TECNICHE DI ANALISI DEI DATI IN ECOLOGIA

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "TECNICHE DI ANALISI DEI DATI IN ECOLOGIA"

Transcript

1 TECNICHE DI ANALISI DEI DATI IN ECOLOGIA Michele Scardi Dipartimeto di Biologia Uiversità di Roma Tor Vergata Via della Ricerca Scietifica 0033 Roma home page: Versioe.5, geaio 009

2 Tavola dei coteuti. Teciche di aalisi... dei dati i Ecologia.... Itroduzioe.... Misure di distaza e di similarità Coefficieti di similarità Geeralità Coefficieti biari Coefficieti semi-quatitativi e quatitativi Coefficieti di distaza Geeralità Distaze Dissimilarità metriche Coefficieti di dipedeza Teciche di clusterig Note itroduttive Clusterig gerarchico Geeralità Algoritmo del legame sigolo Algoritmo del legame completo Algoritmi di legame itermedio Algortimi di legame medio Clusterig o gerarchico Clusterig vicolato Teciche di ordiameto Aalisi delle Compoeti Pricipali Aalisi delle Coordiate Pricipali.... 3

3 4.3. Aalisi Fattoriale delle Corrispodeze Aalisi delle Correlazioi Caoiche Aalisi di serie spaziali e temporali Autocorrelazioe Test di Matel Iterpolazioe Note itroduttive Le teciche di iterpolazioe Il krigig: teoria Il krigig: ote applicative Diversità L'idice di Shao Diagrammi rago-frequeza e modello di Zipf-Madelbrot Bibliografia APPENDICE... 6 Tests su proporzioi... 6 MRPP... Idicator species aalysis Aalisi Caoica delle Corrispodeze Il test U di Ma-Whitey Il test di Kolmogorov-Smirov Multidimesioal Scalig No-metrico ANOSIM... Il coeffciete di Spearma... 7 Rus test... Cross-associatio... 7 Tests su proporzioi... 6

4 MRPP Idicator species aalysis Aalisi Caoica delle Corrispodeze Il test U di Ma-Whitey Il test di Kolmogorov-Smirov Multidimesioal Scalig No-metrico ANOSIM (ANalysis Of SIMilarities)... 7 Il coeffciete di Spearma... 7 SIMPER Rus test Cross-associatio... 75

5 . Itroduzioe. Gli isiemi di dati che vegoo abitualmete prodotti ell'ambito delle attività di ricerca e/o moitoraggio svolte su ecosistemi marii o terrestri hao la caratteristica di essere quasi sempre di tipo multivariato. E' molto raro, ifatti, che el corso di ua campaga di campioameto si focalizzi l'attezioe su ua sola variabile, ache ei casi i cui le operazioi di campo vegoo svolte a fii estremamete specifici. Le ragioi di ciò soo molteplici, ma certamete u ruolo primario è quello giocato dall'elevato costo delle operazioi di campo e dalla atura imperfetta e icompleta delle ostre effettive coosceze ecologiche. Se il primo motivo spige ad ua acquisizioe "a tappeto" di tutti i dati rilevabili su ua sigola stazioe, il secodo è resposabile della atura tipicamete ridodate dei piai di campioameto per ciò che riguarda il umero di variabili di cui si prevede la misura. Ifatti, poichè o soo ote a priori le evetuali correlazioi fra di esse, o è possibile defiire u filtro a mote delle operazioi di campo. I geerale u isieme tipico di dati ecologici può essere rappresetato i forma matriciale. Le righe della matrice corrispodoo al vettore di tutte le misure previste per u campioe, per ua osservazioe o per u oggetto. Al cotrario, i vettori-coloa di questa stessa matrice coterrao l'isieme di tutti i valori relativi ad ogi sigolo descrittore fra quelli previsti. Evidetemete è del tutto plausibile che si verifichi il caso opposto e che le righe corrispodao ai vettori-descrittore. I liea di massima, comuque, si tede ad orgaizzare i dati, per motivi pratici e, i qualche caso, ache computazioali, i modo da avere u umero di righe maggiore del umero delle coloe. Ai fii della compresioe di quato esposto ei capitoli che seguoo, si tega presete che si è preferito il termie descrittore a quello, più limitativo, di variabile. Aalogamete, i termii osservazioe ed oggetto soo stati preferiti ad altri più specifici, come campioe, prelievo, misura, etc.. pag.

6 La maggior parte delle teciche di aalisi dei dati presetate i questo cotesto hao essezialmete fialità descrittive e di sitesi dell'iformazioe. Solo i alcui casi, ifatti, è possibile ed utile, el campo della ricerca ecologica, ricorrere ad ua impostazioe basata su test formali di ipotesi. La maggior difficoltà, i questo seso, sta el fatto che i dati ecologici assai raramete possoo soddisfare tutte le assuzioi ecessarie a questo tipo di approccio. D'altra parte, lo scopo dell'aalisi dei dati i Ecologia è essezialmete quello di forire u supporto ad u percorso cooscitivo che si basa i larga misura sull'osservazioe piuttosto che sulla sperimetazioe i seso stretto: duque, la possibilità di formulare delle ifereze iformali è molto spesso più utile della possibilità di testare ipotesi formali. Le teciche di aalisi che vegoo presetate ei capitoli segueti costituiscoo u sottoisieme rappresetativo di quello, più vasto, che raccoglie tutti gli strumeti dell'ecologia Numerica. I molti casi l'esposizioe fa riferimeto a problemi correti el campo della ricerca ecologica, piuttosto che ad u eccesivo formalismo. Ioltre, si è preferito omettere la descrizioe di tutte le possibili variati delle sigole teciche, poichè la scelta dell'alterativa più corretta i fuzioe del problema da trattare costituisce u argometo di complessità superiore a quello compatibile co le fialità di queste pagie. Per lo stesso motivo, si è preferito o affrotare il problema della trasformazioe dei dati. Per quato riguarda questi aspetti ed altri acora fra quelli che o vegoo trattati, si rimada il lettore che desideri u approfodimeto a testi specifici di maggior respiro (Davis, 986; Legedre & Legedre, 983, 998; Pielou, 984; etc.). Ifie, va sottolieato il fatto che queste pagie soo state assemblate raccogliedo ed adattado materiale prodotto i occasioe di corsi e semiari dal 986 ad oggi, seza però essere mai sottoposte ad ua approfodita revisioe. Al di là della possibilità di icotrare piccoli errori, ciò implica che lo spazio dedicato ai diversi argometi o e rispecchia ecessariamete l'effettiva rilevaza. pag.

7 . Misure di distaza e di similarità... Coefficieti di similarità.... Geeralità. I coefficieti di similarità foriscoo ua misura del grado di somigliaza fra osservazioi, campioi, oggetti o altre etità ed hao valori che variao ell'itervallo compreso fra 0 ed. Tali valori limite corrispodoo, rispettivamete, al caso di osservazioi del tutto disgiute, prive di elemeti comui, ed al caso di osservazioi che soddisfao pieamete il criterio utilizzato per misurare la similarità (il che o implica che si tratti di osservazioi quatitativamete idetiche fra loro). Fra i molti coefficieti dispoibili ua importate distizioe è quella che deve essere fatta fra coefficieti simmetrici e coefficieti asimmetrici. All'itero di u vettore di misure relativo ad ua osservazioe può accadere che per uo o più descrittori siao stati rilevati dei valori ulli. E' evidete che i alcui casi tali valori corrispodoo ad u dato certo, almeo ei limiti dell'errore proprio dei metodi di campioameto e di determiazioe (es. u certo iquiate è assete), metre i altri casi lo zero idica piuttosto l'asseza di iformazioe (es. ua certa specie o è stata riveuta i u certo campioe). Nel primo caso la scelta dovrà cadere su u coefficiete simmetrico, ai fii del cui calcolo i dati ulli hao il medesimo valore comparativo degli altri, metre el secodo caso dovrao essere utilizzati coefficieti asimmetrici, i modo tale da evitare di defiire ua elevata similarità sulla base di iformazioi o certe (quale ad esempio, la simultaea asseza di u elevato umero di specie i due stazioi che hao poche o essua specie i comue). Nel seguito di questo capitolo vegoo presetati alcui coefficieti di similarità, scelti fra quelli il cui impiego i campo ecologico è più frequete. E' evidete che possoo esistere dei casi specifici i cui u altro coefficiete, o compreso fra quelli descritti i questo cotesto, potrebbe risultare più adatto ad affrotare ua particolare pag. 3

8 problematica, ma è bee sottolieare il fatto che la scelta di u coefficiete di similarità rappreseta comuque, i qualche misura, u passo arbitrario i ua procedura di aalisi. Proprio per questo motivo è cosigliabile affiare le proprie esperieze su u isieme relativamete piccolo di coefficieti, piuttosto che spaziare su tutta la gamma di quelli oti seza ua motivazioe più che solida.... Coefficieti biari. Ai fii della descrizioe dei coefficieti biari è utile defiire i quattro casi possibili el cofroto fra gli elemeti corrispodeti di due vettori-osservazioe. Tale defiizioe può essere rappresetata i forma schematica come segue: Osservazioe j 0 Osservazioe k a b 0 c d p a + b + c + d Duque, co a si idica il umero di elemeti i comue fra due vettori-osservazioe, metre co d si idica il umero di elemeti ulli (asseti) i etrambi e co b e c il umero di elemeti o ulli (preseti) esclusivamete ell'uo e ell'altro vettore. Co p, ifie, si idetifica la somma dei quattro valori appea citati, cioè il umero totale di elemeti (descrittori) dei vettori-osservazioe. Fra i coefficieti biari di tipo simmetrico più adatti ad u impiego i campo ecologico possoo essere citati il coefficiete di cocordaza semplice (Sokal & Micheer, 958) e due coefficieti da esso derivati. Il pag. 4

9 coefficiete di cocordaza semplice rappreseta il rapporto fra il umero di elemeti che hao il medesimo valore (e quidi cocordati) ed il umero totale di elemeti: a + d S jk p Poichè questo coefficiete o distigue fra casi di cocordaza su valori e su valori 0 (rispettivamete co-preseze e co-asseze), il criterio da utilizzare per la codifica biaria dell'iformazioe può essere cosiderato del tutto libero. Il coefficiete proposto da Rogers & Taimoto (960) rappreseta ua variate di quello di cocordaza semplice poichè rispetto a quest'ultimo attribuisce u peso doppio alle discordaze: S a + d jk a + b + c + d Ua variazioe sullo stesso tema, ma cocettualmete opposta, è idicata da Sokal & Seath (963) ed attribuisce u peso doppio alle cocordaze: a + d S jk a + b + c + d Fra i coefficieti asimmetrici, il cui uso è da preferirsi quado si ha a che fare co liste di specie derivate da osservazioi di campo i cui la rappresetatività del campioe o è del tutto certa, alcui fra quelli più frequetemete utilizzati costituiscoo la diretta trasposizioe di quelli fi qui descritti al caso i cui lo zero si deve itedere come macaza di iformazioe piuttosto che come asseza o come valore ullo di u descrittore. Ifatti, il coefficiete di Jaccard (900, 90, 908) è simile a quello di cocordaza semplice, ma o tiee coto delle asseze: S a jk a + b + c pag. 5

10 e corrispode quidi al rapporto fra cocordaze e umero di elemeti o ulli dei vettori-osservazioe. Il coefficiete di Sørese (948) è stato probabilmete il più utilizzato i Ecologia Maria ed è strettamete imparetato co il coefficiete simmetrico di Sokal & Seath (963) appea descritto: S a jk a + b + c Si oti come, rispetto al coefficiete di Jaccard, il coefficiete di Sørese attribuisce u peso doppio alle cocordaze. Nel caso del cofroto fra liste di specie, che rappreseta il tipico ambito di applicazioe di queste misure di similarità, esso efatizza il criterio di asimmetricità assegado u peso doppio ai casi di co-preseza. Questi ultimi rappresetao, come è evidete, i soli casi certi di cocordaza a causa della atura aleatoria del dato di asseza, che spesso è dovuto al sottodimesioameto del campioe prelevato. E' iteressate rilevare che Sokal & Seath (963) propogoo ua versioe asimmetrica ache del terzo dei coefficieti simmetrici precedetemete descritti, quello di Rogers & Taimoto: a S jk a + b + c Tuttavia, l'uso di questo coefficiete è poco iteressate, per u motivo esattamete opposto a quello precedetemete esposto a proposito del coefficiete di Sørese. Ifatti, o sembra giustificata la scelta di u coefficiete asimmetrico se poi si attribuisce ai casi di discordaza (ifluezati dalle asseze) u peso doppio rispetto ai casi di cocordaza, che soo determiati co certezza...3. Coefficieti semi-quatitativi e quatitativi. I coefficieti di similarità basati su dati quatitativi veri e propri o soo, i realtà, molto umerosi, poichè ei casi i cui è ecessario trattare questo tipo di dati molto spesso si preferisce l'uso di ua misura pag. 6

11 di distaza. Esistoo, comuque, alcui coefficieti sicuramete iteressati, i quali meritao ua breve descrizioe. Il trattameto di dati di tipo semi-quatitativo (es. puteggi arbitrari) può essere affrotato ella maggior parte dei casi utilizzado i coefficieti che vegoo descritti i questo paragrafo, metre per ciò che riguarda isiemi di dati ai cui descrittori è applicata ua codifica di tipo o ordiale (es. colore, forma, etc.) si deve cosiderare l'opportuità di tradurre l'iformazioe dispoibile i forma biaria, utilizzado poi u coefficiete biario simmetrico. I alterativa, è possibile applicare il coefficiete di cocordaza semplice, descritto el paragafo precedete, ed iteso come rapporto fra umero di cocordaze (uguale codifica di u descrittore i due osservazioi) e umero di descrittori. Ua iteressate possibilità è quella offerta dal coefficiete di Gower (97), che è formulato i modo tale da trattare ciascu descrittore di u isieme multivariato i maiera ottimale i rapporto alla sua atura. Questo coefficiete corrispode alla media delle similarità calcolate idividulamete per ogi descrittore dispoibile i etrambe le osservazioi. Ciò è possibile grazie all'uso di ua variabile ausiliaria, detta delta di Kroecker, che assume u valore uitario el caso i cui i dati soo dispoibili ed u valore ullo i caso cotrario. E' evidete che questo coefficiete si presta assai bee al trattameto di isiemi di dati i cui uo o più valori risultao macati. La formulazioe del coefficiete di Gower è la seguete: S jk p i p i w s i w i i dove w i ed s i soo rispettivamete il delta di Kroecker e la similarità relativi all'i-mo descrittore per le due osservazioi cosiderate. La formulazioe delle similarità per descrittore s può essere variata a piacimeto i fuzioe della atura dei dati dispoibili e del cotesto da cui soo estratti, ma, i origie, l'autore propoeva quato segue: pag. 7

12 per i descrittori biari s i ei casi di cocordaza e s i 0 altrimeti, co il caso della cocordaza da doppio zero che viee trattato i accordo co il sigificato dello zero (valore ullo o macaza di iformazioe) per i descrittori semi-quatitativi ordiali e quatitativi si assume s i - x ij -x ik R i - dove x ij e x ik soo i valori dell'i-mo descrittore elle osservazioi j e k ed R i è l'itervallo di variazioe dell'i-mo descrittore ell'isieme di osservazioi dispoibili o ella popolazioe da cui soo estratte queste ultime. Per ciò che riguarda i coefficieti di tipo asimmetrico va segalata la possibilità di applicare, i forma modificata, coefficieti già descritti. Si cosideri, ad esempio la possibilità di trattare isiemi di dati semiquatitativi esprimedo la similarità come il rapporto fra il umero di descrittori i cui si osserva cocordaza ed il umero totale di descrittori dimiuito del umero di doppi zeri: la similarità che si ottiee, i caso di codifica biaria, è esattamete quella di Jaccard. Il coefficiete di Steihaus (Motyka, 947) è legato da ua aaloga relazioe al coefficete biario di Sørese ed è oto, se moltiplicato per 00, ache come "similarità percetuale": S jk p i p mi( x, x ) i x ij ij + x ik ik Il complemeto a uo del coefficiete di Steihaus, ovvero la dissimilarità di Steihaus coicide co la distaza di Bray-Curtis, che è molto più comue elle applicazioi ecologiche. Il coefficiete di Kulczyski (98) ha ua formulazioe abbastaza simile e corrispode alla media dei rapporti fra somma dei miimi e totale per le due osservazioi cosiderate: pag. 8

13 S jk p i mi( x, x ) p i x ij ij ik + p i mi( x, x p i x ij ik ik ) Ua ulteriore ed iteressate variazioe è quella rappresetata dal coefficiete di Rudjichka (Goodall, 978), che, espresso seza essere trasformato i percetuale, ha la seguete formulazioe: S jk p i p i mi( x, x ) ij ij ik max( x, x ) ik Il pregio di tale coefficiete sta el fatto che il suo complemeto all'uità, a differeza di quato avviee per i due coefficieti descritti i precedeza, corrispode ad ua misura di distaza di tipo metrico. Sia il coefficiete di Kulczyski, sia quello di Rudjichka, soo di tipo asimmetrico e si prestao a trattare dati quatitativi ache i forma o ormalizzata... Coefficieti di distaza.... Geeralità. I coefficieti di distaza foriscoo ua misura del grado di associazioe fra due osservazioi, restituedo u valore ullo per osservazioi idetiche ed u valore variabile da coefficiete a coefficiete per osservazioi totalmete differeti. Le misure di similarità possoo essere trasformate i distaza semplicemete prededoe il complemeto a. I questo caso, tuttavia, al termie distaza si preferisce il termie dissimilarità. La distizioe o è di tipo esclusivamete formale, poichè molte misure di dissimilarità o godoo delle proprietà metriche, le quali, se pag. 9

14 soddisfatte, cosetoo di ordiare le osservazioi i uo spazio, per l'apputo, di tipo metrico. Le proprietà che devoo essere soddisfatte perchè u coefficiete di distaza o dissimilarità sia di tipo metrico soo le segueti:. D jk 0 se jk;. D jk >0 se j k; 3. D jk D kj ; 4. D jk +D kh D jh (assioma della diseguagliaza triagolare). I geerale è la quarta ed ultima proprietà quella che risulta discrimiate ed il fatto che sia o meo soddisfatta distigue le misure metriche da quelle cosiddette semimetriche. I questo cotesto, ai fii di ua maggiore chiarezza, sarà utilizzato il termie di distaza solo per i coefficieti che soddisfao le proprietà metriche, metre sarà comuque preferito il termie di dissimilarità per quelli che soo derivati da misure di similarità.... Distaze. I coefficieti di distaza soo stati sviluppati per trattare dati di tipo quatitativo e, co poche eccezioi, trattao lo zero come ua misura e o come ua macaza di iformazioe. La più familiare fra le misure di distaza è certamete quella euclidea, che corrispode esattamete a quella che si può calcolare o misurare ello spazio fra due oggetti fisici: D jk p i ( x ij x ik ) E' importate rilevare il fatto che il quadrato della distaza euclidea, che o di rado viee utilizzato al posto di quest'ultima, è ua semimetrica. E' evidete che la scala dei sigoli descrittori è molto ifluete el determiare ua distaza euclidea fra due osservazioi. E' duque pag. 0

15 ecessario riservare questa scelta ai casi i cui i descrittori soo dimesioalmete omogeei o a quelli i cui essi vegoo cetrati e stadardizzati, al fie di elimiare l'effetto di evetuali differeze di scala. Proprio al fie di ovviare a questo icoveiete Orloci (967) propoe di calcolare la distaza euclidea dopo aver ormalizzato i vettori-osservazioe i modo tale che la loro lughezza sia uitaria. Questa distaza è detta "della corda" perchè la misura che si ottiee è proprio quella della corda che uisce due puti-osservazioe all'itero di ua ipersfera di raggio uitario. Questa distaza può ache essere calcolata direttamete dai dati o ormalizzati utilizzado la seguete formulazioe: D jk i p p i x x ij x ik p ij i x ik La distaza della corda varia da 0, per due vettori idetici per profilo, cioè proporzioali fra loro, a p /, dove p è il umero dei descrittori. Ua soluzioe molto flessibile è quella costuita dalla metrica di Mikowski: D jk p r i x ij x ik r dove r può essere assegato i maiera teoricamete arbitraria. I realtà il caso r corrispode ad ua distaza euclidea ed u valore di r maggiore di questo, i geerale, o è desiderabile per o efatizzare l'effetto della diversa scala dei descrittori. Più iteressati soo i valori di r iferiori a questa soglia e, fra questi, u caso particolare è quello che si verifica per r. I questo caso la distaza che si ottiee è ota come metrica di Mahatta: pag.

16 D jk p i x ij x ik Il ome di questa misura di distaza è dovuto al fatto che essa misura la distaza fra due puti i u piao come la somma della distaza i ascissa e di quella i ordiata. Quest'ultima corrispode al percorso più breve che uisce due puti muovedosi i ua città le cui strade si icrociao ad agolo retto, come avviee, per l'apputo, a Mahatta. La metrica di Mahatta preseta gli stessi problemi legati all'iflueza della scala dei descrittori di cui si è detto a proposito della metrica euclidea. Ua delle variati che, laddove ecessario, la correggoo i questo seso è quella proposta da Lace & Williams (966) co il ome di metrica di Caberra: D ij p x x ij ik i ( x + x ) ij ik I doppi zeri, se preseti, devoo essere esclusi dal calcolo per evitare problemi di idetermiazioe. Pur seza ormalizzare i dati, questa distaza assega alla differeza fra i valori che u descrittore assume i due osservazioi u peso iversamete proporzioale alla somma dei valori stessi: duque, la medesima differeza ha u peso maggiore se è osservata fra due valori piccoli. Uo degli icoveieti di questa soluzioe, comuque, è costituito dal fatto che, se uo dei due valori relativi ad u dato descrittore è uguale a zero, allora il cotributo alla distaza totale sarà comuque pari a, cioè il massimo possibile. La metrica di Caberra, duque, si presta meglio a trattare serie di dati i cui esista eterogeeità di scala fra i descrittori seza, però, che siao preseti molti valori ulli. Ua ulteriore variate della metrica di Mahatta è quella proposta da Czekaowski (909) come "differeza media dei descrittori": D jk p p i x ij x ik pag.

17 Questa misura di distaza si presta all'esclusioe dei casi i cui si osserva u doppio zero, laddove ciò sia ecessario, ma risete comuque dell'evetuale eterogeeità di scala dei descrittori. Ifie, u coefficiete utilizzato ua certa frequeza i applicazioi ecologiche è quello di Bray-Curtis (Bray & Curtis, 957). Se s è il umero dei taxa preseti, esso si ottiee come: D jk s i s ( xij + xik ) i x ij x ik..3. Dissimilarità metriche. Come già acceato i precedeza, i coefficieti di similarità possoo essere covertiti i misure di distaza o, più propriamete, di dissimilarità. Ciò si effettua semplicemete cosideradoe il complemeto ad (cioè: D jk - S jk ). No tutte le dissimilarità, però, godoo di proprietà metriche, poichè soo molte quelle per cui l'assioma della diseguagliaza triagolare o è verificato: i questo caso si usa la defiizioe di semimetrica o pseudometrica. Soo dissimilarità semimetriche, ad esempio, quelle derivate dai coefficieti di similarità di Sørese, di Sokal & Seath, di Steihaus e di Kulczyski. La dissimilarità derivata dal coefficiete di Rudjichka, al cotrario, è di tipo metrico, così come quella derivata dal coefficiete di Jaccard, che è ota ache come distaza di Marczewski-Steihaus (Orloci, 978) e che può essere calcolata direttamete come segue: D a b + c jk a + b + c a + b + c Ache la similarità di Gower, ifie, può essere trasformata i ua dissimilarità metrica, così come quella di Rogers & Taimoto (sia ella forma simmetrica, sia i quella asimmetrica) e come l'idice di cocordaza semplice. pag. 3

18 Il pricipale vataggio delle dissimilarità metriche è costituito dal fatto che esse si comportao esattamete come delle misure di distaza i uo spazio euclideo. Ciò rede più ituitiva la loro applicazioe e rede possibile l'applicazioe di alcue teciche di aalisi (es. Aalisi delle Coordiate Pricipali, vedi 4..) che o possoo essere applicate alle semimetriche..3. Coefficieti di dipedeza. Così come i coefficieti di similarità e di distaza descrivoo le relazioi che esistoo fra le osservazioi, i coefficieti di dipedeza sitetizzao quelle che esistoo fra descrittori. Esistoo diversi tipi di coefficieti di dipedeza, fra i quali è possibile scegliere quello più adatto alla atura dei dati da trattare. U caso particolare è quello delle relazioi fra specie aimali o vegetali, che possoo essere rappresetate mediate dei coefficieti di associazioe. A differeza delle misure di similarità e distaza, comuque, i coefficieti di dipedeza possoo essere sottoposti a test statistici, sempre che la distribuzioe dei descrittori studiati lo coseta. I geerale, tali tests hao come fie la verifica dell'ipotesi ulla di idipedeza fra i descrittori. Per il trattameto di dati quatitativi i coefficieti di dipedeza di gra luga più utilizzati soo certamete la covariaza e la correlazioe di Pearso. La covariaza fra due descrittori si può otteere, sulla base di due vettori di osservazioi, come: s jk i ( x ij x j )( x ik x ) k Si oti come il calcolo della covariaza richiede che sia dispoibile u parametro statistico della distribuzioe di frequeza dei descrittori, pag. 4

19 cioè la media. E' evidete, ioltre, che el caso particolare che si determia se jk la formula appea riportata restituisce la variaza di u descrittore stimata su osservazioi. I altre parole, s jj s j. Va sottolieato il fatto che la sommatoria degli scarti si divide per azichè per - el caso i cui la coveriaza sia riferita ad ua popolazioe (i seso statistico) ivece che ad u campioe. Il coefficiete di correlazioe r di Pearso è strettamete legato alla covariaza ed esprime l'itesità della relazioe lieare che lega due descrittori. Esso o è altro che ua covariaza calcolata su dati stadardizzati e può essere facilmete derivato, el caso di dati o stadardizzati, dalla covariaza e dalle variaze dei due descrittori: r jk s s jk s j k Ovviamete è ache possibile calcolare direttamete la correlazioe r di Pearso fra due descrittori, partedo dai dati brutierror! Objects caot be created from editig field codes.: r jk i i ( x ( x ij ij x x ) j j )( x i ik ( x x ) ik k x ) k Così come la covariaza, ache la correlazioe r di Pearso è ua misura parametrica di dipedeza, i cui parametri soo la media e la deviazioe stadard dei descrittori. Il coefficiete di correlazioe r di Pearso varia da - a : questi limiti si ottegoo per serie di dati esattamete proporzioali, rispettivamete i maiera iversa e diretta. Il coefficiete di correlazioe r di Pearso può essere sottoposto ad u test per verificare se esso differisce sigificativamete dallo zero. A questo fie si calcola la probabilità di otteere u valore di r pari a quello osservato el caso i cui i due descrittori siao totalmete pag. 5

20 idipedeti fra loro e si cosidera sigificativa la correlazioe se questa probabilità è sufficietemete piccola (es. P<0.05). Per far ciò si utilizza il seguete rapporto, che è distribuito come u t di Studet: t r r La probabilità di otteere u valore di r pari a quello osservato i asseza di correlazioe lieare fra i descrittori è quella associata al valore di t otteuto, co - gradi di libertà. Si tega presete, comuque, che la o sigificatività della correlazioe lieare o implica l'idipedeza dei descrittori, i quali possoo essere legati da relazioi di ordie superiore. Ache el caso di descrittori semiquatitativi è possibile utilizzare dei coefficieti di dipedeza. I particolare, si presta molto bee a questo scopo il coefficiete di correlazioe di rago r' (o ρ) di Spearma: questo coefficiete o-parametrico può essere applicato el caso di relazioi di cui deve essere verificata la mootoicità, ache se di tipo o lieare. La "robustezza" della correlazioe di rago i codizioi di o liearità delle relazioi fra descrittori, molto frequeti i Ecologia, è la caratteristica che rede particolarmete iteressate l'applicazioe di questo tipo di coefficiete. Il coefficiete di correlazioe r' di Spearma corrispode esattamete ad u coefficiete di Pearso calcolato sui raghi dei dati azichè sui dati bruti. Esso può però essere otteuto più direttamete come segue: r jk 6 i 3 d i dove d è la differeza fra il rago della i-ma osservazioe per il descrittore j e quello per il descrittore k. pag. 6

21 Se per etrambi i descrittori o esistoo due o più osservazioi co il medesimo rago, allora il valore che si ottiee è idetico a quello del coefficiete r di Pearso. Tuttavia, el caso i cui l'iformazioe è di tipo semiquatitativo ed è codificata mediate u piccolo umero di puteggi è ievitabile che molte osservazioi abbiao lo stesso puteggio e quidi lo stesso rago. Ciò rede ecessaria l'applicazioe di ua correzioe che tega coto del umero di casi assegati per ciascu descrittore a ciascu rago. La formulazioe del coefficiete r' di Spearma diveta allora: r jk 3 3 m h ( q m h 3 hj ( q q 3 hj hj q ) hj ) m h ( q 3 3 hk q hk ) m h ( q 3 hk i d q i hk ) dove, oltre a quato descritto per la formulazioe di base, m è il umero di raghi e q hj e q hk soo il umero di osservazioi di rago h per il descrittore j e per quello k. Per ciò che riguarda il test di sigificatività del coefficiete r' di Spearma è ecessario fare riferimeto a delle apposite tavole, poichè, malgrado le otevoli affiità co il coefficiete r di Pearso, o è possibile utilizzare il medesimo approccio. Ifatti, la codizioe di ormalità della popolazioe bivariata da cui soo estratti i campioi o è certamete soddisfatta el caso di dati semiquatitativi. U caso particolare i cui è ecessario disporre di u coefficiete di dipedeza è quello dello studio delle associazioi di specie. I questo caso i dati soo espressi tipicamete i forma biaria, poichè al cetro dell'attezioe o soo i rapporti quatitativi, ma piuttosto la tedeza di più specie a ricorrere cogiutamete. I questo cotesto è possibile impiegare alcui dei coefficieti di similarità asimmetrici già descritti a proposito dei dati biari. La scelta di coefficieti asimmetrici è motivata dal fatto che la co-asseza di specie o costituisce ua iformazioe rilevate ai fii della defiizioe di evetuali associazioi. pag. 7

22 I particolare, possoo essere cosiderati dei coefficieti di dipedeza fra specie sia il coefficiete di Jaccard (cfr. Reyssac & Roux, 97), sia quello di Sørese, che i questo caso viee idicato co il ome di idice di coicideza (Dice, 945). U coefficiete messo a puto espressamete per lo studio di associazioi di specie è quello proposto da Fager & McGowa (963): S jk a ( a + b)( a + c) a + c ( c b) Si oti come il secodo termie rappreseta ua correzioe per impedire che le specie rare risultio fortemete associate: esso, ifatti, dimiuisce il valore del coefficiete di ua quatità tato maggiore quato più è rara la specie più frequete fra le due esamiate. pag. 8

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

Analisi Fattoriale Discriminante

Analisi Fattoriale Discriminante Aalisi Fattoriale Discrimiate Bibliografia Lucidi (materiale reperibile via Iteret) Lauro C.N. Uiversità di Napoli Gherghi M. Uiversità di Napoli D Ambra L. Uiversità di Napoli Keeth M. Portier Uiversity

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1).

Dettagli

Le carte di controllo

Le carte di controllo Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità

Dettagli

Metodi statistici per l analisi dei dati

Metodi statistici per l analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti Esempio itroduttivo

Dettagli

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13 Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4

Dettagli

Approfondimenti di statistica e geostatistica

Approfondimenti di statistica e geostatistica Approfodimeti di statistica e geostatistica APAT Agezia per la Protezioe dell Ambiete e per i Servizi Tecici Cos è la geostatistica? Applicazioe dell aalisi di Rischio ai siti Cotamiati Geostatistica La

Dettagli

Metodi statistici per l'analisi dei dati

Metodi statistici per l'analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

Selezione avversa e razionamento del credito

Selezione avversa e razionamento del credito Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del

Dettagli

Analisi statistica dell Output

Analisi statistica dell Output Aalisi statistica dell Output IL Simulatore è u adeguata rappresetazioe della Realtà! E adesso? Come va iterpretato l Output? Quado le Osservazioi soo sigificative? Quati Ru del Simulatore è corretto effettuare?

Dettagli

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)

Dettagli

Il test parametrico si costruisce in tre passi:

Il test parametrico si costruisce in tre passi: R. Lombardo I. Cammiatiello Dipartimeto di Ecoomia Secoda Uiversità degli studi Napoli Facoltà di Ecoomia Ifereza Statistica La Verifica delle Ipotesi Obiettivo Verifica (test) di u ipotesi statistica

Dettagli

Complementi di Matematica e Statistica

Complementi di Matematica e Statistica Uiversità di Bologa Sede di Forlì Ao Accademico 009-00 Complemeti di Matematica e Statistica (Alessadro Lubisco) Aalisi delle compoeti pricipali INDICE Idice... i Aalisi delle compoeti pricipali... Premessa...

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docete: dott. F. Zucca Esercitazioe # 4 1 Distribuzioe Espoeziale Esercizio 1 Suppoiamo che la durata della vita di ogi membro di

Dettagli

Distribuzione di un carattere

Distribuzione di un carattere Distribuzioe di u carattere Dopo le fasi di acquisizioe e di registrazioe dei dati, si passa al loro cotrollo e quidi alle loro elaborazioe. Si defiisce distribuzioe uitaria semplice di u carattere l elecazioe

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi

Dettagli

Introduzione alla Statistica descrittiva. Definizioni preliminari. Definizioni preliminari. Fasi di un indagine statistica. Tabelle statistiche

Introduzione alla Statistica descrittiva. Definizioni preliminari. Definizioni preliminari. Fasi di un indagine statistica. Tabelle statistiche Itroduzioe alla Statistica descrittiva Defiizioi prelimiari È la scieza che studia i feomei collettivi o di massa. U feomeo è detto collettivo o di massa quado è determiato solo attraverso ua molteplicità

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE 5.. Itroduzioe La Teoria della Similitudie ha pricipalmete due utilizzi: Estedere i risultati otteuti testado ua sigola macchia ad altre codizioi operative o a ua famiglia

Dettagli

PARAMETRI DEL MOTO SISMICO

PARAMETRI DEL MOTO SISMICO PARAMETRI DEL MOTO SISMICO Attività microsismica: caratterizzata da vibrazioi di debole ampiezza e periodi molto gradi tali da o essere percepiti dai più comui strumeti di registrazioe (importate soprattutto

Dettagli

Appunti su rendite e ammortamenti

Appunti su rendite e ammortamenti Corso di Matematica I Facoltà di Ecoomia Dipartimeto di Matematica Applicata Uiversità Ca Foscari di Veezia Fuari Stefaia, fuari@uive.it Apputi su redite e ammortameti 1. Redite Per redita si itede u isieme

Dettagli

Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA

Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA Capitolo uo STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA La statistica bidimesioale o bivariata si occupa dello studio del grado di dipedeza di due caratteri distiti della stessa uità statistica. E possibile, ad esempio,

Dettagli

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazioe di Gras Date due variabili biarie a e b, i quale misura posso assicurare che i ua popolazioe da ogi osservazioe di a segue ecessariamete quella di b? E

Dettagli

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione Ecoomia Iterazioale - Soluzioi alla IV Esercitazioe 25/03/5 Esercizio a) Cosa soo le ecoomie di scala? Come cambia la curva di oerta i preseza di ecoomie di scala? Perchè queste oroo u icetivo al commercio

Dettagli

Statistica I, Laurea triennale in Ing. Gestionale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioni

Statistica I, Laurea triennale in Ing. Gestionale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioni Statistica I, Laurea trieale i Ig. Gestioale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioi Lezioe 1 (28/9, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati, dispoibile alla pagia http://users.dma.uipi.it/barsati/statistica_2011/idex.html.

Dettagli

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea December 18, 2013 1 ichiami su utilità attesa e avversioe al rischio Prima di cosiderare il

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti

Dettagli

, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre

, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre Uiversità Boccoi. Ao accademico 00 00 Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi email: fabrizio.iozzi@ui-boccoi.it Lezioi / Gli isiemi umerici Gli isiemi umerici co i quali lavoreremo soo:, l'isieme

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

Metodi Iterativi Generalità e convergenza Metodi di base Cenni sui metodi basati sul gradiente Cenni sui metodi multigriglia

Metodi Iterativi Generalità e convergenza Metodi di base Cenni sui metodi basati sul gradiente Cenni sui metodi multigriglia Itroduzioe Metodi diretti Elimiazioe di Gauss Decomposizioe LU Casi particolari Metodi Iterativi Geeralità e covergeza Metodi di base Cei sui metodi basati sul gradiete Cei sui metodi multigriglia 1 Itroduzioe

Dettagli

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche est o parametrici Il test di Studet per uo o per due campioi, il test F di Fisher per l'aalisi della variaza, la correlazioe, la regressioe, isieme ad altri test di statistica multivariata soo parte dei

Dettagli

Il confronto tra DUE campioni indipendenti

Il confronto tra DUE campioni indipendenti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo

Dettagli

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R.

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R. 70 Capitolo Terzo i cui α i rappreseta la rata di ammortameto del debito di u capitale uitario. Si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. SIANO NOTI IL MONTANTE IL TASSO E IL NUMERO DELLE

Dettagli

STIMA DEL FONDO RUSTCO

STIMA DEL FONDO RUSTCO STIMA DEL FONDO RUSTCO 1) Quali soo gli aspetti ecoomici che possoo essere presi i cosiderazioe ella stima dei fodi rustici? La stima di u fodo rustico può essere fatta applicado i segueti aspetti ecoomici:

Dettagli

Statistica descrittiva

Statistica descrittiva Statistica descrittiva idici idici (o misure) di posizioe media campioaria di osservazioi x, x,..., x x i x= per campioi x ì ripetuti ciascuo co frequeza f i x= x i f i Posto y i =a x i b : y=a x mediaa

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli

Esercitazione 2 Progetto e realizzazione di un semplice sintetizzatore musicale basato su FPGA

Esercitazione 2 Progetto e realizzazione di un semplice sintetizzatore musicale basato su FPGA Architetture dei sistemi itegrati digitali Alessadro Bogliolo Esercitazioe 2 Progetto e realizzazioe di u semplice sitetizzatore musicale basato su FPGA (A) Defiizioe della specifica ed esperimeti prelimiari

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati

Dettagli

Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci

INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci INVENTORY CONTRO Ig. orezo Tiacci Testo di riferimeto: Ivetory Maagemet ad Productio Plaig ad Cotrol - Third Ed. E.A. Silver, D.F. Pyke, R. Peterso Wiley, 998 Idice. POITICA (s, ) (order poit, order quatity)

Dettagli

Campionamento stratificato. Esempio

Campionamento stratificato. Esempio ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto

CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioi d impresa (Note didattiche) Bruo Chiadotto CALCOLO DELLE PROBABILITA Il calcolo delle probabilità, ato el cotesto dei giochi d azzardo

Dettagli

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

Capitolo 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Capitolo 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE (Note didattiche) Bruo Chiadotto Fabrizio Cipollii Capitolo CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Il calcolo delle probabilità, ato el cotesto dei giochi d azzardo si è sviluppato

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO. Angela Donatiello 1

ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO. Angela Donatiello 1 ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO Agela Doatiello 1 Esercizio. E stato tabulato il peso di ua certa popolazioe

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30) Copyright 2005 Esselibri S.p.A. Via F. Russo, 33/D 8023 Napoli Azieda co sistema qualità certificato ISO 400: 2003 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzioe ache parziale e co qualsiasi mezzo

Dettagli

Complessità Computazionale

Complessità Computazionale Uiversità degli studi di Messia Facoltà di Igegeria Corso di Laurea i Igegeria Iformatica e delle Telecomuicazioi Fodameti di Iformatica II Prof. D. Brueo Complessità Computazioale La Nozioe di Algoritmo

Dettagli

1. Considerazioni generali

1. Considerazioni generali . osiderazioi geerali Il processaeto di ob su acchie parallele è iportate sia dal puto di vista teorico che pratico. Dal puto di vista teorico questo caso è ua geeralizzazioe dello schedulig su acchia

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie legate alla distribuzione normale. 3. Intervallo bilatero di confidenza bilatero per la frazione p di una popolazione

1. Distribuzioni campionarie legate alla distribuzione normale. 3. Intervallo bilatero di confidenza bilatero per la frazione p di una popolazione Questi esempi vi potrao essere utili come riferimeto ella ricerca di itervalli di cofideza e test di ipotesi statistiche. Per gli aggiorameti potete visitare i siti www.boch.et o www.feaor.com. Per dubbi

Dettagli

A = 10 log. senϕ = n n (3)

A = 10 log. senϕ = n n (3) CORSO DI LABORATORIO DI FISICA A Misure co fibre ottiche Scopo dell esperieza è la misura dell atteuazioe e dell apertura umerica di fibre ottiche di tipo F-MLD-500. Teoria dell esperieza La fisica sulla

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST

INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST CAPITOLO VI INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST t DI STUDENT 6.. Dalla popolazioe ifiita al campioe piccolo: la distribuzioe t di studet 6.. Cofroto tra ua media osservata e ua media attesa co calcolo

Dettagli

Sommario. Metodologie di progetto. Introduzione. Modello del Sistema. Diagramma a Blocchi. Progetto

Sommario. Metodologie di progetto. Introduzione. Modello del Sistema. Diagramma a Blocchi. Progetto Sommario Metodologie di progetto Massimo Violate troduzioe Progetto a Livello Porte Logiche Progetto a Livello Registri Progetto a Livello Sistema. troduzioe U sistema è ua collezioe di oggetti, compoeti,

Dettagli

Indici COMIT Metodologia di calcolo

Indici COMIT Metodologia di calcolo Il presete documeto riassume le regole fodametali per il calcolo e la gestioe degli idici elaborati da Itesa Sapaolo per l itero Mercato Telematico Azioario italiao (MTA) ed il vecchio Nuovo Mercato. Gli

Dettagli

Interesse e formule relative.

Interesse e formule relative. Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del

Dettagli

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina)

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina) ITIS OMAR Dipartimeto di Meccaica APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE (tratti da A. MONTE Elemeti di Impiati Idustriali Cortia) Si defiisce iteresse il dearo pagato per l'uso di u capitale otteuto i prestito

Dettagli

Principi base di Ingegneria della Sicurezza

Principi base di Ingegneria della Sicurezza Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il

Dettagli

Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni

Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni Problemi di Schedulig Defiizioi I problemi di schedulig soo caratterizzati da tre isiemi: Attività (Task) T {T,T 2, T } macchie (Machies) P {P,P 2, P m } Risorse R {R,R 2, R s } Schedulig: assegare m Macchie

Dettagli

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA aa 2009-2010 Operazioi statistiche elemetari Spesso ci si preseta il problema del cofroto tra dati Ad esempio, possiamo voler cofrotare feomei [ecoomici]

Dettagli

CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI 1. INTRODUZIONE

CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI 1. INTRODUZIONE CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI SOMMARIO:. Itroduzioe. -. Variabili casuali discrete. - 3. La variabile casuale di Beroulli. - 4. La variabile casuale biomiale. -. La variabile casuale di Poisso.

Dettagli

Un problema! La letteratura riporta che i pazienti affetti da cancro. = mesi

Un problema! La letteratura riporta che i pazienti affetti da cancro. = mesi CONFRONTO TRA DUE MEDIE U problema! La letteratura riporta che i pazieti affetti da cacro hao ua sopravviveza media di 38.3 mesi e deviazioe stadard di 43.3 mesi: µ 38.3mesi σ 43.3mesi (la distribuzioe

Dettagli

ICT e Sistemi informativi Aziendali. ICT e Sistemi informativi Aziendali. Sommario. Materiale di supporto alla didattica

ICT e Sistemi informativi Aziendali. ICT e Sistemi informativi Aziendali. Sommario. Materiale di supporto alla didattica ICT e Sistemi iformativi Aziedali Materiale di supporto alla didattica ICT e Sistemi iformativi Aziedali CAPITOLO IV base e warehouse Sommario Modelli dei dati Modello relazioale DBMS La progettazioe di

Dettagli

1 Metodo della massima verosimiglianza

1 Metodo della massima verosimiglianza Metodo della massima verosimigliaza Estraedo u campioe costituito da variabili casuali X i i.i.d. da ua popolazioe X co fuzioe di probabilità/desità f(x, θ), si costruisce la fuzioe di verosimigliaza che

Dettagli

GABRIELE AMADIO - GIANCARLO CREMA MODELLI DI RICERCA OPERATIVA APPLICATI ALLA LOGISTICA

GABRIELE AMADIO - GIANCARLO CREMA MODELLI DI RICERCA OPERATIVA APPLICATI ALLA LOGISTICA GABRIELE AMADIO - GIANCARLO CREMA MODELLI DI RICERCA OPERATIVA APPLICATI ALLA LOGISTICA Pubblicazioi dell I.S.U. Uiversità Cattolica GABRIELE AMADIO - GIANCARLO CREMA MODELLI DI RICERCA OPERATIVA APPLICATI

Dettagli

METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI VOLUMI DI INVASO PER L INVARIANZA IDRAULICA

METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI VOLUMI DI INVASO PER L INVARIANZA IDRAULICA METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI OLUMI DI INASO PER L INARIANZA IDRAULICA 1. Premessa I queste brevi ote si preseta il metodo semplificato delle piogge illustradoe l implemetazioe i u foglio di calcolo

Dettagli

Lezione 2 - Operazioni sugli eventi. Assiomi della probabilità. -Intro ad excel OPERAZIONI SUGLI EVENTI ALETORI ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ

Lezione 2 - Operazioni sugli eventi. Assiomi della probabilità. -Intro ad excel OPERAZIONI SUGLI EVENTI ALETORI ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ Lezioe 2 - Operazioi sugli eveti. ssiomi della probabilità. -Itro ad excel 1 OERZIONI SUGLI EVENTI LETORI SSIOMI DELL ROILITÀ GRUO MT06 Dip. Matematica, Uiversità di Milao - robabilità e Statistica per

Dettagli

STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si intende per danno economico?

STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si intende per danno economico? STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si itede per dao ecoomico? Per dao ecoomico si itede la perdita o la dimiuzioe di valore che u bee subisce a seguito di u siistro ( eveto o prevedibile) o da u fatto doloso

Dettagli

Sull'analisi funzionale lineare. nel campo delle funzioni analitiche

Sull'analisi funzionale lineare. nel campo delle funzioni analitiche ACCADEMIA NAZIONALE DEI LINCEI RENDICONTI DELLA CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MA TEMA TI CHE E NATURA LI JOSE SEBASTIÀO E SILVA Sull'aalisi fuzioale lieare el campo delle fuzioi aalitiche Estratto dal fase.

Dettagli

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006 Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri

Dettagli

Soluzione del tema di Informatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Prof. Mauro De Berardis Itis Teramo Mercurio 2011 Prova scritta di

Soluzione del tema di Informatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Prof. Mauro De Berardis Itis Teramo Mercurio 2011 Prova scritta di Soluzioe del tema di Iformatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Sessioe ordiaria Esame di Stato 2011 Tema di Iformatica - Progetto: Mercurio Soluzioe proposta da: Co il termie Web 2.0 si

Dettagli

Appunti di matematica Percorso

Appunti di matematica Percorso Biaca Arrigoi Apputi di matematica Percorso Statistica e probabilità EDIZIONE RIFORMA Biaca Arrigoi Apputi di matematica Percorso Statistica e probabilità EDIZIONE RIFORMA iteret: www.cedamscuola.it e-mail:

Dettagli

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale Estimo rurale apputi 2005 Estimo rurale L estimo rurale rietra ell ambito delle disciplie ecoomiche, ma metre l ecoomia si occupa della coosceza della realtà, esso si occupa della valutazioe dei bei. Compito

Dettagli

AFFIDABILITÀ. Capitolo 16 - 16.1 -

AFFIDABILITÀ. Capitolo 16 - 16.1 - Capitolo 16 AFFIDABILITÀ - 16.1 - 16.1 Itroduzioe Si defiisce affidabilità l'abilità di u dispositivo (sia esso u compoete o u sistema) di fuzioare correttamete sotto be precise codizioi d'uso per u certo

Dettagli

3.4 Tecniche per valutare uno stimatore

3.4 Tecniche per valutare uno stimatore 3.4 Teciche per valutare uo stimatore 3.4. Il liguaggio delle decisioi statistiche, stimatori corretti e stimatori cosisteti La teoria delle decisioi forisce u liguaggio appropriato per discutere sulla

Dettagli

Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 2014. prof. Daniele Ritelli

Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 2014. prof. Daniele Ritelli Uiversità degli Studi di Bologa Scuola di Ecoomia Maagemet e Statistica Corso di Laurea i Scieze Statistiche Apputi del corso di Aalisi Matematica Ao Accademico 03 04 f b y prof. Daiele Ritelli f a a b

Dettagli

Distribuzioni di probabilità Unità 79

Distribuzioni di probabilità Unità 79 Prerequisiti: - Primi elemeti di probabilità e statistica. - Nozioi di calcolo combiatorio. - Rappresetazioe di puti e rette i u piao cartesiao. Questa uità iteressa tutte le scuole ad eccezioe del Liceo

Dettagli

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI APPROFONDIMENTI www.shutterstock.com/vladitto Stima di u immobile a destiazioe alberghiera di Maria Ciua (Ricercatore di Estimo Facoltà di Igegeria dell Uiversità di Palermo) I geere ell expertise immobiliare

Dettagli

Piano Lauree Scientifiche 2010-2011 Laboratorio di Autovalutazione per il miglioramento della preparazione per i corsi di laurea scientifici

Piano Lauree Scientifiche 2010-2011 Laboratorio di Autovalutazione per il miglioramento della preparazione per i corsi di laurea scientifici Piao Lauree Scietifiche 2010-2011 Laboratorio di Autovalutazioe per il migliorameto della preparazioe per i corsi di laurea scietifici Caserta, 14 febbraio 2011 Prof.ssa Maria Cocozza Quate possibilità

Dettagli

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio

Dettagli

3. Progetto di reti di comunicazione

3. Progetto di reti di comunicazione 3. Progetto di reti di comuicazioe 66 ROC-00/01 Capitolo 3 3. 1 Alberi di costo miimo e alberi di costo miimo co capacità Come acceato el paragrafo 2.1.2, i questo corso affroteremo solo due aspetti del

Dettagli

Appunti sulle SERIE NUMERICHE

Appunti sulle SERIE NUMERICHE Apputi sulle SERIE NUMERICHE Michele Bricchi I queste ote iformali parleremo di serie umeriche, foredo i criteri stadard di covergeza che si è soliti itrodurre i ua trattazioe elemetare della materia.

Dettagli