APPLICAZIONI LINEARI dell AMPLIFICATORE OPERAZIONALE. Antonio Palladino

Transcript

1 PPLICZIONI LINEI dell MPLIFICTOE OPEZIONLE d ntn Palladn

2 Smmar Generale mplcatre Operaznale Ideale pag. Cngurazne Inertente pag. 4 Cngurazne Nn Inertente pag. 6 Inegutre d Tenne pag. 8 Smmatre Inertente pag. 9 Sttrattre pag. Deratre Inertente Ideale pag. 4 Deratre Inertente tt pag. 8 Integratre Inertente Ideale pag. Integratre Inertente tt pag. 4 mplcatre Lgartmc e ntlgartmc pag. 7 Crcut Mltplcatre pag. 9 Crcut Dre pag. 30 Cdca PCM pag. 3 Campnament pag. 3 Crcut Sample & Hld pag. 33 Trarmata d Laplace pag. 35 luzne d un equazne derenzale pag. 37 Lgartm pag. 39 Prgramm Matlab pag. 4 Bblgraa pag. 4

3 Premea Nel eguente lar engn preentate le prncpal applcazn dell mplcatre Operaznale; dp un ntrduzne rguardante le carattertche dell mplcatre peraznale - deale, n llutrat crcut tatc (enza cndenatr): la cngurazne nertente, la cngurazne nn nertente, l mmatre ed l ttrattre. Succeamente n tat analzzat crcut dnamc (cn cndenatr): l deratre deale ed att, l ntegratre deale ed att. Nella trattazne d quet 4 crcut è att rerment a dagramm d Bde, alla trarmazne d Laplace, alla rluzne dell equazn derenzal. In egut n tat analzzat l amplcatre lgartmc e antlgartmc, e, acend rerment alle nte prpretà matematche de lgartm, crcut mltplcatr e dr. L ultm argment arntat è tat l crcut Sample & Hld; la trattazne è tata nerta nella tematca pù ata della cdca PCM e del campnament.

4 MPLIFICTOE OPEZIONLE IDELE L mplcatre peraznale è un de cmpnent pù uat dell elettrnca attuale, a nel camp lneare che n quell nn lneare. È reperble n cmmerc cme crcut ntegrat mnltc (cè è un neme d cmpnent elettrnc lnear e nn, realzzat u d un unc chp d lc), d ct mlt ba. In quet paragra eamna l amplcatre peraznale deale ( le cu carattertche nn dctan mlt da quelle del cmpnente reale, reperble n cmmerc), n quant, per cmprendere l unznament della qua ttaltà delle amplcazn, rulta ucente l mmagne terca del cmpnente. Le carattertche dell amplcatre peraznale deale n: etenza d ngre nnta Guadagn n catena apert nnt etenza d ucta nulla Banda paante nnta Tenne d ucta nulla cn tenne d ngre nulla. In gura è ndcat l mbl dell amplcatre peraznale, n gura B appan cllegament cn almentazne e rerment d maa e n gura C è rprtat l crcut dnamc. g. Smbl dell amplcatre peraznale g. B Stema d dppa almentazne per un amplcatre peraznale

5 Negl chem che egurann, per emplctà graca, metterann termnal d almentazne, mmetrc rpett al rerment d maa. g. C Crcut equalente emplcat d un amplcatre peraznale. retenza d ngre; ut retenza d ucta; * generatre deale d tenne. Nelle gure, B e C n ndcat gl ngre d egnale e l egn che appare ndca rpettamente l ngre nertente (egn -) e quell nn nertente (egn ). Il gncat d tale dtnzne è l eguente: Se applca un egnale all ngre nertente, mentre quell nn nertente è cllegat a maa, l ucta amplcata arà ae ppta a quella del egnale d ngre. Se applca un egnale all ngre nn nertente, mentre quell nertente è cllegat a maa, l ucta amplcata arà ae uguale a quella del egnale d ngre. Le enuncazn precedent cnentn d trarre alcune mprtant cneguenze: Se a due ngre engn multaneamente applcat egnal ugual, n ae d ucta ttene un egnale null (mpl. Op. deale). Pù n generale, deduce che l dpt amplca la derenza tra due egnal d ngre. È ntereante erare che queta prpretà rende pble l elmnazne, nel dpt, degl eentual dturb d rete preent nel tema d almen-

6 tazne, perché appan multaneamente ed n ae a due ngre, ed hann, qund, eett null ull ucta. 3

7 CONFIGUZIONE INETENTE S Per calclare l guadagn, applcham l Prncp d Krchh al nd e ha: e ma pché l amplcatre peraznale arbe crrent pcclme, e può tracurare, qund. pplcand l Prncp d Krchh alla magla d ngre n en rar, ha: 0 pplcand l te prncp alla magla d ucta n en antrar, ha: 0 Pché è crca uguale a 0, ttengn le due epren: 0 0 Da quete ha: S S 4

8 O Ddend membr a membr ttene l guadagn: Eend ugual e, ha che: La ESISTENZ D INGESSO è uguale alla rapprt tra tenne ngre e crrente d ngre: S può dmtrare che la ESISTENZ DI USCIT tende a 0: > 0. La retenza d ucta dell amplcatre peraznale ad anell apert tende a zer (nella realtà è pche decne d Ohm). pplcand la retrazne cn, la retenza d ucta rduce ancra d pù e qund a maggr ragne > 0. NOT. S è dett che 0; ma B ; qund ha B 0 > B. I due nd e B hann l te ptenzale. Ora B è a maa, qund B 0. Sarà allra anche B 0. Il mrett, pur nn eend camente cllegat a maa, è cme e l e, aend ptenzale null. S dce che è a Maa rtuale. 5

9 CONFIGUZIONE NON INETENTE CC Per calclare l guadagn ccrre applcare l Prncp d Krchh al nd, ttenend c la relazne:, ma, pché l amplcatre peraznale arbe crrent pcclme, può tracurare; qund arem che ; tutta la crrente cende n S e due retr rultan rtualmente n ere. Per la legge d Ohm ha p: O S Sempre per la legge d Ohm ha: S S S O pplcand l Prncp d Krchh alla magla d ngre n en rar ha: 0 6

10 e pché per un amplcatre peraznale lneare rulta crca uguale a 0, ha 0 da cu: Il guadagn arà uguale a: O Cme può aclmente erare, l guadagn rulta empre pt e maggre al lmte, uguale ad un. S può dmtrare che la ESISTENZ D INGESSO tende ad nnt. La retenza d ngre dell amplcatre peraznale ad anell apert tende all nnt. S dmtra p che, a caua della retrazne negata, cn la cngurazne nn nertente l alre dene ancra pù eleat. >. S può, nltre, dmtrare che la ESISTENZ DI USCIT tende, nece, a 0; > 0. La retenza d ucta dall amplcatre peraznale ad anell apert tende a 0 (nella realtà è pche decne d Ohm). pplcand la retrazne negata cn, la retenza d ucta rduce ancra d pù e qund, a maggr ragne, rulta > 0. NOT. Nella cngurazne nn nertente nn c è la maa rtuale. È er che due mrett e B hann l te ptenzale, ma neun d e è cllegat a maa. 7

11 INSEGUITOE DI TENSIONE CC - CC L negutre d tenne è un crcut mlt uat n Elettrnca. E può ttenere cme ca partclare della cngurazne nn nertente. Se natt nella cngurazne nn nertente cnderam par a zer l retre d retrazne (ttuendl cn un crt crcut) e para ad nnt l retre che cllega l mrett pt alla maa (ttuendl cn un crcut apert, cè elmnandl cmpletamente), tterrà prpr l crcut pra ndcat. edam allra quale arà l guadagn d tale crcut: O 0 0 Se l guadagn è untar, rrà dre che l ucta arà perettamente uguale all ngre, er, l ucta negue l ngre. crdam nltre che, trattand d una cngurazne nn nertente, la ESISTENZ D INGESSO tende ad nnt e la ESISTENZ DI USCIT tende, nece, a 0; quete carattertche rendn quet crcut adatt n tutte quelle tuazn nelle qual è necear accppare elettrcamente due crcut enza che cren eett d carc. 8

12 9 SOMMTOE INETENTE pplcand l Prncp d Krchh al nd ha che: 3 e ma eend e 0, ha: 3. pplcand l Prncp d Krchh alla magla d ngre cn (en rar): 0 eend 0, ha: 0 nalgamente rcaan: ; pplcand l Prncp d Krchh alla magla d ucta (en antrar): 0 eend 0, ha: 0 3 ;

13 0 Ora ttuend nella relazne nzale 3 le epren trate, ha: Quet è l legame ngre ucta. Per gnun de mrett d ngre è denta una retenza d ngre. La retenza d ngre del mrett è uguale al rapprt tra la tenne d ngre del mrett e la crrente d ngre del mrett: nalgamente ; 3 3. È mprtante ttlneare che anche n quet ca, cme nella cngurazne nertente, l mrett è a maa rtuale.

14 SOTTTTOE caam l legame ngre-ucta (I/O). Pché l crcut è lneare, ed ha due ngre, può applcare l prncp d rappzne degl eett. ngre: preente, aente ( 0 ; 0) Dbbam trare ' n unzne d '. Cme ede, tra ' e ' c è una cngurazne nn nertente: ra ccrre rcaare l legame tra e ' : l mplcatre Operaznale (.O.) nn arbe crrente, pertant la crrente, da cende tutta n. Per la legge d Ohm ha:

15 empre per la legge d Ohm ha (tale relazne può anche rcaare medante l parttre d tenne). Inne: ngre: aente; preente ( 0 ; 0). chema chema Ora dbbam trare " n unzne d. Cme può ntare, abbam caplt l chema ed abbam ttenut l chema ; embra qua una cngurazne nertente. Oeram che l.o. nn arbe crrente, qund all ntern d e nn paa crrente. Baandc ulla legge d Ohm: ( ) 0 // Il mrett è a ptenzale null, qund è pratcamente a maa. Pam allra aermare d eere d rnte ad una cngurazne nertente:

16 La generale è data dalla mma delle due ucte:

17 DEITOE INETENTE IDELE nal nel dmn del Temp pplcand l Prncp d Krchh al nd d ngre ha: e ; e 0 >. pplcand l Prncp d Krchh ulla magla d ngre ha: c 0 ; 0 > c. pplcand l Prncp d Krchh ulla magla d ucta arem che: 0 ; 0 > - Per l cndenatre ale la relazne cttuta eend c ha: la tenne d ucta arà qund: d C dt qund la relazne ngre ucta è la eguente: d C dt dc C ; dt d C dt ; e cme può ntare l ucta è uguale alla derata dell ngre mltplcata per una ctante negata. 4

18 nal nel dmn d Laplace Z ( ) ( ) C Z( ) C Otterrem cì la unzne d traerment che è: ( ) C nal nel dmn d Furer Calclam la rpta armnca: ( jω) ( ) C jω C jω ( jω) jω C jω 5

19 Dagramm d Bde La unzne d traerment preenta un zer nell rgne. Incnenent del deratre nertente deale Il deratre nertente deale ha l ncnenente d amplcare ecceamente dturb n alta requenza che accmpagnan gn egnale elettrc. F U BF edam perché: un quala egnale è empre accmpagnat da dturb n baa requenza e n alta requenza. Sa (t) l egnale ttale che glam derare: e può qund cmprre nella mma del egnale utle u (t) 6

20 cn l dturb ad alta requenza DF (t) e cn l dturb a baa requenza DBF (t).quand l egnale ene derat, ltre alla parte utle engn derat anche dturb. Ora l dturb a baa requenza è derat cn un amplcazne BF, nerre a quella U cn cu ene derat l egnale utle, e cò è antagg. Inece, l dturb n alta requenza ubce un amplcazne F uperre a quella del egnale utle: F > U. Qund, cn quet tp d deratre, la quta d dturb n alta requenza rpett al egnale utle ene ad aumentare ntelmente nel paagg dall ngre all ucta. 7

21 DEITOE INETENTE TTIO nal nel dmn del temp ll cp d emplcare la trattazne, nn eegurem drettamente l anal del crcut nel dmn del temp, ma rcaerem l legame ngre-ucta eeguend la nttrarmata d Laplace della unzne d traerment. nal nel dmn d Laplace Z ( ) Z ( ) ( ) C C C C C Mltplcand e ddend per, ha: Z ( ) Z ( ) ( ) C C C C de è pt: par al guadagn della cngurazne nertente (- / ); par alla ctante d temp C del crcut. La unzne d traerment è qund: ( ) 8

22 nal nel dmn del temp Sapend che la.d.t. è uguale al rapprt tra la trarmata d Laplace dell ucta e la trarmata d Laplace dell ngre, ha: ( ) ddend tutt per la ctante d temp t ha: eeguend la nttrarmata d Laplace ha nne l equazne derenzale che decre l crcut: d dt d dt nal nel dmn d Furer ( jω) ( ) C jωc jω C jω C jω jω jω Dagramma d Bde La.d.t. preenta un zer nell rgne e un pl der da zer. 9

23 tn /0 tn tn 0 Cn tn ndcham la requenza d tagl nerre: n t π C Quet crcut rulta eere un deratre nertente per requenze d lar cmpree tra 0 e tn /0; per requenze d lar uperr a >0 tn, ha un guadagn ctante ( () - / ), e cmprta cme una nrmale cngurazne nertente. Qund, e l ede cme un amplcatre nertente, e nn amplca ugualmente a tutte le requenze, ma l a partre da tn * 0 n p. È, cè, un amplcatre delle alte requenze (Paa lt). Se nece l ede cme un deratre, bgna precare che e dera l egnal cn requenze cmpree tra 0 e tn / 0; egnal a requenze uperr nn engn derat. derenza del deratre deale, dturb n alta requenza ubcn un amplcazne lmtata e nn ute l ncnenente d una eccea amplcazne d tal dturb; cl deratre deale, nece, maggre era la requenza del dturb e pù alta rultaa la relata amplcazne. In quet ca, dturb n alta requenza hann empre l te guadagn. 0

24 INTEGTOE INETENTE IDELE nal nel dmn del temp Prncp Krchh magla d ngre: - 0; 0; Prncp Krchh magla d ucta: c 0; 0; - c Per l cndenatre ale la relazne cttuta d C ; dt d. dt C C d dt C C d dt dc C ; dt Integrand entramb membr da 0 a t (ntegrale dent) ha: t d dt t dt dt; ( t) ( ) C C t dt; ( t) t ( ) C dt; L ucta è uguale all ntegrale dell ngre, mltplcat per una ctante negata, pù l alre O (0), che rappreenta l alre dell ucta tea all tante 0 (carca nzale ul cndenatre).

25 nal nel dmn d Laplace Z ( ) C ( ) Z ( ) C C Otterrem cì la unzne d traerment che è: ( ) C nal nel dmn d Furer Calclam la rpta armnca: ( jω) ( ) jω C jω jω C ( jω) jω C Dagramm d Bde La unzne d traerment preenta un pl nell rgne.

26 Incnenent ntegrale deale Segnale ttale: (t) u (t) da (t) db (t) (t): è l egnale ttale u (t): è l egnale utle da : Dturb ad alta requenza db : dturb a bae requenza Quand un egnale ene ntegrat, engn ntegrat anche dturb. Ora l dturb ad alta requenza è ntegrat cn un amplcazne 3 nerre a quella cn cu ene ntegrat l egnale utle, e cò è antagg.il dturb n baa requenza, nece, ubce un amplcazne ben uperre a quella del egnale utle: > 3. Se, p, l dturb n baa requenza e cttut da un egnale ctante, eppure pcclm, e ubrebbe un guadagn nnt. 3

27 INTEGTOE INETENTE TTIO nal nel dmn d Laplace Z ( ) Z ( ) C // ( ) C C ( ) C C C C C de è pt: par al guadagn della cngurazne nertente (- / ); par alla ctante d temp C del crcut. La unzne d traerment è qund: ( ) nal nel dmn del temp nche qu, cme nel ca del deratre att, nn eegurem drettamente l anal del crcut nel dmn del temp, ma rcaerem l legame ngre-ucta eeguend la nttrarmata d Laplace della unzne d traerment. S ha allra: 4

28 5 ) ( ddend tutt per la ctante d temp t ha: eeguend la nttrarmata d Laplace ha nne l equazne derenzale che decre l crcut: dt d nal nel dmn d Furer ω ω ω ω ω j C j C C j j j ) ( ) ( Dagramma d Bde La.d.t. preenta un pl der da zer.

29 tn /0 tn tn 0 Cn tup ndcham la requenza d tagl nerre: C t up π Quet crcut rulta eere un ntegratre nertente per requenza d lar > tup *0; per requenze d lar nerre a tup / 0, ha un guadagn ctante( - / ), ed è cme una nrmale cngurazne nertente. Qund, e l ede cme un amplcatre nertente, amplca egnal cn requenze che tran tra 0 e tup / 0. È, cè, un amplcatre cn ltragg delle bae requenze (Paa Ba). Se, nece, l ede cme ntegratre, bgna precare che e ntegra l egnal cn requenze uperr a tup 0; egnal a requenze nerre nn engn ntegrat. derenza dell ntegratre deale, dturb n baa requenza, cmprea la cmpnente cntnua, ubcn un amplcazne lmtata e nn ute pù l ncnenente d una eccea amplcazne d tal dturb; cn l ntegratre deale, mnre era la requenza del dturb, pù alta rultaa la relata amplcazne. 6

30 MPLIFICTOE LOGITMICO E NTILOGITMICO crdam preentamente la relazne cttuta d un Dd addrzzatre: I I 0 (e q/ηkt -) I 0 (e /η T-), pnend T kt/q ha I 0 (e / T -) I 0 e /ht per plarzzazn pte. Inertend la relazne I 0 e /ht ha: T lg( / I O ) mplcatre Lgartmc Inertente elazne Ingre-Ucta: 0 -; eend T ln ( / I 0 ) abbam: 0 - T ln( / I 0 ), ma pché e / ha qund: 0 - T ln ( /I 0 ) () La tenne d ucta è, a men d pprtune ctant, par al lgartm della tenne d ngre. Nta: S dee ntare che la () ale nché l dd è n cnduzne dretta, cè nché la tenne d ngre >0. 7

31 mplcatre ntlgartmc Inertente elazne Ingre Ucta: 0 - ; eend e I 0 e /T ha: 0 - I 0 e /t, ma ha e qund 0 - I 0 e /t () La tenne d ucta è qund, a men d pprtune ctant, par all epnenzale della Tenne d ngre (mplcatre Epnenzale ntlgartmc) Nta: nche la () ale nché l dd è n cndzne dretta, cè nché >0. I due crcut t pra n a "Baa dnamca", cè preentan l ncnenente che le relazn () e (), alde per >0, n rpettate n un range lmtat de alr d ngre. Per etendere la gamma d aldtà delle relazn (3) e (4) n un pù amp range d ngre, pe l dd è ttut da un BJT. N.B. L mplcatre lgartmc e antlgartmc n due dpt Nn Lnear, pché le perazn d lgartm ed epnenzal nn n Lnear. 8

32 CICUITO MOLTIPLICTOE Gl amplcatr lgartmc a antlgartmc pn eere uat per realzzare crcut mltplcatr e dr. edam l crcut mltplcatre d due egnal. I egnal da mltplcare an e ; e engn att entrare n due amplcatr lgartmc, da cu ecn rpettamente ln e ln ; ucceamente quet due egnal engn addznat (tramte un mmatre cn amplcatre peraznale) ttenend cì l egnale ln ln ; ra, rcrdand la prpretà de lgartm ecnd cu l lgartm d un prdtt è u- guale alla mma de lgartm de ngl attr ha: ln ln ln ( ). Il egnale cì ttenut ene nat n un amplcatre antlgartmc (epnenzale, che realzza la unzne ppta del lgartm: e ln ( ) L ucta è qund par al prdtt de due egnal d tenne n ngre. 9

33 CICUITO DIISOE Il crcut dre derce dal mltplcatre per l l att che l nd mmatre centrale è ttut da un ttrattre (empre realzzat cn.o.). Il quet md n ucta al ttrattre è preente l egnale ln - ln ; la prpretà de lgartm che applcham ra è quella ecnd la quale l lgartm d un quzente è uguale alla derenza ra l lgartm del ddend e l lgartm del dre ln - ln ln ( / ). Il egnale cì ttenut ene nat n un amplcatre antlgartmc (epnenzale, che realzza la unzne ppta del lgartm e qund ha: e ln (/) / L ucta è qund par al quzente de due egnal d tenne n ngre. Nta: Il mltplcatre e l dre n due dpt nn lnear, pché la mltplcazne e la dne n perazn nn lnear. 30

34 CODIFIC PCM La prma tecnca d cdca adttata nelle ret d telecmuncazne è tata la tecnca PCM (pule cde mdulatn). I prncp d tale tecnca n tat dent gà nel 938 da lec ee anche e, per mt d carattere tecnlgc, la ua prma applcazne n tem cmmercal rale al 96. Un cdec PCM dal lat della tramne eettua la cdca d un egnale analgc, caratterzzat da una banda banda nerre a 4 khz, n un egnale dgtale PCM caratterzzat da una elctà d emne ( bt rate) par a 64 kbt/, mentre dal lat della rcezne eettua la decdca, cè a partre dal egnale dgtale PCM rceut rprduce un egnale analgc prprznale a quell rgnar. Cdca PCM Lat tramne, la cdca n dgtale d un egnale analgc ecnd la tecnca PCM aene cncettualmente n due pa: cnerne analgc/dgtale, che mplca le perazn d: campnament del egnale analgc cn requenza par a 8 khz; cdca d gn campne eettuata cn almen bt/campne; cmprene dgtale del egnale; la dnamca del egnale ene cmprea n md dgtale per cnentre la rduzne da a 8 del numer d bt cn cu cdca gn campne. La elctà d emne d un cdcatre PCM rulta par a 64 kbt/. 3

35 Decdca PCM Lat rcezne engn eettuate le perazn nere rpett a quelle d tramne cè: epanne del egnale, n md da rprtare da 8 a bt / campne; cnerne dgtale/analgc (D/), che mplca le perazn d:. decdca; permette d trarmare gn grupp d bt n un campne aente una data ampezza;. quantzzazne; è duta al att che un campne ene cdcat cn un numer nt d bt (), per cu le ampezze de campn che pn rctrure n anch ee n numer nt e par a La quantzzazne ntrdtta da l prce d cnerne /D e D/ ene denta quantzzazne unrme ( lneare). Cn l prce d cmprene paa, p, a una quantzzazne nn unrme ( nn lneare); 3. rctruzne del egnale analgc a partre da campn decdcat. Tramte un ltragg è pble rttenere un egnale analgc tanzalmente prprznale a quell d partenza. Campnament e rctruzne del egnale analgc Il campnament è quell perazne che cnte nel preleare a nterall d temp reglar, dent da un clck d campnament che ne determna la requenza, de alr d ampezza aunt dal egnale analgc n ngre. I alr preleat engn denmnat campn. L cp del campnament è quell d generare un egnale, dett egnale campnat, che a cdcable enza ambgutà. Inatt un generc crcut d cnerne /D, a n bt, trarma un ngl alre d ampezza, cè un campne, n una equenza d n bt. Pché l crcut mpega un cert temp per eettuare la cdca, rulta edente che l alre d ampezza nn dee cambare nell nterall d temp d cdca. Ne deran due cneguenze:. la requenza d campnament è trettamente crrelata alla requenza mama del egnale n ngre, cme ndcat dal terema del cam- 3

36 pnament; è qund necear ltrare preentamente l egnale per denre cn precne la requenza mama del egnale analgc;. l campnament dee preleare un ngl alre da preentare al cdcatre. L perazne d campnament drebbe eere preché tantanea. C può chedere e l campnament cau men una dtrne del egnale. La rpta a queta dmanda è tata data da Claude E. Shannn tramte l enuncazne e la dmtrazne del terema del campnament ( d Shannn), che aerma quant egue. Dat un egnale analgc a banda lmtata, aente cè una requenza mama a nta, è pble campnare tale egnale e rctrure da e l egnale d partenza, enza alcuna dtrne, purché an ddatte due cndzn:. la durata d gn campne a nntema (n pratca mlt mnre dell nterall d campnament), n md tale da preleare enza ambgutà un l alre alla lta del egnale n ngre;. la requenza d campnament a almen dppa rpett alla requenza mama del egnale analgc. c > max Sample & Hld Un crcut d campnament è cì cmpt da due part:. un nterruttre elettrnc che, pltat dal clck d campnament, chude cclcamente per un brem nterall d temp, n md da ar paare lamente un alre alla lta del egnale analgc; l nterruttre realzza cì l campnament amplng;. un crcut d memra, realzzat uualmente cn un cndenatre, l quale mantene l alre del campne a lell ctante per tutt l temp necear alla cnerne /D. 33

37 Il cndenatre d memra carca al alre che aume un campne (l nterruttre chude) e ene carcat da un appt egnale, applcat a un nterruttre d carca, al termne della cnerne /D del campne te. l ne d cnentre un agganc rapd al nu alre da campnare, l crcut che precede l nterruttre dee aere un mpedenza d ucta mlt baa, ì da dar lug ad una ctante d temp (C) pccla (e la ctante d temp è pccla, l cndenatre carca elcemente). Inltre, per nn cauare la carca antcpata del cndenatre, prma che pa eere eettuata la cnerne crrettamente, è necear che crcut che egun l cndenatre preentn un mpedenza d ngre eleatma. E allra, n ngre all nterruttre ed n ucta al cndenatre ann applcat degl negutr d tenne (.O. n cngurazne nn nertente che rcrdam preentan retenza d ngre nnta e retenza d ucta nulla), ecnd l crcut che egue. 34

38 TSFOMT DI LPLCE In mlt ca l anal de tem lnear (tra e rentran tpc crcut dell Elettrtecnca cttut da etr, Induttr e Cndenatr) emplca ntelmente e rcrre a metd baat ulla trarmata d Laplace. La trarmata d Laplace d una unzne reale d arable reale (t) (n una unzne reale d arable reale a la arable ndpendente, a la arable dpendente n real), denta per t 0, è una unzne cmplea d arable cmplea F() (n una unzne cmplea d arable cmplea a la arable ndpendente, a la arable dpendente n cmplee) cì denta: F 0 t ( ) L[ ( t) ] e ( t) dt La trarmata d Laplace è denta qund attraer l calcl d un ntegrale dent. È pble nltre denre una trarmazne nera, detta anttrarmata d Laplace,che cnente d eettuare la trarmazne ppta alla precedente e cè d paare da una unzne cmplea d arable cmplea F() ad una unzne reale d arable reale (t). π a t ( t) L [ F( ) ] e F( ) d a In quet ca, l ntegrale è da calclare nel pan cmple, lung una retta ertcale cn aca ctante par ad a. Prncpal prpretà della trarmata d Laplace.. L [ t) ( t) ] L[ ( t) ] L[ ( t) ] F ( ) F ( ) ( La trarmata d Laplace della mma d due unzn è uguale alla mma delle ngle trarmate. 35

39 . L[ k ( t) ] k L[ ( t) ] La trarmata d Laplace del prdtt d una ctante per una unzne è uguale al prdtt della ctante per la trarmata della unzne. Quete due prpretà pn raumere dcend che la trarmata d Laplace è un peratre lneare. 3. d L dt ( t) F( ) ( ) Queta prpretà edenza che e trarma la derata d una unzne tterrà l prdtt d (arable cmplea) per la trarmata della unzne nn derata. edam cì cme alla derazne nel dmn del temp crrpnde una emplce mltplcazne per nel dmn d Laplace. 4. L t ( ) d F( ) 0 Queta prpretà dce che e trarma l ntegrale d una unzne tterrà l quzente tra la trarmata della unzne nn derata e. edam cì cme alla ntegrazne nel dmn del temp crrpnde una emplce dne per nel dmn d Laplace. 36

40 ISOLUZIONE DI UN EQUZIONE DIFFEENZILE prendam l equazne derenzale che decre l cmprtament ngre-ucta del crcut ntegratre att: d dt S tratta charamente d un equazne derenzale lneare (lneare ul dre che la e le ue derate cmpan empre e l cn epnente ) del rdne (l rdne d un equazne derenzale è l mam rdne d derazne preente nell equazne) a cecent ctant (l attre che mltplca la, /, è ctante). Il ecnd membr è uguale ad una ctante negata mltplcata per la unzne del temp (t), che rappreenta l ngre. Suppnam che la (t) a una rampa lneare: ( t) t l equazne derenzale caratterzza cì: d dt t Cnderam l equazne mgenea acata e rlamla: d dt d dt ln( 0 ; ) t c; d dt; e t c e d t e c dt; ke t d dt; t mg. () ke de dbbam rcercare una luzne dell equazne cmpleta; eend l ecnd membr una unzne plnmale della t, ptzzam che a anch ea un plnm, del rdne: a t b; 37

41 38 a dt d Sttuend nell equazne cmpleta ha: t b a t a t b t a a t b t a a t dt d ; ; ) ( ; dal cnrnt tra e membr ha: 0 b a a da cu rcaan a e b: a b a e qund la luzne d tentat ale: t b t a e partclar () La luzne cmpleta dell equazne derenzale ale allra: t ke t (3) glam nne calclare quella partclare luzne che dda la eguente cndzne nzale: 0 0) ( ttuend nella (3) ttene: k k ke ke 0 0 (0) 0 0 L'equazne dene cì: t e t ke t t ed nne: ] ) ( [ t e t

42 LOGITMI L equazne a x N ammette empre luzne, tt la la cndzne che a e n an numer pt ed a der dall untà. Il numer x che dda l equazne epnenzale dce lgartm del numer N a bae a e denta cn lg a N Le due equazn a x N e x lg a N n qund equalent ra lr, e cncluderem cl dre che l lgartm d un numer (pt), n una data bae (pta, dera da ), è l epnente che bgna dare alla bae per ttenere l numer dat. Prpretà de lgartm. Qualunque a la bae, lgartm gdn d mprtant prpretà che ra dmtrerem. Terema: Il lgartm d un prdtt è uguale alla mma de lgartm de ngl attr. S dee dmtrare che e m ed n n numer real pt lg a (m n) lg a m lg a n. Se pnam lg a m x e lg a n y Per denzne d lgartm ha m a x, n a y Mltplcand membr a membr ttene m n a x a y a x y E percò, empre per denzne d lgartm e per le pzn atte, lg a (m n) x y lg a m lg a n. Terema: Il lgartm d un quzente è uguale alla derenza ra l lgartm del ddend e l lgartm del dre, cè lg a (m / n) lg a m - lg a n. Pnam nuamente 39

43 lg a m x e lg a n y e qund m a x, n a y Ddend membr a membr, ene m / n a x / a y a x - y Percò lg a (m / n) x - y lg a m - lg a n. Terema. Il lgartm della ptenza d un numer è uguale al prdtt dell epnente per l lgartm del numer, cè lg a b m m lg a b Inatt, pnam lg a b x e qund b a x Eleand ambedue membr d queta eguaglanza alla m-ema ptenza, ha b m (a x ) m a m x Da cu, per denzne d lgartm e per la pzne atta, lg a b m m x m lg a b. 40

44 LISTTO DEI POGMMI MTLB PE L ELIZZZIONE DEI DIGMMI DI BODE DEI MODULI DIGMM BODE DEITOE IDELE 0e3; C59e-9; num[-*c 0];\ den[]; lgpace(0,4,000); me*p*; [md,ae]bde(num,den,me); G0*lg0(md); % % GFICO MODULO clg; emlgx(,g); ax([ ]); grd; ttle('dagramma d Bde del mdul'); xlabel('requenza [Hz]'); ylabel('mdul [db]'); DIGMM BODE INTEGTOE IDELE 0e3; C59e-9; num[]; den[-*c 0]; lgpace(0,4,000); me*p*; [md,ae]bde(num,den,me); G0*lg0(md); % % GFICO MODULO clg; emlgx(,g); ax([ ]); grd; ttle('dagramma d Bde del mdul'); xlabel('requenza [Hz]'); ylabel('mdul [db]'); DIGMM BODE DEITOE TTIO 0e3; 00e3; C59e-9; -/; tau*c; num*[tau 0]; den[tau ]; lgpace(0,4,000); me*p*; [md,ae]bde(num,den,me); G0*lg0(md); % % GFICO MODULO clg; emlgx(,g); ax([ ]); grd; ttle('dagramma d Bde del mdul'); xlabel('requenza [Hz]'); ylabel('mdul [db]'); % DIGMM BODE INTEGTOE TTIO 0e3; 0e4; C5.9e-9; /; num-*[]; den[*c ]; lgpace(0,4,000); me*p*; [md,ae]bde(num,den,me); G0*lg0(md); % % GFICO MODULO clg; emlgx(,g); ax([ ]); grd; ttle('dagramma d Bde del mdul'); xlabel('requenza [Hz]'); ylabel('mdul [db]'); 4

45 BIBLIOGFI Pultanò - Mete Matematche l. Mc Graw Hll Pultanò - Mete Matematche l. 3 Mc Graw Hll mbran Cmpnent e crcut analgc e d ptenza Tramntana mbrn Perlaca Stem d cnerne e nteraccament Tramntana 4