Intersezioni e collisioni

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1 Intersezioni e collisioni Dove si descrivono i principali algoritmi per verificare l intersezione tra oggetti geometrici o rilevarne la collisione Introduzione Richiami di geometria analitica Intersezioni Tecniche di pruning

2 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 1 Introduzione Studieremo ora problemi di intersezione tra oggetti geometrici, ed in particolare vedremo prima alcuni test di intersezione esatti (narrow phase) e poi strategie che servono ad sfoltire rapidamente (pruning, culling) oggetti della scena che non intersecano l oggetto geometrico di interessse (broad phase), il quale sarà un altro oggetto dcella scena, una semiretta (raggio), o il view frustum a seconda delle applicazioni: Collision detection, ovvero rilevare una situazione di collsione tra due oggetti. Ray casting/tracing, dove sono fondamentali intersezioni tipo raggio-oggetto. View Frustum culling (VFC): consiste nell eliminare parti della scena che non intersecano il volume di vista. Può essere visto come un problema di collision detection con il volume di vista (frustum). Il test di intersezione statico come noi lo tratteremo non esaurisce l argomento collisione in ambienti dinamici. Esistono metodi specifici (che non tratteremo) metodi per la collisione di oggetti in movimento, che sfruttano pesantemente la coerenza temporale del moto.

3 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 2 Richiami di geometria analitica Vediamo ora di richiamare alcuni concetti di geometria analitica; in particolare siamo interessati a trovare le equazioni che descrivono alcune figure geometriche importanti dal punto di vista della grafica. Rette: sono identificabili da un punto qualsiasi Q che giaccia sulla retta e da una direzione data da un versore u. È facile vedere che sono il luogo dei punti dati dalla seguente equazione P = Q + tu t IR. In termini di componenti si vede facilmente che vale la seguente equazione x x Q u x = y y Q u y = z z Q u z Se si vuole specificare una retta dati due punti R e Q che vi appartengono, basta usare le formule date qui sopra tenendo conto che il versore che identifica la retta è dato da u = R Q R Q. Semiretta: Se si pone t 0 nella equazione della retta si ottiene l equazione della semiretta con origine in Q orientata come u.

4 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 3 Segmenti: abbiamo già visto che il segmento che unisce i due punti R e Q può essere scritto come il luogo dei punti che hanno la seguente forma P = Q + t(r Q) t [0, 1] Sfere: dato il centro della sfera O ed il suo raggio r, i punti della superficie sferica sono dati dall equazione P = O + ru dove u è un versore generico. Si dimostra facilmente che, in termini delle coordinate, la superficie sferica è data dall equazione (x x O ) 2 + (y y O ) 2 + (z z O ) 2 = r 2 Piani: un piano nello spazio 3D può essere identificato da 3 punti non allineati P, Q ed R. Il luogo dei punti che descrive tale piano è dato dalla combinazione affine S = αp + βq + γr α, β, γ IR, α + β + γ = 1. Alternativamente si può definire un piano a partire da un punto Q che vi appartiene e da un vettore u che ne identifica la normale come il luogo dei punti P tali che (P Q) u = 0

5 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 4 In termini di coordinate abbiamo (x x Q )u x + (y y Q )u y + (z z Q )u z = 0 Per passare dalla prima alla seconda rappresentazione basta prendere come punto Q e come vettore u = (P Q) (R Q) Semispazi: il piano di cui sopra identifica due semispazi, uno positivo ed uno negativo: (P Q) u > 0 (P Q) u < 0 Poliedri: l intersezione di più semispazi negativi forma un cosiddetto poliedro convesso (in questa definizione rientrano anche poliedri non limitati). Il vettore normale ad una faccia punta verso l esterno del poliedro del un poliedro.

6 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 5 Intersezioni Nella grafica 3D un problema comune è quello di determinare se una data retta interseca o meno un oggetto geometrico; tale problema sorge per esempio nel ray casting, nella determinazione delle ombre ed, in generale, nel ray tracing. Iniziamo con alcune formule per calcolare l intersezioni tra rette e varie figure geometriche, utili per la grafica 3D; in tutti i casi la retta è descritta dalla sua equazione vettoriale P = Q + tv e la soluzione equivale a trovare il valore di t per cui si ha intersezione. Il caso per la semiretta con origine in Q è uguale solo che alla fine bisogna controllare il segno di t. Si ha intersezione solo se t > 0. Alla fine vediamo anche un algoritmo semplice per il determinare se due poliedri si intersecano (non restituisce il volume di intersezione, è solo un test).

7 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 6 Intersezione Retta-Sfera Data una sfera di centro O e raggio r, ed una retta P = Q + tu si vuole determinare se la retta interseca o meno la sfera. Q P a P b r O P Si calcola il punto P 0 sulla retta che è più vicino a O. Se questo è interno alla sfera allora la retta la interseca, altrimenti no. Il segmento (P 0, O) deve essere ortogonale alla retta, dunque: (P 0 O) u = 0 Sviluppando questa equazione ponendo P 0 = Q + t 0 u e tenendo conto che u u = 1, si ottiene: t 0 = (O Q) u. Per controllare se il punto P 0 è interno alla sfera basta verificare se P 0 O 2 r 2.

8 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 7 Per calcolare i punti di intersezione serve la lunghezza a, che si ottiene semplicemente come a = r 2 b 2 dove b = P 0 O. i due punti in cui la retta interseca la sfera sono dunque: P 1 = Q + (t 0 a) u P 2 = Q + (t 0 + a) u.

9 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 8 Intersezione Retta-Piano L eventuale punto di intersezione tra la retta P = Q + tv ed il piano (O P ) u = 0 deve soddisfare l equazione:. (O Q tv) u = 0 Dunque si ottiene per t 0 la seguente soluzione che ha senso se u v 0. t 0 = (O Q) u u v Infatti se u v = 0 la retta è parallela al piano (e dunque non lo interseca).

10 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 9 Intersezione Retta-Poligono Per prima cosa si fa un test per vedere se la retta interseca il piano contenente il poligono. Quest ultimo è descrivibile semplicemente da uno dei vertici del poligono e dalla normale a questo (calcolata per esempio con il prodotto vettore). Se la retta non interseca tale piano allora sicuramente non interseca nemmeno il poligono. Nell caso di intersezione bisogna determinare se il punto di intersezione giace o meno nel poligono, con uno dei metodi della geometria computazionale che abbiamo studiato.

11 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 10 Intersezione Retta-Poliedro Sia data la solita retta P = Q + tv e siano dati n piani identificati dai punti O n e dai vettori u n. Ci si chiede se e dove la retta interseca il poliedro convesso definito da tali piani. Un poliedro convesso è l intersezione dei semispazi (negativi) delimitati dai piani contenenti le sue facce. Una retta (orientata) che interseca un piano crea una semiretta orientata che ha origine nel punto di intersezione e si estende illimitatamente nella direzione della retta. Ciascuna intersezione è classificata come entrante o uscente a seconda che la retta orientata entri nel semispazio negativo o ne esca, rispettivamente (entra se u v < 0). È immediato verificare che, se t i è il valore di t per cui il piano i-esimo interseca la retta, il segmento di retta contenuto all interno del poliedro è delimitato dal massimo t i entrante e dal minimo t i uscente. Se i valori sono invertiti l intersezione è nulla.

12 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 11 Si procede dunque nel seguente modo: 1. Si settano due valori t 0 = e t 1 = 2. Per ogni piano i si cerca l intersezione della retta con il piano Se la retta non interseca il piano corrente (è parallela) e giace alla destra del piano, allora è esterna al poliedro, e si esce. Se la retta interseca il piano corrente in entrate e t i > t 0 allora t 0 = t i Se la retta interseca il piano corrente in uscita e t i < t 1 allora t 1 = t i 3. Dopo aver iterato su tutti i piani l intersezione è data dal segmento delimitato dai punti Q + t 0 v e Q + t 1 v, se t 1 > t 0. Altrimenti non si ha intersezione. Nel caso di intersezione con la semiretta, si considerano solo i valori di t 0 > 0. Nel caso di parallelepipedi le cose si semplificano, possiamo trattare contemporaneamente coppie di facce parallele.

13 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 12 Intersezione Poliedro-Poliedro Si vuole rilevare se due poliedri convessi si intersecano. controllo se uno dei vertici di uno è contenuto nell altro (deve stare nel semipiano negativo di tutte le facce). controllo se i lati di uno intersecano le facce dell altro controllo se sono due poliedri identici e coincidenti. Il punto 2 si fa nel seguente modo: test di intersezione segmento (lato) con piano contenente la faccia (gli estremi del segmento devono avere distanza segnata discorde rispetto al piano) determino la posizione del punto di intersezione rispetto alla faccia (poligono)

14 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 13 Intersezione di AABB Un AABB è un parallalelpipedo con i lati paralleli agli assi coordinati (Axis Aligned Bounding Box). Vedremo tra breve perché è un solido importante. Determinare se due AABB si intersecano è molto più semplice che fare il test di intersezione per poliedri. L algoritmo che vedremo è simile (ma molto più semplice) allla tecnica di sweep per intersezione di segmenti. L idea base è che due AABB si intersecano se e solo se le loro proiezioni su ciascun asse coordinato si intersecano.

15 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 14 Il problema si scompone quindi in tre problemi unidimensionali: trovare se un insieme di intervalli sulla retta si intersecano. Si ordinano gli estremi deli inervalli in una lista, mantendo l innformazione circa il tipo di estremo (inferiore o superiore) e l identità dell inervallo. Si scandisce la lista: ogni volta che si incontra un estremo inferiore si pone l intervallo corrispondente in una lista di intervalli attivi e si stabilisce che gli intervalli attivi si sovrappongono. ogni volta che si incontra un estremo superiore si toglie l intervallo dalla lista.

16 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 15 Tecniche di pruning Poiché i test di intersezione sono costosi computazionalmente, è importante poter determinare velocemente quando due oggetti geometrici non si intersecano. Queste tecniche di sfoltimento prendono il nome di tecniche di pruning o broad phase. Le principali tecniche sono: bounding volume space partitioning hierarchical bounding volumes Si considerano oggetti convessi. Se non lo sono, si spezzano in parti convesse.

17 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 16 Bounding volume La prima tecnica per sgrezzare le intersezioni consiste nel racchiudere gli oggetti in volumi che li contengono, con i quali sia facile testare l intersezione: se non c è intersezione con il bounding volume non c è intersezione con l oggetto racchiuso. Tipici bounding volumes sono sfere, parallelepipedi con i lati paralleli agli assi cartesiani (AABB, da axis aligned bounding box), oppure parallelepipedi generici (OBB, da oriented bounding box) Sphere AABB OBB

18 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 17 Space partitioning La seconda tecnica sfrutta una partizione gerarchica dello spazio in regioni, come quelle offerte da quad-tree, k-d tree e BSP tree. Vediamo due esempi con BSP tree (l idea è la stessa del depth sorting). BSP tree per ray tracing. L albero divide lo spazio in regioni. Ogni oggetto appartiene a una o più regioni. Per ciascuna regione che il raggio interseca viene fatto il test di intersezione per gli ogggetti di quella regione. BSP tree per View Frustum Culling (VFC). Si visita l albero ed ad ogni nodo si controlla se il frustum non intrseca il piano associato al nodo (sostituendo le coordinate dei 5 vertici del frustum nell equazione del piano i segni devono essere concordi). Se è così l intero sottoalbero associato al semispazio che non contiene il frustum può essere eliminato.

19 Grafica al Calcolatore Intersezioni e collisioni - 18 Hierarchical bounding volumes Questa terza tecnica è un ibrido tra le prime due. Si costruiscono gerarchie di bounbding volumes, dove al livello più alto si ha un volume che racchiude tutta la scene, ed al livello più basso si hanno bounbding volumes per i singoli oggetti. È stata introdotta per il ray tracing.