Valutazione analitica degli effetti del confinamento sulla capacità di pilastri e travi in c.a. di strutture esistenti e di nuova progettazione.

Transcript

1 Valutazioe aalitica degli effetti del cofiameto sulla capacità di pilastri e travi i c.a. di strutture esisteti e di uova progettazioe. Fraco Braga Dipartimeto di Igegeria Strutturale e Geotecica, Uiversità La Sapieza, Roma, Italia Rosario Gigliotti C.E.R.I. Cetro di Ricerca previsioe, prevezioe e cotrollo dei Rischi geologici, Uiversità La Sapieza, Roma, Italia. Dipartimeto di Strutture, Geotecica, Geologia applicata all igegeria, Uiversità della Basilicata, Poteza, Italia Michelagelo Laterza, Michele D Amato Dipartimeto di Strutture, Geotecica, Geologia applicata all igegeria, Uiversità della Basilicata, Poteza, Italia Keywords: cofiameto, duttilità, riforzo strutturale, armatura trasversale, FRP, Stress-Block, domii di iterazioe M-N, stati limite. SOMMARIO Per la valutazioe della capacità delle membrature i cemeto armato, le pricipali ormative cosetoo l uso di legami costituivi per il calcestruzzo riteuti maggiormete rappresetativi del reale comportameto rispetto ai diagrammi tesioe-deformazioe del tipo parabola-rettagolo o rettagolare equivalete. Sia la resisteza sia la duttilità della sezioe soo ifluezate dal legame σ ε del calcestruzzo e pertato, come è oto, dal livello di cofiameto. Nell articolo si descrive u possibile approccio progettuale, basato sui metodi classici di aalisi della sezioe, che prevede l uso del diagramma rettagolare equivalete per il calcestruzzo cofiato. Gli studi effettuati mostrao che è possibile descrivere i parametri dello stress-block attraverso semplici relazioi, che dipedoo dalla resisteza del calcestruzzo o cofiato, dal quatitativo e disposizioe dell armatura trasversale e logitudiale e dalla geometria della sezioe. A tale scopo, elle aalisi umeriche è stato adottato u modello aalitico per il calcestruzzo cofiato capace di portare i coto tutti i fattori elecati, ache el caso di cofiameto misto costituito da armature trasversali i varie cofigurazioi e riforzi esteri (i acciaio, FRP, ecc.). I particolare, i domii di iterazioe per i diversi stati limite richiedoo la defiizioe dei limiti appropriati per la deformazioe massima del calcestruzzo. Pertato, si idica la possibilità di defiire gli stress-block i fuzioe della deformazioe massima assuta o del livello di tesioe residua del calcestruzzo riteuto accettabile i fuzioe dello stato limite cosiderato. Occorrerà ovviamete ampliare l aalisi parametrica, allo scopo di ricavare equazioi di progetto propoibili i ambito ormativo. ABSTRACT: I order to evaluate the capacity of R/C members, the mai codes allow the use of stress-strai laws that ca reproduce closely the real behaviour of cocrete, as opposed to parabola-rectagular or equivalet rectagular diagrams. Both sectioal resistace ad ductility deped o the law of cocrete, therefore they are iflueced by the cofiemet of members, as evideced i the literature. I this paper a possible desig approach is preseted, based o classic sectio aalysis methods. The method uses parameters that represet the stress-strai law of cofied cocrete. The studies carried out show that such parameters ca be chose through simple relatioships depedig o the resistace of o-cofied cocrete, o the amout ad geometry of logitudial ad trasverse reiforcemet, ad o the geometry of the sectio. At this aim some umerical aalyses have bee performed usig a aalytical model of cofied cocrete, capable of takig ito accout all the metioed effects, eve i the case of various sources of cofiemet, whe differet schemes of hoops ad exteral elemets (FRP wrappigs, steel plates, etc.) are used. More i detail, the sectio iteractio diagrams for the differet limit states require the defiitio of a appropriate upper boud for the strai of cocrete. Therefore the study focuses o the possibility of usig stressblocks depedig o the maximum stai assumed, or o the level of residual stress accepted i cocrete accordig to a specified limit state. Further studies will exted the parametric aalysis i order to obtai desig equatios to be implemeted i codes. INTRODUZIONE Negli ultimi ai si è cosolidato ella progettazioe delle strutture l approccio di tipo prestazioale. Tale approccio, recepito dalle pricipali ormative, cosiste el defiire i livelli di prestazioe richiesti alle strutture el loro isieme ed alle sigole parti strutturali i fuzioe degli stati limite idividuati come sigificativi per le azioi cosiderate ed i relazioe alla vita utile dell edificio.

2 Per le strutture i cemeto armato, la maggior parte delle ricerche i corso riguarda la modellazioe di dettaglio dei materiali e delle membrature e lo sviluppo di elemeti fiiti capaci di descrivere i pricipali feomei fisici i campo o lieare. Co particolare riguardo alle strutture itelaiate, la cui risposta strutturale è prevaletemete legata al comportameto flessioale delle sigole membrature i preseza o meo di azioi assiali, i metodi di progetto/verifica della sezioe mategoo u carattere fortemete covezioale ed acora iadeguato alle modere filosofie di progetto. Nella ormativa italiaa, tutti gli aspetti riguardati la duttilità strutturale ed il soddisfacimeto dei requisiti prestazioali delle sigole parti, coereti co i livelli di duttilità globale prefissati, soo tuttora demadati i maiera quasi esclusiva a regole di progetto specifiche ed ai particolari costruttivi, co u approccio di tipo prescrittivo. Le ormative eozeladesi e l eurocodice 8 legao i quatitativi richiesti di armatura trasversale ai livelli di duttilità globali (della struttura) e locali (a livello di elemeto e di sezioe). È ifatti oto che l'armatura trasversale cotribuisce i maiera sigificativa al migliorameto della duttilità strutturale per due ragioi fodametali: impedisce l'istabilizzazioe delle barre logitudiali di armatura quado, a livello di sezioe, si raggiugoo curvature elevate; modifica la legge di comportameto del calcestruzzo icremetadoe sia la resisteza sia la duttilità. Ciò comporta u icremeto della duttilità di curvatura a livello di sezioe e u coseguete aumeto della duttilità globale. Per tali motivazioi il cofiameto del calcestruzzo ha assuto u ruolo importate el campo dell igegeria strutturale e, egli ai receti, ha riguardato ache il riforzo di edifici esisteti. Ai fii del progetto/verifica delle sezioi i c.a. le pricipali ormative foriscoo delle espressioi semplificate del legame costituivo del calcestruzzo (il diagramma parabola-rettagolo o il diagramma rettagolare equivalete) utilizzate elle equazioi che defiiscoo il domiio di iterazioe M-N della sezioe. Tali diagrammi semplificati predoo il ome di Stress-Block. I alterativa, l eurocodice, le orme americae ACI 38 e le orme eozeladesi NZS 403, cosetoo l uso di qualuque legame tesioi-deformazioi del calcestruzzo riteuto maggiormete rappresetativo del comportameto effettivo. Il presete lavoro è stato sviluppato i cotiuità co precedeti studi sul cofiameto del calcestruzzo e sul comportameto degli elemeti pressoiflessi i c.a. e costituisce u primo approccio al problema del progetto/verifica della sezioe i c.a. mediate l uso di stress-block per il calcestruzzo cofiato. I particolare, gli studi aalitici effettuati si soo basati su u modello che defiisce, su base completamete aalitica, la legge della pressioe di cofiameto esercitata dall armatura trasversale e/o riforzi esteri, al variare della deformazioe assiale del calcestruzzo. Il modello cosete, ota la legge di comportameto del calcestruzzo i stato triassiale co pressioe di cofiameto data (stato triassiale attivo), di defiire la relazioe tesioi-deformazioi del calcestruzzo i u elemeto strutturale, che è ormalmete soggetto ad u cofiameto passivo. Le caratteristiche del modello, capace di descrivere l iterazioe tra calcestruzzo ed armature trasversali e logitudiali, per diverse cofigurazioi delle armature stesse ed evetualmete i preseza di riforzi esteri, hao cosetito di studiare l effetto del cofiameto sul comportameto della sezioe. L obiettivo fodametale è quello di defiire i parametri dello stress-block i fuzioe delle caratteristiche dei materiali, della geometria e del cofiameto, applicabili alle usuali equazioi di equilibrio della sezioe, elle ipotesi classiche di coservazioe delle sezioi piae e di perfetta adereza. A questo scopo è idispesabile defiire i limiti sulle deformazioi da adottare per ogi stato limite cosiderato, teedo coto che il limite covezioale di orma per la deformazioe del calcestruzzo, pari al 3,5 secodo l EC ed al 3 secodo le ACI e le NZS, corrispode al raggiugimeto della massima resisteza flessioale della sezioe (SLU). È stato pertato idagato, per alcui casi studio, l effetto della deformazioe massima del calcestruzzo sul domiio di iterazioe M-N, ell ipotesi semplificata di u uico legame per tutta la sezioe; a rigore, ifatti, il solo ucleo racchiuso el perimetro staffa assume il legame del calcestruzzo cofiato. È stato ifie impostato uo studio parametrico sui legami costitutivi, idividuado alcui aspetti sigificativi dei parametri degli stress block i fuzioe della deformazioe massima del calcestruzzo. Questo approccio cosete, i prospettiva, di studiare ache lo stato limite di collasso, ua volta che sia stata correttamete defiita la deformazioe ultima del calcestruzzo. PROGETTO/VERIFICA DELLA SEZIONE IN C.A.. Ipotesi di base ed equazioi di equilibrio Per il progetto/verifica delle sezioi presso-iflesse i c.a. ci si riferisce i geere alla sezioe retta, elle classiche ipotesi di: legami costitutivi o lieari co deformazioi massime fissate i fuzioe dei requisiti dello stato limite cosiderato; coservazioe delle sezioi piae; perfetta adereza tra cls e acciaio; calcestruzzo o reagete a trazioe (per tutti gli stati limite che si riferiscoo alla sezioe fessurata). h G y h/ M N y /r ε si ε cm d i C c F si =A si σ si Figura. Profilo di deformazioi e diagramma delle tesioi per ua geerica sezioe pressoiflessa i c.a. y c

3 Per ogi profilo di deformazioe fissato sulla sezioe, la coppia M-N i equilibrio co le forze itere è descritta dalle ote equazioi di equilibrio: N = C + A σ () c si si i= h h M = C y + A σ d () c c si si i i=. Gli stress-block: stato dell arte Nelle precedeti equazioi, al posto del legame σ- ε effettivo, si utilizza i geere per il cls ua distribuzioe di tesioi rettagolare equivalete, detta stress-block. Fissata ε cm il diagramma rettagolare di calcolo è uivocamete defiito dall altezza αf cd e dalla lughezza ε cm. Tali parametri si ricavao mediate le due relazioi: ε cm σ 0 cdεc = α fcd εcm (3) La Figura 4 riporta u cofroto tra i valori dei parametri per gli stress-block delle pricipali ormative iterazioali ACI 38 CSA A3.3 (994) e CSA S6 (00) NZS 30 (005) EC (004) NS 3473 (995) CEB-FIB Model Code (990) D.M. 4/09/005 α fc (MPa) σ c f cd ε ( 0,5 ) cm σ 0 cεcdεc = α fcd εcm εcm (4) ε cm ACI 38 CSA A3.3 (994) e CSA S6 (00) NZS 30 (005) EC (004) NS 3473 (995) CEB-FIB Model Code (990) D.M. 4/09/ fc (MPa) Figura 4. Parametri degli stress-block riportati i diverse ormative iterazioali ε cm α f cd Figura. Legame σ-ε del calcestruzzo e Stress-block rettagolare equivalete (per ua data deformazioe ε cm ) L EC adotta, per il cls o cofiato, u legame di tipo parabola-rettagolo e cosete, i alterativa ad esso, di utilizzare legami semplificati purchè e- quivaleti (i distribuzioe) o più cautelativi rispetto al legame parabola-rettagolo idicato dalla stessa orma. Cosete, ioltre, l impiego di u diagramma rettagolare equivalete, idicadoe i parametri i fuzioe della resisteza (Figura 3) EC Resisteza effettiva Stress-Block equivalete Resisteza effettiva Stress-Block EC ck ck ck ck ck ck λ = per f MPa ( ) λ = < f per f MPa η = per f.0 50MPa ( ) η = < f per f MPa Altezza efficace Stress-Block equivalete Altezza efficace Stress-Block EC ε f ck (MPa) Figura 3. Parametri per gli stress-block riportati ell EC c L EC forisce ache specifiche equazioi per il legame tesioe-deformazioe e per la deformazioe ultima del calcestruzzo cofiato, ma o idetifica co chiarezza i parametri utili a defiire i campi di deformazioe per i diversi stati limite (Stati limite di esercizio, Stato limite ultimo e Stato limite di collasso). Ache le ACI 38/05, NZS 30 (995) e il D.M. 4/09/005 cosetoo di utilizzare qualsiasi forma per il legame σ-ε purchè adeguatamete rappresetativa del comportameto del calcestruzzo. Tutte le pricipali ormative, duque, i liea di pricipio, cosetoo di portare i coto gli effetti del cofiameto. A questo scopo, soo stati effettuati degli studi aalitici per la determiazioe degli stress-block del calcestruzzo cofiato, utilizzado il modello Braga, Gigliotti, Laterza (006), di cui si riporta, el paragrafo successivo, ua descrizioe sitetica e le equazioi applicative. 3 MODELLO ANALITICO PER IL CONFINAMENTO DEL CALCESTRUZZO U elemeto i cemeto armato soggetto ad ua deformazioe logitudiale di compressioe tede ad espadersi lateralmete. Le armature trasversali i forma di staffe e legature itere, e/o riforzi i FRP esercitao u azioe di cofiameto, oppoedosi all espasioe del ucleo di calcestruzzo. Ciò de-

4 termia all itero dell elemeto uo stato di tesioe triassiale. La geometria degli elemeti trave e pilastro, tipici delle strutture itelaiate, i cui la dimesioe logitudiale è prevalete rispetto a quelle trasversali, cosete di studiare il problema riferedosi ad ua geerica sezioe piaa rappresetativa del cocio i u iterasse staffa. L assuzioe fodametale a base del modello è che l icremeto di stato tesioale el calcestruzzo si verifichi seza alterare lo stato deformativo della sezioe retta fuori dal piao. Ciò si traduce ell ipotesi che l azioe di cofiameto si maifesti i stato di deformazioe piao. I termii geerali (Figura 5) il legame σ z (ε z ) del calcestruzzo cofiato può scriversi ella forma: ( ) ( ) ( ) σ ε = σ ε +Δ σ ε (5) z z z0 z z z dove σ z0 (ε z ) ed ε z rappresetao la tesioe del calcestruzzo o cofiato e la corrispodete deformazioe ormali al piao della sezioe. Il termie Δσ z (ε z ) rappreseta, ivece, l icremeto di tesioe legato allo stato triassiale. Tale icremeto è proporzioale alla pressioe laterale di cofiameto e dipede quidi dal quatitativo e dalla distribuzioe dell armatura trasversale, dalle caratteristiche dei materiali e dalla geometria della sezioe. Axial Stress σ z σ z (ε z ) Δσ z Cofied Cocrete r/r = 0,5 f rm r/r = f r,max f rm R r/r = 0,5 r/r = Figura 6. Pressioi radiali e tageziali all itero della sezioe U parametro di particolare iteresse applicativo è la pressioe radiale media; essa ifatti è idipedete dal raggio della circofereza iscritta alla sezioe ed è rappresetativa dello stato di cofiameto globale del ucleo cofiato, i fuzioe della deformazioe assiale. Si ha, ifatti, che: frm = B l (8) da cui, sostituedo ella (6), si ha: Δ σ f, τ = Δ σ = ν f = Δ σ f (9) ( ) ( ) z r m z rm z rm Le tesioi tageziali, a differeza della pressioe radiale media, variao co il raggio della circofereza itera cosiderata (Figura 6). Dalla relazioe (9) si deduce che la sola pressioe di cofiameto media produce, su tutti i cilidri iteri alla coloa co sezioe quadrata, gli stessi effetti dello stato di cofiameto triassiale completo. Essa può duque essere defiita come pressioe di cofiameto equivalete f rm-eq. τ r σ z0 (ε z ) σ z0 Ucofied Cocrete N st S ε z ε z Axial Strai Figura 5. Icremeto di resisteza dovuto al cofiameto A partire dalle ipotesi dette, il modello descrive lo stato tesioale delle armature e del ucleo cofiato, evideziado che l icremeto di tesioe assiale dovuto al cofiameto Δσ z (ε z ) è uiforme ella sezioe e vale: dove: Δ σz = ν B l (6) + + B = l S E l SE E l C E I A 3 8 Ec Es As ν S Ec l 05 Es Is ( ν ) εz 4 { 5 c + 6 c s 890 s s s( ν ) } C = I + + l A + 35 s( ν ) s(ν 5) (7) Lo stato triassiale di cofiameto è completamete descritto i coordiate polari da pressioi radiali e tesioi tageziali (Figura 6). N st Δl st V l,m f r =k sl f rm (a) (b) (c) (d) Figura 7. Pressioi di cofiameto lugo l elemeto Il modello aalitico tiee coto ache del cofiameto esercitato lugo l elemeto dalle armature logitudiali. Pertato, alla pressioe di cofiameto calcolata ell ipotesi di pressioi uiformemete distribuite lugo l elemeto, si applica il coefficiete riduttivo: 3 45ξ l ksl = (0) 3 45ξ l + ξst φlo φst φst co ξ l = ; = ; ξ st =. S φ l lo Quado la rigidezza flessioale delle barre logitudiali diviee trascurabile, cioè per valori bassi del rapporto ξ l, le pressioi di cofiameto si distribuiscoo lugo l elemeto uicamete grazie f rm

5 all effetto arco che si sviluppa tra due staffe cosecutive. Si poe quidi la limitazioe: ksl kc, essedo k c il coefficiete riduttivo delle pressioi di cofiameto proposto da Sheikh e Uzumeri el 980 ed espresso dalla relazioe: k c S = 4 l st () I defiitiva, la pressioe di cofiameto efficace a cui è sottoposta ua coloa cofiata da staffe quadrate è data dall espressioe: f = k f () r sl rm Utilizzado la formulazioe aalitica delle pressioi di cofiameto otteute per la sezioe quadrata e/o circolare co sigola staffa (cofigurazioe S e/o C), è possibile ricavare le pressioi esercitate ache dalle altre cofigurazioi di armature trasversali ed evetuali riforzi esteri applicado il pricipio di sovrapposizioe degli effetti (figure 8 e 9). S S S3 A f = f + f r ri re Ae Per la sezioe S4 (Figura ), ivece, si ottiee: b b (a) f r = + fr + fr (3) L L b (b) fr = frl + fr (4) L Figura. Tipologia S4 Nelle figure e 3 è rappresetato u esempio applicativo per ua sezioe cofiata co sole armature trasversali (cofigurazioe S3) e co aggiuta di ua fasciatura i FRP. Oltre alle diverse relazioi σ ε soo rappresetati ache gli adameti delle pressioi di cofiameto globali e relative ai sigoli dispositivi di cofiameto. S4 S5 C Figura 8. Tipologie di armatura trasversale i acciaio Figura 9. Tipologie di riforzi esteri S3 e e A A i a) - S3 b) S5 i Figura 0. Sezioi tipo S3 ed S5 Per sezioi cofiate co staffe itere ed estere (tipologia S3, S5) la pressioe di cofiameto sulla sezioe è pari a (Figura 0): Figura. Pressioi di cofiameto e legami σ ε del cls cofiato per ua sezioe co sole armature trasversali.

6 i campi di deformazioe ed il corrispodete domiio allo SLU, così come defiito ell EC. Campi di deformazioe A s 0 ε c0 ε cu ε c G A s ε sm εsy 0 ε s N Domiio d iterazioe y 5 S3 4 3 M Figura 5. Campi di deformazioe e domiio d iterazioe Figura 3. Pressioi di cofiameto e legami σ ε del cls cofiato per ua sezioe co armature trasversali e fasciatura e- stera i FRP. Nel caso della sezioe S3 la pressioe di cofiameto rimae costate a causa dello servameto delle armature trasversali. Nel caso aalizzato co fasciatura i FRP, ivece, la pressioe di cofiameto cresce, ache oltre lo servameto della staffa itera, fio alla rottura della fasciatura. 4 STUDIO DELLA SEZIONE CONFINATA Lo studio della sezioe presso-iflessa richiede, i geerale, la coosceza di due legami costitutivi diversi: calcestruzzo o cofiato per il copriferro; calcestruzzo cofiato per il ucleo. h d d G h/ M N 3 σ σ f f cc cc f co f co Legame costituivo del calcestruzzo cofiato Legame costituivo del calcestruzzo cofiato Legame costituivo del calcestruzzo o cofiato Legame costituivo del calcestruzzo o cofiato I geerale, le deformazioi massime da cosiderare soo fuzioe dei requisiti richiesti allo stato limite i esame. Per lo Stato Limite Ultimo l ACI 38 e le NZS 30 (005) pogoo ε cm = 3. L EC e il D.M. 4/09/005, ivece, pogoo ε cm = 3,5. A tal proposito va ricordato che diverse sperimetazioi mostrao che per calcestruzzi co basso livello di cofiameto la resisteza massima della sezioe si verifica i corrispodeza di ua deformazioe ε cm compresa tra,5 e 4,5 (Park e Paulay, 975). L iflueza della deformazioe massima sulla resisteza della sezioe è stata idagata aalizzado alcui casi studio ed utilizzado il software Respose000. La procedura da esso utilizzata o poe alcua limitazioe alle deformazioi massime dei materiali e ricerca, per ogi valore di N, il profilo di deformazioe a cui corrispode la massima resisteza flessioale. Le aalisi soo state effettuate riferedosi ad ua sezioe quadrata di lato 500 mm ed utilizzado quattro diversi legami σ-ε per il calcestruzzo, otteuti a partire da u legame o cofiato co f c0 =30 MPa co diversi livelli di cofiameto (Figura 6). b ε ε co co ε cc ε cc ε c ε c 3 M N η f c0 η ε s ' ε 3 f cc cm C s5 C c d 3 y C s4 C c C s3 η f T s c0 /r ε s T s C c3 b Figura 4. Sezioe cofiata: diagramma delle forze itere Per u dato stato limite, il domiio di iterazioe M-N della sezioe si ottiee ruotado il profilo di deformazioe itoro alle deformazioi limite dell acciaio e del cls. I Figura 4 soo rappresetati Figura 6. Legami σ-ε cosiderati elle aalisi

7 Soo stati cosiderati, ioltre, tre quatitativi differeti di armatura logitudiale (dal miimo al massimo secodo le prescrizioi dell EC8). % Armatura logitudiale media Figura 7. Domii di resisteza della sezioe per differeti legami costitutivi del calcestruzzo (quatitativo medio di armatura logitudiale). % Armatura logitudiale mi % Armatura logitudiale max I Figura 7 soo rappresetati, per la sezioe co percetuale di armatura logitudiale media, i domii di resisteza relativi ai quattro diversi legami cosiderati. Per oguo dei quattro domii è riportata ache, i fuzioe della forza assiale N, la deformazioe massima ε cm del calcestruzzo. I Figura 8 soo riportate le deformazioi massime ε cm per la medesima sezioe co quatitativo miimo e massimo di armatura logitudiale. Lo studio prelimiare effettuato, mostra, i ogi sigolo caso, che: la deformazioe massima del cls ε cm corrispodete alla massima resisteza della sezioe è circa costate i u ampio itervallo della forza assiale; ε cm cresce al crescere del cofiameto agete sulla sezioe e risulta pressoché idipedete dalla percetuale di armatura logitudiale. Nel caso del calcestruzzo o cofiato, ioltre, la deformazioe massima è prossima ai valori di deformazioe massima assuta allo SLU dalle pricipali ormative. È possibile duque costruire, per qualuque legame costitutivo, il domiio di resisteza i maiera covezioale, stabiledo opportuamete la deformazioe limite ε cm del calcestruzzo. A titolo di esempio, elle figure segueti soo rappresetati i domii di resisteza della sezioe co percetuale media di armatura logitudiale, determiati per diversi valori della deformazioe limite del calcestruzzo, a secoda del tipo di legame costitutivo. Per ogi tipo di legame del calcestruzzo le curve d iterazioe riportate elle figure segueti soo state ricavate per diversi valori del rapporto: γ = fcm fcc dove f cc è la tesioe di picco ed f cm è la tesioe corrispodete alla deformazioe massima ε cm assuta. Il domiio di massima resisteza, defiito impoedo i valori di deformazioe precedetemete calcolati è ovviamete coicidete co quello del Respose000. Si può osservare, ivece, che la capacità della sezioe tede a ridursi al crescere della deformazioe massima assuta, i misura maggiore al crescere della forza assiale (figure 9, 0, e ) Figura 8. Deformazioe massima ε cm del calcestruzzo compresso per differeti legami costitutivi del calcestruzzo (Quatitativo miimo e massimo di armatura logitudiale) Figura 9. Domii d iterazioe della sezioe co calcestruzzo o cofiato e co percetuale media di armatura logitudiale

8 Figura 0. Domii d iterazioe della sezioe co calcestruzzo cofiato (basso cofiameto) e co percetuale media di armatura logitudiale Figura 3. Parametri α e degli stress-block ricavati per i casi aalizzati Figura. Domii d iterazioe della sezioe co calcestruzzo cofiato (medio cofiameto) e co percetuale media di armatura logitudiale Figura. Domii d iterazioe della sezioe co calcestruzzo cofiato (alto cofiameto) e co percetuale media di armatura logitudiale I tutti i casi aalizzati la massima resisteza della sezioe si verifica per valori di ε cm maggiori di 0,003 o 0,0035 (quest ultime rappresetao le limitazioi poste per il cls compresso dalle pricipali ormative allo SLU). Tali valori, ivece, soo i buo accordo co le deformazioi forite dalle aalisi el caso di calcestruzzo o cofiato. Di seguito vegoo riportati i valori dei coefficieti α e degli stress-block per i casi aalizzati al variare del parametro γ. 5 UN PRIMO APPROCCIO ALLA FORMULAZIONE DELLE EQUAZIONI DI PROGETTO/VERIFICA DEGLI STRESS- BLOCK Come precedetemete riportato, le pricipali ormative iterazioali cosetoo di utilizzare qualsiasi legame σ-ε per il calcestruzzo compresso. I liea di pricipio, duque, esse cosetoo di portare i coto gli effetti del cofiameto. Ma i tal caso o foriscoo i valori dei parametri per gli stressblock e le deformazioi massime da assumere per il cls i fuzioe dello stato limite cosiderato. Le pricipali ormative iterazioali utilizzao la percetuale volumetrica di armatura trasversale ρ come uico parametro rappresetativo del livello di cofiameto della sezioe. I realtà, ache a parità di quatitativo volumetrico ρ, lo stato di cofiameto varia i fuzioe della cofigurazioe di armatura trasversale. Ciò è chiaramete rappresetato i Figura 4, i cui si possoo otare i differeti legami σ ε relativi alle diverse tipologie di staffe e ad u uico valore di ρ; ciò implica evidetemete u differete passo delle staffe tra i vari casi.

9 S S S3 S4 S5 C media ucofied sez- sez-3 sez-4- sez-4- sez-5 y = -.05x x R = 0.97 mi max 0.9 α σ (MPa) γ = f cm /f cc ε Figura 4. Legame σ-ε del cls cofiato per ρ=0.0, L staffa =500 mm, φ L = mm, φ staffa =8 mm, f c0 =30 MPa, f y =430 MPa Al fie di perveire ad ua prima formulazioe delle equazioi di progetto per gli stress-block del calcestruzzo cofiato, i parametri α e soo stati calcolati mediate aalisi parametriche al variare della resisteza f c0 del calcestruzzo o cofiato, del lato staffa L, del passo staffa s, della deformazioe ultima ε cm del calcestruzzo mediate il parametro γ. I risultati si riferiscoo a sezioi co lato 300 mm, 500 mm e 700 mm e co f c0 pari a 0, 30 e 40 MPa. I parametri α e soo rappresetati i fuzioe del passo staffe s e del rapporto γ. Vegoo riportati di seguito i pricipali risultati umerici, fializzati all idividuazioe dei parametri maggiormete rappresetativi. 5. Parametro α α gamma= gamma= gamma=0.9 gamma= gamma=0.8 gamma= gamma= s (mm) Figura 5. Parametro α i fuzioe del passo staffe per diversi valori del rapporto γ. I Figura 5 soo rappresetati i valori di α relativi a tutti i casi aalizzati (diverse resisteze e diverse dimesioi della sezioe). Si può osservare come, a parità di deformazioe massima, espressa attraverso il rapporto γ, le uvole di puti mostrao ua dispersioe ridotta attoro al proprio valor medio, a meo dei valori di γ miori di 0,75. I Figura 6 è riportato l adameto del parametro α i fuzioe di γ (valore medio, miimo e massimo). Figura 6. Parametro α i fuzioe del rapporto γ. I base ai risultati otteuti, u espressioe cautelativa di α potrebbe essere del tipo: α = 0, 05 +γ 0,9 (5) L altezza αf cc dello stress-block può scriversi i fuzioe della resisteza cilidrica f c dei provii, mediate la relazioe: f = α f =α k f =α k k f (6) cc SB cc s c0 s c c i cui k s = f cc /f c0 k c = f c0 /f c f c0 è la resisteza del calcestruzzo o cofiato. Da u puto di vista operativo è utile riferirsi direttamete alla resisteza cilidrica; occorre pertato teer coto della relazioe che itercorre tra la resisteza a compressioe del campioe cilidrico e quella dell elemeto strutturale. Per lo SLU Sheik e Yeh (990) hao forito per la seguete relazioe per k c : kc = 0,85 pern = N0 (7) kc = pern Nb co iterpolazioe lieare per i casi itermedi (N b N N 0 ), dove: N 0 è lo sforzo ormale cetrato; N b è lo sforzo ormale i codizioi bilaciate. Per N=N 0 si ha che α = metre, come mostrato dai risultati otteuti, per γ = 0,9 0,95 (corrispodete al domiio di massima resisteza della sezioe) α assume valori prossimi a 0,9. Si ha quidi: * SLU kc 0,85 pern N0 * SLU kc 0,9 pern Nb α =α = = α =α = (8) Appare pertato ragioevole, assumere, per lo SLU, u uico valore per αk c pari a 0,85, i liea co le pricipali ormative iterazioali. I geerale, per i diversi stati limite, l altezza dello stress block αf cc potrebbe assumersi pari a: * cc SB cc s ' c f = α f =α k f (9) co * α = 0, 05 +γ 0,85 (0)

10 5. Parametro Nelle figure segueti soo rappresetati i pricipali risultati relativi al parametro fc 0 gamma fc 30 gamma fc 40 gamma fc 0 fc 30 fc 40 Lieare (fc 0) Lieare (fc 30) Lieare (fc 40) y = x R = y = x R = y = x R = s (mm) Figura 7. Parametro i fuzioe del passo staffe per diversi valori del rapporto γ (f c0 = 0 MPa) passo (mm) Figura 30. Parametro i fuzioe del passo staffe per diversi valori della resisteza f c0 ( γ = 0,95) y = x R = y = x R = y = x R = fc 0 gamma fc 30 gamma fc 40 gamma fc 0 fc 30 fc 40 Lieare (fc 0) Lieare (fc 30) Lieare (fc 40) passo (mm) Figura 3. Parametro i fuzioe del passo staffe per diversi valori della resisteza f c0 ( γ = 0,9) s (mm) Figura 8. Parametro i fuzioe del passo staffe per diversi valori del rapporto γ (f c0 = 30 MPa) fc 0 gamma fc 30 gamma fc 40 gamma fc 0 fc 30 fc 40 Lieare (fc 0) Lieare (fc 30).0 0 y = x R = Lieare (fc 40) 0 y = x R = y = x R = s (mm) Figura 9. Parametro i fuzioe del passo staffe per diversi valori del rapporto γ (f c0 = 40 MPa). Il parametro è poco sesibile alle dimesioi del lato della staffa. Dalle figure 7, 8 e 9 si evice che, a parità di γ, è be rappresetato dal passo staffe e dalla resisteza del calcestruzzo. Nelle figure 30, 3 e 3 è rappresetata, per alcui valori di γ e della resisteza del calcestruzzo, la variabilità di co il passo delle staffe. Le figure 33, 34 e 35 riportao ivece i valori di ricavati i fuzioe della resisteza del calcestruzzo o cofiato, per alcui valori del rapporto γ passo (mm) Figura 3. Parametro i fuzioe del passo staffe per diversi valori della resisteza f c0 ( γ = 0,85) f c0 (MPa) 0.87 S(50mm)-gamma S(00mm)-gamma S(50mm)-gamma S(00mm)-gamma S(300mm)-gamma S(400mm)-gamma S(500mm)-gamma Figura 33. Parametro i fuzioe della resisteza del calcestruzzo o cofiato (γ=; s = mm)

11 S(50mm)-gamma S(00mm)-gamma S(50mm)-gamma S(00mm)-gamma S(300mm)-gamma S(400mm)-gamma S(500mm)-gamma S f c0 (MPa) Figura 34. Parametro i fuzioe della resisteza del calcestruzzo o cofiato (γ=0.9; s = mm) Figura 36. Resisteza di picco f cc i fuzioe di ρ (fuzioe di ρ (cofigurazioe armature trasversali tipo S) S(50mm)-gamma S(00mm)-gamma S(50mm)-gamma S(00mm)-gamma S(300mm)-gamma S(400mm)-gamma S(500mm)-gamma S f c0 (MPa) Figura 35. Parametro i fuzioe della resisteza del calcestruzzo o cofiato (γ=; s = mm) I base ai risultati otteuti, il parametro può essere descritto da ua relazioe del tipo: = a( γ ) + b( γ) s+ c( γ) f c 0 () dove i coefficieti a, b e c, ricavati dalle regressioi sui risultati delle aalisi parametriche, valgoo: a = 0.66 γ +.59 b = γ γ c = 0.08 γ γ Resisteza di picco (parametro k s ) Le aalisi effettuate mostrao che la resisteza di picco del calcestruzzo cofiato f cc è be rappresetata dalla percetuale volumetrica di armatura trasversale ρ, come rappresetato elle figure 36, 37, 38 e 39. Si osserva che per ciascua tipologia di sezioe la resisteza di picco o varia co s, besì assume u adameto lieare co ρ ed è idipedete dalla resisteza del calcestruzzo o cofiato f c0, eccetto per la tipologia S5. Figura 37. Resisteza di picco f cc i fuzioe di ρ (cofigurazioe armature trasversali tipo S3) Figura 38. Resisteza di picco f cc i fuzioe di ρ (cofigurazioe armature trasversali tipo S3) S4 S5 Figura 39. Resisteza di picco f cc i fuzioe di ρ (cofigurazioe armature trasversali tipo S5)

12 Alla luce dei risultati otteuti si può ipotizzare, per il rapporto k s = f cc /f c0, ua relazioe del tipo: fcc ks = = + ( ρ ρ0) ξ S ( fc0) () f c0 ρ 0 = 0, 005 fc0 ξ S =, ,9 0 fc0 ξ S3 =, ,78 0 (3) fc0 ξ S 4 =,67 + 0,56 0 fc0 ξ S 4 = 0 + 3,07 0 Per la sezioe di tipo S5 la tesioe di picco è ifluezata, oltre che dalla percetuale di armatura trasversale, ache dal lato della staffa. Si ha pertato: co: fc0 ξ S5 = 8,5 + b( L) (4) 0 L b( L ) = + 53,56 (5) 300 Nelle espressioi precedeti f c0 è espresso i MPa ed L i mm. 6 CONCLUSIONI E' stato studiato il comportameto delle sezioi pressoiflesse i c.a. i fuzioe del legame costitutivo del calcestruzzo e dei limiti assuti sulle deformazioi. I particolare, utilizzado il modello aalitico Braga, Gigliotti, Laterza è stato affrotato il problema della progettazioe della sezioe i c.a., quado, elle ipotesi classiche di coservazioe delle sezioi piae e di perfetta adereza, si voglia teer coto ache degli effetti del cofiameto, esercitato dalle armature trasversali e logitudiali e da evetuali riforzi esteri. Le aalisi svolte sul comportameto delle sezioi pressoiflesse evideziao l'importaza della deformazioe massima del calcestruzzo compresso da utilizzare ella costruzioe dei domii di resisteza. Essa dipede sia dalla resisteza del calcestruzzo, sia dall'efficacia del cofiameto. Si evice ioltre che il solo parametro percetuale volumetrica di armatura trasversale o è sufficiete a descrivere i modo uivoco lo stato di cofiameto di ua sezioe. I fuzioe dei limiti assegati alla deformazioe massima del calcestruzzo è possibile verificare la capacità della sezioe per diversi stati limite, i particolare per lo SLU e lo SLCO. Ad esempio, è possibile assumere come deformazioe limite del calcestruzzo la deformazioe che garatisce l itegrità del copriferro; oppure, riferedosi alla situazioe di copriferro già espulso, si può aalizzare lo stato limite di collasso del ucleo racchiuso dalla staffa estera, adottado come deformazioe limite la deformazioe ultima del calcestruzzo cofiato. I risultati raggiuti el presete lavoro costituiscoo u primo approccio allo studio delle equazioi di progetto/verifica per gli stress-block del calcestruzzo cofiato. Le relazioi aalitiche dedotte, relative ad u umero limitato di casi, hao caratteristiche di semplicità che le redoo utilizzabili ella pratica progettuale. Le equazioi degli stress-block potrao essere geeralizzate ed evetualmete semplificate attraverso estese aalisi parametriche. Tali aalisi dovrao cosiderare la resisteza dei materiali, la deformazioe massima del calcestruzzo compresso, la geometria della sezioe, le caratteristiche tipologiche e geometriche delle armature di cofiameto (barre logitudiali e armatura trasversale) e degli evetuali riforzi esteri. RINGRAZIAMENTI Si rigrazia l ig. Michele Auricchio per le elaborazioi eseguite durate lo svolgimeto della propria tesi di laurea. RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Braga F., Gigliotti R. e Laterza M., 006. Aalytical stress strai relatioship for cocrete cofied by steel stirrups ad/or FRP jackets. Joural of Structural Egieerig A- SCE. Vol. 3, No. 9, pp ACI Committee Buildig Code Requiremets for Structural Cocrete ad Commetary. America Cocrete Istitute. Eurocode. 00. Desig of Cocrete Structures. ENV 99- -, CEN. NZS 30:995, Part ad Part. Cocrete Structures Stadard-The Desig of Cocrete Structures. Stadards Associatio of New Zealad. Welligto AASHTO-LRFD Bridge Desig Specificatio. Third editio icludig 005 ad 006 iterim revisios. America Associatio of State Highway ad Trasportatio Officials, Washigto DC, 004. Desig of Cocrete Structures. CSA A e CSA S6 00. Caadia Stadards Associatio, Rexdale, Otario, 994. Norvegia Stadard for desig of Cocrete Structures. The orvegia coucil for buildig stadardisatio. Oslo, Norway, 995 CEB-FIB. Model code 990. Thomas Telford Service Ltd., Lodo for comitµe Euro-Iteratioal du Bµeto, Lausae, 993. Decreto Miisteriale 4 settembre 005. Norme teciche per le costruzioi. Park R. ad Paulay T., Reiforced Cocrete Structures, Joh Wiley, New York, 975. Respose-000. Reiforced Cocrete Sectioal Aalysis (ver..0.5). Eva C. Betz ad Michael P. Collis. Uiversity of Toroto.