oggetto infinito, ma una serie di oggetti, i grani di cui è composta la polvere, di

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1 Capitolo..1. Spettroscopia. L aalisi spettroscopica delle polveri, di cui ci si occuperà i questo lavoro di tesi, preseta delle difficoltà dovute al fatto che il fascio di luce o icotra u oggetto ifiito, ma ua serie di oggetti, i grai di cui è composta la polvere, di dimesioi paragoabili alla lughezza d oda del fascio icidete che possoo dare origie ad effetti o preseti durate l idagie spettroscopica di materiali compatti. Nel mometo i cui dei fotoi etrao i u mierale alcui vegoo riflessi dalle superfici dei grai, alcui passao attraverso i grai ed altri vegoo assorbiti. I fotoi riflessi dalle superfici dei grai o rifratti attraverso le particelle soo detti diffusi o scatterati. I fotoi scatterati possoo icotrare u altro grao o essere diffusi all estero della superficie (vedi Figura.1.), cosicché possoo essere rilevati e misurati. I fotoi possoo ache essere origiati da ua superficie, processo che viee chiamato emissioe. Tutte le superfici al disopra dello zero assoluto emettoo

2 Spettroscopia. 9 fotoi. I fotoi emessi soo soggetti alle leggi fisiche della riflessioe, rifrazioe ed assorbimeto così come vi soo legati quelli icideti Figura.1. Iterazioe luce materia. I fotoi soo assorbiti dai mierali tramite differeti processi. Il tipo di processo di assorbimeto e la loro dipedeza dalla lughezza d oda ci permettoo di derivare iformazioi circa la chimica di u mierale tramite la luce riflessa o emessa. L occhio umao è uo spettrometro i riflessioe: possiamo vedere ua superficie e percepire i colori. I ostri occhi ed il cervello processado lo scatterig dipedete dalla lughezza d oda dei fotoi della luce visibile ci rivelao qualcosa delle superfici che stiamo osservado, come il colore rosso dell ematite o il verde dell olivia. U modero spettrofotometro può misurare degli ottimi dettagli su di u rage di lughezze d oda otevolmete allargato e co ottima precisioe. Così uo spettrofotometro può misurare

3 Spettroscopia. 3 assorbimeti dovuti a molti più processi di quelli che possoo essere visti dall occhio. Figura.. Defiizioi dei rage spettrali. Lo spettro elettromagetico è tradizioalmete diviso i ua serie di rage spettrali che si differeziao per le teciche usate per aalizzare la radiazioe: a) X (XR),: da,1 a 1 m; b) Ultravioletto (UV): da,1 a,4 µm; c) Visibile : da.4 a.7 µm; d) Vicio ifrarosso (NIR, Near-IfraRed): da.7 a 3. µm; e) Medio ifrasso (MIR, Mid-IfraRed): da 3. a 3µm; f) Lotao ifrarosso (FIR, Far IfraRed): da 3 µm a 1 mm; g) Millimetrico, da 1 a 1 mm; h) Micro ode (MW), da 1 mm ad 1 m; i) Radio, da 1 a 1 5 m.

4 Riflessioe. 31 Il rage di lughezza d'oda tra.4 a 1. µm solitamete è chiamato ella letteratura di remote sesig come VNIR (Visible-Near-IfraRed, visibile-vicioifrarosso) metre quello tra 1. e.5 µm è talvolta chiamato SWIR (Short Wave IfraRed, ifrarosso ad oda corta). È bee otare che questi termii o soo stadard i altri campi eccetto che el remote sesig. Il medio ifrarosso copre l eergia emessa termicamete, che per la Terra parte da.5 3. µm, co u picco a 1 µm e decrescedo dopo questo co u adameto simile all emissioe di u corpo grigio..1.. Riflessioe. La spettroscopia i riflessioe è lo studio della luce che viee riflessa o diffusa da u solido, u liquido o u gas, i fuzioe della lughezza d oda. Cosideriamo u campioe su cui icide u fascio di luce moocromatico J e da cui emerge il fascio riflesso R (vedi Figura.3.). Figura.3. Schema della riflessioe.

5 Riflessioe. 3 Possiamo idividuare tre piai: JN RN JR piao d icideza; piao d emersioe; piao di scatterig, avedo idicato co N l asse ormale al campioe. Se l agolo g, tra i piai JN e RN, risulta essere pari a o a π si ottiee che JN RN JR ed il piao viee detto pricipale (Hapcke, 1993). I geerale 3 agoli defiiscoo ua geometria specifica. Solitamete si usao i, e, g (vedi Figura.3.). Per semplicità si assume µ = cos e e µ = cos i. Il parametro co cui si misura la capacità di u materiale di riflettere il fascio icidete è chiamato riflettaza. Questa viee defiita come il rapporto tra l eergia diffusa per uità di area della superficie del mezzo e l eergia icidete collimata sull uità di superficie. Possiamo distiguere vari tipi di riflettaza a secoda della geometria del sistema i cui si opera: Riflettaza bidirezioale; Riflettaza bicoica; Riflettaza semisferica; Riflettaza sferica; Si darà ora ua breve descrizioe dei vari tipi di riflettaza, dado solo dei cei di carattere geometrico per quella semisferica poiché, essedo quella utilizzata ell acquisizioe dei dati, sarà sviluppata più a fodo el paragrafo successivo.

6 Riflessioe. 33 La riflettaza bidirezioale può essere misurata illumiado il campioe co della luce proveiete da ua sorgete co ua piccola apertura agolare, vista dal campioe, ed osservado la luce diffusa co u rivelatore mobile che sottede ach esso u piccolo agolo co la superficie del campioe (vedi Figura.4.). Figura.4. Geometria della riflessioe bidirezioale. Per otteere dei parametri di diffusioe il più precisi possibile, sarebbe cosigliabile misurare la riflettaza a diversi valori di i, e e g (g= φ φ ), ache se solitamete viee misurata co u solo set di agoli. La relazioe che esprime la riflettaza bidirezioale i fuzioe degli agoli i, e e g è data da: w µ, (.1) 4π µ + µ ( i e, g) = { p( g) + H ( µ ) H ( µ ) 1} r co e γ = 1 w. avedo idicato co: H ( x) 1+ x (.) 1+ γx j r

7 Riflessioe. 34 r riflettaza bidirezioale; w albedo di scatterig sigolo; p(z) fuzioe di fase (Hapke, 1993). La riflettaza bicoica è la prima riflettaza itegrata da oi icotrata. Ciò vuol dire che il detector o occupa tutto l agolo solido visto dalla superficie. L espressioe corretta per tale riflettaza può essere trovata, di cosegueza, itegrado l espressioe (.1) su tutta la distribuzioe agolare della radiazioe e la distribuzioe agolare della risposta del detector (Salisbury et al, 1991). La riflettaza semisferica viee misurata tramite ua sfera itegratrice. Figura.5. Geometria della riflettaza semisferica. Questo dispositivo (vedi Figura.5.) cosiste i ua cavità ricoperta da u materiale ad alta riflettività diffusa, i cui soo praticate due piccole aperture, o porte, ua per permettere al fascio icidete di etrare, l altra per permettere di osservare la radiazioe presete ella sfera. Naturalmete l espressioe che

8 Riflettaza semisferica. 35 forisce la riflettaza semisferica, come vedremo i dettaglio i seguito, sarà datata dalla (.1) itegrata su di u agolo solido di π. Per ciò che riguarda la riflettaza sferica essa viee, i liea di pricipio, misurata tramite ua sfera opaca ricoperta dal campioe e posta al cetro della sfera itegratrice. U lato del campioe viee illumiato da u fascio di luce collimato, metre la radiazioe che viee diffusa i tutte le direzioi viee misurata da u rivelatore che o vede il bersaglio direttamete Riflettaza semisferica. L importaza della riflettaza semisferica è dovuta pricipalmete a due ragioi: 1. È la quatità che è direttamete misurata da molti spettrofotometri commerciali a riflessioe;. È ua delle proprietà di u materiale che determiao la temperatura di equilibrio radiativo (vedi paragrafo.1.4.). L eergia icidete per uità di area è Jµ. L eergia uscete ell uità di agolo solido per uità di superficie è Y=Jr(i,e,g)µ. 1 1 r h = Y ( i, e, g) dω = ( ) µ Ω µ π e r i, e, g d µ π e. J Sostituedo a r(i,e,g) l espressioe data dalla (.1) ed essedo dω e = si e de dψ, si ottiee l equazioe della riflettaza semisferica:

9 Riflettaza semisferica. 36 w π π µ rh () i = [ p( g) + H ( µ ) ( µ ) ] ψ π ψ = e= H 1 si e de d. 4 µ + µ Si può esprimere la riflettaza semisferica come cotributo di due diversi elemeti r + h = rhi rha, co hi r riflettaza semisferica isotropa ed r ha riflettaza semisferica aisotropa, che possoo essere espressi come: w 1 µ hi = H µ = µ + µ r ( µ ) H ( µ ) dµ r ha w 4π π = 1 ψ = µ = µ µ + µ [ p( g) 1] dµ dψ Sviluppado i calcoli si ottiee: w 1 µ + 1 r hi = 1 γh ( µ ) r ha = µ b1 µ + µ l µ Quidi si ottiee: w 1 µ + () ( ) 1 r h i = 1 γh µ + µ b1 µ + µ l. µ Sviluppado i serie di Taylor: µ + 1 µ µ l µ, 1+ µ e, sostituedo H(µ) dato dalla (.), si ottiee: 1 γ w µ r h () i = + b. 1+ γµ µ Sotto opportue ipotesi semplificative si può defiire la riflettaza r, detta diffusiva (Hapke, 1993), il rapporto: P r = P em. i

10 Riflettaza semisferica. 37 P i è l eergia totale icidete sul materiale per uità di superficie P i π = I cos ϑ π siϑ dϑ = π I, dove I è l itesità del raggio icidete secodo la ormale. P em è l eergia totale diffusa i tutte le direzioi emergeti per uità di superficie: P em π 1 1 γ 1 + γ ( ) cos ϑ π ϑ dϑ = π I1( ) = π I = π Ir = I si co I 1 () riflesso ella direzioe ormale. Quidi si ha che: 1 γ r =. (.3) 1 + γ 1 r Si trova, ivertedo la (.3), che γ = e 1+ r w 4r =. ( 1+ r ) Come cosegueza si può defiire, itroducedo i parametri K ed S, rispettivamete il coefficiete di assorbimeto volumetrico ed il coefficiete di scatterig volumetrico di Kubelka-Muk, l equazioe di Kubelka-Muk. Il coefficiete di estizioe risulta essere defiito come ( K ' + S' ). Tramite questi parametri si può ridefiire l albedo di scatterig sigolo di volume come di cosegueza si può defiire S' w' =, K' + S' γ ' = 1 w'. Per aalogia alla (.3) possiamo quidi scrivere:

11 Trasmissioe. 38 ( K' + S' ) ( K' + S' ) ( K' + S' ) ( K' S' ) r 1 γ ' 1 1 S' 1 K' ' = = = 1 + γ ' S' 1 + K' +. (.4) Combiado l approssimazioe diffusiva, equazioe (.3), co la legge di scatterig di Lambert otteiamo l espressioe Lambert-diffusiva: r hl = r Ricordiamo brevemete che la radiazioe diffusa da ua sfera ella direzioe dell osservatore è data da: I = ( π ) g π Λ= π L= π JY ( i e, g), da, co Y 1 π ( i, e, g) = cosi cose legge di Lambert e L e Λ latitudie e logitudie dell elemeto ifiitesimo di superficie della sfera da sulla sfera..1.. Trasmissioe. Come si è visto el paragrafo precedete il fascio icidete, idicato co J i Figura.3., viee riflesso atteuato. Idichiamo co I la differeza di eergia tra il fascio icidete e quello riflesso, I = J R. Tale eergia può subire due processi: o viee trasmessa attraverso il campioe o viee assorbita dallo stesso. I due processi avvegoo aturalmete simultaeamete a patto che la profodità ottica del materiale sia bassa, altrimeti l itera eergia viee assorbita.

12 Trasmissioe. 39 Figura.6. Trasmissioe attraverso u materiale. Suppoiamo che il ostro campioe sia otticamete sottile. Se I è l itesità della luce icidete su di u materiale e I l itesità della luce che riceve l osservatore (vedi Figura.6.), si avrà che queste soo legate dalla relazioe: I = IT dove T rappreseta la traspareza del campioe. Si defiisce poi assorbaza la quatità: ( ) = [ T ( λ) ] 1 A λ log. (.5) dove: I forma differeziale possiamo scrivere 1 : diλ = k λ ρ g Iλ ds (.6) di λ rappreseta la radiazioe assorbita; k λ è il coefficiete di assorbimeto per uità di massa; 1 Di particolare importaza è il sego egativo ell espressioe di λ, ifatti sottoliea il fatto che ci sia stata ua dimiuzioe ell itesità della radiazioe a causa dell attraversameto del campioe. di

13 Trasmissioe. 4 ρ g è la desità di materia attraversata; I λ è l itesità di radiazioe i igresso; ds è lo spessore ifiitesimo del mezzo attraversato. Il coefficiete di assorbimeto, el caso di grai, è dato da : dove ( λ) ext ( λ) 3 Cext I k λ = 4 3 πa ρ (.7) C è detta sezioe efficace di estizioe, V la il volume della particella di materia e ρ M la desità del materiale che costituisce i grai. A questo puto si fao due ipotesi importati: 1. le particelle devoo essere omogeee sia i composizioe sia i desità;. le particelle hao tutte la stessa forma, sferica, e le stesse dimesioi. Se quidi ipotizziamo che a sia il raggio del grao sferico, il termie V della M (.7) risulta essere pari a 4 a 3 π 3, metre la massa g m risulta essere di cosegueza 4 πa 3 ρ M 3. Risulta ora più chiara la differeza tra le desità ρ g e ρ M preseti ella (.6) e ella (.7) rispettivamete, ifatti la prima rappreseta la desità di u volume attraversato dalla radiazioe, metre la secoda rappreseta la desità del sigolo grao sferico. Il coefficiete di estizioe, C ( λ) ext legato all eergia estita dalla radiazioe: C ext ( λ) W =, o sezioe efficace di estizioe può essere abs ( λ) + Wsca ( λ) I ( λ)

14 Trasmissioe. 41 dove ( λ) W è l eergia assorbita dal materiale per uità di tempo, metre abs W ( λ) è quella diffusa. Essedo ( λ) sca tempo, risulta evidete che ( λ) Tramite la relazioe Q ext I u eergia per uità di superficie e di C dimesioalmete è ua superficie. ext ( ) ( λ) Cext λ = (.8) πa si defiisce il fattore di estizioe efficace o fattore di efficieza di estizioe. Il ( λ) C viee poi ad essere legato all idice di rifrazioe ext ( λ) = ( λ) ik( λ), dove ( λ) m + è l idice di rifrazioe ormalmete usato e trascura l assorbimeto della radiazioe da parte del campioe, metre k ( λ) tiee apputo coto dell assorbimeto. Riprediamo la (.6): ed itegriamola, si ottiee: avedo posto λ diλ = k λ ρ g Iλ ds S I = I = I e τ k λ ρ λe gds S τ λ ( λ ), ( λ) k ρ ds = k ρ S = λ g λ detto spessore ottico, avedo supposto costati k λ e di ρ g. Sostituiamo ella defiizioe di spessore ottico il valore di k λ, trovato ella (.7), si ottiee: ( λ) ρ g S Cext ( λ) 3 C ρ g S ext τ ( λ) = = = gcext ( λ) S, 4 3 πa ρ m M g g

15 Trasmissioe. 4 sapedo che g = ρ m. g g Avedo defiito la traspareza come T ( λ) ( λ) I = = e I τ ( λ ), si ottiee che ( λ) = [ T ( λ) ] 1 τ l e di cosegueza C dove M è la massa dei grai, ext ( λ) 4 3 ρ M S 1 = πa l, (.9) 3 M T ( λ) M 4 3 = πa ρ M g S s, 3 co: 4 π 3 a volume del grao, 3 ρ M la desità del materiale, g il umero dei grai, S la sezioe del fascio, s lo spessore del campioe. Se per quato riguarda ρ M ci si può avvalere di iformazioi tabulate, per quato riguarda M ed S si è costretti a fare u ipotesi: si suppoe che tutti i grai siao distribuiti omogeeamete i tutto il volume S s. Ua volta che è stato fissato lo spessore s, che altro o è che lo spessore della pasticca, si sostituisce ella formula del C ext al posto del rapporto S M il rapporto S M, dove S è

16 Trasmissioe. 43 la sezioe della pasticca ed M la massa totale del campioe. Questa sostituzioe è possibile i quato, avedo supposto l omogeeità, viee verificata la proporzioe S : S = M : M. Ricordado che si soo approssimati i grai a delle sferette di raggio a resta il problema di stimare a. i realtà questo problema viee aggirato adado a calcolare la quatità Q ext a, o più precisamete Q ext a, i quato o tutti i grai hao lo stesso raggio. Si può però forire u legame tra Q ext Q ext a e l assorbaza, data dalla (.7): ( ) A( λ) λ = ξ a avedo riuito tutti i termii costati i ξ. Poiché lo spessore è, per motivi tecici, sempre costate ed S è la sezioe della pasticca, ache essa costate, l uico parametro su cui si può operare è M. M.1.3. Emissioe. Come è stato detto ell itroduzioe di questa sezioe, tutte le superfici al disopra dello zero assoluto emettoo fotoi. La radiazioe emessa viee detta radiazioe termica. La radiazioe emessa da u corpo dipede dalla composizioe chimica e fisica dello stesso, ma esiste ua classe di corpi, puramete teorici, che emettoo spettri termici di carattere uiversale. Questi corpi soo detti corpi eri e soo dotati di superfici che hao la peculiarità di assorbire tutta la radiazioe,

17 Emissioe. 44 idipedetemete dalla lughezza d oda, icidete su di essi e di riemetterla su di uo spettro che dipede soltato dalla temperatura. La distribuzioe spettrale di questi corpi è be ota si dagli iizi del secolo e segue la legge: dove B ( λ,t ) è la fuzioe di Plak: dove: B h è la costate di Plak, 1 I BB, π ( λ, T ) k è la costate di Boltzma, c è la velocità della luce el vuoto. ( λ, T ) = B( λ T ) = πhc λ 5 hc λkt La poteza emessa termicamete da ua superficie è detta emittaza. Se si misura l emittaza della superficie di u campioe di spessore ottico ifiito si trova, geeralmete, che lo spettro è simile alla fuzioe di Plak, ma è più basso di ua quatità che può variare co la lughezza d oda. Il rapporto tra la poteza emessa, per uità di area, da ua superficie a temperatura T, U ( λ,t ), e quella emessa da u corpo ero alla stessa temperatura, defiisce l emissività spettrale ε ( λ) della superficie: U ε ( λ) = B e ( λ, T ) ( λ, T ) Se ε è idipedete dalla lughezza d oda, la superficie è chiamata corpo grigio. 1

18 Emissioe. 45 I laboratorio, si eseguoo misure di u particolare tipo di emissività, l emissività direzioale ε ( ϑ, λ) d, che corrispode al rapporto tra la radiazioe termica emergete dalla superficie del campioe particolato, a temperatura uiforme T, ella direzioe che forma u agolo ϑ co la ormale alla superficie, ( ϑ,λ ) I,T temperatura :, e la radiazioe termica emergete da u corpo ero alla stessa ( ϑ, λ, T ) B( λ, T ) I ε = π. d Le misure i emissioe vegoo effettuate riscaldado, a temperature superiori a quella ambiete, sia il campioe sia il corpo ero di riferimeto. L eergia emessa viee, quidi, registrata dallo spettrofotometro e visualizzata i fuzioe della lughezza d oda (vedi diagramma schematico i Figura.7.) (De Carlo, 1997). La radiazioe di corpo ero è isotropa.

19 Legame tra emissività e riflettaza. 46 Figura.7. Diagramma schematico di come avviee ua misura di emissioe Legame tra emissività e riflettaza. La legge di Kirchhoff è ua regola estremamete potete che afferma l esisteza di ua relazioe fuzioale tra l emissività e la riflettaza. I codizioi ideali, i cui la superficie è isoterma e tutta l eergia diffusa ed emessa può essere misurata, la legge di Kirchhoff è: ε ( λ) = 1 R( λ) dove ε ( λ) è l emissività del materiale e ( λ) R è la riflettaza semisferica. Figura.8. Gustav Robert Kirchhoff.

20 Trasmissioe. 47 La legge di Kirchhoff fu origiariamete derivata per campioi opachi i equilibrio termico co l ambiete. L equilibrio termico qui riferito è u equilibrio termodiamico, o semplicemete uo stato termico costate. Questo implica che il campioe è isotermo e alla stessa temperatura del backgroud a cui irradia. Ua tale situazioe o esiste ella maggior parte delle misure di laboratorio di emissività e o esiste mai elle applicazioi di remote sesig. Questo ha portato a teciche di misura di emissività i laboratorio che usao cofigurazioi dell apparato sperimetale tali da assicurare al campioe ed al suo cotoro ua temperatura il più possibile uiforme. Tuttavia, u campioe che irradia liberamete (per esempio u campioe che irradia idipedetemete dal campo di radiazioe ambietale) seguirà acora la legge di Kirchhoff, se gli stati di eergia del campioe obbediscoo alla distribuzioe di Boltzma (Salisbury et al, 1994). Nel caso i cui la superficie del campioe irradi liberamete verso u backgroud molto più freddo, ci sarà, sicuramete, u gradiete termico all itero del campioe e questo può limitare la validità della legge. Misure i laboratorio di riflettaza semisferica e di emissività direzioale, eseguite su campioi di roccia solida e di suolo, mostrao che tali campioi, pur co u gradiete termico, seguoo la legge di Kirchhoff all itero dell errore sperimetale. Soltato i u campioe costituito da materiale particolato fie, di desità estremamete bassa, è stato trovato u gradiete termico abbastaza ripido, ello spessore da cui proviee la radiazioe ifrarossa emessa dal

21 Cei sulla teoria di Mie. 48 campioe, tale da causare u allotaameto dalla legge di Kirchhoff, etro il 6% (Salisbury et al, 1994). Cei sulla teoria di Mie. La teoria classica che iterpreta, co l elettromagetismo descritto dalle equazioi di Maxwell, i processi di iterazioe della radiazioe co le particelle è comuemete detta teoria di Mie; essa vale per particelle di forma sferica, omogeee ed otticamete isotrope (cioè aveti proprietà ottiche, quali ad esempio la costate dielettrica, l idice di rifrazioe, la coducibilità, che o dipedoo dalla direzioe). Riprediamo il coefficiete C ext (sezioe efficace di estizioe) itrodotto el paragrafo.1... Esso può essere ache espresso come: C = C + C = W ext abs sca ext F dove: C abs è la sezioe efficace di assorbimeto del grao, defiita dal rapporto tra la poteza W abs (eergia per uità di tempo) assorbita dal grao ed il flusso F (eergia per uità di tempo e di area) della radiazioe icidete; C sca è la sezioe efficace di diffusioe del grao, defiita dal rapporto tra la poteza W sca rimossa per diffusioe dalla particella ed il flusso di radiazioe icidete; W ext è la poteza rimossa per assorbimeto e diffusioe del fascio icidete dalla particella (W ext = W abs + W sca ).

22 Cei sulla teoria di Mie. 49 Ovviamete tutte le gradezze soo fuzioe della lughezza d oda λ. A partire da queste gradezze si possoo defiire i fattori di efficieza di diffusioe e di assorbimeto, Q sca e Q abs rispettivamete, tramite formule del tutto aaloghe alla (.8). I fattori di efficieza di ua particella sferica di raggio a, composta da materiale di idice di rifrazioe (complesso) m = ik, soo dati dai segueti sviluppi i serie: Q sca = (.1) x = 1 ( + 1)[ a + b ] Q Re + (.11) ext = x = 1 ( + 1) ( a b ) ei quali (da o cofodere co la parte reale dell idice di rifrazioe complesso) è l idice su cui corre la sommatoria, il parametro x è dato da: πa x =, λ metre a e b soo detti coefficieti di scatterig e soo dati dalle espressioi segueti: a b ( mx) ψ ( x) ψ ( mx) mψ ψ ( x) = (.1) mψ ( mx) ξ ( x) ψ ( mx) ξ ( x) ( mx) ψ ( x) mψ ( mx) ψ ψ ( x) =. (.13) ψ ( mx) ξ ( x) mψ ( mx) ξ ( x) I queste formule le fuzioi di variabile complessa ψ (z) e ξ (z), isieme co le loro coiugate ψ (z) e ξ (z), soo le così dette fuzioi di Riccati-Bessel; esse soo defiite tramite le fuzioi di Bessel j (z) e h (1) (z), dalle segueti relazioi:

23 Cei sulla teoria di Mie. 5 e ψ ( z) zj ( z) = ( 1 ξ ( z) zh ) ( z). = Tramite questa tecica è quidi possibile calcolare le costati ottiche del materiale. Possiamo ora dare ora delle approssimazioi delle formule (.1) e (.11) sotto l ipotesi richiesta che sia verificata la relazioe π a < λ, (.14) cioè che la lughezza dell oda icidete sia molto più grade della circofereza della particella. Si ha che: Q sca 8 4 m 1 x (.1 ) 3 m + e Q ext m 4x Im m 1 + x + 3 Im 4 15 m m 1 m m m m 1 + x Re (.11 ) 3 m + Per grai acora più piccoli, grai per cui la (.14) diviee la (.11 ) si riduce al primo termie, cioè: π a << λ, (.15) m 1 Q ext 4x Im. m +

24 Cei sulla teoria di Mie. 51 Come si vedrà el prossimo capitolo lo spettrofotometro a disposizioe copre u rage compreso tra, e,5 µm metre il diametro del più piccolo grao è stimato essere itoro ad 1 µm. Se applichiamo l ipotesi (.14) a quest ultimo campioe troviamo che la lughezza d oda icidete è miore di 6,8 µm. Risulta quidi che l ipotesi (.14) o è applicabile elle codizioi i cui verrao effettuate le misure.