =! +! os d tg tg d =! los + tg d = l si + d = ltg + si d = os + l! si si + aros d = aros!! + artgd = artg + l + + arsi d = arsi +! + artg d = artg! l+ + d = l a + b + a + b b d $ b = & # a + b ab % a ' ) + ( d artg a b d ab + b = l +! ab ab! b a a d a d! =! + arsi + a = arsi + a! a a a + d = a + + l + a + + a + b d = ( a + b) + b d d = l + a ± + = a ± a + b b a + b + d! =! l + + ld = l! + l l d =!! + os ( os ) d = + si + si d = (! si os ) + os (! a) d = ( + si(! a) os(! a) + d tg d $! ' = l + ltg si =! &! ) + os % 4 (