Trigonometri I In quest prim prte dell trigonometri denimo le funzioni trigonometriche seno, coseno e tngente e le loro funzioni inverse. Vedremo nche come utilizzrle nell risoluzione dei tringoli. Comincimo per con l denizione di un' unit di misur per gli ngoli; il rdinte. Angoli Il sistem internzionle per le unit di misur ( S. I. ) prevede l' uso del rdinte ( rd) come unit di misur degli ngoli pini. Vedimo llor qule l denizione di quest unit di misur e come pssre di grdi i rdinti o vicevers. Il rdinte denito come l misur dell' ngolo l centro di un circonferenz che sottende un rco di lunghezz pri l rggio dell circonferenz. L comodit del rdinte st nell relzione semplice tr l misur dell' ngolo e l lunghezz dell' rco sotteso; moltiplicndo l' ngolo per il rggio ottenimo l lunghezz dell' rco. In un cerchio di rggio unitrio, l misur di un' ngolo l centro corrisponde ll misur dell' rco sotteso. Se un ngolo espresso in grdi e lo voglimo trsformre in rdinti, lo moltiplichimo per Se un ngolo espresso in rdinti e lo voglimo trsformre in grdi, lo moltiplichimo per 1 8 0 1 8 0 Qundo usimo le clcoltrici elettroniche doimo prestre ttenzione ll' unit di misur in uso. Inftti queste clcoltrici possono lvorre con i rdinti ( rd), con i grdi sessdecimli ( deg, l' ngolo retto vle 90 deg) e i grdi centesimli ( grd, l' ngolo retto vle 1 00 grd). trigonometri I pg. 1
Denimo or le funzioni trigonometriche sin, cos e tn, per degli ngoli compresi tr 0 e 90 grdi, grzie d un tringolo rettngolo. cteto opposto d cteto dicente d seno dell' ngolo, notto sin( ), il rpporto tr il cteto opposto d e l'. sin()= cteto opposto d coseno di, notto cos( ), il rpporto tr il cteto dicente d e l'. cos()= cteto dicente d tngente di, nott tn( ), il rpporto tr il cteto opposto e il cteto dicente d. ( l tngente non denit per un ngolo di 90 ). tn()= cteto opposto d cteto dicente d Relzioni fondmentli Dlle denizioni precedenti deducimo che il rpporto tr sin( ) e cos( ) corrisponde tn( ) ; tn( ) = sin( ) cos( ) Il teorem di Pitgor ci conduce ll second relzione fondmentle dell trigonometri; ( il qudrto di sin( ) notto sin 2 ( ) ) sin 2 ( ) + cos 2 ( ) = 1 trigonometri I pg. 2
1 funzioni inverse Aimo denito l funzione sin per degli ngoli compresi tr 0 e 90 grdi; d ogni ngolo corrisponde un numero compreso tr 0 e 1. L funzione cos denit iunivoc e quindi invertiile. ngoli d 0 90 grdi sin 0 o 0 numeri d 0 1 45 o 30 o 90 o 0.5 0.7071 1 L funzione invers chimt rcsin o nche sin? 1 ngoli d 0 90 grdi sin -1 0 o 0 numeri d 0 1 45 o 30 o 90 o 0.5 0.7071 1 Ci signic che se conoscimo il vlore del seno di un ngolo, possimo rislire l vlore dell' ngolo. Se di un tringolo rettngolo conoscimo l', per es. 5 cm, e un cteto, per es. 4 cm, sppimo che il seno dell' ngolo opposto l cteto di 4 cm vle 4/5 e, interrogndo l? clcoltrice scoprimo che quell' ngolo vle sin ( 4/5) = 53. 1 3. Aimo le funzioni inverse nche per co s e tn ; le chimimo rcco s o cos? 1? 1 e rctn o tn ngoli d 0 90 grdi cos -1 0 o 1 numeri d 0 1 ngoli d 0 90 grdi (90 escluso) tn -1 0 o 0 numeri d 0 infinito 30 o 0.866 45 o 1 45 o 90 o 0.7071 0 60 o 89 o 1.732 57.29 trigonometri I pg. 3
risoluzione di tringoli rettngoli Di un tringolo possimo conoscere l misur dei lti e desiderre conoscere il vlore dei suoi ngoli. Oppure conoscere l lunghezz di due lti e l misur di un ngolo e voler determinre l lunghezz del terzo lto e l misur degli ltri ngoli. Per risoluzione di tringoli intendimo proprio questo; l determinzione delle misure che ncor non conoscimo prtire d quello che gi sppimo. Per l risoluzione dei tringoli rettngoli fremo uso del teorem di pitgor e di qunto imo ppreso sulle funzioni trigonometriche sin, cos, tn e le loro inverse. conosciuti trovimo * sin() * cos() cteto dicente d * tn() cteto dicente d / cos() cteto dicente d cteto dicente d cteto opposto d cteto opposto d cteto opposto d / sin() cteto opposto d / tn() pitgor cteto cteto rctn(cteto / cteto ) cteto cteto rccos(cteto / ) cteto cteto rcsin(cteto / ) pitgor trigonometri I pg. 4
Se voglimo occuprci di tringoli qulsisi dovremo considerre degli ngoli tr 0 e 1 80. Avremo dunque isogno di estendere l denizione di seno e coseno n qui dt. Per or per nticipimo solo che due ngoli supplementri ( l loro somm d 1 80 ) hnno lo stesso seno mentre il loro coseno ugule in vlore ssoluto m di segno opposto. In formule vremo: sin( ) = sin( 1 80? ) cos( ) =? cos( 1 80? ) teorem dei seni ( Eulero) Dll geometri sppimo che tutti gli ngoli ll circonferenz che si ppoggino d un cord dt sono uguli o supplementri. Il rpporto tr l lunghezz dell cord e il dimetro dell circonferenz dipende unicmente dl vlore dell' ngolo e corrisponde l seno dell' ngolo. Dto un qulsisi tringolo, possimo sempre disegnre un circonferenz che pss per i suoi vertici. l circonferenz circoscritt. Il seno di un' ngolo del tringolo sr equivlente l rpporto tr il lto opposto ll' ngolo e il dimetro dell circonferenz. Per d dimetro dell circonferenz circoscritt vremo: sin = d sin = d sin = c d Isolndo il dimetro in ognun delle eguglinze precedenti ottenimo precismente il teorem dei seni: d = sin = sin = c sin trigonometri I pg. 5
teorem del coseno ( Crnot) Il teorem del coseno ssomigli quello di Pitgor m vle per tutti i tringoli. E dice che: 2 = 2 + c 2? 2 c cos Per convincercene disegnmo l' ltezz z, reltiv l lto e denimo x = c cos e y =? x. Usndo Pitgor e l denizione di y vremo: 8 >< >: 2 = z 2 + y 2 z 2 = c 2? x 2 y 2 = 2 + x 2? 2 x Per sostituzione ottenimo 2 = 2 + c 2? 2 x e ricordndo che x = c cos imo il teorem. Esercizi ) scrivere il teorem per gli ltri lti: 2 = c 2 = ) girre l formul isolndo l' ngolo: = = = trigonometri I pg. 6
Risoluzione di tringoli qulsisi Qui di seguito illustrimo quello che potree essere il primo psso nell risoluzione di un tringolo qulsisi. Fccimo uso dei teoremi di Eulero e di Crnot e ricordimo che l somm degli ngoli di un tringolo vle 1 80. dti trovimo due lti e l ngolo compreso c c (Crnot) tutti i lti c c (Crnot) un lto e gli ngoli β β γ (Eulero) γ le lunghezze di due lti e l mpiezz di un ngolo non compreso (ci possono essere zero, un o due soluzioni) (Eulero) trigonometri I pg. 7
Estendimo or l denizione dell funzione seno d ngoli qulsisi. Utilizzimo per questo un circonferenz di rggio unitrio centrt ll' origine degli ssi crtesini. In quest circonferenz disegnmo degli ngoli orientti che originno dl semisse x positivo e hnno vlore positivo se il loro verso ntiorrio ( vedi gur sotto). Dll denizione precedente sppimo che per gli ngoli d 0 90 grdi il seno di corrisponde ll coordint y del punto P. Estendimo llor l denizione di seno dicendo che questo vle per qulsisi ngolo. L funzione cos denit trsform un ngolo qulsisi in un numero compreso tr? 1 e + 1. Nel grco sopr gli ngoli sono espressi in grdi mentre sotto sono rdinti. trigonometri I pg. 8
Per estendere l denizione di coseno d ngoli qulsisi utilizzimo di nuovo l circonferenz di rggio unitrio; il coseno di corrisponde ll coordint x del punto P. Cos il punto P che si muove sull circonferenz unitri vr coordinte ( x P ; y P ) = ( cos ; sin ) Il grco dell funzione co s sr ugule quello dell funzione sin slvo uno sfsmento di 90. Queste due funzioni sono pe riodiche e il loro periodo di 360 ( 2 rdinti). Per k 2 Z possimo scrivere: sin( ) = sin( + k 360 ) cos( ) = cos( + k 360 ) Inoltre possimo vericre che vlgono le seguenti identit : sin( ) = sin( 1 80? ) cos( ) = cos(? ) trigonometri I pg. 9
Nell gur seguente sono riportte le coordinte di lcuni punti prticolri sull circonferenz unitri. Gli ngoli che li crtterizzno sono dti si in grdi che in rdinti. Nel primo qudrnte si il seno che il coseno sono positivi ( o nulli), nel secondo qudrnte il seno positivo e il coseno negtivo, nel terzo qudrnte entrme le funzioni sono negtive mentre nel qurto qudrnte il seno negtivo e il coseno positivo. trigonometri I pg. 1 0