Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 2 Ingegneria Industriale a.a. 20 202 Grafico della funzione f(x, y) := sin(2x 2 y) cos(x 2y 2 ) in [ π/2, π/2] 2 Raccolta delle tracce di Analisi Matematica 2 per Ingegneria classe Industriale Facoltà di Ingegneria, Università del Salento
Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 5 dicembre 20, A. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni: + n= n sin x n (x + n) 2. 2. Calcolare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x, y) = (x + y) log y nel parallelogramma { (x, y) R 2 2 y 2, 2 x + y 2}. 3. Teoria: Funzioni regolari a tratti e criterio di sviluppabilità in serie di Fourier. 4. Teoria: Definizione di funzione differenziabile e relazioni con la continuità e le derivate direzionali (con dim.).
2 Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica II 5 dicembre 20, A. Sia f n (x) = n sin x n (x+n) 2. Le funzioni f n sono definite tutte nell intervallo [0, + [ (infatti ogni f n non è definita in n). Se x = 0, la serie è ovviamente convergente; se x > 0 si ha, per n +, n sin x n (x + n) 2 n x n (x + n) 2 = x (x + n) 2 e quindi la serie converge (assolutamente) in x in quanto il termine generale è un infinitesimo di ordine 2. Quindi la serie è puntualmente (assolutamente) convergente in [0, + [. Per quanto riguarda la convergenza uniforme si cerca di stabilire la convergenza totale. Dalla diseguaglianza sin x x si ottiene n sin x n (x + n) 2 x (x + n) 2 e quindi, considerata la funzione φ n (x) = x/(x + n) 2, si riconosce facilmente che essa ha massimo in n dato da φ(n) = n = 4n 2 4n ma la serie + n= 4n non è convergente. Se si considera invece un intervallo [0, a] con a > 0 per ogni n > a il massimo di φ n viene assunto in a e la serie + n= φ n(a) è convergente. Quindi vi è convergenza totale (e conseguentemente uniforme) in [0, a]. 2. Innanzitutto si osserva che il parallelogramma è un insieme chiuso e limitato e che la funzione assegnata è continua e quindi il massimo ed il minimo assoluto esistono per il teorema di Weierstrass. Per determinarli basta quindi confrontare i valori della funzione nei possibili punti di massimo e di minimo relativo. Poiché la funzione è differenziabile tali punti sono quelli stazionari interni e quelli di massimo e minimo sulla frontiera. Per quanto riguarda i punti stazionari interni si osserva che il sistema delle derivate parziali { log y = 0, log y + x y + ha come soluzioni y = (dalla prima equazione) e x = (sostituendo y = nella seconda). Quindi vi è un unico punto stazionario (, ) che tuttavia è esterno al parallelogramma. Quindi il massimo ed il minimo si trovano sicuramente sulla frontiera. Lo studio sulla frontiera viene suddiviso in quattro parti, considerando i lati del parallelogramma:
3 (a) y = /2, 0 x 3/2. Si considera la funzione φ(x) = f(x, /2) = (x + /2) log /2 = log 2(x + /2) nell intervallo [0, 3/2]. Tale funzione ha massimo in 0 e minimo in 3/2. Quindi bisogna considerare i punti ( f 0, ) = ( 3 2 2 log 2, f 2, ) = 2 log 2. 2 (b) y = x + 2, 0 x 3/2. Si considera la funzione φ(x) = f(x, x + 2) = 2 log(2 x) nell intervallo [0, 3/2]. Tale funzione ha massimo in 0 e minimo in 3/2. Quindi bisogna considerare i punti ( 3 f (0, 2) = 2 log 2, f 2, ) = 2 log 2. 2 (c) y = 2, 3/2 x 0. Si considera la funzione φ(x) = f(x, 2) = (x + 2) log 2 nell intervallo [ 3/2, 0]. Tale funzione ha massimo in 0 e minimo in 3/2. Quindi bisogna considerare i punti f (0, 2) = 2 log 2, f ( 32 ), 2 = 2 log 2. (d) y = x + /2, 3/2 x 0. Si considera la funzione φ(x) = f(x, x + /2) = log(/2 x)/2 nell intervallo [ 3/2, 0]. Tale funzione ha massimo in 3/2 e minimo in 0. Quindi bisogna considerare i punti f ( 32 ), 2 = 2 ( log 2, f 0, ) = 2 2 log 2. Confrontando i valori ottenuti si deduce che il massimo assoluto di f nel parallelogramma assegnato è 2 log 2 assunto in (0, 2) e il minimo assoluto è 2 log 2 assunto in (3/2, /2).
4 Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 5 dicembre 20, B. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni: + n= e x/n x + n 3. 2. Calcolare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x, y) = (x 2 y) log y nell insieme { (x, y) R 2 x 2 + 3 y e}. 3. Teoria: Serie di Taylor e criterio di sviluppabilità. 4. Teoria: Condizioni necessarie e sufficienti per punti di massimo e minimo relativo.
5 Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica II 5 dicembre 20, B. Sia f n (x) = ex/n. Le funzioni f x+n 3 n sono definite tutte nell intervallo [0, + [ (infatti ogni f n non è definita in n 3 ). Se x = 0, la serie è ovviamente convergente; se x > 0 si ha, per n +, e x/n x + n 3 x/n x + n 3 = x n(x + n 3 ) e quindi la serie converge (assolutamente) in x in quanto il termine generale è un infinitesimo di ordine 4. Quindi la serie è puntualmente (assolutamente) convergente in [0, + [. Per quanto riguarda la convergenza uniforme si osserva che e x/n x + n 3 x/n x + n 3 x n(x + n 3 ) x n 4 e quindi, fissato un intervallo [0, a] con a > 0 risulta e x/n x + n 3 x/n x + n 3 a, x [0, a], n4 e la serie + n= a n 4 è convergente. Dal criterio di Weierstrass la convergenza è totale (e conseguentemente uniforme) in [0, a]. 2. Innanzitutto si osserva che l insieme assegnato è chiuso e limitato e che la funzione assegnata è continua e quindi il massimo ed il minimo assoluto esistono per il teorema di Weierstrass. Per determinarli basta quindi confrontare i valori della funzione nei possibili punti di massimo e di minimo relativo. Poiché la funzione è differenziabile tali punti sono quelli stazionari interni e quelli di massimo e minimo sulla frontiera. Per quanto riguarda i punti stazionari interni si considera il sistema delle derivate parziali 2x log y = 0, log y + x2 y +. La prima equazione è soddisfatta per x = 0 da cui y = /e (dalla seconda equazione) e y = da cui x = ± (dalla seconda equazione). Quindi i punti stazionari sono (0, /e), che è interno all insieme assegnato ed in cui si ha ( f 0, ) = e e log e = e,
6 e i punti (±, ) che invece sono esterni all insieme assegnato. Si studiano ora i massimi e minimi relativi sulla frontiera. Tenendo presente che l insieme assegnato può essere descritto come { } e 3 e x 3, x2 + 3 y e (x, y) R 2, si può suddividere la frontiera in due parti: (a) y = e, e /3 x e /3. Si considera la funzione φ(x) = f(x, e) = x 2 e nell intervallo [ e /3, e /3]. Tale funzione ha massimo in ± e /3 e minimo in 0. Quindi bisogna considerare i punti ( ) e 3, e f ± =, f (0, e) = e. 3 (b) y = x 2 + /3, e /3 x e /3. Si considera la funzione φ(x) = f(x, x 2 + /3) = log(x 2 + /3)/3 nell intervallo [ e /3, e /3]. Tenendo presente che il logaritmo è crescente, tale funzione ha massimo in 0 e minimo in ± e /3. Quindi bisogna considerare i punti f ( 0, ) 3 = 3 log 3 = log 3 3, f ( ± ) e /3, e = 3. Confrontando i valori ottenuti si deduce che il massimo assoluto di f nell insieme assegnato è log 3/3 assunto in (0, /3) e il minimo assoluto è e assunto in (0, e).
7 Seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 7 febbraio 202, A. Calcolare il seguente integrale doppio: x 2 + y(x 2 + y 2 dx dy, ) D dove D è il sottoinsieme di R 2 delimitato dalle seguenti condizioni: x 0, y 0, 3 3 x y 3 x, x 2 + y 2 4. 2. Risolvere il seguente problema di Cauchy: y 3y + 2y = xe 2x, y(0) =, y (0) =. 3. Teoria: Formula di riduzione per gli integrali doppi e nel caso generale. 4. Teoria: Curve regolari e rettificabili. Retta tangente al grafico di una curva. Lunghezza di una curva.
8 Cenni sulla soluzione della seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 7 febbraio 202, A. Trasformando in coordinate polari: x = ρ cos θ, y = ρ sin θ il dominio D viene descritto dalle condizioni: Quindi l integrale diventa 2 e poiché ρ 2, π 6 θ π 3. π/3 ρ 2 cos 2 θ + 2 π/3 ρ dρ π/6 ρ 3 dθ = sin θ ρ 2 dρ ρ 2 cos 2 θ + dθ π/6 sin θ ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 ( sin 2 θ) + dθ = dθ sin θ sin θ = (ρ 2 + ) sin θ dθ sin θ dθ = (ρ 2 + ) = (ρ 2 + ) 2 tan θ 2 cos2 θ 2 si ottiene infine 2 [ ρ 2 (ρ 2 + ) log tan θ ] π/3 2 + cos θ dρ π/6 ( 2 ρ 2 ) + = ρ 2 log tan π/6 3 tan π/2 ρ 2 dρ = log tan π/6 2 tan π/2 ( + ρ ) 3 2 dρ 2 [ = log tan π/6 tan π/2 ρ ] 2 3 + ρ 2 2 sin θ 2 cos θ dθ + cos θ 2 dθ + cos θ = (ρ 2 + ) log tan θ 2 + cos θ + c, 2 ρ 2 dρ [ ] 2 = 3 ρ 2 log tan π/6 tan π/2 3 4. 2. L equazione differenziale è lineare del secondo ordine completa. Il polinomio caratteristico associato all equazione omogenea è λ 2 3λ + 2 = 0 ed ha come soluzioni λ = e λ = 2. Quindi la soluzione generale dell equazione omogenea associata è u(x) = c e x +c 2 e 2x con c, c 2 R. Il termine noto è di tipo particolare (ponendo P (x) = x, P 2 (x) = 0, α = 2 e β = 0) e poiché 2 è soluzione del polinomio caratteristico con molteplicità, la soluzione particolare deve essere del tipo u(x) = x(ax + b)e 2x.
9 Calcolando u e u, sostituendoli nell equazione differenziale completa e uguagliando i coefficienti dello stesso grado a primo e secondo membro, si ottiene il sistema 4a 6a + 2a = 0, 4b + 4a + 4a 6b 6a + 2b =, 2b + 2b + 2a 3b = 0, da cui a = /2 e b =. Quindi la soluzione generale dell equazione completa è u(x) = c e x +c 2 e 2x +x ( 2 x2 x ) e 2x con c, c 2 R. Risulta inoltre u (x) = c e x + 2c 2 e 2x + x ( x + x 2 2x ) e 2x e in particolare u(0) = c + c 2 e u (0) = c + 2c 2. Dalle condizioni iniziali imposte si ricava il sistema { c + c 2 =, c + 2c 2 =, che ha come soluzioni c = 0 e c 2 =. Quindi la soluzione del problema di Cauchy assegnato è la seguente ( ) u(x) = 2 x2 x + e 2x.
0 Seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 7 febbraio 202, B. Calcolare il seguente integrale doppio: ( y x 2 log dx dy, x) D dove D è il sottoinsieme di R 2 delimitato dalle seguenti condizioni: x 2, x y 2x. 2. Risolvere il seguente problema di Cauchy: y + 2y = x 2 +, y(0) = 0, y (0) =. 3. Teoria: Cambiamento di variabile negli integrali multipli. 4. Teoria: Campi conservativi e irrotazionali; definizioni e caratterizzazioni.
Cenni sulla soluzione della seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 7 febbraio 202, B. Conviene usare la trasformazione : u = x, v = y/x mediante la quale il dominio D viene descritto dalle condizioni: u 2, v 2. Risulta inoltre det J(u, v) = u e quindi l integrale diventa 2 u du 2 u 2 log v dv = 2 [ u 4 = (2 log 2 2 + ) 4 ] 2 u 3 du = 2 ( 4 4 log v dv = ) 2 u 3 [v log v v] 2 du (2 log 2 ) = 5 (2 log 2 ). 4 2. L equazione differenziale è lineare del secondo ordine completa. Il polinomio caratteristico associato all equazione omogenea è λ 2 +2λ = 0 ed ha come soluzioni λ = 0 e λ = 2. Quindi la soluzione generale dell equazione omogenea associata è u(x) = c + c 2 e 2x con c, c 2 R. Il termine noto è di tipo particolare (ponendo P (x) = x 2 +, P 2 (x) = 0, α = 0 e β = 0) e poiché 0 è soluzione del polinomio caratteristico con molteplicità, la soluzione particolare deve essere del tipo u(x) = x(ax 2 + bx + c). Calcolando u e u, sostituendoli nell equazione differenziale completa e uguagliando i coefficienti dello stesso grado a primo e secondo membro, si ottiene il sistema 4a =, 6a + 4b = 0, 2b + 2c =, da cui a = /6, b = /4 e c = 3/4. Quindi la soluzione generale dell equazione completa è u(x) = c + c 2 e 2x + 6 x3 4 x2 + 3 4 x con c, c 2 R. Risulta inoltre u (x) = 2c 2 e 2x + 2 x2 2 x + 3 4 e in particolare u(0) = c + c 2 e u (0) = 2c 2 + 3/4. Dalle condizioni iniziali imposte si ricava il sistema { c + c 2 = 0, 2c 2 + 3 4 =, che ha come soluzioni c = 7/8 e c 2 = 7/8. Quindi la soluzione del problema di Cauchy assegnato è la seguente u(x) = 7 8 + 7 8 e 2x + 6 x3 4 x2 + 3 4 x.
2 4 febbraio 202, A. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione 2π-periodica: e studiarne la convergenza. f(x) = x cos x, π < x π, 2. Studiare i massimi e minimi assoluti della funzione: f(x, y) = 3xy y 2, nel sottoinsieme D di R 2 delimitato dalle seguenti condizioni: x 2, y 2. 3. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y = x y + x 2 y2.
3 4 febbraio 202, B. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione 2π-periodica: e studiarne la convergenza. f(x) = x sin x, π < x π, 2. Studiare i massimi e minimi assoluti della funzione: f(x, y) = x 2 y + y 2, nel sottoinsieme D di R 2 delimitato dalle seguenti condizioni: x 2, y 2. 3. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y = x y + x 3 y3.
4 29 febbraio 202, A. Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente serie di funzioni: + ( ) n (x2 ) 2n n(n ), e calcolarne la somma. n= 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x x 2 dx dy, + y2 D nel sottoinsieme D di R 2 delimitato dalle seguenti condizioni: x 2 + y 2 4, x y. 3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione: f(x, y) = e 2x y x (y x). 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y (4) + y + 0y = x sin x.
5 29 febbraio 202, A. Teoria: Teoremi di derivazione ed integrazione termine a termine (con dim.). 2. Teoria: Lemma di Gronwall ed unicità della soluzione del problema di Cauchy.
6 29 febbraio 202, B. Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente serie di funzioni: + ( ) n arctan2n x n(n ), e calcolarne la somma. n= 2. Calcolare il seguente integrale doppio: xy (x 2 + y 2 dx dy, ) 2 D nel sottoinsieme D di R 2 delimitato dalle seguenti condizioni: 4 x 2 + y 2 9, x + y 0. 3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione: f(x, y) = e x 2y (y 2 xy). 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y (3) + 2y + y = x2 e x.
7 29 febbraio 202, B. Teoria: Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (con dim.). 2. Teoria: Teoremi di esistenza della soluzione del problema di Cauchy.
8 30 aprile 202, A. Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente serie di funzioni: + n 2 e nx. n= 2. Dire se la seguente curva è regolare e in caso affermativo calcolarne la lunghezza: φ(t) = (t, cos t, sin t), t [0, π]. 3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione: f(x, y) = x y log(xy) nel quadrante D = {(x, y) R 2 x > 0, y > 0}. 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y = 2x + 3y x + y.
9 25 giugno 202, B. Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente serie di funzioni: + ( ) n ( n log x ). n n= 2. Dire se la seguente curva è regolare e in caso affermativo calcolarne la lunghezza: ( ) φ(t) = t, t 2, t3, t [0, ]. 3 3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: f(x, y) = xy x 2 4y 2 nel quadrato di vertici (, ), (, ), (, ), (, ). 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y = x + 3y x y.
20 6 luglio 202, B. Scrivere la serie di Fourier della funzione: f(x) = sin x, π x π, e periodica di periodo 2π e studiarne la convergenza. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x 2 dx dy, x + y D dove D è la parte di corona circolare di raggi e 2 contenuta nel primo quadrante e delimitata dalle rette y = x e y = 3 x. 3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: lungo la curva φ(x, y) = xy 2 x. f(x, y) = x 2 y 2x 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y = (y ) 2 + y.
2 5 settembre 202, A. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: x 2 + n, x R. nx 2. Calcolare il seguente integrale doppio: y x 2 + y 2 dx dy, D dove D è il sottoinsieme di R 2 delimitato dalle seguenti condizioni x 2 + y 2, y 0. 3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: f(x, y) = x 4 x 2 y 2 nel cerchio di centro l origine e raggio 2. 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y = ex log y.
22 8 settembre 202, A. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione periodica di periodo 2π definita come segue: f(x) = x2 π 2, π x π, e studiare la convergenza della serie di Fourier ottenuta. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x + y x 2 dx dy, + y2 D dove D è il sottoinsieme di R 2 delimitato dalle condizioni x 2 + y 2 4, y 0. 3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: nel seguente sottoinsieme di R 2 f(x, y) = y 2 + y 2xy D = { (x, y) R 2 0 x x 2 y x }. 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y y + 4y 4y = sin 2x.
23 3 ottobre 202, A. Studiare la convergenza semplice ed uniforme della seguente successione di funzioni:: f n (x) = + nx + n 2 x, x 0. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x 2y dx dy, xy + D dove D è il sottoinsieme di R 2 delimitato dalle condizioni x 4, x y 2x. 3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: f(x, y) = x log( + xy) nel quadrato di vertici A(, ), B(e, ), C(e, e), D(, e). 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y y = x + y.
24 dicembre 202, A. Studiare la convergenza semplice ed uniforme della seguente serie di funzioni e calcolarne la somma nell insieme di convergenza: + n= ( ) x n. x + 2. Calcolare il seguente integrale doppio: sin 2x cos 2 y dx dy, D dove D è il sottoinsieme di R 2 delimitato dalle condizioni 0 x π 2, 0 y π 2. 3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: f(x, y) = e x sin y nel quadrato di vertici A(0, 0), B(, 0), C(, 2π), D(0, 2π). 4. (Ordinamento 270) Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y y cos y = 0. (Ordinamenti precedenti) Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y y cos x = 0.
25 9 gennaio 203. Studiare la convergenza della seguente successione di funzioni: f n (x) = x n e nx, x 0. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x + y x 2 dx dy + y2 dove D D = {(x, y) R 2 x, y 0, x 2 + y 2 4}. 3. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y) = sin(x + y) cos y nel quadrato di vertici (0, 0), (π, 0), (π, π) e (0, π). 4. Determinare le soluzioni della seguente equazione differenziale y = y x + y2 x 2.