Rudi Mathematici. Rivista fondata nell altro millennio Numero 131 Dicembre 2009 Anno Undicesimo

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1 Rvsta fondata nell altro mllenno Numero 3 Dcembre 009 Anno Undcesmo

2 Numero 3 Dcembre 009. Alle urne! Problem La costanza dà suo frutt S è rotta la veccha valga! Bungee Jumpers Era Una Notte Bua e Tempestosa Ultma lezone a Gottnga Soluzon e Note [30] Quas un Summer Contest Bungee Jumpers [3] A gentle rchesta L ultma avventura del TRE-mendo duo Quck & Drty Pagna Paraphernala Mathematca Dall all untore! Rud Mathematc Rvsta fondata nell altro mllenno da Rudy d Alembert (A.d.S., G.C., B.S) rudy.dalembert@rudmathematc.com Potr Rezerovc Slverbrahms (Doc) potr.slverbrahms@rudmathematc.com Alce Rddle (Trecca) alce.rddle@rudmathematc.com RM30 ha dffuso 48 cope e l 9//009 per eravamo n pagne. Tutto quanto pubblcato dalla rvsta è soggetto al drtto d autore e n base a tale drtto concedamo l permesso d lbera pubblcazone e rdstrbuzone alle condzon ndcate alla pagna draut.html del sto. In partcolare, tutto quanto pubblcato sulla rvsta è scrtto compendo ogn ragonevole sforzo per dare le nformazon corrette; tuttava queste nformazon non vengono fornte con alcuna garanza legale e qund la loro rpubblcazone da parte vostra è sotto la vostra responsabltà. La pubblcazone delle nformazon da parte vostra costtusce accettazone d questa condzone. È facle vedere che questo aggeggo non resce ad ndcare tutte le ore (e potreste calcolare quale sa la sua [m]precsone), ma dovrebbe farcela ad ndcare l momento d Capodanno. Intanto, vsto che avete un mese d tempo, potreste rspondere anche alla domanda: Ma è analogco o dgtale?. Se ruscte a scoprre l nome dell autore non dtecelo, per favore

3 Numero 3 Dcembre 009 Premessa La redazone d RM è gelosa. Non nel senso comune d gelosa verso propr partner sentmental (o, perlomeno, non solo n quel senso): ma è gelosa de propr ruol e delle propre abtudn. Pù o meno, ogn sezone della rvsta ha l suo nume tutelare n un precso redattore, e dffclmente s accettano varazon d competenza. Nella stora decennale della Rvsta, gl nserment estern n rubrche fsse sono davvero poche: rammentamo un celebre compleanno sulla Stora della Cubca lascato alla penna d Daro Bressann, nel lontano RM064, e, pù recentemente (RM), un PM sul Trangolo d Pascal scrtto da Maurzo.mau. Codogno. C sono anche state altr artcol osptat sulle pagne d RM, ma n genere al d fuor delle rubrche canonche. Non possono esserc altre spegazon razonal: è propro tutta questone d gelosa. Gelosa che però, quantomeno, rende bene l dea d quanto debba consderars eccezonale l evento della guest star all nterno della Prestgosa Rvsta d Matematca Rcreatva; eppure, questo numero 3 rnnova la straordnaretà, lascando a Lug Amedeo Banch l compto d aprre la rvsta con un compleanno esterno. Non v antcpamo l nome del matematco destnataro d tanto onore, tanto s scopre n fretta: n cambo, v dcamo che Lug Amedeo, che gocando con le sue nzal e le sue passon ha scelto come allonmo l ntrgante L.A.Bachevskj (spesso da no crudelmente abbrevato n Loba) c segue orma dal 003. Pù della metà della vta d RM: eravamo pù govan, a quel tempo, e Lug Amedeo, pur avendo fn da allora l cognome d un grande matematco, non era ancora tale. Col tempo, nvece, lo è dventato: anz, a sentr lu, quel che è dventato è un matematco applcato alla rsoluzone d rompcapo, alla vsone d sere tv un po' geek e alla lettura. Come drebbe Paperon de Paperon: un mangapane a ufo. E per quanto rguarda l prmo punto, la colpa/l merto è anche d RM, che m ha spnto su questa perglosa strada ann fa. Colpa/merto, dce l nostro Loba, lascando aperta la scelta. No, davvero lusngat d fronte a cotanto rconoscmento, non dubtamo affatto che s tratt d merto; ma l bello è che, se anche s trattasse d colpa, ne andremmo comunque ferssm.. Alle urne! [...] non nel soggetto del quadro o nella tecnca del pttore sta la dffcoltà del puzzle, ma nella sapenza del taglo, e un taglo aleatoro produrrà necessaramente una dffcoltà aleatora [ ] L arte del puzzle nza con puzzle d legno taglat a mano quando colu che l fabbrca comnca a pors tutt problem che l gocatore dovrà rsolvere [...] (Georges Perec) Mglaa d tessere che, una dopo l altra, vanno a nserrs al loro posto per restture fnalmente l mmagne nella sua nterezza. Spesso non mporta veramente quale sa questa mmagne: non tutt gocator solutor l ncornceranno o l appenderanno n bella vsta. Sarà a volte un paesaggo, una bella fotografa, uno scatto del npotno sorrdente che, smontato, è stato donato al nonno per occuparlo nelle serate nvernal. Oppure un opera d arte: nnfee, volnst sul tetto, man che s dsegnano vcendevolmente, angel che s trasformano n davol. Ne La vta, struzon per l uso d Georges Perec, uno de protagonst è l mlardaro Bartlebooth l quale ha programmato mnuzosamente cnquant ann della sua vta n un maestoso progetto senza alcuno scopo: ne prm dec ann studa l acquerello, po, accompagnato dal fedele maggordomo, gra l mondo per vent ann, dpngendo, crca ogn due settmane, un paesaggo marttmo spedendolo po ad un artgano pargno, l 3

4 Numero 3 Dcembre 009 quale ne rcava un puzzle d 750 pezz; nfne, negl ultm vent ann, Bartlebooth rsolve n ordne d composzone, uno ogn due settmane, tutt puzzle così costrut. A questo punto quadr rcompost sono portat ne port n cu erano stat dpnt vent ann prma e cancellat: n questo modo l opera, che pure avrebbe monopolzzato la vta d Bartlebooth per cnquant ann, non avrebbe lascato alcuna tracca d sé. Perché l mlardaro è attrato dal rcostrure de quadr che lu stesso ha dpnt? Per la sfda che questo nasconde, per un duello personale a dstanza con colu che ha creato da suo quadr puzzle. È l rompcapo cò che affascna: sappamo che ne framment è nascosta l mmagne e che esste un modo, ed uno solo, per ottenerla, per rsolvere l puzzle. Ogn problema c sfda, c mette n goco ancora una volta. Carcare l auto o la lavastovgle, ndvduare un baco nel software che stamo scrvendo, un dfetto nel ponte che stamo progettando. Il guanto per l duello è lancato ogn volta: se l tappo dello spumante non ne vuole sapere d uscre e la padrona d casa non ha un cavatapp, è un punto d onore rsolvere l problema e garantre l brnds. Ecco allora che davant ad un ostacolo nuovo, naspettato, tramo fuor dee ed mprovvsazon, mettendo asseme pezz a nostra dsposzone, fno a perforare l tappo ncastrato con un caccavte usato come fosse una trvella. E l gusto della vttora sul problema, anche se ha un retrogusto d tappo e sughero, è dolce. Dal rsolvere un problema possamo mparare qualcosa, sa che l problema c sa stato posto da qualcuno, propro con ntento formatvo, sa che s sa presentato naspettatamente. C è però una dfferenza tra queste due spece d problem. Ovvamente è un fatto d smmetre. Quando un problema c è sottoposto da qualcuno, ad esempo da un Prestgosa Rvsta d Matematca Rcreatva, sappamo (o pensamo d sapere: nsomma confdamo) che detro al questo c sa un nventore del medesmo, che ne abba anche ndvduata una soluzone, che abba affrontato l problema nverso. C è almeno una soluzone; se anche non la trovamo subto, possamo contnuare a sbattere la testa contro l problema, sapendo che essa esste, anche se non l abbamo trovata. Vceversa quando un problema salta fuor d sua volontà, nella vta d tutt gorn o nella rcerca matematca, se dopo mes d tentatv non abbamo ancora trovato una soluzone non è detto che non l abbamo cercata bene e che essa c sfugga: potrebbe benssmo non esstere una rsposta 3. Anche l creare e l porre problem sono queston non facl: lo sanno bene gl nsegnant, che devono saper tarare problem propost alla classe alle capactà e alle conoscenze, medando noltre tra gl alunn, n modo da non abbandonare meno preparat, senza con questo tarpare le al a pù abl. Pare che nel porre problem 4 Paul Erdős 5 fosse maestro: oltre ad essere un ottmo solutore d problem, aveva anche un ottmo occho nell assegnarl, n modo che la rcerca della soluzone nsegnasse sempre qualcosa d nuovo al solutore. Ma non è d Erdős eh voglamo parlare, bensì d un suo connazonale: George Pólya, un altro che d problem ne sapeva pareccho. O c è posto dal Creatore, dal Fato e dalla Natura, a seconda delle credenze personal. Che per alcune persone è ncredblmente la vta d tutt gorn. 3 Al proposto merta una menzone l progetto ntrapreso recentemente dall Amercan Insttute of Mathematcs d pubblcare onlne ( alcun problem rrsolt, con comment e proposte. Vceversa per verfcare se un problema (matematco) sa gà stato rsolto e, pù n generale, come sto d domande e rsposte sulla matematca (anche molto avanzata) è nato Math Overflow: 4 Non nel senso d crear problem alle persone, anche se pure n questo aveva le sue dot. Sono leggendare alcune delle sue avventure a casa d amc matematc, raccontate n L uomo che amava solo numer, d D. Hoffman. 5 D Erdös s è gà parlato n Bello e mpossble su RM0. 4

5 Numero 3 Dcembre 009 George Pólya nasce a Budapest l 3 dcembre 887 e, poch gorn dopo, vene battezzato col nome d György: la sua famgla, pur d orgn ebrache, s era convertta al cattolcesmo l anno precedente. Anche l cognome, al par della relgone, era d recente acquszone. Il padre, nfatt, nato Pollák, l aveva cambato cnque ann prma, nel 88, n modo che suonasse pù ungherese e gl desse la possbltà d nserrs nell ambente unverstaro, molto nazonalsta dopo l autonoma ottenuta all nterno dell Impero austroungarco nel 867. György frequenta l gnnaso a Budapest, dstnguendos nella letteratura e nella geografa, mentre rsultat ottenut n matematca non sono eccezonal. Questo è George (György) Pólya. probablmente conseguenza della scarsa abltà degl nsegnant, come lu stesso sottolneerà n seguto. Forse è anche a causa d questa brutta esperenza che po affronterà sstematcamente l problema dell nsegnamento della matematca. Anche all unverstà l avvcnamento d Pólya alla matematca non è mmedato. S scrve dapprma a legge, sulle orme del padre, ma dopo un solo semestre l abbandona, per dedcars allo studo della lngua e della letteratura, sue grand passon gà a scuola. In due ann ottene l abltazone all nsegnamento del Latno e dell Ungherese. A questo punto s avvcna alla flosofa ma, nvtato dal suo professore ad approfondre le sue conoscenze d matematca e fsca, v s appassona, studandole prma all Unverstà d Budapest, po all Unverstà d Venna. Dopo aver conseguto l dottorato n matematca a Budapest, passa due ann a Göttngen, che, samo negl ann 9-93, è un punto d accumulazone d matematc d prma magntudne tra cu spccano Hlbert 6, Weyl 7, Klen, Carathéodory. Purtroppo la permanenza d György n questo consesso d ment genal vene bruscamente nterrotta: durante un vaggo n treno ha uno scambo d vedute con un altro vaggatore, n cu a mottegg Pólya fa segure un pugno. Malauguratamente l vllanzone rsulta essere uno studente dell Unverstà d Göttngen nonché fglo d un pezzo grosso: l Senato Accademco nvta qund György ad allontanars dall unverstà. Ne prm mes del 94 Pólya è n vsta a Parg e rceve due proposte d collaborazone come Prvatdozent: una a Francoforte e l altra, sostenuta da Hurwtz, all ETH d Zurgo. Scegle la seconda, anche per poter collaborare con Hurwtz stesso. La decsone s rvela azzeccata e fortunata: nel 94 scoppa nfatt la Grande Guerra. Pólya, che era stato rformato dal servzo mltare per un nfortuno occorsogl n goventù, col prosegure del confltto vene rchamato sotto le arm dalla madrepatra. Pacfsta convnto, György rfuta: per l rscho d essere processato come rentente non farà pù rtorno n Unghera fno al 967. Domanda ed ottene la cttadnanza svzzera e, nel 98 sposa Stella Weber, svzzera anch ella, fgla d un professore dell Unverstà d Neuchâtel. Dopo essere stato promosso professore straordnaro all ETH nel 90, nel 95 pubblca, asseme a Szegö, 6 Gà festeggato n Wr müssen wssen. Wr werden wssen., RM Protagonsta d Dffcle come contare fno a dec, RM08. 5

6 Numero 3 Dcembre 009 un testo d problem d Anals. L mpostazone d quest opera contene una grande novtà, frutto della personale esperenza d Pólya nell avvcnars alla matematca: problem non sono raccolt n base all argomento che trattano, bensì a seconda de metod rsolutv adoperat. Nel frattempo pubblca rsultat n numeros settor della matematca, ottenendo mertatamente l ruolo d professore ordnaro, sempre a Zurgo. Gl ann passano e arrva la Seconda Guerra Mondale. Nel 940 Pólya lasca l contnente europeo per quello amercano, come molt altr e, dopo qualche anno n altre unverstà, arrva alla fne a Stanford, dove rmarrà fno alla pensone, raggunta nel 953, e anche oltre, contnuando la sua collaborazone ddattca anche dopo aver computo novant ann. Come gà l padre prma d lu aveva cambato l cognome, per meglo nserrs nell ambente statuntense György scegle d anglczzare l suo nome n George. Dopo qualche dffcoltà nel 945 resce fnalmente a pubblcare un volume cu lavorava orma da ann: How to solve t. In esso propone l suo approcco, basato sull eurstca, alla rsoluzone de problem, matematc ma non solo. Esso s svluppa n quattro pass successv:. capre l problema;. svluppare un pano; 3. portare a compmento l pano; 4. guardare ndetro. Il secondo punto è quello pù artcolato: l pano va svluppato osservando se c sono legam partcolar tra dat ed ncognte, cercando d far rfermento a problem analogh gà affrontat, generalzzando o rducendos a cas partcolar (ma non troppo). Non bsogna però trascurare gl altr: nel portare avant l pano l solutore deve verfcare e gustfcare ogn passo, chedendos se è lecto o meno fare cò che c s propone e, una volta concluso, controllare che l rsultato ottenuto sa accettable. La stratega rsolutva d Pólya dventa un punto d svolta nell ambto del problem solvng. George contnua a contrbure anche negl ann seguent al campo della ddattca della matematca e, n partcolare, al rsolvere problem. Questo è senza dubbo l contrbuto che ha lascato pù tracca, anche perché sem sono stat spars n un campo assa vasto: l eurstca d Pólya può nfatt essere applcata anche ad altr tp d problem, non solo quell matematc. Prma però d salutare l nostro protagonsta e andare a testare le sue tecnche su problem che seguono, abbamo ancora qualcosa da dre su d lu. In matematca l nome d George Pólya fa spesso capolno, negl ambt pù mpensat. Nella sua lunga carrera, nfatt, egl s lasca portare dalla sua curostà e dalla vogla d affrontare e rsolvere problem. Così l rsultato matematcamente pù eclatante che porta l nome d Pólya è l teorema d enumerazone, nel campo della combnatora: un contrbuto d grande mportanza, con rcadute nella teora de graf, così come nella chmca. Collabora con Hardy e Lttlewood 8 alla stesura d un testo Alcune delle tassellazon d Pólya nttolato Inequaltes, ma lasca le sue tracce anche nel campo dell arte. Infatt è prendendo spunto da un suo artcolo su grupp crstallografc, n cu George llustra cascuno d ess medante una tassellazone del pano, che Escher nza suo stud su 8 Ved Stanlo e Ollo n RM049. 6

7 Numero 3 Dcembre 009 dsegn modular 9, n cu rcopre le tavole con pesc e gabban o coccodrll po n fuga dal foglo. Anche la probabltà conserva le tracce dell opera d Pólya: è lu che nel 9 dmostra che un uomo ubraco torna certamente a casa, mentre un uccello ubraco non rtrova pù l suo ndo. Con cò s rfersce al fatto che se faccamo equprobablmente un passo avant o uno ndetro ogn secondo, torneremo con probabltà uno al punto d partenza. Allo stesso modo un ubraco che, a Torno 0, vagasse per le strade sceglendo a ogn crocccho una delle quattro ve n modo equprobable, tornerebbe quas certamente a casa. Invece nelle dmenson 3 M. C. Escher superor cò non è pù vero: qund un uccellno dsorentato che, ogn metro, scegle a caso tra le se drezon possbl (su, gù, avant, ndetro, destra, snstra), torna al propro ndo solo n un caso su tre, all ncrca. Sempre n questo campo George lasca un modello, semplce, che però dà luogo, nel mglor sprto de be problem, a molte generalzzazon: l urna d Pólya. Nella sua versone base abbamo un urna (o un sacchetto, una scatola) contenente due ble, una banca e una nera: a ogn stante estraamo una bla, rmettendola po nell urna asseme ad un altra del medesmo colore. La dstrbuzone della proporzone delle ble banche sul totale tende ad una dstrbuzone unforme sull ntervallo [0,], al tendere all nfnto del numero d ble nell urna. Come generalzzare? Abbamo solo l mbarazzo della scelta: possamo prendere ble d pù color, aggungere pù d una bla per volta, o addrttura non agre n modo determnstco, ma sceglendo n modo casuale tra vare opzon n base alla composzone dell urna al momento dell estrazone. Lo studo d queste 4 L urna d Pólya? varant dell urna d Pólya è peno d sorprese, d oggett probablstc che possono essere smulat medante opportun modell ad urne, ma anche d applcazon ad altr ambt delle scenze. 9 Facendos autare dal suo amco Coxeter, quello d Hamburger o Portaere? n RM097, che pure studava l argomento. 0 Oppure a New York, nsomma, n una cttà fatta a grgla. Il problema, tra prefert del Capo, è stato proposto n RM08, e ne proponamo la soluzone d Qfwfq n RM08. Recentemente la trade redazonale ha proposto lo stesso problema su Le Scenze, altr spunt sul blog: Se fate una passeggata, fatela pure aleatora se sete co ped per terra, non se sete nello spazo. Un smpatco dvertssment n una pausa caffè può essere una passeggata aleatora lungo l corrdoo: lancate rpetutamente una moneta, se esce testa avanzate d un passo, altrment arretrate. 7

8 Numero 3 Dcembre 009 George Pólya muore a Palo Alto, n Calforna, nel 985, ma c lasca n eredtà la sua curostà, la passone per problem e la vogla d sfdarl, d affrontarl, d rcondurl ad altr not, generalzzandol o specalzzandol a seconda de cas, rcordando però che un matematco che sa solamente generalzzare è come una scmma che sa solamente salre sugl alber, mentre uno che sa solamente rdurre a cas partcolar è come una scmma che sa solo scendere dagl alber. In realtà nessuna delle due scmme è una creatura completa. Una vera scmma deve essere n grado d trovare cbo e scappare a propr nemc, arrampcandos contnuamente su e gù dagl alber. Un vero matematco deve saper sa generalzzare sa rdurs a cas partcolar. 8

9 Numero 3 Dcembre 009. Problem Rudy d Alembert Alce Rddle Potr R. Slverbrahms La costanza dà suo frutt S è rotta la veccha valga!. La costanza dà suo frutt Il ttolo edfcante nasce dal fatto che Rudy, da qualche mese, ha copato un metodo d Doc per avere un pccolo gruzzolo verso Natale. L dea d base è quella, la sera, d mettere n un salvadanao tutte le monete da due euro che c s rtrova n tasca; a Natale s apre l salvadanao e s va a mangare fuor. Rudy, avendo comncato tard, ha decso che oltre a tutt due euro che s rtrova, mette nel salvadanao anche la moneta restante d maggor valore, qund l muccho ha raggunto n breve tempo la ragguardevole cfra d 0 Euro e 40 centesm; l presentars al rstorante con una cfra del genere tutta n monetne potrebbe susctare delle perplesstà, qund Rudy ntende mandare VAdLdRM a cambare la paccata d sold; abbamo un parente che gestsce un bar ed è perennemente affamato d monete d qualsas taglo, qund sarà contento. Logcamente, due pgr comncano a ltgare per decdere ch debba portare sold. Sent, gochamocelo a testa e croce; ogn volta che vene testa segn un punto tu, ogn volta che vene croce segno un punto o; vnce ch per prmo arrva al valore (e qu non s è capto, stavano parlando pano), e ch vnce porta le monete Oh, una versone msère! Comunque, m pare lo stesso. D accordo Ora, nostr avevano appena avuto l tempo d fare sedc tr che la Pragmatca d Famgla (sarebbe Paola, loro madre e mogle d Rudy) è ntervenuta con un V decdete ad andare, o aspettamo Pasqua????, l che ha sospeso la partta. Volendo segure le loro regole sno n fondo, e consderato che Fred ha fatto due punt pù d Alberto, s accordano n modo tale che Fred porta 7,65 Euro, mentre Alberto porta l resto. Il guao (per me) è che adesso, secondo loro, dovre essere perfettamente n grado d capre non solo l loro ragonamento per quanto rguarda la dvsone ma anche quale fosse l valore al quale avevano decso d fermars. Ora capte perché ma mogle sostene che l gene della mentaltà contorta è scuramente domnante 9

10 Numero 3 Dcembre 009. S è rotta la veccha valga! Beh, tanto orma servva solo pù a contenere vecche rcevute. E po la mogle d Rudy (la stessa del problema precedente: battuta scontata) s dmentcava sempre la combnazone. Per fortuna la serratura era stata la prma cosa a rompers, almeno parzalmente: nfatt, delle tre rotelle a dec poszon, bastava ce ne fossero a posto due qualsas che s ruscva ad aprrla; Paola (la mogle d Rudy, per ch non se lo rcordasse), l ultma volta che aveva dovuto aprrla se ne era uscta con un Va a tappare le orecche a pargol, che devo partre con me solt cnque mnut d turploquo sulla combnazone Fgurat, quell potrebbero dart lezon, n merto Ma come ma c mett cnque mnut? Beh, mpego tre second per provare ogn combnazone; per azzeccare le due rotelle m servono dec per dec uguale cento tentatv (Murphy docet: la combnazone gusta è sempre l ultma), trecento second fanno cnque mnut. Cred d essere l unco capace a far d conto, qu dentro? Mah, dcamo che anche con l tuo pessmsmo alla Murphy, credo s possa mpegare meno d cnque mnut E logcamente Rudy c è ruscto, facendo durare l turploquo d Paola ben pù d cnque mnut per non averc pensato ann prma. Adesso potete provare vo, e vncere l ndubbo onore d rtrovare la bolletta del gas d qundc ann fa: che metodo usate, e quanto c mettete? E perché mett la domanda n corsvo? Semplce, perché contnuo a parlare e l resto non fa parte della domanda. Anche dsattent così trovano qual è la domanda vera. La soluzone d questo problema ne ha rcordato a Rudy un altro, presentato n RM06 (Maggo 000, l altro mllenno Soluzone a gugno): ve lo rscrvamo qu sotto. Cec n est pas un problème, come drebbe Magrtte. Avete presente gl U? Sono a ped davant a un ponte (tutt dalla stessa parte) e, tra 7 mnut, comnca l concerto dall altra parte del ponte. Per traversare l ponte hanno a dsposzone una torca elettrca. Purtroppo, l ponte non può reggere pù d due membr del gruppo per volta (anche pont hanno un senso estetco), qund se passano prma due, uno d quest dovrà tornare ndetro per portare la lampada agl altr (e dopo dovrà rattraversare); l possesso della lampada è requsto necessaro per passare l ponte; noltre, non è possble lancarla, posarla, clonarla o qualcosarla, barando. Inoltre, ogn componente del gruppo cammna ad una veloctà dversa: Bono: mnuto per traversare l ponte Edge: mnut per traversare l ponte Adam: 5 mnut per traversare l ponte Larry: 0 mnut per traversare l ponte ( batterst sono sempre un po suonat...). Logcamente, se traversano n due procedono entramb alla veloctà del pù lento; quando uno torna ndetro, torna alla sua veloctà tpca. Senza trucch: come fanno? Ecco, Rudy s chedeva (ma non ha soluzone, qund questo è solo un commento) come sano generalzzabl problem d questo genere: avete n persone, cascuna delle qual 0

11 Numero 3 Dcembre 009 passa l ponte n un certo tempo k, k, K, kn, e dovete farl passare n un tempo mnore d w. Come sono legate tutte le varabl per avere un problema dffcle? Come dcevamo, non è un problema; ma se qualcuno vuole pensarc, pubblcheremo d scuro. Ah, dmentcavo un dato mportante: Fred va a lezone d battera, da cu s capsce la battuta su Larry. 3. Bungee Jumpers Il raggo del cercho che crcoscrve un n-agono regolare che: A A K A n è par a R. Provare. La somma de quadrat d tutt lat e d tutte le dagonal è par a R n.. La somma d tutt lat e d tutte le dagonal del polgono è par a n cot π R. n n [ n( n ) ] 3. Il prodotto d tutt lat e tutte le dagonal del polgono è par a n R. Abbamo rcevuto svarate soluzon alternatve de lettor per quanto rguarda problem de due mes scors, rngrazamo e pubblcheremo. Lo scopo d que due problem era d rsolvere questo; uno de quest presentat è gà stato rsolto ne problem, ma quest c pare abbano una generaltà nteressante. La soluzone, a Pagna Era Una Notte Bua e Tempestosa Che questa sa una rubrca asncrona (eufemsmo per non dre cronologcamente sterca ) lo abbamo rpetuto pù d una volta: non dovrebbe qund rsultare troppo stupefacente che dopo un anno d slenzo possa gungere una sequenza d numer d RM che nvece questa rubrca contengono. Anche le regole d apparzone ( s recensscono solo opere n cu mettono mano lettor o amc d RM ) sono quas sempre rpetute, e non dovrebbe essere necessaro rcordarle ulterormente. Forse però è opportuno rammentare perché la rubrca s chama così come s chama; non certo per semplctà d acronmo: n Redazone la chamamo affettuosamente EUNBET, ma la sgla sembra rferrs pù a un agenza contnentale d goch e scommesse che a uno spazo recenson. Il ttolo, come spegammo a suo tempo, è semplcemente la ctazone degl ncpt de romanz che Snoopy scrve sul tetto della sua cucca. Il bracchetto d Charle Brown è sempre stato uno de pù nobl abtator delle nostre fantase, ed Era una notte bua e tempestosa è ndubbamente uno de poch ncpt degn d reggere l confronto con Moby Dck, Lolta o l Ilade. Cò basta a spegare perché, nell mmagnarc lettor d RM alle prese con opere d scrttura, c sa venuto n mente l romanzere da cucca per eccellenza. Curosamente, questo rchamo a fumett e alla frase d Snoopy torna utle per ntrodurre l lbro d cu parlamo questo mese: e, per una volta, davvero d concdenza s tratta.

12 Numero 3 Dcembre Ultma lezone a Gottnga «È con una certa nquetudne che m trovo qu, stasera.» Era l 4 Settembre del 008. Come ogn 4 del mese, la blogosfera celebrava l Carnevale della Matematca, ovvero l occasone per un blog, scelto a turno tra una sere d blog canddat e nteressat, d rportare n un solo artcolo tutt lnk a post d argomento matematco usct nel mese. In quel Settembre d un anno fa toccava a no osptare l Carnevale, nel nostro blog d Le Scenze: era solo la qunta edzone del Carnevale, e la prma osptata da no 3. Poch gorn avant avevamo rcevuto la segnalazone dell esstenza d un fumetto d argomento matematco, d cu s stava parlando un po n gro: n partcolare, a parlarne erano soprattutto l blog d Andrea Plazz (se non lo conoscete sgnfca che non conoscete RatMan, e questo è molto grave) e lo stesso autore del fumetto, Davde Osenda, trentaseenne basssta cuneese, come Peano. A dre la vertà, Peano era cuneese ma non basssta, ma del resto anche Davde è tale e quale: cuneese e non basssta; perlomeno, non professonsta. Magar suona meglo d Jack Bruce o d Flea o d Les Claypool (anche qu, come per RatMan: se non sapete d ch stamo parlando, preoccupatev), e sappamo per certo che adora l basso, ma non lo abbamo ma sentto suonare, qund non possamo sapere se Peano suonasse meglo o peggo d lu. Ma stamo gà dvagando. Davde suona l basso e dpnge acquerell. Lavora anche come nformatco, ma quello lo faccamo quas tutt, e non staremo a parlarne qu. Acquerello dopo acquerello, era ruscto a mettere n bella mostra al Festval della Matematca d Roma del 008 le prme tavole del suo fumetto Gottnga, e a coglere uno sguardo nteressato perfno nel nume tutelare del Festval, ovvero Pergorgo Odfredd. Del resto, lo stesso Odfredd aveva gà rcevuto una versone rdotta dell opera osendana, e qund era n un certo senso gà preparato a vedere l unverstà d Göttngen degl ann D orgne come al solto amercana, ma voluto n versone talana dall nstancable.mau., l matematco carnevale de blog talc è orma gunto alla sua 9 a edzone (l ultma è osptata da un altro RMer d vagla, Zar: Solo poche ore fa (per vo che leggete: per no che scrvamo, l tempo reale è fra pochssm gorn ) dovrebbe essere partta n pompa magna la prma edzone (smultanea n Itala e Spagna) del Carnevale della Fsca, graze a buon uffc d Gravtà Zero ( molto pù sponsorzzato del fratello maggore (ne parlano almeno due rado, la rvsta Wred e l Unone Astrofl Italan), s merta un roseo futuro. 3

13 Numero 3 Dcembre 009 Trenta prendere forma sulle paret dell Audtorum d Roma. Quando, nel Settembre del 008, no parlamo d Gottnga nel nostro blog non samo qund certo prm a farlo, ma ne samo ugualmente orgoglos come se fossmo gl autor. Davde c aveva nvato una copa a bassa rsoluzone del suo fumetto, autorzzandoc a metterlo a dsposzone d ch avesse avuto vogla d leggerlo. No lo abbamo subto pazzato nel nostro Bookshelf 4, e lì lo trovate ancora, se sete curos. Però, datec retta: se davvero sete curos, vale la pena spendere la dozzna d euro necessar per procurars l albo. Un po perché un fumetto, pù de lbr, abbsogna della carta vera, non vrtuale; un po perché le ottanta pagne della stora non sono tutte present nella copa elettronca; un po perché è un bel fumetto, ed è bella matematca, ed è bello convncere le pccole case edtrc che fanno bene ad occupars d cose belle come la matematca. Potremmo comncare a parlare propro d quest contenut che s rtrovano nelle pagne d Davde. E bsogna precsare subto che non è matematca facle, come potrebbe far presupporre l dea del dsegno a fumett. E neppure matematca svenduta, per strzzare l occho alle mode. Nelle prme tavole dell albo occhegga un rtratto acquerellato d Hlbert, nelle ultme uno d Paul Cohen, n mezzo, tra due volt (dsegn ne dsegn), s snodano tutt punt crucal della matematca del Novecento: l nfnto e gl Aleph d Cantor, Teorem d Incompletezza d Gödel, l Assoma della Scelta, l Ipotes del Contnuo. Sono le concluson d Cohen sull ndecdbltà della IC a chudere la stora, ma tra la prma mmagne degl auster edfc dell Isttuto d Matematca d Göttngen e l ultma d un volto rflesso nello speccho s ncontrano anche altr luogh classc della dvulgazone: grammofon per spegare paradoss gödelan, gl albergh dalle nfnte stanze per ntrodurre molteplc nfnt cantoran, le carte da goco per la prova dagonale, e così va. E però, nonostante questa sovrabbondanza d matematca, non c è solo matematca. Il fumetto ha sua dnamca propra, una rega realmente da graphc novel, non da banale pretesto narratvo per la dvulgazone de concett matematc. Il professore che tene, d fronte all aula vuota, la sua ultma lezone a Gottnga s chama Fz: e s può certo mmagnare che l nome dscenda dalla facle assonanza con l sstema FZ, quello d Fraenkel Zermelo: un nome vsceralmente matematco; però la sua ultma lezone non è destnata, come egl crede, solo all aula vuota: nvsble, nel buo, c è l suo ultmo allevo, e quest s chama Alkun Wnkler. E se Fz è pura matematca, l suo ultmo e mprevsto dscepolo è nvece gà commstone tra passato e futuro, tra numer e Amerca. Ha l nome d Alcuno, precursore della matematca medevale e rcreatva, e l cognome dell attore che nterpreta Fonze. Perché la matematca sa essere spettacolo. Se amate fumett, potreste dvertrv a cercare segnal d stle che marcano la mano d Davde Osenda. Uno de protagonst prncpal d Ultma lezone a Gottnga è l assenza. L aula vuota, resa pù drammatcamente deserta dalla contrastante presenza d Alkun; 4 3

14 Numero 3 Dcembre 009 l unverstà senza professor e student, messa n evdenza dal bdello che, solo, mantene contnutà tra gl edfc e gl uman caccat. E, soprattutto, l slenzo. Ma come fare per far sentre l slenzo, n un fumetto? Non facendo parlare personagg? Dsegnando tavole vuote? Davde Osenda usa d nuovo l artfco del contrasto: ogn pccolo rumore d contorno, quell che normalmente sono naudbl, nella sua stora sono present e sottolneat. Pass legger, tcchett, cgol delle porte: s sentono tutt, s leggono tutt: e nel sentre loro s sente l slenzo, l abbandono, l nulla che resta a Gottnga dopo che sono passate le epurazon nazste. Fumetto, non solo matematca. Ma davvero tanta matematca, non solo fumetto. Per questo le ntroduzon sono due: la prma del matematco pù noto d Itala, Pergorgo Odfredd, che rcorda nelle sue rghe ntroduttve l reale sbgottmento d Hlbert, ultmo rmasto della grande scuola d Göttngen, propro negl ann n cu la stora d Osenda è ambentata. Se non credete alle concdenze, potreste rmanere stupefatt come no nello scoprre come s nttola cotanta prefazone: s nttola propro Era Una Notte Bua e Tempestosa, tale e quale a questa rubrca. Odfredd, n vertà, s rfersce pù alla notte della ragone, n cu la veemenza razzsta della Germana htlerana alzò l buo tempestoso e crmnale de massacr verso tutt coloro che rteneva dvers. La nostra notte è molto meno bua e tempestosa, ma è comunque curoso notare la concdenza ttolatrce. Se l aspetto matematco è sancto dalle parole d PGO, la natura d fumetto è sacramentata dalla seconda ntroduzone, che è nvece propro d Andrea Plazz. Vale la pena leggere le sue parole: s scopre così che le contamnazon sono sempre pù d quelle che uno normalmente s aspetta. Ch avrebbe ma mmagnato che Plazz fosse anche lu un matematco? Ch avrebbe ma sperato che Ultma lezone a Gottnga potrebbe avere un seguto? Eppure, è così, e queste cose s scoprono solo leggendo le ntroduzon. Resta un unco mstero: no c eravamo offert d scrvere un ntroduzone al lbro, perché c è sempre pacuto molto. Essendo no tre estremamente pù brav e famos d Plazz e d Odfredd, samo rmast un po perpless nel vedere che Davde ha preferto rvolgers ad altr. Pensandoc un po, credevamo d aver capto la causa: no recensamo opere solo a fronte del pagamento d tre cope dell opera stessa, una per redattore. Verosmlmente, mobltando solo due recensor che ha mobltato, l nostro è ruscto a rsparmare su cost. Almeno così credevamo: fnché non abbamo vsto arrvare nelle nostre buche delle lettere l Ultma Lezone, pur senza aver scrtto nessuna prefazone. Commoss e mbarazzat, non potevamo fare altro che quello che abbamo appena fnto d fare: scrvere questo EUNBET. Ttolo Ultma lezone a Gottnga Autore Davde Osenda Introduzon Pergorgo Odfredd Andrea Plazz Edtore 00 Edzon Data d Pubblcazone Ottobre 009 Prezzo,50 Euro ISBN Pagne 80 4

15 Numero 3 Dcembre Soluzon e Note Fnalmente è arrvato Dcembre, con le feste, l Natale, l Calendaro d RM e tanta allegra. Questo numero d S&N sarà pareccho spesso, per cu cercheremo d evtare lunghe premesse, ma n quest mes che chudono l anno non possamo che spendere almeno una rga per rngrazarv. Graze a tutt solutor, a lettor, a coloro che c crtcano e correggono, a coloro che c seguono da sempre e a quell che c hanno appena scoperto. Graze a tutt. Ed ora venamo al sodo. Il mese scorso abbamo proposto a dmostrazone d Ezo dell esstenza d nfnt numer prm, chedendoc cosa ne pensavamo. Sono gunte n redazone un pao d rsposte, e sperando d fare cos utle (non solo ad Ezo, ma anche a quell che sono nteressat al dscorso, pubblchamo volenter qu. Per esempo Slvano: L dea è buona, ma non sono scuro della logca della dmostrazone t dco perché. Dc che dalla fattorzzazone UNICA: M=hN scrvere: M = hn = l j= p α j j = h k = N = p α k α p =. È altresì logco, ponendo Da cu s deduce che p pj, ma questo n generale NON è vero. M spego meglo: M = Nh = l j= p α j j = k = p α l j= k+ q α j j h = l j= k+ q α j j oppure h è prmo. Dre che p q n generale non è vero, nsomma l tuo caso.a è propro l motvo per cu non funzona, secondo me ovvamente; ch t dce che non rentr sempre nel caso.a. Il problema lo puo ovvare se dmostr che N e N+ sono fattorzzat SEMPRE n prm dvers es. Lemma : Fattorzzazone Due numer natural consecutv s fattorzzano sempre n numer prm dstnt. DIM: Fattorzzat due numer consecutv s ha: l N = l α p = ed N + = α j ma sosttuendo N n N+ s ha: q q =, che per l TEO del MCD rende = l j= due numer prm tra loro (del resto su questo s basa, se non sbaglo l crvello d Eratostene ). Dal lemma precedente con la successone che ha fatto puo dre: Lemma : Successone che genera prm ad ogn passo La successone N k = Nk ( Nk + ) con N0 prmo genera ad ogn passo una scomposzone n fattor prm d Nk che contene almeno un prmo n pù. Dm: Per nduzone utlzzando l lemma [].. Prmo passo: N0=p0, N=p0 (p0+), utlzzando l lemma [] (p0+) s fattorzza n prm dvers da p0. c.v.d.. Vero per Nk- dmostro per Nk: N N ( N ) ha ovvamente. α j k = k k + l j= q α j j,, ma per [] questo s 5

16 Numero 3 Dcembre 009 Teo: I numer prm sono nfnt Dm: dal Lemma [] dscende che potendo terare la successone ndefntvamente genero nfnt numer prm. Slvano prefersce la dmostrazone classca per assurdo, a quanto pare. C è ancora un commento da Franco57: Ier sera ho rletto con attenzone la dmostrazone d Ezo che all nzo non avevo compresa bene. A me pare corretta gl facco qund me complment. Il succo è tutto nel caso b. Io semplfchere l ragonamento così: ) Prendo un numero ntero N maggore d e lo scompongo n fattor prm. ) Se consdero l suo successvo N+, posso dre che la sua scomposzone ntroduce nuov prm [e qu una gustfcazone ce l avre messa, ad esempo se per assurdo esstesse un fattore prmo p tale che N=p a e N+=p b, allora (N+) N ==p (b a) che è mpossble poché p> e b a ntero]. È mportante osservare che per dmostrare che ogn numero naturale sa scomponble n fattor prm non s fa uso del fatto che esstano nfnt numer prm. 3) Se rpeto l procedmento con N (N+) al posto d N ntroduco sempre nuov numer prm, all nfnto. Se c s pensa bene l ragonamento non è troppo dverso da quello classco: se p, p,... pk fossero tutt numer prm, l successvo d N=p p... pk, non può nvece essere l prodotto d quella lsta d fattor prm. No c mantenamo neutral e speramo d non trovare numer prm sotto l albero. Del resto lo sappamo bene d non essere stat troppo buon, ma almeno un po d carbone, n quest temp d crs [30] 5.. Quas un Summer Contest Dcevamo gà l mese scorso che l testo d questo problema era tanto crptco che ognuno l aveva nterpretato a modo propro. Ecco, Flo ha letto tutte le soluzon proposte n RM3 l mese scorso (Br, FrancoZ, Gnugnu, Franco57 e Dego), ma non ha trovato la sua, e così ce l ha mandata. Ma prma rvedamo l testo: S tratta d un goco a squadre, ogn squadra composta da dcotto ragazzn. Sfruttando l fatto che all nterno d ogn gruppo dcotto nom sono tutt dvers, a ogn squadra verrà presentata una fla d dcotto scatole numerate, ognuna delle qual conterrà l nome d uno de component della squadra stessa. Naturalmente, nessuno conoscerà l contenuto delle scatole. Il goco consste nel fatto che ogn pschello, a turno, dovrà aprre nove scatole, e sperare d trovare n una d queste l propro nome. Se è fortunato e lo trova, bene, torna tra suo compagn e un altro de dcotto s cmenterà subto dopo nella stessa mpresa, e così va. Se nvece non trova l suo nome nelle nove scatole che apre, amen, goco fnto: tutta la sua squadra ha perso. Evdentemente, s può parlare prma del goco, ma quando s comnca slenzo totale ed è vetato lascare segn sulle scatole o su bglett. Ruscte a trovare una stratega d goco con una probabltà decente d ruscta? Ed ecco la soluzone d Flo: Rguardo al problema Quas un Summer Contest del numero 9, ho trovato una stratega per ruscre ad avere una probabltà d vttora dgntosa, senza bsogno d spostare le scatole, né facendo comuncare n alcun modo ragazz convolt, né avendo bsogno che un ragazzo veda quanto fatto da precedent. 6

17 Numero 3 Dcembre 009 Suppongo anch o come Br che ragazz s chamno Uno, Due, Tre, ecc., fno a Mster Dcotto (e devo dre che Otto è l pù fortunato, con de nom del genere!). La stratega è semplce: quando vene l propro turno, ogn ragazzo dovrà guardare nella scatola con l numero uguale al suo nome. Se non trova l nome gusto, dovrà guardare nella scatola con l numero uguale al nome che ha appena trovato nella scatola. E così va, fno alla fne delle possbltà a sua dsposzone. Faccamo un esempo: supponamo che la dsposzone de nom nelle scatole sa la seguente: Arrva Mr. Uno, e cosa fa? Apre la scatola. Non trova l suo nome, ma trova quello d Mr. Quattordc. Allora apre la scatola 4. Non trova l suo nome, ma trova quello d Se. Apre la 6, e fnalmente c trova dentro l suo nome. Insomma, ce l ha fatta, n solo 3 aperture. Il turno passa a Due, che apre la scatola, po la 8, po la 0, qund la 3, la, la 7, e nfne trova l suo nome nella 8.Quando è l turno d Mr. Tre, s ha lo stesso cclo d, ma a comncare da un altra parte: le scatole aperte n sequenza sono la 3, po la, la 7, la 8, la, la 8, e nfne la 0. In pratca s creano de ccl d apertura, fatt così: Qund, con questa stratega, la probabltà che la squadra se la cav s trasforma magcamente nella probabltà che c sano solo ccl d lunghezza mnore o uguale a 9, e non c sano qund ccl d 0,,, 3... aperture. Stablamo qund che la squadra vnce con la probabltà: Psuccesso = Pnsuccesso Pnsuccesso = P0 + P + P + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 + P8 Dove P0 è la probabltà che c sa un cclo d lunghezza 0, e così va. Bene, adesso calcolamo P0. Questo sarà l rapporto tra tutt cas favorevol, ovvero tutte le possbl confgurazon con un cclo d lunghezza 0 (e rngrazamo che non ce ne possono essere pù d uno), e cas possbl, che sono tutt mod n cu nom possono essere nflat nelle scatole (ovvero 8!). Le confgurazon ammesse sono date dal modo n cu s possono estrarre 0 numer su cu avvene l cclo da 8 possbl (ovvero l coeffcente bnomale, B(8,0)), moltplcato per tutt mod n cu è possble scambare le scatole lascate fuor dal cclo (ovvero (8 0)!=8!), moltplcato ancora per tutt mod n cu s possono scambare quelle nel cclo (ovvero 9! Attenzone: non 0!, propro perché dobbamo tener conto del vncolo che le scatole costtuscono un cclo). Detto n formule, che forse s capsce meglo: P 8 8!9! 0 8! = = 8! 0 8! 0 = 0 7

18 Numero 3 Dcembre 009 Allo stesso modo, P sarà /, P sarà /, e così va. In generale, con un numero d ragazz N e la possbltà d aprre N/ scatole (lascatem scrvere l numero de ragazz N come N=n), s avrà: Psuccesso = Pn+ Pn+... Pn=... n + n + n Nel nostro specfco caso, trovamo qund: Psuccesso = Et volà. In crca un terzo de cas, c s salva. È vero che questa probabltà d vttora è nferore a quelle trovate con metod degl altr vostr solutor, ma non abbamo dovuto barare : non abbamo avuto bsogno d scambare posto alle scatole, né d far parlare ragazz, né d farl comuncare n alcun modo. Insomma, l bello d questo metodo è che funzona anche con scatole d puro marmo d Carrara da una tonnellata l una, e persno se le scatole e ragazz non del turno s trovano n stanze dverse. Nente trucco, nente nganno. E se po nvece era davvero un test d ngresso per un partto poltco, come sntetzzato splenddamente da Gnugnu, m sa che ho fallto mseramente. Oh, bhè, tanto le elezon sono ancora dstant... E meno male... Non so se avete notato che orma lettor d RM s parlano tra le soluzon e s fanno complment a vcenda. Pensate che pubblchamo solo una parte d quello che rcevamo 5.. Bungee Jumpers Ne faccamo sempre una. Il mese scorso l BJ aveva TRE part, e solo la prma era rsolta a Pagna 46. Come se non bastasse per fornre un pccolo addendo d soluzone n queste pagne, sono arrvate parecche soluzon alternatve, così eccoc qu. Comncamo con la soluzone d Smone, che rprende l Grande Capo: Facco solo una pccola osservazone rguardo alla formulazone del problema: In realtà l punto M l punto andava preso sulla crconferenza, e non sul cercho e nfatt nella dmostrazone che avete fornto a pagna 46 M vene preso sulla crconferenza. Io, che quando problem sono costtut d pù punt, ho l pessmo vzo d leggere solo un punto alla volta, ho tentato nutlmente d dmostrare l asserzone consderando M come un punto qualunque del cercho. Poco male, senza rendermene conto avevo dmostrato l asserto oggetto della SECONDA PARTE (me ne sono accorto solo successvamente, quando fnalmente m sono decso a prosegure la lettura delle altre due part del problema). Ed ecco come dmostra l resto: Parte Seconda Assumamo che M s trov nella regone pana ndvduata dall angolo convesso delmtato dalle semrette O A e O A. Sa l=mo. Ponendo =AO M s ha che 8

19 Numero 3 Dcembre 009 π AOM = α n π A3OM = α n... π AnOM = ( n ) α n Applcando l teorema d Carnot a trangol AMO =,,..., n s trova che: A M A M A M... 3 A M n Per cu A M = l = l = l = l + R + R + R + R lr cosα π lr cos α n π lr cos α n π lr cos ( n ) α n π π ( l + R ) lr cosα + cos α cos ( n ) An M = n α n n Poché, n base all denttà vsta nel numero 9, s ha che ( n ) π π snπ π cos α + cos α cos ( n ) α = cos α + = 0 n n π sn n n +... R, che è l rsultato che s doveva dmostrare. Parte Terza Sa M la proezone ortogonale d M sul pano del polgono. Sa x=m O e sa h=mm. Per l teorema d Ptagora s ha che: A M = A M ' h per =,,..., n e S trova A M + An M = n( l + ) l + = OM = x h. Pertanto A + M + AM An M = A M ' + AM ' An M ' + nh. Poché, n base a quanto dmostrato nella PARTE, s ha che: A M ' + A M ' An M = n R + x, ' ( ) e qund A M A M + + An M = n( R + x ) + nh = n( R + ) +... l, che è l asserto che s doveva dmostrare. A questo punto c s potrebbe rtenere soddsfatt, ma mentre l Capo s chedeva dove aveva dmentcato le due part mancant, ecco che arrva Alberto R., che precsa: 9

20 Numero 3 Dcembre 009 Leggo su Bungee Jumpers d RM 30 un problema dvso n tre part rguardante la somma de quadrat delle dstanze de vertc d un polgono regolare da un punto M. Po, alla pagna 46 trovo la soluzone solo della prma parte. Non entro n merto al calcolo peno d sen e cosen, ma m domando: perché fatcare tanto quando cò che s vuol dmostrare è una conseguenza mmedata del noto teorema d Huygens/Stener su moment d nerza? Peraltro utlzzando detto teorema s scopre che non è necessaro che l polgono sa regolare; basta che sa scrtto n un cercho e che l barcentro d masse untare poste a suo vertc concda con l centro del cercho, cosa che, ad esempo, accade con qualunque rettangolo. Vedete? E non è ancora tutto, c è anche la soluzone d Franco57: V propongo la soluzone che ho elaborato per l problema del Bungee Jumpers dell ultmo numero che può nteressare non solo perché è completamente dversa, ma anche perché mostra una formula pù generale. In uno spazo eucldeo d qualsas dmensone, prendamo gl n punt A, A, L, A n a caso, senza nessun vncolo e calcolamo la somma S (M ) de quadrat delle dstanze d ess da un altro punto M, utlzzando l prodotto scalare x,, x, y, L y = x y + L + x k y : ( L ) (, ) k S( M ) = = A, A A M = A M A, M + n = M, M A M, A M = = A, A ( A, A A, M + M, M ) n essendo B = n A l barcentro degl n punt. Abbamo n partcolare che S( B) = A, A n B, B + n B, B = A, A n B E n defntva che: B, M, B + n M, M S( M ) S( B) = n B, B n B, M + n M, M = n M B, M B = n M B S( M ) S( B) = n MB La formula trovata c dce che l luogo geometrco de punt per cu la somma de quadrat delle dstanze da punt A è costante è una (per-)sfera dello spazo eucldeo, essendo S(B) mnmo s raggunge quando M concde col barcentro B. una costate che dpende solo dall nseme stesso. Inoltre l Poché abbamo fatto uso solo delle propretà algebrche del prodotto scalare, la formula è n realtà valda n tutt gl spaz con prodotto scalare nterno su uno spazo vettorale ( come gl spaz d Hlbert. Nella forma S( M ) = S( B) + MB, la propretà è estensble anche n n ad un nseme contnuo sosttuendo le sommatore con gl ntegral con ed n con la msura dell nseme. = 0