INTERAZIONE DELLA RADIAZIONE CON I GRANI DI POLVERE: TEORIA DI MIE (GRANI SFERICI)

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1 Dispesa. 1/A del corso di PLANETOLOGIA (Prof. V. Orofio) INTERAZIONE DELLA RADIAZIONE CON I GRANI DI POLVERE: TEORIA DI MIE (GRANI SFERICI) Uiversità del Saleto Corso di Laurea Magistrale i Fisica A.A Ultimo aggiorameto: Agosto 011

2 1. Itroduzioe Nello studio delle proprietà fisiche dei grai di polvere cosmica (sia iterstellare che circumstellare ed iterplaetaria), la diffusioe (o scatterig ) della radiazioe elettromagetica da parte di piccole particelle ha u ruolo sigificativo ei processi di iterazioe della radiazioe stellare co i grai, i quali la atteuao i varia misura, i parte assorbedola e i parte diffodedola i tutte le direzioi. Questa atteuazioe della radiazioe icidete, dovuta sia allassorbimeto sia alla diffusioe, prede il ome di estizioe. La teoria classica che iterpreta, co lelettromagetismo descritto dalle equazioi di Maxwell, i processi di iterazioe della radiazioe co particelle solide e liquide è comuemete detta teoria di Mie; essa vale per particelle di forma sferica, omogeee ed otticamete isotrope (cioè aveti proprietà ottiche, quali per es. la costate dielettrica, lidice di rifrazioe, la coducibilità, che o dipedoo dalla direzioe). I ciò che segue vegoo delieati gli aspetti esseziali della teoria di Mie.. Teoria di Mie Nella teoria di Mie le proprietà morfologiche e fisiche dei grai soo descritte dalle segueti gradezze: a raggio del grao sferico; m = i k idice di rifrazioe complesso del materiale del grao; C abs C sca C ext sezioe efficace di assorbimeto del grao, defiita dal rapporto tra la poteza W abs (eergia per uità di tempo) assorbita dal grao e il flusso F 0 (eergia per uità di tempo e di area) della radiazioe icidete; sezioe efficace di diffusioe del grao, defiita dal rapporto tra la poteza W sca rimossa per diffusioe dalla particella e il flusso di radiazioe icidete. sezioe efficace (totale) di estizioe del grao, defiita dal rapporto tra la poteza totale W ext rimossa per assorbimeto e per diffusioe dalla particella e il flusso di radiazioe icidete, data evidetemete da: C ext = W ext /F 0 = C abs + C sca. data da: Si oti che l idice di rifrazioe complesso m è legato alla costate dielettrica, i,

3 tramite le segueti relazioi:. k, k Sia lidice di rifrazioe m che le sezioi efficaci C abs, C sca e C ext soo fuzioi della lughezza doda (o della frequeza ); tuttavia, metre lidice di rifrazioe è caratteristico del materiale del grao, le sezioi efficaci dipedoo ache dalla forma del grao e dalle sue dimesioi (assumedo, i quel che segue, quelle di ua sferetta di raggio a). Le sezioi efficaci hao dimesioi di u area; i cosiddetti fattori di efficieza qui di seguito defiiti, soo ivece adimesioali: Q abs = C abs /a Q sca = C sca /a Q ext = C ext /a fattore di efficieza di assorbimeto; fattore di efficieza di diffusioe; fattore di efficieza di estizioe. E utile itrodurre il parametro, ache esso adimesioale, x = a/, che esprime il cofroto tra la lughezza doda della radiazioe icidete e il diametro a del grao (a meo del fattore ). Supporremo che la radiazioe icidete sia rappresetata da uoda piaa, polarizzata liearmete. Il grao, ripetiamo, va cosiderato omogeeo ed otticamete isotropo. Leergia radiate icidete sulla particella è rimossa dalla direzioe di icideza a causa di processi di assorbimeto (che covertoo leergia assorbita i eergia itera del grao) e di feomei di diffusioe delleergia elle altre direzioi (i parte i avati, ma per la maggior parte i tutto lo spazio circostate). La combiazioe simultaea dei due effetti è regolata dalle leggi dellelettromagetismo. I liea di pricipio il problema si basa sulla risoluzioe delle equazioi classiche di Maxwell co appropriate codizioi al cotoro sulla superficie del grao. La soluzioe del problema è tutt altro che baale: essa fu otteuta per la prima volta da G. Mie el 1908 e poco dopo, idipedetemete, da P. Debye el I tempi relativamete più receti le soluzioi del problema soo state esposte i modo eccellete i due classici lavori: Light Scatterig by Small Particles di H.C. Va de Hulst (1957) e Absorptio ad Scatterig of Light by Small Particles di C.F. Bohre e D.R. Huffma (1983). Tali sviluppi o verrao riportati i dettaglio i questa dispesa ma, limitadoci all esseziale, foriremo soltato le espressioi delle gradezze di maggior iteresse. 3

4 3. Formule di Mie I fattori di efficieza di ua particella sferica di raggio a, composta da materiale di idice di rifrazioe (complesso) m = i k, soo dati dai segueti sviluppi i serie: Q sca = a b x 1 1 (1) x 1 1 Q ext = Re (a + b ) () Q abs = Q ext - Q sca ei quali (da o cofodere co la parte reale dell idice di rifrazioe complesso) è l idice su cui corre la sommatoria, metre Re deota la parte reale della somma dei coefficieti complessi a e b (detti coefficieti di scatterig ) che hao le espressioi segueti: a = m m mx x x mx mx x x mx (3) m x mx m x mx mx x b = mx x. (4) I queste formule le fuzioi di variabile complessa (z) e (z), isieme co le loro derivate prime (z) e (z), soo le cosiddette fuzioi di Riccati-Bessel ; esse soo defiite, tramite le fuzioi di Bessel sferiche j (z) e h (1) (z), dalle segueti relazioi: (z) = z j (z) e (z) = z h (1) (z). Il calcolo dei fattori di efficieza è perciò ricodotto a quello dei coefficieti a e b i fuzioe della lughezza doda e per ua data specie di grao di raggio a. Per tipici valori di m (cioè di e k) e del parametro x = a/, le serie (1) e () i 4

5 geerale covergoo molto rapidamete. U grado di accuratezza sufficietemete elevato si ottiee già co circa i primi 10 termii delle serie. Dalle (3) e (4) si osserva che, quado m tede alluità, a e b tedoo a zero: questo è logico dato che, quado la particella scompare, coseguetemete scompare ache il campo di radiazioe diffuso. Nel caso di grai dielettrici il coefficiete k() è trascurabile el visibile e lidice di rifrazioe m = () è reale: le fuzioi di Bessel risultao defiite el campo reale, i loro valori soo ricavabili da tavole matematiche e il calcolo dei coefficieti delle serie è piuttosto agevole. Ivece el caso di grai metallici e semicoduttori le fuzioi di Bessel soo ad argometo complesso; il calcolo dei coefficieti è più complicato, ma è i parte agevolato da relazioi di ricorreza, che qui o soo riportate e che ricoducoo il calcolo i termii di fuzioi elemetari. I ogi caso soo dispoibili subroutie di libreria e perciò si procede co metodi di calcolo umerico. Se il grao ha raggio a tale da soddisfare la codizioe x = a/ 1, il fattore di efficieza di scatterig, co sufficiete approssimazioe, è dato da: 8 4 m 1 Q sca x. (5) 3 m Aalogamete, il fattore di efficieza di estizioe ha l espressioe approssimata: m 1 3 Q ext 4 x Im x m Im 4 15 m m 1 m 4 7 m 38 m x 4 8 m 1 Re (6) 3 m dove Im sta ad idicare la parte immagiaria del umero complesso i paretesi. Per grai acora più piccoli, tali che sia x = a/ 1 (la cosiddetta approssimazioe di Rayleigh ), la (6) si riduce al primo termie, cioè: Q ext 4 x Im m 1 m. (6 ) 5

6 A rigore, perché la precedete approssimazioe sia valida, è ecessario che sia soddisfatta ache la codizioe m x 1, che oltre alla dimesioe dei grai iclude evidetemete ache il valore dell idice di rifrazioe del materiale i questioe. Tuttavia, trae rare eccezioi riguardati materiali caratterizzati da u elevato valore dell idice di rifrazioe i certi itervalli spettrali be defiiti e piuttosto ristretti, la codizioe x 1 implica che m x 1 e quidi, affiché valga la (6 ), è molto spesso sufficiete che sia soddisfatta solo l approssimazioe di Rayleigh. Cofrotado la (6 ) co la (5), si vede che, i geerale: Q sca << Q ext Q abs ; ioltre per la (6 ), ricordado che x = a/, si ricava che il rapporto: Q 8 ext a Im m 1 m è idipedete dal raggio del grao (ovviamete sempre ell ipotesi x << 1). 4. Sezioe differeziale di diffusioe e parametro di asimmetria La teoria di Mie cosete di valutare, i aggiuta ai fattori di efficieza dei grai, ache l eergia diffusa da ua particella i ua qualsivoglia direzioe, defiita dai due agoli e (v. fig. 1). Per uo scatterig co simmetria assiale (rispetto alla direzioe di icideza) tale eergia dipede soltato dall agolo di diffusioe. Ua particella illumiata da u fascio parallelo di desità di flusso F 0 (W m - Hz -1 ) diffode durate l itervallo di tempo dt, ell itervallo di frequeze d, ell agolo solido d, cetrato itoro alla direzioe, ua quatità di eergia: de = S() F 0 d dt d, dove S() è la sezioe differeziale di diffusioe (m sr -1 ), talvolta chiamata, ache se impropriamete, fuzioe di diffusioe. Questa fuzioe è ormalizzata i modo tale che il suo itegrale su tutte le direzioi è pari a C sca, cioè: S d S se d d S se d Csca (7) 6

7 i cui d = se d d rappreseta lelemeto ifiitesimo di agolo solido (v. fig.1). Fig. 1 Defiizioe degli agoli e che idividuao la direzioe di diffusioe. La cosiddetta fuzioe di diffusioe è defiita ivece come: F() = (/) S() ed è ua gradezza adimesioale. Pure adimesioali soo le due gradezze: p() = (4/C sca ) S() e p() = S()/C sca chiamate etrambe fuzioe di fase e che talvolta vegoo usate ella descrizioe dei processi di diffusioe. Per come soo defiite, queste tre fuzioi soo tali che l itegrale su tutte le direzioi della F() risulta pari a (/) C sca, quello della p() è uguale 4, metre quello della p() vale 1. D ora i avati i questa dispesa parleremo sempre i termii della sezioe differeziale di diffusioe S(), la cui espressioe aalitica è data da: S S S 1 (8) 8 co S 1 () ed S () che, a loro volta, possoo essere espresse tramite i segueti sviluppi i serie: 7

8 1 1 S1 a cos b cos (9) S a cos b cos (10) 1 dove: 1 se 1 cos P cos d d 1 cos P cos metre a e b soo i coefficieti di scatterig, defiiti dalle (3) e (4), e P 1 (cos) è il primo poliomio di Legedre di ordie. La rappresetazioe grafica i u diagramma polare della fuzioe S() dicesi diagramma di diffusioe. Il diagramma di diffusioe mostra quidi l adameto spaziale della distribuzioe agolare della radiazioe diffusa, i particolare l etità della diffusioe i avati ( forward scatterig ) rispetto a quella all idietro ( back scatterig ). Ua gradezza molto utile ella iterpretazioe della distribuzioe agolare della radiazioe diffusa è il cosiddetto parametro di asimmetria, defiito come: g cos che esprime la media di cos, "pesata" dalla sezioe differeziale di diffusioe S(): g cos S S se cos d d se d d e teedo coto della (7) si ha : g 1 C sca 0 0 S se cos d d. 8

9 Applicado le (8), (9) e (10), si calcola ifie il parametro di asimmetria g = <cos>. I casi limite del diagramma di diffusioe corrispodoo a g = 0 (diagramma di diffusioe co simmetria sferica: la radiazioe è diffusa equamete i tutte le direzioi); g = 1 (la radiazioe è diffusa tutta i avati); g = 1 (la radiazioe è iteramete retro-diffusa). E evidete il tipo di iformazioe che il fattore di diffusioe g è i grado di forire ei vari casi, co i suoi valori compresi tra 1 e +1. I ogi caso, ella direzioe i avati la radiazioe emergete dal grao, cioè quella parte residua dal processo complessivo di estizioe, va sommata alla itesità diffusa a = Diffusioe di Rayleigh e di Mie Quado le particelle soo piccole, cioè miori di circa 1/10 della lughezza doda della radiazioe co cui iteragiscoo, la diffusioe da esse prodotta può essere calcolata come se esse fossero dei dipoli putiformi. I tal caso si ha la cosiddetta diffusioe di Rayleigh e il fattore di efficieza di diffusioe è i buoa approssimazioe dato dalla (5). Quado ivece le particelle soo più gradi, la radiazioe diffusa da ua parte del grao può essere fuori fase rispetto a quella che proviee da ualtra sua parte. Literfereza che e risulta riduce allora litesità della radiazioe diffusa i certe direzioi. I tal caso si è soliti parlare di diffusioe di Mie (ache se impropriamete i quato la teoria di Mie, el limite delle piccole particelle, iclude la diffusioe di Rayleigh). I queste codizioi la (5) è totalmete isoddisfacete per calcolare il fattore di efficieza di diffusioe e per la corretta valutazioe di Q sca occorre cosiderare molti dei termii della serie che compare ella (1). Ciò i quato litesità della radiazioe diffusa i ua data direzioe è i questo caso il risultato di ua sovrapposizioe di ode elemetari che provegoo da puti diversi della particella. Queste raggiugoo l osservatore co differeze di fase che dipedoo dalla posizioe di questi puti e dalla direzioe di osservazioe. Tali differeze di fase soo piccole quado soo piccoli gli agoli di diffusioe. Allaumetare dellagolo di diffusioe, esse aumetao. No vi è alcua differeza di fase ella direzioe del raggio icidete. Questo giustifica il fatto che, allaumetare della dimesioe della particella, la radiazioe diffusa si vada sempre più cocetrado i avati (v. fig. ). Così, se le dimesioi delle particelle soo maggiori di circa 1/10 di lughezza doda, litesità diffusa o è più isotropa, ma è maggiore i avati. Approfodedo il discorso si può dire che i geerale il processo della diffusioe è dovuto a due meccaismi distiti che cotribuiscoo etrambi a disperdere leergia del fascio icidete: riflessioe e rifrazioe da u lato e 9

10 diffrazioe dallaltro. Pertato la sezioe differeziale di diffusioe si può esprimere come: S() = S r () + S d () (11) dove S r () è la compoete della sezioe differeziale di diffusioe dovuta alla riflessioe e alla rifrazioe metre S d () è la compoete dovuta alla diffrazioe. Fig. Diagramma di diffusioe per particelle di dimesioi piccole (a) e gradi (b) rispetto alla lughezza d oda della luce icidete. Ora per particelle di raggio miore o comuque cofrotabile co la lughezza doda della radiazioe icidete le due compoeti della sezioe differeziale di diffusioe soo tra loro itercoesse, el seso che ad ogi dato agolo la radiazioe diffusa è dovuta sia alla riflessioe e rifrazioe sia alla diffrazioe. Per particelle più gradi, ivece, S r () ed S d () soo separate, el seso che a certi agoli di diffusioe la radiazioe diffusa è dovuta i pratica solo alla riflessioe e rifrazioe e che a certi altri è dovuta soltato alla diffrazioe. Questa situazioe è schematizzata ella tab. 1 dove vegoo forite ache iformazioi di massima sulla distribuzioe agolare della sezioe differeziale totale di diffusioe (riportata ache ella fig. ) e sulla distribuzioe agolare della compoete dovuta alla riflessioe e rifrazioe. I valori limite (a 1, a, a 3 ) del raggio della particella che compaioo ella tab. 1 o soo be defiiti, potedo variare a secoda del materiale di cui è composto il grao e della struttura (compatta o porosa) di questultimo. Grosso modo si può dire che a 1 /10, a e a

11 Per = 0.55 m (visibile) le particelle di tipo a e b della tab. 1 soo submicroiche (a 1 m), quelle di tipo d soo macroscopiche (a 100 m), metre quelle di tipo c hao dimesioi itermedie. Per queste ultime e per quelle macroscopiche el visibile la sezioe differeziale di diffusioe che ha sigificato pratico (quella di fatto misurabile) è quella dovuta alla riflessioe e rifrazioe. Ciò i quato la radiazioe diffratta da questo tipo di particelle è tutta cocetrata i uo stretto coo cetrato itoro a = 0, ed è pertato idistiguibile dalla radiazioe icidete. Ifatti per /a si ha che S() S r (). Per particelle submicroiche, ivece, la sezioe differeziale di diffusioe che ha sigificato pratico el visibile è quella totale. Tab. 1 Caratteristiche delle sezioi differeziali S r (), S d () ed S() per varie dimesioi dei grai. Tipo Dimesioi S r () e S d () S() S r () a a a 1 itercoesse isotropa b a 1 a a itercoesse piccata i avati c a a a 3 separate piccata i avati isotropa d a a 3 separate piccata i avati piccata allidietro U iteressate applicazioe delle cosiderazioi precedeti è rappresetata dalla valutazioe, fatta dalle sode Voyager, delle dimesioi delle particelle degli aelli posti itoro ai piaeti gigati del Sistema Solare. Suppoiamo ad esempio che u aello, aalizzato el visibile, risulti più lumioso i luce diffusa i avati (soda opposta al Sole rispetto allaello, che così appare i cotroluce) che i luce riflessa (avicella tra il Sole e laello). Dalle cosiderazioi fatte precedetemete (v. tab. 1) si deve cocludere che i tal caso la maggior parte delle particelle dellaello, se sferoidali, devoo essere di raggio grosso modo compreso tra 0.1 m ed 1 m. Al cotrario, se l aello ha ua lumiosità i luce riflessa maggiore di quella i luce diffusa i avati, ciò implica u alta percetuale di particelle macroscopiche (a 100 m). Se poi l aello risulta ugualmete lumioso i luce diffusa i avati che i luce riflessa, il grosso delle particelle deve avere dimesioi itermedie tra 1 m e 100 m. Naturalmete el caso di uguale itesità della radiazioe diffusa i avati e allidietro si potrebbe avere i teoria ache ualtra possibilità, e cioè ua predomiaza di piccoli grai co a 0.1 m. Ma la preseza itoro ai piaeti gigati di tali piccole particelle (che el mezzo iterstellare soo ivece molto comui) può essere scartata i base ad altre ragioi. 11

12 Si oti però che ache la forma e la morfologia delle particelle è molto importate i queste determiazioi. I effetti è stato provato che grai di forma irregolare di dimesioi comprese tra 1 e 5 m hao el visibile ua o trascurabile compoete di back scatterig, al cotrario delle particelle sferiche delle stesse dimesioi (grai di tipo c della tab. 1). Tale aumeto del back scatterig è più accetuato per grai porosi piuttosto che compatti. Esso è ioltre più cosistete per particelle dielettriche piuttosto che assorbeti. 6. Albedo di ua particella Ua gradezza molto importate ella teoria della diffusioe della radiazioe da parte di ua particella è la cosidetta albedo del grao, defiita dal rapporto: Q sca sca (1) Q ext C C ext che, per le defiizioi di C sca e C ext, diveta: W W sca ext da cui si deduce che l albedo è uguale alla frazioe di eergia rimossa dal fascio icidete che viee diffusa dal grao. Se l eergia trasmessa per uità di tempo attraverso il grao è ulla, allora W ic = W ext e l albedo risulta uguale alla frazioe di eergia icidete che viee diffusa dalla particella, che è la defiizioe comuemete riportata dai libri di testo. I geerale l albedo di u grao è compresa tra 0 ed 1. Grai dielettrici puri hao el visibile u idice di rifrazioe reale, cioè m = (k = 0); pertato, el limite di piccole particelle, per la (5) e la (6), si ha Q ext Q sca, da cui risulta 1. All altro estremo, grai composti da materiali fortemete assorbeti (caratterizzati da u idice di rifrazioe complesso co k ) hao el visibile Q sca 0 e quidi 0. Quato detto fiora vale però solo per particelle piccole rispetto alla lughezza d oda. Per particelle molto gradi è facile vedere che l albedo o può essere mai miore di 0.5. Ifatti per tali particelle, come abbiamo visto, la sezioe differeziale di diffusioe, per la (11), può essere efficacemete scomposta elle due compoeti S r () ed S d (), be separate tra loro e, per la (7), si ottiee: 1

13 S( )d S r ( )d S d ( )d C. sca Applicado la (1), si può pertato scrivere: S r ( )d S d ( )d. (13) C ext Ora si può dimostrare che, per a/ 1, il secodo addedo a umeratore della (13) tede alla sezioe geometrica del grao G = a, metre C ext tede a G. Per questo motivo, lalbedo di ua particella di raggio molto grade rispetto alla lughezza d oda è, per la (13), almeo pari a 0.5. Questo valore limite si ottiee per u grao che appare completamete ero (S r () = 0, qualuque sia ) e deriva dal fatto che per questo tipo di particella il 50% delleergia rimossa dal fascio icidete viee diffusa per diffrazioe i uo stretto coo itoro alla direzioe = Spessore ottico e opacità dei grai Cosideriamo ua regioe di spessore geometrico L lugo la liea di vista i cui siao dispersi grai sferici di raggio a, omogeei ed otticamete isotropi, co desità umerica N g (grai/m 3 ). Si defiisce spessore ottico della regioe i esame la quatità (adimesioale): = a Q ext N g L (14) che è fuzioe della frequeza (o della lughezza doda = c/) della radiazioe icidete, delle proprietà morfologiche, strutturali e chimico-fisiche dei grai, oltre che della loro desità umerica e dello spessore geometrico della ube. I particolare ricordiamo che il fattore di estizioe Q ext è fuzioe sia del raggio a dei grai, che della lughezza doda, essedo fuzioe di questa lidice di rifrazioe m del materiale che compoe la particella. L equazioe (14) dello spessore ottico si ricava suppoedo che i grai lugo la liea di mira abbiao tutti lo stesso raggio a. Se ivece, più realisticamete, le dimesioi dei grai variao i ua distribuzioe ( size distributio ) per la quale il umero di grai, el volume uitario, aveti raggi compresi ellitervallo [a, a + da], sia (a) da (grai/m 3 ), allora, ivece della (14), abbiamo: 13

14 a Q ext L ( a ) da essedo ( a ) da N g la desità umerica totale (grai/m 3 ) di particelle lugo la liea di mira. U altro parametro spesso utilizzato i vari lavori sul trasporto radiativo è il cosiddetto coefficiete di opacità per uità di massa ( mass opacity coefficiet ) di u grao, ache detto semplicemete opacità. Esso è defiito come (Miyake e Nakagawa, 1993): 3 Q abs 4 a ed i geere dipede, oltre che dalla lughezza d oda, o dalla frequeza, della radiazioe icidete (tramite il fattore di efficieza d assorbimeto), ache dal raggio del grao e dalla sua desità. I base a quato discusso al par. 3, tale gradezza è idipedete dalla dimesioe del grao quado quest ultimo è piccolo rispetto alla lughezza d oda. E importate osservare che per lughezze d oda maggiori di ua certa soglia dell ordie del millimetro la teoria classica dei solidi prevede per l opacità di grai microscopici u valore asitotico che segue ua legge di poteza -, co = per vari tipi di sostaze (metalli, dielettrici cristallii e molte sostaze amorfe); fao eccezioe solo dei particolari tipi di materiali amorfi per i quali si ha = 1 (Tieles e Allamadola, 1987). Come evidete ella fig. 3, la teoria prevede ioltre che all aumetare delle dimesioi dei grai, l idice spettrale decresce fio ad assumere valori prossimi a zero per particelle macroscopiche (di raggio pari a 110 cm e oltre). D altrode, all aumetare delle dimesioi, ache le bade decrescoo fortemete i itesità, tato da sparire per grai di raggio pari o superiore a 100 m. I risultati sperimetali i geerale cofermao queste previsioi teoriche (Whittet, 1988), ache se certi silicati amorfi studiati da Agladze et al. (1995, 1996) presetao valori di compresi tra 1. e.5, a causa di effetti trascurati dalla teoria classica dei solidi. Occorre però ricordare che o soo molte le misure dell opacità a lughezze d oda superiori ai 300 m. 14

15 Fig. 3 Adameto spettrale dell opacità di u grao composito, costituito da silicati e ghiaccio d acqua, per vari valori del raggio della particella (Miyake e Nakagawa, 1993). Il comportameto dell idice spettrale e dell itesità delle bade al variare del raggio è i buoa approssimazioe idipedete dalla composizioe del grao. Bibliografia Aglazde, N. I., et al.: 1995, Nature, 37, 43. Aglazde, N. I., et al.: 1996, Astrophys. Jou., 46, 106. Bohre, C.F., Huffma, D.R.: 1983, Absorptio ad Scatterig of Light by Small Particles, Wiley, New York. Davies, D.R., et al.: 1985, Icarus, 6, 30. Mathis, J.S., Rumpl, W., Nordsieck, K.H.: 1977, Astrophys. Jou., 17, 45. Miyake, K., Nakagawa, Y.: 1993, Icarus, 106, 0. Tieles, A.G.G.M., Allamadola, L.J.: 1987, i Iterstellar Processes, D.J. Hollembach e H.A. Throso, Jr. eds., Reidel, Dordrecht, p va de Hulst, H.C.: 1957, Light Scatterig by Small Particles, Dover Publ., New York. Whittet, D.C.B.: 1988, i Dust i the Uiverse, M.E. Bailey e D.A. Williams eds., Cambridge Uiv. Press, Cambridge, p