Esempio 44 Un utomobile procede lungo l utostrd ll velocità costnte di m/s, ed inizi d ccelerre in vnti di m/s.5 proprio nell istnte in cui super un cmion fermo in un re di sost. In quel preciso momento nche il cmion prte ccelerndo in vnti di 3. m/s. In qule istnte i due veicoli vrnno l stess velocità? Qunto srà l distnz che li sepr in quel momento? Esempio 45 Un crrello del supermercto viene lncito con velocità inizile [R: 7. s, 4 m ].30 m/s, m cus degli ttriti rllent costntemente con un ccelerzione di vlore ssoluto 0.40 m/s. Si rppresenti il moto nel pino velocità-tempo e si dic dopo qunti secondi si ferm e qunto spzio h percorso. [R: 6.4 s,8.9 m ] Esempio 46 Un vettur prte d ferm ccelerndo in modo uniforme di 0.0 m/s per un intervllo di.0 s, rimne velocità costnte per 6.0 s e quindi rllent uniformememente fino fermrsi in un tempo di 6.0 s. Dopo ver scritto le leggi orrie di posizione e velocità nei tre trtti, determinre lo spzio complessivmente percorso, l mssim velocità che l uto rggiunge e l velocità medi mntenut. Rppresentre il moto nel pino v t. [R: 34 m ;.9 m/s ;. m/s ] Esempio 47 Un motociclist che procede ll velocità costnte di di strd lungo 0.0 m/s, cceler per un trtto 300 m, ll fine del qule l su velocità è diventt 5.0 m/s. Si clcoli l su ccelerzione. Rppresentre il moto nel pino v Esempio 48 Un treno che viggi ll velocità costnte di t. [R: 0.38 m/s ] 50 km/h vede sull stess roti, 500 m dvnti sé, un ltro treno B che vnz nello stesso verso m 00 km/h. Qunt ccelerzione uniforme minim devono imprimere i freni per evitre il tmponmento? [R:.5 0 km/h ] Esempio 49 Due veicoli e B procedono uno verso l ltro velocità costnti di ugule modulo 8.0 m/s. Qundo l distnz fr le due è 800 m, ument l su velocità con ccelerzione di modulo costnte m/s 0.0 mentre B diminuisce l su velocità con ccelerzione di modulo costnte 0.50 m/s. Dopo qunti secondi si incontrno? qule distnz dll posizione inizile di? [R: 0.0 s, 384 m ] Esempio 50 Un uto che procede ll velocità di 6.0 m/s dist 40.0 m d un pssggio livello incustodito. In quel momento un treno lungo 00 m inizi d ttrversre, ll velocità costnte di 35.0 m/s. Spendo che l strd è lrg.0 m, qule decelerzione minim costnte devono imprimere i freni ll uto per evitrle di colpire il treno? [R:.9 m/s ] 9
Esempio 44 Fissimo l posizione di riferimento dove si trov il cmion fermo e sceglimo per istnte inizile quello in cui l uto gli sfrecci ffinco. Per le leggi orrie di posizione e velocità dell uto bbimo: x( t) x 0 v0t t 0 t (.5) t t 0.75t v ( t) v t.5t 0 per le leggi orrie di posizione e velocità del cmion invece: xc ( t) x0c v0c t C t 0 0 t (3.) t.6t v ( t) v t 0 3.t 3.t C 0C C le due velocità sono uguli nell istnte t in cui v( t ) vc ( t ):.5t 3.t t s 7. s 3..5 ed in quel momento le posizioni vlgono: x ( t ) ( 7. 0.757. ) 3 m x ( t ).6 7. 80.7 m C così che l distnz che sepr i due veicoli è: x ( t ) x ( t ) 3 m 80.7 m 4 m C Esempio 45 ssumendo come istnte inizile e posizione di riferimento quelli in cui il crrello prte, bbimo per le leggi orrie di posizione e velocità: x( t) x0 v0t t 0.30 t (0.40) t.30t 0.0700t v( t) v t.30 0.40t 0 Il crrello si ferm nell istnte t in cui è null l su velocità cioè:.30 v( t ).30 0.40t 0 t s 6.4 s 0.40 vendo percorso uno spzio complessivo: x( t ) (.30 6.4 0.07006.4 ) m 8.9 m Nel pino v t conoscimo due punti dell legge orri cioè sppimo che ll istnte t 0.00 s si h v.30 m/s e che ll istnte t 6.4 s si h v 0.00 m/s. Bst unire con un segmento questi punti per vere l porzione di rett che rppresent l legge orri del crrello. 3 v( t).300.40t 4 6 8 0 4 6 8 Esempio 46 ssumendo come istnte inizile e posizione di riferimento quelli in cui l uto prte, bbimo per le leggi orrie di posizione e velocità nell prim fse, in cui il moto è uniformemente ccelerto: x( t) x0 v0t t 0 0 t (0.0) t 0.0600t v ( t) v t 0 0.0t 0 nell second fse il moto è uniforme: x ( t) x v t; v ( t) v 0 0 0 dove x 0, v 0 sono vlori che vnno clcolti dll prim legge orri inserendovi t 6.0 s : 3.9 6 9 47
x v x (6.0 s ) 0.0600 6.0 m 5.4 m 0 v (6.0 s ) 0.0 6.0 m/s.9 m/s 0 d cui: x ( t) 5.4.9 t; v ( t).9 Il vlore.9 m/s è l mssim velocità rggiunt dll uto. Nell terz fse il moto è ncor uniformemente ccelerto m con ccelerzione negtiv, d clcolre usndo l formul per l ccelerzione medi, che coincide con quell istntne: v 0.9 3 m/s 0.7 m/s t 7.0 l velocità inizile vle.9 m/s mentre l posizione di prtenz x03 si ottiene inserendo x 6.0 s in x ( t ) : x (6.0 s ) (5.4.9 6.0) m 7 m 03 0.7 x t x v t t t t v ( t) v t.9 0.7t 3( ) 03 03 3 7.9 0 Lo spzio complessivmente percorso si ottiene clcolndo x 3 ( t ) ll istnte in cui si è rrestt t 7.0 s : fin 0.7 x3(7.0 s ) (7.97.0 7.0 ) m 34 m Di conseguenz l velocità medi risult: x 34 vm m/s. m/s t 6.0 6.0 7.0 30 5 0 5 0 5 v( t) 0.00.38t 4 6 8 0 4 6 8 Esempio 47 Mettimo l posizione di riferimento dove l moto inizi d ccelerre e quello si l istnte zero. Scrivimo le leggi orrie dell posizione e dell velocità, lscindo indicti i vlori ignoti: x( t) x0 v0t t 0.0t t v( t) v0 t 0.0 t Indichimo con t l istnte, ignoto, in cui l velocità è diventt m/s posizione 300 m. Risult: (5.0 0.0) m/s 5.0 m/s v( t ) 5.0 m/s 0.0 m/s t t che sostituito nell legge dell posizione: 5.0 m/s 5.0 m/s x( t ) 300 m 0.0 m 5.0 e l 0.05.0 5.0 / m/s 0.38 m/s 300 L legge orri dell velocità diviene quindi v( t) 0.0 0.38t. Nel pino v t conoscimo due punti dell legge orri cioè sppimo che ll istnte t 0.00 s si h v 0.0 m/s e che ll istnte t (5.0 / 0.38) s 3 s si h v 5.0 m/s. Unendo con un segmento questi punti si h l porzione di rett che rppresent l legge orri dell velocità. Esempio 48 L condizione minim per evitre il tmponmento è quell per cui qundo il treno dietro rggiunge quello dvnti h l su stess velocità. Sceglimo come posizione 48
di riferimento quell del treno qundo vede B st 500 m, e quell istnte come inizile. Scrivimo dunque le leggi orrie dell punt del primo treno x ( t ) e dell cod del secondo xb( t ), usndo km ed h : x( t) x 0 v0t t 50t t v ( t) v t 50 t 0 xb ( t) x0b v0bt Bt.500 00t v ( t) v t 00 B 0B B l condizione d imporre è che nell istnte t in cui le velocità sono uguli nche le due posizioni coincidno: (00 50) km 50 km v( t ) vb( t ) 50 t 00 t 50 50 50 x ( t ) 50 x ( t ).500 00 B 3 50 3 50.500 km/h.5 0 km/h.500 Esempio 49 Ponendo l posizione di riferimento dove si trovv qundo entrmbe inizino vrire l velocità inizilmente costnte, orientto d verso B, vremo: x( t) x 0 v0t t 0.0 8.0t 0.0t 8.0t 0.0600t xb ( t) x0b v0bt Bt 800 8.0t 0.50t 800 8.0t 0.0750t Si noti che mentre le velocità inizili hnno segno opposto, le ccelerzioni hnno lo stesso segno in qunto per fr rllentre B occorre un ccelerzione nel verso positivo del riferimento, proprio come per fr umentre l velocità di.l incontro h luogo nell istnte t in cui le due posizioni coincidono: x ( t ) x ( t ) B 8.0t 0.0600t 800 8.0t 0.0750t 8.0 7.7 0.050t 36.0t 800 0 t s 0.0 s 380 s 0.050 l soluzione è t 0.0 s. Il vlore mggiore trovto di 380 s, che corrisponderebbe d un incontro successivo, h un significto solo mtemtico in qunto presupporrebbe che l moto B continui rllentre fino fermrsi e poi invert l rott rggiungendo prim o poi dt l su mggiore ccelerzione. L posizione corrispondente è: x ( t ) (8.0 0.0 0.06000.0 ) m 384 m Esempio 50 Dobbimo innnzitutto clcolre il tempo che occorre l treno per superre completmente il pssggio l livello. Il supermento è completo qundo l punt del treno h percorso un trtto pri tutt l lunghezz del treno stesso sommto ll lrghezz dell strd, e cioè 00 m.0 m m. Il moto dell punt del treno è rettilineo uniforme, se l istnte zero è quello in cui l su punt si ffcci sull strd che tgli l ferrovi, bbimo: 49
x t x v t t T ( ) 0 0 35.0 clcolimo l istnte t in cui il treno h liberto l strd: xt ( t ) m 35.0t t s 3.0 s 35.0 Scrivimo l legge orri dell uto mettendo l posizione di riferimento nel punto dove si trov qundo il treno inizi d ttrversre l strd: x( t) x 0 v0t t 6.0t t per evitre lo scontro deve essere x(3.0 s ) 40.0 m cioè: 6.0 m/s 3.0 s (3.0 s ) 40.0 m (40.0 6.03.0) m/s.9 m/s 3.0 50