Modelli con orizzonte infinito Modelli con generazioni sovrapposte

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1 Marco Sandri Doorao di Ricerca in Maemaica Applicaa alle Decisioni Economiche dell Universià di Triese Modelli con orizzone infinio Modelli con generazioni sovrappose Universià di Verona VERONA

2 Capiolo 1 Consumo e invesimeni: i principali modelli con orizzone emporale infinio. 1.1 Il modello di Ramsey. Consideriamo un insieme di famiglie ideniche fra loro il cui numero cresce nel empo secondo la legge: N = N e n, cioè al asso cosane: Ṅ = dn /d = N e n n N N N e n = n. La forza lavoro si suppone coincida con la popolazione e quindi l offera di lavoro è inelasica. La produzione richiede lavoro e capiale K. La produivià si assume cosane nel empo. Il prodoo può essere consumao od invesio, cioè aggiuno allo sock di capiale esisene: Y = F(N,K ) = C + K, dove K = dk/d. Per semplicià assumiamo che il capiale non sia soggeo ad usura e che la funzione di produzione sia omogenea di grado 1 (1), ossia i rendimeni di scala sono cosani. 1 Sia daa la funzione f : A IR e (β, α) IR n IR, con f(β) = α, dove A IR n è ale che, se x A, anche β +(x β) A. Si dice allora che f è posiivamene omogenea di grado p rispeo al cenro di omogeneià (β, α), se si ha: f(β + γ(x β)) α = γ p (f(x) α). γ IR + \ {}. Nel nosro caso assumiamo che F sia omogenea di grado 1 nel cenro di omogeneià (, ): F(γN, γk ) = γf(n, K ) γ IR + \ {}, il che implica: F(N, K ) = N F(1, K N ) = N f(k ). 1

3 2 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI Ricordando che: k = d ( ) K = K N K N d N N 2 = K N K N n N 2 = K N nk, in ermini pro capie: f(k ) = F(N,K ) N = C + K N = c + k + nk, (1.1) dove le leere minuscole indicano i valori pro-capie. Assumiamo poi che la funzione f( ) sia sreamene concava, f (k) < per ogni k >, e che soddisfi le condizioni f() =, f () =, f ( ) =. Ipoizziamo inolre che l economia possieda una doazione iniziale di capiale ale da consenire l avvio del processo produivo: k >. Le preferenze delle famiglie relaive al consumo nel corso del empo sono rappresenae dalla seguene funzione inegrale di uilià (funzione di benessere ) che esprime il valore auale (al empo s) della somma delle uilià isananee u(c ): U s = s u(c )e θ( s) d (1.2) La funzione u( ) è noa come funzione di uilià isananea, o felicia. Si suppone che u( ) sia non negaiva, crescene e concava in relazione al livello di consumo pro-capie dei membri della famiglia: u(c) >, u (c) e u (c) < per ogni c >. Il asso θ è il asso di preferenza emporale, o asso di scono soggeivo, che ipoizziamo essere sreamene posiivo: < θ L economia pianificaa Supponiamo per il momeno che esisa un pianificaore cenrale il quale desidera massimizzare al empo = il benessere di ogni singola famiglia. Egli dovrà decidere per ogni isane quano la famiglia deve consumare e quano deve invece aggiungere allo sock di capiale per assicurarsi il consumo fuuro. Il problema che deve risolvere è perano: soo i vincoli: maxu = u(c )e θ d (1.3) La funzione di produzione del ipo Cobb-Douglas: k = f(k ) c nk (equazionediransizione) (1.4) F(N, K ) = cn p K 1 p con < p < 1, è un esempio di funzione omogenea di primo grado. Infai: F(N, K ) = N (cn p 1 K 1 p ) = N c ( ) 1 p K = N ck 1 p = N f(k ). N

4 L Hamiloniano associao al problema è : k > dao (1.5) k,c (1.6) u(c) >,u (c),u (c) < c > (1.7) f() =,f () =,f ( ) = (1.8) f (k) < k >. (1.9) H(c,k,λ ) = u(c )e θ + λ (f(k ) nk c ). Eviiamo di imporre espliciamene i vincoli di segno (1.6) sulla variabile di sao k e sulla variabile di conrollo c. Vale allora la seguene proposizione: Proposizione 1.1 Soo le ipoesi (1.5), (1.7), (1.8), (1.9), un seniero (k,c ) è oimo per il problema (1.3) se e solo se soddisfa le segueni condizioni: Dimosrazione. H (k,c,λ,) = (1.1) c H (k,c,λ,) = k λ (1.11) lim k λ =. (1.12) 1. (Necessià) Per quano concerne le condizioni (1.1) e (1.11), quese sono le classiche equazioni canoniche del eorema del massimo, quindi la loro necessià è ovvia. Per quano riguarda invece la erza condizione, che rappresena la condizione di rasversalià del problema, ricorriamo al corollario (2.1) riporao nell appendice (A.2). Per r >, dimosreremo nelle pagine che seguono che la soluzione oimale k converge alla cosiddea golden rule modificaa definia da f (k ) = r + n (vedi pag. 9). L insieme delle possibili velocià {f(k,c) : c f(k )} è in queso caso l inervallo [ nk,f(k ) nk ] che è chiaramene un inorno di. Per coninuià, le ipoesi del corollario sono verificae e quindi lim λ k = è condizione necessaria per il problema. 2. (Sufficienza) Per le condizioni (1.7) e (1.9), l hamiloniano è concavo in (k,c ), quindi può essere applicao il eorema (2.1) dell appendice (A.2) ed è verificaa la (2.113). Le condizioni (1.1), (1.11) coincidono rispeivamene con la (2.111) e la (2.112) del eorema. Si enga poi cono che l equazione di ransizione (1.4) impone che ue le raieorie ammissibili non possano avere andameno esplosivo (vedi anche Fig. 1.1). È quindi garanio che Q > : k < Q [, ]. La (2.117) è allora verificaa e con essa la (2.114). Le condizioni (1.1), (1.11) e (1.12) sono perano sufficieni per il nosro problema di oimizzazione.

5 4 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI Servendoci della definizione di H( ) e definendo µ = λ e θ, le condizioni (1.1), (1.11), (1.12) divenano rispeivamene: H = du e θ λ = e quindi u (c ) = µ ; c dc µ = λ e θ + λ θe θ = H k e θ + µ θ = λ (f (k ) n)e θ + µ θ = µ (θ + n f (k )); Riassumendo: lim k µ e θ = lim k u (c )e θ =. u (c ) = µ, (1.13) µ = µ (θ + n f (k )), (1.14) lim k u (c )e θ =. (1.15) Sosiuendo ora la (1.13) nella (1.14) possiamo eliminare la variabile di cosao µ: µ = du (c )/d µ u = θ + n f (k ) (1.16) (c ) o, equivalenemene: [ c u (c ) u (c ) ] ) (ċ c = θ + n f (k ). Daa una funzione f : IR IR della variabile x, si definisce elasicià di y = f(x) rispeo ad x la quanià: η = x y dy dx, quanià che riflee in un cero qual senso il grado di curvaura della funzione f. L elasicià dell uilià marginale rispeo al consumo è allora daa da: c u (c ) du (c ) = c u (c ) dc u = θ + n f (k ). (1.17) (c ) L elasicià di sosiuzione fra il consumo in due diversi isani di empo ed s è invece definia da: σ(c,c s ) = u (c s )/u (c ) d(c s /c ) c s /c d[u (c s )/u (c )]. (1.18) Supponendo che c sia cosane, si ricava: σ(c,c s ) = u (c s )/u (c ) dc s c s /c d[u (c s )/u (c )] d(c s/c ) dc s = u (c s )/u (c ) u (c ) c s /c u (c s ) 1 c = u (c s ) c s u (c s ).

6 Quindi, se c s c : e la (1.17) può essere riscria nella forma: σ(c,c s ) σ(c ) = u (c ) c u (c ), ċ c = σ(c ) ( f (k ) θ n ). (1.19) L equazione (1.14), noa come regola di Ramsey- Keynes, ha un ineressane inerpreazione economica. Poniamoci nel empo discreo e consideriamo la scela di un pianificaore che deve allocare il consumo fra il empo ed il empo + 1. Se egli decide di comprimere il consumo al empo di un ammonare pari a dc, la corrispondene perdia di uilià (valuaa al empo ) è pari a du(c ) = u (c )dc. La riduzione del consumo al empo permee uavia una maggiore accumulazione e quindi un maggior consumo nel periodo successivo. Il consumo pro capie porà infai aumenare di un ammonare pari a: con un incremeno di uilià pari a: dc (1 + f (k )) 1 + n dc (1 + f (k )) 1 + n u (c +1 ). Lungo il seniero oimo, piccole riallocazioni del consumo devono lasciare inalerao il livello di benessere: la perdià di uilià al empo deve essere pari al valore auale dell incremeno di uilià al empo + 1: u (c )dc = (1 + θ) 1dc (1 + f (k )) 1 + n Quesa condizione può essere riscria come: (1 + θ) 1 u (c +1 ) u (c ) u (c +1 ). = 1 + n 1 + f (k ). (1.2) Essa sabilisce che il asso marginale di sosiuzione TMS fra consumo al empo e consumo al empo + 1 (ermine di sinisra) deve essere uguale al asso marginale di rasformazione TMT, dal lao della produzione, ra il consumo nei due periodi (ermine di desra). In ermini più rigorosi, consideriamo due isani di empo ed s, con > s. Supponiamo ora di riallocare il consumo da un inervallo di empo molo piccolo, successivo a, ad un inervallo di pari lunghezza, successivo ad s. Facciamo cioè diminuire c di un ammonare c per un inervallo di empo, incremenando di conseguenza l accumulazione di capiale di una quanià pari a c. Conseniamo ora allo sock di capiale di coninuare ad accumularsi nel periodo compreso fra + ed s, in base ad un consumo che in quell inervallo si manenga ai propri valori originari. L incremeno nello sock di capiale oenuo fra e + viene consumao nel corso di un inervallo di empo che inizia in s ed è di lunghezza. Trascorso ale inervallo il consumo si riassesa sul seniero originario.

7 6 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI Per valori sufficienemene piccoli di c e, se il seniero originario è quello oimo, quesa riallocazione non dovrebbe avere alcun effeo in ermini di benessere. Perano: ed inolre: u (c ) c + e θ(s ) u (c ) c s =, c = k c s = k s. Combinando quese re relazioni con la (1.13), oeniamo: µ k = e θ(s ) µ s k s k s u (c ) = k u (c s )e θ(s ) = k λ. λ s (1.21) Si osservi che (1.14) è una equazione lineare del prim ordine (cfr. [5] pp ). Essa si presena infai nella forma: ẋ = a x + b, dove x = µ, b = e a = θ + n f (k ). La soluzione di (1.14) è perano: [ a x = e τdτ x + b u e u ] a τdτ du, da cui: e quindi: (θ+n f µ = µ e (k τ))dτ, λ = e θ( ) (θ+n f λ e (k τ))dτ (n f = λ e (k τ))dτ. La (1.21) divena: k s = k λ e = k e λ e s (n f (k τ))dτ s (n f (k τ))dτ = k e (f (k τ) n)dτ s (f (k τ) n)dτ + (f (k τ) n)dτ. (1.22) Il capiale accumulao nel primo inervallo cresce, ra + ed s, al asso: d k s /ds k s s = k e + (f (k τ) n)dτ (f (k s ) n) s k e (f (k + τ) n)dτ = f (k s ) n. Soiuendo la (1.22) nella (1.21): s k e (f (k + τ) n)dτ TMS(,s) = u (c ) u (c s )e θ(s ) u (c ) = k u (c s )e θ(s ), s = e + (f (k τ) n)dτ = TMT(s,). (1.23)

8 Quesa equazione ha la sessa inerpreazione della (1.2), cioè che il asso marginale di sosiuzione deve essere uguale, per ogni ed s, al asso marginale di rasformazione. Ne discende che: dtms(,s) dtmt(,s) lim = lim. s ds s ds Cioè : u [ (c ) du ] (c s ) [ u (c s )e θ(s )] 2 ċ s e θ(s ) θu (c s )e θ(s ) = ( f (k s ) n ) s e (f (k + τ) n)dτ e per s : dc s Abbiamo così rioenuo la (1.16). θ du (c )/d u (c ) u (c s )ċ s u (c s )e θ(s ) = ( f (k s ) n ) s e + (f (k τ) n)dτ = θ + n f (k ). La regola di Keynes-Ramsey, in empo coninuo (vedi 1.19)o in empo discreo, sabilisce che il consumo aumeni, rimanga cosane o diminuisca, in relazione al fao che il prodoo marginale del capiale (al neo del asso di crescia della popolazione) sia maggiore, uguale o minore del asso di preferenza emporale (f (k ) n >=< θ). È una regola decisamene inuiiva: ano maggiore è il prodoo marginale del capiale in rapporo al asso di preferenza emporale, ano più risula conveniene comprimere il consumo correne per poer fruire di un consumo fuuro. Perano, se inizialmene il prodoo marginale del capiale risula elevao, lungo il seniero oimo il consumo segue un andameno crescene. L equazione (1.19) mosra inolre lo specifico ruolo svolo dall elasicià di sosiuzione: ano maggiore è ale elasicià, ano più è facile, in ermini di uilià rinunciare al consumo correne a favore di un maggior consumo fuuro, e quindi ano maggiore è il asso di variazione del consumo per un dao eccesso del prodoo marginale del capiale rispeo al asso di scono soggeivo. Per quano concerne l equazione (1.15), essa esprime la cosiddea condizione di rasversalià. Per meglio comprendere il suo significao è conveniene considerare il problema (1.3) su di un orizzone finio T. La condizione divena allora: k T u (c T )e θt =. Se u (c T )e θt = fosse posiivo (cioè se il valore auale dell uilià marginale del consumo nell ulimo periodo fosse posiivo), non sarebbe oimale concludere al empo T con uno sock di capiale posiivo, esso porebbe infai essere vanaggiosamene consumao. Nei modelli di oimizzazione ineremporale vengono frequenemene impiegai due ipi di funzione di uilià isananea. 1. Il primo ipo prevede elasicià di sosiuzione cosane, si raa cioè di funzioni isoelasiche (CRRA, cosan relaive risk aversion): c 1 γ 1 γ per γ >,γ 1 u(c) =. (1.24) ln c per γ = 1

9 8 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI Uilizzando la (1.18), calcoliamo l elasicià di sosiuzione ra il consumo in due diversi isani di empo ed s: Perciò è anche: σ(c,c s ) = c γ s /c γ c s /c d(c s /c ) d(c γ s /c γ ) = (c s/c ) γ 1 1 γ(c s /c ) γ 1 = 1 γ. c u (c ) u (c ) = γ. La quanià c u (c )/u (c ), usualmene chiamaa coefficiene di avversione relaiva al rischio, è quindi cosane e pari a γ. Per ale ragione le funzioni del ipo (1.24) sono anche chiamae funzioni di uilià con avversione relaiva al rischio cosane. 2. La seconda classe di funzioni di uilià spesso impiegae in quesi modelli è quella delle funzioni esponenziali, o funzioni con avversione assolua al rischio cosane (CARA consan absolue risk aversion): Risula: c u (c ) u (c ) u(c) = 1 α e αc α >. (1.25) = c αe αc e αc = αc e σ(c,c s ) = 1 αc. L elasicià di sosiuzione ra il consumo in diversi isani del empo è quindi decrescene all aumenare del livello del consumo. Il coefficene di avversione assolua al rischio è invece cosane e pari ad α: u (c ) u (c ) = α. Generalmene si riiene che un avversione assolua al rischio cosane sia una descrizione dell aeggiameno verso il rischio meno plausibile di un avversione relaiva cosane. Specificazioni della funzione di uilià del ipo CARA sono però alora analiicamene più convenieni rispeo al ipo CRRA, e perano apparengono alla srumenazione sandard dell economisa. Daa una funzione di uilià CARA, l equazione (1.19) divena: dc d = 1 α [f (k ) n θ]. In queso caso la variazione nel consumo è proporzionale all eccesso del prodoo marginale del capiale (al neo della crescia della popolazione) rispeo al asso di scono. Le equazioni che caraerizzano il comporameno dinamico del modello sono la (1.19), la (1.15) e l equazione di ransizione (1.4). Analizziamo prima di uo lo sao sazionario (seady sae) del sisema, caraerizzao da un livello di capiale pro capie k e da un livello del consumo pro capie c cosani, cioè : dk dc d = e (k,c)=(k,c ) d =. (k,c)=(k,c )

10 Ponendo dc/d = nella (1.19) oeniamo la cosiddea golden rule modificaa: f (k ) = θ + n. (1.26) Essa sabilisce che nello sao sazionario il prodoo marginale del capiale è uguale alla somma del asso di preferenza emporale e del asso di crescia della popolazione. Ponendo invece k = nella (1.4): c = f(k ) nk. (1.27) Se massimizziamo c rispeo a k, oeniamo invece la vera e propria golden rule: f (k g ) = n. (1.28) La golden rule rappresena quindi la condizione sullo sock di capiale che massimizza il consumo pro capie nello seady sae. La modificazione presenaa nella (1.26) compora una riduzione dello sock di capiale rispeo al livello previso dalla (1.28), riduzione il cui ammonare dipende dal asso di preferenza emporale (2). Seguendo la golden rule, la nosra ipoeica famiglia porebbe consumare di più in corrispondenza dello sao sazionario, ma l impazienza (che si riflee nel asso di preferenza emporale θ) implica che non sia oimale ridurre il consumo correne per raggiungere in fuuro, nello seady sae, il più alo livello di consumo assicurao appuno dalla golden rule. La golden rule modificaa è una condizione molo imporane. In ulima analisi essa implica che la produivià del capiale, e quindi il asso di ineresse reale, sono deerminai dal asso di preferenza emporale e da n. Sono quindi le preferenze e la crescia della popolazione a sabilire il asso di ineresse reale, menre la ecnologia deermina lo sock di capiale ed il livello di consumo coereni con quel asso di ineresse. Per sudiare il comporameno dinamico del nosro modello, andiamo a cosruire il relaivo diagramma di fase sul piano caresiano k c. Per prima cosa osserviamo che, per il vincolo (1.6), esso è collocao enro il primo quadrane del piano caresiano (orane posiivo), con esclusione dell asse vericale (k = ). Infai, quando la produzione è nulla, c non può assumere valori posiivi e quindi il sisema cade ineviabilmene sul puno (,). Come già deo le equazioni che caraerizzano le dinamiche del modello sono la (1.4) e la (1.19): k = F 1 (k,c ) = f(k ) nk c ċ = F 2 (k,c ) = c σ(c )(f (k ) θ n) uniamene alla condizione di rasversalià (1.12). Complessivamene i puni fissi (o sai sazionari) del sisema, cioè i puni caraerizzai conemporaneamene da k = e ċ =, sono re: 1. il puno P = (,); 2. lo seady sae relaivo alla golden rule modificaa P = (k,c ), dove k è lo sock di capiale che soddisfa f (k ) = θ + n; 2 Le condizioni (1.8) e (1.9) implicano che f (k) è una funzione decrescene dello sock di capiale k. Quindi se f (k 1) = θ + n e f (k 2) = n, è k 1 < k 2 ed il divario fra k 1 e k 2 dipende da θ.

11 1 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI 3. il puno P 1 = (k 1,), dove k 1 è soluzione della f(k 1 ) = nk 1. Essi sono soluzioni del sisema: f(k ) nk c = c σ(c )(f (k ) θ n) =. Il luogo geomerico dei puni in cui k = è una curva che pare dall origine P, cresce fino a raggiungere il suo massimo in k g, che è lo sock di capiale individuao dalla golden rule, e poi decresce fino ad inconrare P 1. Il luogo geomerico dei puni in cui ċ = è invece la rea vericale di equazione k = k. Nauralmene, in ogni puno poso sulla curva k = abbiamo c = ĉ = f(k) nk, e quindi ui i puni al di sopra di essa hanno c > ĉ, cioè k = ĉ c <. Viceversa, i puni al di soo di k = hanno k >. Per quano concerne invece il luogo ċ =, ui i puni collocai alla sua desra (k > k ) hanno f (k) < θ + n e quindi ċ <. Facendo ricorso alla ecnica di linearizzazione (cfr. [5], pp ), cioè calcolando gli auovalori della marice Jacobiana, analizziamo ora la sabilià dei re puni fissi. J(k,c) = F 1 k F 2 k F 1 c F 2 c = Nel puno P gli auovalori di J valgono: [ f ] (k) n 1 cσ(c)f (k) (σ(c) + cσ (c)) (f. (k) n θ) λ 1 = σ()(f () θ n) e λ 2 = f () n. Essendo f () = + per l ipoesi (1.8), segue che λ 1 > e λ 2 >, cioè P è un repulsore (repellor). Nel puno P 1 gli auovalori di J sono: λ 1 = σ()(f (k 1 ) θ n) e λ 2 = f (k 1 ) n. Poichè P 1 si rova alla desra della ċ =, ed inolre k 1 > k g, abbiamo che f (k) < n < θ + n, quindi λ 1 < e λ 2 <. P 1 è, a prima visa, globalmene sabile. Non dobbiamo però dimenicare la condizione di rasversalià lim k u (c )e θ =. Infai se prendiamo una raieoria che converge asinoicamene a P 1 (vedi ad es. Fig.1.1), osserviamo che in prossimià di esso k è approssimaivamene cosane e maggiore di k g, quindi f (k) < n. Allora: d[u (c)e θ ]/d u (c)e θ = du (c)/d u (c) θ = n f (k) >. In alri ermini, la quanià u (c )e θ cresce ad un asso posiivo man mano che la raieoria si avvicina a P 1. La condizione di rasversalià chiede invece che, se k è quasi cosane, u (c )e θ scenda a zero. Il puno P 1 e le raieorie che ad essa conducono non possono quindi essere di oimo per il nosro problema.

12 Per quano concerne P, gli auovalori valgono: λ 1 = θ + θ 2 4c σ(c )f (k ) 2 e λ 2 = θ θ 2 4c σ(c )f (k ). 2 Tenendo cono che la quanià 4c σ(c )f (k ) è sempre, per l ipoesi (1.9), negaiva, risula chiaramene λ 1 > e λ 2 <. P è un puno di sella ed esise quindi un unica raieoria (dea varieà sabile, la curva D-D di Fig. 1.1.) che conduce ad esso. Fig La dinamica del capiale e del consumo. Fig. 1.1 mosra che, ogni raieoria che abbia origine in un puno poso al di soo di D, converge asinoicamene a P 1 e quindi non è, per quano prima deo, un seniero oimo. Se invece prendiamo una raieoria che pare da una posizione al di sopra di D-D, ci rendiamo prima di uo cono che quesa va sempre ad inersecare la curva k =, enrando nel seore caraerizzao da k < e ċ >. Derivando la (1.4), si ricava che: k = d2 k d 2 = (f (k) n) k ċ <, cioè in quesa regione la curva di k in funzione del empo è decrescene ed ha concavià rivola verso il basso. Ciò significa che in un empo finio k raggiunge lo zero, e quindi il sisema collassa con un balzo a P. In alri ermini, il consumo varia con disconinuià da un valore posiivo ad uno nullo. Quesa salo viola la condizione necessaria (1.16) e la raieoria non può essere oimale. Argomenazioni analoghe si applicano al caso in cui lo sock di capiale iniziale è maggiore di k. In conclusione, l unico seniero che soddisfa le condizioni necessarie della proposizione 1.1 è la varieà sabile D-D. La linearizzazione del sisema dinamico permee anche di ricavare ineressani informazioni circa il comporameno del sisema in un inorno dello seady sae. L idea è quella di sosiuire allo sudio del sisema dinamico non lineare ẏ = F(y), nell inorno del puno sazionario y, l analisi del sisema di equazioni differenziali lineari a coefficieni cosani ẏ = F(y )+J(y y ), che nel nosro caso è: ) ( k k ) ( ) k ċ = = = ( F1 (k,c ) F 2 (k,c + J(k,c ) ) c c ( ) [ ] ( θ 1 k k ) + β c c [ θ(k k ) (c c ] ) β(k k, ) dove β = cσ(c)f (k) >. Derivando la prima componene rispeo al empo e sosiuendo ċ con la seconda, si ha: k θ k ċ = k θ k β(k k ) =, cioè: k θ k βk = βk,

13 12 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI che è un equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficieni cosani non omogenea. L equazione caraerisica associaa è: le cui soluzioni sono: x 2 θx β =, λ 1 = θ θ 2 + 4β 2 Soluzione dell equazione complea è : < e λ 2 = θ + θ 2 + 4β 2 >. k = c 1 e λ 1 + c 2 e λ 2 + K, dove c 1 e c 2 sono cosani arbirarie e K è la soluzione candidaa (cosane) per la complea. Si ricava agevolmene che K = k. Poiché k è erediao dalla soria, c e c 1 devono soddisfare: k k = c e + c 1 e = c + c 1, inolre dao che λ 2 è posiivo e enderebbe a produrre dinamiche esplosive, c 1 deve essere pari a zero per consenire a k di convergere a k, e c = k k. In ulima analisi, l andameno di k in un inorno sufficienemene piccolo di k è governao dalla legge: k = k + (k k )e λ 1. La velocià di convergenza di k su k è daa da: d(k k )/d k k = λ 1 (k k )e λ 1 (k k )e λ 1 = λ 1. A sua vola λ 1 è una funzione crescene di f e di σ, e una funzione decrescene di θ. Tano maggiore è l elasicià di sosiuzione, ano più gli ageni sono disposi a posporre il consumo auale a favore del consumo fuuro, ano più sosenua è l accumulazion di capiale eano più rapidamene l economia converge allo seady sae. 1.2 L economia decenralizzaa Per una deagliaa esposizione di ue le ipoesi di queso nuovo modello si veda [4], pp Daa la sequenza {w,r }, con [, ], ad ogni isane ogni famiglia deve risolvere il problema: soo il vincolo di bilancio: maxu = u(c )e θ d (1.29) c + ȧ + na = w + r a (1.3) k > dao,

14 dove a = k b p è la ricchezza della famiglia al neo del capiale umano, pari alla differenza fra la sua disponibilià di capiale k ed i suoi debii b p. Assumendo per ipoesi l inelasicià dell offera di capiale e di lavoro, la sola decisione che la famiglia in ciascun isane deve assumere è quindi l alernaiva fra consumo e risparmio. Le imprese dal cano loro massimizzano in ciascun isane il profio che è dao da: Π(K,N ) = F(K,N ) K r N w. Le condizioni di primo ordine del problema di massimo sono: Π = F r = [N f(k )] r K K K = N f (k ) k K r = N f (k ) 1 N r = f (k ) r =, e Π = F w = [N f(k )] w N N N = f(k ) + N f (k ) k N w = f(k ) + N f (k ) = f(k ) k f (k ) w =. ( K ) N 2 w Cioè: f (k ) = r (1.31) f(k ) k f (k ) = w. (1.32) Nel problema di massimizzazione della famiglia (1.29) non abbiamo specificao alcun vincolo che imponga alla ricchezza a della famiglia di essere non negaiva. Se non imponiamo resrizioni all enià dell indebiameno, la soluzione del problema divena chiaramene riviale: la famiglia si indebia in misura ale da poer manenere un livello di consumo in corrispondenza del quale una unià addizionale di consumo non deermina alcun incremeno dell uilià, cioè ale per cui l uilià marginale del consumo è pari a zero. La famiglia deve poi indebiarsi uleriormene per pagare gli ineressi maurai sul proprio debio. Il seniero emporale di c si accompagna quindi a livelli di indebiameno progressivamene cresceni: l indebiameno neo pro capie cresce al asso r n. Difai, enendo cono delle (1.4), (1.31) e (1.32) si ha: ȧ ȧ = (r n)a + w c = (f (k ) n)a + f(k ) k f (k ) c k ḃp = f (k )k f (k )b p nk + nb p + f(k ) k f (k ) c k ḃp = k b p (r n), da cui: ḃ p = b p (r n) e quindi b p = b p e (rν n)dν.

15 14 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI È perciò necessaria una condizione addizionale che impedisca alle famiglie di scegliere queso seniero caraerizzao da un andameno esplosivo del debio. Al conempo uavia non vogliamo imporre un vincolo che impedisca siuazioni di emporaneo indebiameno. Una condizione cui viene naurale pensare è proprio quella di richiedere che il asso di crescia del debio della famiglia non sia asinoicamene maggiore del asso r n. In simboli (3) : lim a e (rν n)dν =. (1.33) Infai, se la quanià γ = a e (rν n)dν deve convergere a per che ende ad infinio, significa che il suo asso di variazione γ /γ è negaivo. Quindi: γ = ȧe (rν n)dν a (r n)e (rν n)dν γ a e = ȧ (r n) < per, (rν n)dν a cioè: ȧ a < (r n) per. La (1.33) viene alora chiamaa no-ponzi-game condiion (NPG), è cioè la condizione che garanisce che non si verifichi una caena di Ponzi. Per renderci cono delle implicazioni della (1.33), possiamo prima di uo inegrare il vincolo di bilancio (un equazione differenziale lineare del primo ordine) dal empo = ad un qualche empo. Si oiene: e quindi: a = e [a (rν n)dν + (w s c s )e ] s (rν n)dν ds, a e (rν n)dν + c s e s (rν n)dν ds = a + w s e s (rν n)dν ds. Per, ed applicando la (1.33): c s e s (rν n)dν ds = a + w s e s (rν n)dν ds. (1.34) Ques ulima relazione implica che il valore auale del consumo è uguale alla ricchezza oale, daa dalla somma della ricchezza iniziale a (non comprensiva del capiale umano) e del valore auale dei reddii da lavoro. La (1.33) ci permee quindi di passare dal vincolo di bilancio dinamico (1.3) ad un vincolo di bilancio ineremporale. 3 La (1.33) può anche essere formulaa in ermini di disuguaglianza: lim a e (rν n)dν. È però chiaro che, finano che l uilià del consumo è posiiva, le famiglie non desiderano deenere ricchezza perennemene crescene al asso r n. Quindi la disuguaglianza è soddifaa come uguaglianza. Nel seguio perano la si uilizzerà direamene in ques ulima formulazione.

16 Anche in queso caso la soluzione del problema (1.29), con i vincoli (1.3) e (1.33), può essere ricavaa ricorrendo all Hamiloniano. Le condizioni necessarie e sufficieni sono ancora: Cioè: H c (a,c,λ,) = H a (a,c,λ,) = λ lim a λ =. o, in alra forma: u (c )e θ λ = λ (r n) = λ lim a u (c )e θ =, dove µ = λ e θ. Da esse si ricava agevolmene: u (c ) = µ µ (n + θ r ) = µ lim a u (c )e θ =, du (c )/d u (c ) = θ + n r. (1.35) In condizioni di equilibrio il valore aggregao del debio privao b p deve essere sempre pari a zero, cioè in equilibrio non si ha ne indebiameno ne concessione di presii da pare delle famiglie. Allora: k = a. Servendosi di quesa e delle condizioni (1.31) e (1.32), dalle (1.3) e (1.35) oeniamo: du (c )/d u (c ) k = f(k ) c nk (1.36) = θ + n f (k ), (1.37) che sono esaamene ideniche alla (1.4) e alla (1.16), le quali sineizzano il comporameno di un economia direa da un pianificaore. L andameno dinamico di un economia decenralizzaa coincide quindi con quello di un economia pianificaa, e la nosra precedene analisi del comporameno dinamico dell economia pianificaa si può perano esendere ineramene all economia decenralizzaa. È imporane soolineare che ue le considerazioni svole sin qui poggiano su di una imporane ipoesi che non abbiano ancora enuciao: il asso di ineresse deve essere asinoicamene superiore al asso di crescia della popolazione, cioè: lim e (rν n)dν =.

17 16 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI Si raa di una condizione necessaria per l esisenza dell equilibrio: i senieri lungo i quali il asso di ineresse è asinoicamene inferiore ad n non possono essere equilibri. Riscriviamo il vincolo di bilancio della famiglia nel modo seguene: ȧ = (r n)a (c w ). Consideriamo ora due senieri del consumo i quali, da un cero empo T in poi, prevedano il medesimo livello di c, in modo che c w sia uguale. Se r n è asinoicamene negaivo, i senieri convergono ad un medesimo valore a. Quindi, se uno dei senieri soddisfa la condizione NPG, la soddisfa anche l alro, cioè su enrambi il asso di crescia del debio della famiglia è asinoicamene minore del asso r n <. Queso implica che alla famiglia, al fine di massimizzare l uilià derivane dal consumo, conviene manenere un livello esrememene elevao (eoricamene infinio) di consumo fino al empo T. Queso non può essere un seniero di equilibrio. L equazione di Eulero (1.35) esprime impliciamene il asso di variazione del consumo in funzione di variabili che sono ue noe nel periodo correne. Sembrerebbe quindi che le famiglie, nell assumere le proprie decisioni di consumo e risparmio, non abbiano necessià di formulare aspeaive sulle variabili fuure. L ipoesi di perfea prevedibilià sarebbe quindi superflua. Bisogna però ricordare che la (1.35) deermina il asso di variazione, e non il livello, del consumo. È il vincolo di bilancio ineremporale che mee in evidenza come gli ageni non siano in grado precisare i propri piani d azione senza conoscere l inero seniero emporale dei salari e del asso di ineresse. Le aspeaive svolgono perciò un ruolo cruciale nell allocazione delle risorse di un economia decenralizzaa. In generale non è facile calcolare una soluzione esplicia per il livello del consumo. Nel caso però in cui la funzione di uilià sia del ipo CRRA, ciò risula assai agevole. Dalla (1.35) si ricava immediaamene: ċ = c 1 γ (r n θ), che, inegraa: c = c e 1/γ(rν n θ)dν. Sosiuendo quesa espressione nella (1.34) si può ricavare il valore di c coerene con l equazione di Eulero ed il vincolo di bilancio: s c e 1/γ(rν n θ)dν e s (rν n)dν ds = a + w s e s (rν n)dν ds s c e [(1/γ 1)(rν n) θ/γ)]dν ds = a + w s e s (rν n)dν ds c = β (a + h ), dove β 1 = s e [(1/γ 1)(rν n) θ/γ)]dν ds e h = w s e s (rν n)dν ds. Il consumo risula quindi essere una funzione lineare della ricchezza, comprensiva del capiale umano. Il paramero β esprime la propensione al consumo rispeo alla ricchezza e in generale è una funzione del seniero aeso del asso di ineresse. Daa la ricchezza, un aumeno dei assi di ineresse ha due effei:

18 rende più araene posicipare il consumo (effeo di sosiuzione); 2. consene un maggiore consumo sia nel presene che nel fuuro (effeo reddio). In generale l effeo complessivo sulla propensione marginale al consumo è ambiguo. Nel caso paricolare in cui γ = 1 si ha: β 1 = = e s θdν ds e θ ds = 1 θ, cioè β = θ, che è così indipendene dal seniero del asso di ineresse. In generale le aspeaive sui assi di ineresse influenzano sia la propensione marginale al consumo rispeo alla ricchezza β, sia il valore della ricchezza medesima, araverso h. Anche le aspeaive sui salari influenzano c, araverso h. Dae quese aspeaive, la famiglie decidono quano consumare e quano risparmiare e ali decisioni, a loro vola, deerminano il seniero di accumulazione del capiale e la sequenza dei prezzi dei faori. Se le aspeaive non si rivelano corree, gli ageni sceglieranno un seniero diverso da quello del nosro ipoeico pianificaore. Quando la divergenza ra gli eveni previsi e quelli realizzai li cosringe a rivedere le proprie aspeaive, essi scelgono un nuovo seniero oimo, dae le aspeaive. Per seguire quesa linea di ragionameno è però necessario un crierio di formazione e di revisione delle aspeaive. L argomeno esula dalla presene raazione. 1.3 Il ruolo del governo in una economia decenralizzaa Supponiamo che il governo consumi un cero ammonare di risorse e che finanzi ale consumo con impose. La domanda pro capie g espressa dal governo è esogena e non influenza direamene l uilià marginale del consumo della famiglia. Supponiamo inizialmene che il governo esiga impose lump-sum per un ammonare pro capie pari a τ = g, in modo ale che il bilancio sia in cosane pareggio. Il vincolo di bilancio delle famiglie diviene: c + ȧ + na = w + r a τ. Inegrando quesa equazione differenziale, applicando la condizione NPG (vedi quano fao nel caso della (1.34)) e ponendo R = e (rν n)dν (faore di scono della spesa fuura), possiamo scrivere: c s R s ds = k b p + w s R s ds τ s R s ds, o equivalenemene: c s R s ds = k b p + h G. (1.38) G è il valore auale della spesa pubblica pari, per l ipoesi τ = g, al valore auale delle impose lump- sum.

19 18 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI La spesa pubblica enra nel vincolo di bilancio ineremporale (1.38), influenzando così le decisioni delle famiglie, l equilibrio reale dell economia ed il seniero emporale di w ed r (quindi di R ). Supponiamo per semplicià che il governo chieda un ammonare di risorse pro capie cosane (e adeguaamene piccolo) g. Per quano concerne il comporameno dinamico del modello, osserviamo che la (1.4), in conseguenza dell inroduzione dell imposa, si modifica nel seguene modo: k = f(k ) g c nk, dao che la produzione disponibile per il seore privao è saa uniformemene ridoa di un ammonare g. La curva k = subisce allora una semplice raslazione verso il basso (vedi Fig. 2.3, p. 67, in [4]). Complessivamene l effeo prodoo dall inroduzione dell imposa lump-sum è quello di sposare l equilibrio verso il basso di un ammonare pari proprio a g. In alri ermini, il nuovo seady sae è caraerizzao da un uguale sock di capiale k e da un nuovo livello di consumo c = c g. Nello sao sazionario la spesa pubblica spiazza compleamene il consumo privao, ma non influenza in alcun modo lo sock di capiale. Invece di finanziare la propria spesa con impose lump-sum, il governo può indebiarsi presso il seore privao. Affinché gli ageni siano disposi a deenere ioli pubblici nel proprio porafoglio, il governo deve pagare un asso di ineresse pari a quello che si percepisce sul capiale. Indichiamo con b l ammonare di debio pro capie. Il governo è soggeo al seguene vincolo di bilancio dinamico: ḃ + nb = g τ + r b. Il lao sinisro dell eguaglianza è l indebiameno pro capie del governo, pari all aumeno del debio pro capie ḃ più l ammonare di debio che può essere emesso senza incremenare il debio pro capie, grazie all aumeno della popolazione. Il lao desro è la differenza fra le uscie del governo, gli acquisi di beni e servizi più il pagameno di ineressi, e le enrae garanie dalle impose. Queso vincolo in ermini di flussi si limia a specificare che il governo deve indebiarsi quando le sue uscie superano le enrae o, viceversa, che esso ripaga dei debii o presa al seore privao quando le impose eccedono le uscie. Inegrando queso vincolo ed imponendo, quesa vola al governo, la condizione NPG (il debio non deve crescere più rapidamene del asso di ineresse), possiamo ricavare il vincolo di bilancio ineremporale del governo: b = e (rν n)dν [b + b R + τ s R s ds = b + g s R s ds. (g s τ s )e s ] (rν n)dν ds Per, ricordando che b R, si oiene infine: τ s R s ds = b + g s R s ds. (1.39)

20 Daa la condizione NPG, il valore auale delle impose deve essere uguale al valore auale della spesa del governo più il valore iniziale del debio b. In alre parole, il governo deve scegliere un seniero emporale della spesa e delle impose ale che il valore auale di g τ (grandezza che viene alora definia disavanzo primario) sia uguale al valore iniziale del debio b, con segno negaivo. Ciò significa che se nel periodo iniziale il governo ha un debio posiivo, deve prevedere di realizzare un avanzo primario in un qualche periodo fuuro. Per esempio, è coerene con la (1.39) che il governo manenga per sempre il debio al valore iniziale pro capie b, realizzando un avanzo primario sufficiene a pagare gli ineressi al neo dell ammonare di debio che può essere finanziao vendendo b ad ogni nuovo nao. La presenza del debio pubblico modifica anche il vincolo di bilancio dinamico della famiglia ipo, che divena: c ȧ + na = w + r a τ, in cui a è ora uguale a k b p + b. È implicia l ipoesi che la famiglia possa dare e prendere a presio al medesimo asso r del governo. Inegrando queso vincolo di bilancio ed imponendo la condizione NPG, oeniamo il seguene vincolo di bilancio ineremporale: da cui: a = e (rν n)dν [a + (w s τ s c s )e ] s (rν n)dν ds c s R s ds = k b p + b + w s R s ds τ s R s ds. Il valore auale del consumo deve essere uguale alla somma della ricchezza al neo del capiale umano (pari a sua vola alla somma di (k b p ) e b ) e del capiale umano, ossia del valore auale dei salari al neo delle impose. Il vincolo di bilancio del governo mosra come, daa la sruura emporale della spesa pubblica (e dao b ), le auorià devono esigere impose il cui valore auale raggiunga una cera enià. In alre parole il bilancio non deve equilibrarsi isane per isane. Per esempio, parendo da una siuazione di bilancio in pareggio, il governo può indebiarsi e ridurre le impose in un dao periodo, per aumenarle successivamene e ripagare il debio e gli ineressi. Queso conduce a chiedersi quale sia l effeo di una modifica nell andameno emporale delle impose riscosse per finanziare una daa sruura di spesa. La risposa può essere oenua sosiuendo nel vincolo di bilancio ineremporale della famiglia il vincolo di bilancio ineremporale del governo: c s R s ds = k b p + w s R s ds g s R s ds. Quesa relazione è esaamene uguale alla (1.38). Ne le impose, ne il debio pubblico compaiono nel vincolo di bilancio delle famiglie. Ciò che cona è solo la spesa del governo. Possiamo rarre da queso un imporane implicazione: dao il seniero emporale della spesa, il meodo di finanziameno, sia che esso preveda impose lump-sum, oppure emissione di debio, non esercia alcun effeo sull allocazione delle risorse.

21 2 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI Si raa di una conclusione imporane; essa infai fornisce un esempio in cui, sempre che in definiiva il governo rispei la condizione NPG, la dimensione del debio pubblico è irrilevane e con essa il meodo di finanziameno del disavanzo (neuralià). Un imposizione fiscale disorsiva influenza indubbiamene l allocazione delle risorse. Supponiamo che il governo assi il rendimeno del capiale ad un saggio τ k, aribuendo il ricavao al seore privao soo forma di rasferimeni lump-sum. Se r è il asso di rendimeno del capiale al lordo delle impose, (1 τ k )r è il asso di rendimeno neo, il quale a sua vola deve essere uguale al asso di rendimeno del debio emesso dai privai, dao che debio e capiale sono perfei sosiui nel porafoglio delle famiglie. Il vincolo di bilancio delle famiglie in ermini di flusso diviene: c + ȧ + na = w + (1 τ k )r a + z, in cui z sono i rasferimeni lump-sum pro capie delle famiglie (uguali agli inroii del governo derivani dalla assazione sul capiale). Scrivendo la funzione hamiloniana anche per la soluzione di queso problema, oeniamo una versione modificaa della (1.35): du (c )/d u (c ) = θ + n (1 τ k )r. L imposizione sul capiale influenza il livello di seady sae dello sock di capiale. Infai, essendo r = f (k ) e ponendo ċ =, esso divena: ( ) θ + n k = f 1. 1 τ k che, essendo (θ + n)/(1 τ k ) > (θ + n), è inferiore al precedene valore di equilibrio k, cioè k < k. Anche il consumo di seady sae è minore a quello che caraerizza l equilibrio in assenza di assazione disorsiva. Ciò equivale a dire che se il governo sussidiasse (esaamene il conrario della assazione disorsiva sul capiale) il capiale uilizzando impose lump-sum, esso riuscirebbe ad incremenare il livello dello sock di capiale e del consumo di equilibrio (sempre che lo sock di capiale di equilibrio sia al di soo del livello previso dalla golden rule) Invesimeni e risparmio in un economia apera Il problema di oimizzazione si configura nel modo seguene: soo i vincoli: max U = u(c )e θ d, ḃ = c + i [1 + T(i /k )] + θb f(k ), (1.4) k = i, (1.41) T() = T ( ) > 2T ( ) + i k T ( ) >, (1.42)

22 dove i indica il numero di unià di sock di capiale invesie al empo e b il debio pro capie. In queso caso c e i sono le variabili di sao del modello, menre b e k sono quelle di conrollo. La popolazione è qui ipoizzaa essere cosane. La funzione di uilià isananea u( ) e f( ) hanno le sesse proprieà aribuievi nei paragrafi precedeni. Due sono le modifiche rispeo all analisi già condoa. Innanzi uo inroduciamo dei cosi di insallazione per i beni di invesimeno. In paricolare ipoizziamo che siano necessarie i[1+t( )] unià di prodoo per incremenare lo sock di capiale di i unià. T( ) è l ammonare di risorse per unià di invesimeno richieso per rasformare beni in capiale. Le proprieà di T( ) sono ali da rendere la funzione dei cosi di insallazione T( )i/k non negaiva e convessa, con un valore minimo di zero in corrispondenza di un valore nullo degli invesimeni. Infai le prime due condizioni in (1.42) impongono che T( ) sia una funzione sreamene crescene passane per l origine. Quindi se i /k < è T(i /k ) <, e viceversa se i /k è T(i /k ), quindi: i k T( i k ) i k. Il puno (,) è quindi puno di minimo per la funzione. Le sue derivae prima e seconda sono: d[i /k T(i /k )] d(i /k ) d 2 [i /k T(i /k )] d(i /k ) 2 = T( i k ) + i k T ( i k ) = 2T ( i k ) + i k T ( i k ) La erza condizione in (1.42) impone perano che la derivaa seconda sia sreamene posiiva, cioè impone che la funzione sia sreamene convessa. Il puno (, ) è allora l unico puno di minimo per la funzione. La funzione decresce per valori negaivi di i /k e cresce per valori posiivi. Sia invesire che disinvesire risula cososo. Per semplicià assumiamo che non vi sia usura del capiale. La seconda modifica che apporiamo è che ora l economia nel suo complesso può liberamene prendere e dare a presio all esero, al asso di ineresse mondiale cosane θ. Da quesa ipoesi deriva il vincolo di bilancio in ermini di flussi descrio dalla (1.4): la variazione del debio verso l esero ḃ è uguale alla differenza fra la spesa (in beni di consumo, in beni di invesimeno, per il pagameno di ineressi) e la quanià prodoa. La variazione dell indebiameno verso l esero è il disavanzo delle parie correni e la (1.4) può perano essere inerpreaa nel senso che ques ulimo non è alro che l eccesso di assorbimeno rispeo al livello di produzione. Per risolvere il nosro problema ineremporale, cosruiamo prima di uo l Hamiloniano: { H = u(c )e θ + λ c + i [1 + T( i } )] + θb f(k ) + γ i. k Le condizioni necessarie e sufficieni per un massimo sono: H c = u (c )e θ + λ = H i = λ [ 1 + T( i k ) + i T ( i k ) 1 k ] + γ =

23 22 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI λ = H = λ θ b γ = H [ = λ i T ( i ) i k k k 2 lim b = lim k =. ] f (k ) Ponendo per comodià γ = λ q e µ = λ e θ, le condizioni divenano: u (c ) = µ (1.43) q d( µ e θ ) d d(µ q e θ ) d = 1 + T( i k ) + i k T ( i k ) (1.44) = θµ e θ (1.45) [ ( ) 2 = µ e θ i T ( i ] ) + f (k ) k k (1.46) lim b e θ = (1.47) lim q k e θ =. (1.48) Va ricordao che anche queso problema di massimizzazione ha una soluzione banale del ipo caena di Ponzi, visa ora nell oica del pianificaore nei confroni del reso del mondo. Il paese porebbe infai indebiarsi fino al puno in cui l uilià marginale del consumo è pari a zero, per poi indebiarsi uleriormene per pagare gli ineressi sul proprio debio. D alra pare, è improbabile che vi sia qualcuno disposo a coninuare a concedere presii ad un paese il cui unico mezzo per onorare gli obblighi conrai sia quello di indebiarsi uleriormene. Dobbiamo perano imporre la condizione NPG: Sviluppando ora la (1.45), si oiene: da cui: lim b e θ =. (1.49) µ e θ + θµ e θ θµ e θ =, µ = µ = (cos.). Dao che µ è cosane, la (1.43) può implicare due diversi fai: 1. la funzione di uilià è una funzione lineare della variabile c : u(c ) = cos (c c )+u(c ); 2. lungo il seniero oimo il consumo è cosane.

24 Il primo caso va però escluso in quano in conraddizione con l ipoesi (1.7), quindi non può che essere c = (cos). Per oenere il livello di consumo inegriamo il vincolo di bilancio (1.4): b { θdτ = e b + { b = e θ( ) { lim e θ = e θ b + b + Ricordando la condizione NPG (o la (1.47)): che, per =, divena: c e θ( ) d = c e θ d = [ c s + i s [1 + T( i s ] )] f(k s ) e k s ] [ c s + i s [1 + T( i s )] f(k s ) k s [ c s + i s [1 + T( i ] s )] f(k s ) k s θdτ ds } } e θ( ) ds } e θ( ) ds. [ f(k ) i [1 + T( i ] )] e θ( ) d b, (1.5) k [ f(k ) i [1 + T( i ] )] e θ d b v. (1.51) k Il valore auale del consumo è uguale alla ricchezza nea v calcolaa al empo =, ossia al valore auale del prodoo neo f(k ) i [1+T(i /k )], meno il livello iniziale del debio. Dao che il consumo è cosane la (1.51) implica: c e θ d = v c θ = v c = c = θv. (1.52) L equazione (1.44) coniene un risulao molo fore: il asso di invesimeno in rapporo allo sock di capiale, cioè la quanià i /k, risula essere funzione esclusivamene di q, ossia del prezzo ombra di un unià di capiale insallao espresso in ermini di beni di consumo. In alri ermini, la (1.44) implica una relazione q = ψ(i/k), con ψ > e ψ() = 1, dove ψ(i/k) = 1+T(i/k)+i/kT (i/k). Essendo ψ monoona, possiamo definire la sua inversa ϕ( ), per la quale è i/k = ϕ(q). Le proprieà di ϕ implicano che ϕ > e ϕ(1) =. Sosiuendo nella (1.41): k = i = k ϕ(q ), ϕ(q ) >, ϕ(1) =. (1.53) Quesa relazione ci dice che il pianificaore eguaglia il valore marginale dello sock di capiale (k ϕ(q )) al suo coso marginale (i ), dove il coso al margine aumena al crescere del asso di invesimeno. Nauralmene incorrere nel piu alo coso marginale di un maggior invesimeno risula ragionevole solo se anche il valore ombra del capiale è più elevao. Quando q = 1, cioè quando il prezzo ombra del capiale è uguale a quello dei beni di consumo, il asso di invesimeno è chiaramene nullo. Solo quando q > 1, il asso di invesimeno è posiivo.

25 24 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI Sviluppiamo ora la (1.46) enendo cono che µ = e che i /k = ϕ(q ): [ ( ) 2 µ q e θ + µ q e θ θµ q e θ = µ e θ i T ( i ] ) + f (k ) k k { θdτ q = e q { lim q e θ = e θ q q = θq f (k ) ϕ 2 (q )T (ϕ(q )) (1.54) [ ] f (k s ) + ϕ 2 (q )T (ϕ(q )) e } θdτ ds [ f (k s ) + ϕ 2 (q )T (ϕ(q )) ] } e θ(s ) ds. Occorrerebbe a queso puno caraerizzare il diagramma di fase associao alle equazioni (1.53) e (1.54), e dimosrare che l unico seniero che soddisfa ali equazioni uniamene alla condizione di rasversalià (1.48) è un seniero lungo il quale k e q endono rispeivamene a k e q. In al modo sarebbe dimosrao che lim q e θ =. L analisi verrà condoa nelle pagine che seguono. Per ora assumiamo queso fao come vero. Eguagliando quindi a zero il ermine di sinisra nell ulima equazione scria e ponendo =, segue: [ ] q = f (k s ) + ϕ 2 (q )T (ϕ(q )) e θ(s ) ds (1.55) Il prezzo ombra del capiale è allora uguale al valore auale del prodoo marginale nei periodi fuuri, il quale a sua vola è dao dalla somma di due ermini: il prodoo marginale del capiale impiegao nella produzione e la riduzione del coso marginale di insallazione di un dao flusso di invesimeni, dovua all incremeno dello sock di capiale. Tano maggiore è il prodoo marginale correne e quelli fuuri aesi, o ano minore è il asso di scono, ano maggiore è q, e quindi il asso di invesimeno. La caraerisica più imporane della (1.55) è che q, e con esso il asso di invesimeno, non dipende dalle proprieà della funzione di uilià, ne dal livello del debio. In queso modello di economia apera, con un asso di ineresse reale esogeno θ, le decisioni di invesimeno sono indipendeni da quelle relaive al consumo ed al risparmio. Il risparmio è dao da: s = f(k ) c θb. Rielaborando la (1.5) e enendo cono che c è cosane, abbiamo: [ c e θ(s ) d s = f(k s ) i s [1 + T( i ] s )] e θ(s ) ds b, k s c [ = f(k s ) i s [1 + T( i ] s )] e θ(s ) ds b. θ k s Sosiuendo: s s = f(k ) θ = f(k ) θ [ ] )] k s ] f(k s ) i s [1 + T( i s [ f(k s ) i s [1 + T( i s )] k s e θ(s ) ds + θb θb e θ(s ) ds. (1.56)

26 q 1 dk d = SS dq d = k k Fig Dinamica degli invesimeni e del capiale. Il risparmio è elevao quando la produzione è elevaa in rapporo alla produzione fuura aesa. Un secondo imporane risulao è l indipendenza del risparmio dal livello del debio. Infai, l eguaglianza ra propensione marginale al consumo e asso di ineresse fa sì che un incremeno nel livello del debio compori un idenico decremeno nel reddio e nel consumo, e lasci inalerao il risparmio. Passiamo ora allo sudio del comporameno dinamico del modello. Per ricercare i puni fissi imponiamo la condizione k = q = : k ϕ(q ) = θq f (k ) ϕ 2 (q )T (ϕ(q )) =.

27 26 CAPITOLO 1. CONSUMO E INVESTIMENTI Tenendo cono che ϕ(1) =, si vede facilmene che esise una sola soluzione: q = 1, f (k ) = θ. (1.57) In corrispondenza dello seady sae il asso di invesimeno k è quindi nullo. Il prezzo ombra del capiale è uguale al coso di rimpiazzo. Il prodoo marginale del capiale f (k ) è uguale al asso di ineresse, il quale a sua vola è uguale al asso di preferenza ineremporale θ. Procedendo alla linearizzazione, la marice jacobiana del sisema è: [ ϕ(q) kϕ J(k,q) = ] (q) f (k) θ 2ϕ(q)ϕ (q)t (ϕ(q)) ϕ 2 (q)ϕ (q)t. (ϕ(q)) che nello seady sae vale: [ J(k,q ) = k ϕ (1) f (k ) θ ], e i cui auovalori sono: λ 1 = θ + θ 2 4k ϕ (1)f (k ) 2 > θ λ 2 = θ θ 2 4k ϕ (1)f (k ) 2 Il puno (k,q ) = (f 1 (θ),1) è quindi di sella per il sisema ed esise un unico seniero convergene allo seady sae. La linearizzazione del sisema in un inorno dello seady sae divena allora: ( ) [ k = q k ϕ (1) f (k ) θ ] ( k k q 1 <. ), (1.58) cioè: { k = k ϕ (1)(q 1) q = f (k )(k k ) + θ(q 1). Il luogo geomerico dk/d = è orizzonale, passane per q = 1, menre il luogo geomerico dq/d = è negaivamene inclinao, con inclinazione pari a f (k )/θ. Possiamo quindi racciare il diagramma di fase per l analisi della sabilià locale del sisema in un inorno dello sao sazionario (vedi Fig. 1.2). L unico seniero convergene all equilibrio è la curva SS. La dinamica degli invesimeni può essere dedoa dal seniero di sella SS: dao lo sock di capiale iniziale k, lungo SS calcoliamo il valore iniziale q. La (1.53) permee a queso puno di deerminare il corrispondene livello degli invesimeni. Se q è ad esempio superiore a 1, il capiale si accumula nel corso del empo, il prodoo aumena e con esso il prodoo neo f(k) i[1 + T(i/k)]. Nel corso del empo il prodoo aumena e gli invesimeni diminuiscono. Il consumo ed il debio. Abbiamo viso come il livello del consumo risuli cosane, e come sia deerminao dal seniero del prodoo neo (a sua vola deerminao da quello degli invesimeni) e dallo sock iniziale di debio. La Fig. 1.3 ripora un seniero emporale del prodoo neo crescene, con il prodoo che aumena man mano che lo sock di capiale cresce fino al proprio

28 c c f(k) i[1 + T( i k )] AB Fig Consumo, produzione nea, commercio inernazionale e saldo delle parie correni. livello di seady sae. Si raa ora di deerminare il seniero del consumo. Assumiamo che il livello iniziale del debio sia b =. In base alla (1.51) il livello cosane del consumo deve essere ale che il valore auale del prodoo neo meno il consumo sia nullo. Ciò equivale a dire che il valore auale dei surplus commerciali correni e fuuri deve essere uguale a zero. Graficamene, i valori auali delle due aree raeggiae della Fig. 1.3 devono essere idenici e di segno opposo; il livello del consumo può allora essere deerminao racciando una linea rea che renda le due aree uguali in valore auale. Nella Fig. 1.3 il prodoo neo aumena nel corso del empo: in un primo rao esso è inferiore al consumo, successivamene diviene superiore. L eccesso iniziale di consumo rispeo al prodoo neo può essere oenuo indebiandosi verso l esero, ossia incorrendo in un disavanzo commerciale. In quesa prima fase il debio si accumula, menre in quella finale il prodoo neo cresce a sufficienza da generare un avanzo della bilancia commerciale. In seady sae il saldo delle parie correni deve essere nullo: il surplus commerciale viene esaamene compensao dal pagameno degli ineressi sul debio. Il livello di seady sae del debio b è posiivo e ale che nella Fig. 1.3 θb è uguale ad AB, cioè all avanzo commerciale. La presenza di un debio posiivo riflee la decisione di consumare, nei periodi iniziali, in misura maggiore del prodoo neo Shock della produivià e parie correni I senieri del consumo e delle parie correni derivai grazie alla precedene analisi possono servire come puno di parenza nell analisi degli effei prodoi da shock della produivià. Supponiamo che il livello della produzione sia dao da: y = (1 z )f(k) z 1,