Rudi Mathematici. Rivista fondata nell altro millennio Numero 152 Settembre 2011 Anno Tredicesimo

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1 Rud Mthemtc Rvst fodt ell ltro mlleo Numero 5 Settembre 0 Ao Tredcesmo

2 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0. Il slezo delle grffe Problem.... U problem letterro.... Slut d Alberto Bugee Jumpers Soluzo e Note [5] Il sgu dl PM d gosto [5] No m pce l MsterMd Le probbltà che Alce Quc & Drty Zugzwg! Alquerque Foro Pg Prpherl Mthemtc I Teorem delle Toslle...4 Rud Mthemtc Rvst fodt ell ltro mlleo d Rudy d Alembert (A.d.S., G.C., B.S) rudy.dlembert@rudmthemtc.com Potr Rezerovc Slverbrhms (Doc) potr.slverbrhms@rudmthemtc.com Alce Rddle (Trecc) lce.rddle@rudmthemtc.com RM5 h dffuso 800 cope e l 06/09/0 per ervmo pge. Tutto quto pubblcto dll rvst è soggetto l drtto d utore e bse tle drtto cocedmo l permesso d lber pubblczoe e rdstrbuzoe lle codzo dcte ll pg drut.html del sto. I prtcolre, tutto quto pubblcto sull rvst è scrtto compedo og rgoevole sforzo per dre le formzo corrette; tuttv queste formzo o vegoo forte co lcu grz legle e qud l loro rpubblczoe d prte vostr è sotto l vostr resposbltà. L pubblczoe delle formzo d prte vostr costtusce ccettzoe d quest codzoe. Tutt o, qudo guge l or d smltre l veccho computer, c setmo doppmete colp: tto per comcre, soo tr gl oggett pù qut ogg esstet, secodrmete perché comuque c ervmo ffezot. Frco Recch ( h trovto l modo per teere co o u rcordo qutomeo przle del veccho mco, trsformdolo u porm cttdo: copert, l su terpretzoe dell zo d Cetrl Pr, New Yor (qulcuo resce cpre d dove h preso pezz?).

3 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0. Il slezo delle grffe Queste legg così belle e così semplc, soo forse le sole che l Cretore e Orgzztore delle cose h fssto ell mter, per regolmetre tutt feome del modo vsble. È verosmle che quest ostr gor psso ll stor come l epoc d Iteret: z, forse pù esplctmete propro come gl lbor dell comuczoe globle. D u certo puto d vst, tutto l Noveceto può forse essere vsto quest ottc: l turboso Ottoceto, pur ell su glor, ruscv mlpe trsportre persoe su frrgose mcche vpore, metre l secolo successvo o solo è ruscto veloczzre d gr lug gl spostmet degl uom, m è ruscto fr vggre prole, mmg suo, documet, quttà e qultà ssolutmete mmgble che per mggor profet ottocetesch. M è che possble che, su u scl storc u po pù mp, tutte le grd scoperte dell comuczoe ovecetesc (rdo, telefoo, televsoe) fsco co l essere clssfct e mul come prodrom moodrezol dell Rete. D ltro cto, è prmet vero che l mezzo secolo d trsmsso televsve che bbmo vssuto rescoo gà, co sorpredete effcc storc, rccotre l bee e l mle (forse u po meglo l mle, dre l vero) dell ostr epoc: ed è suffcete uo svoglto zppg estvo e pomerdo ttrverso l pletor d cl logc e dgtl, per redersee pemete coto. S può comcre co l pubblctà: s potrebbe forse tetre d studre le correlzo tr l qultà e quttà delle formzo commercl e lo stto dell socetà cvle, o per o, stgoe per stgoe. D prm e regolmettssm crosell bco e ero de prmord televsv lle televedte selvgge l lmte dell frode, l metodo dell persusoe ll cqusto è cmbto moltssmo: m forse, pù delle vrzo de metod e del cotetore, è sorpredete l cmbmeto d coteuto. C è stto u perodo cu sembrv che s pubblczzssero solo lmetr e detersv, e srebbe sembrto semplcemete mpossble mmgre le tempeste d spot ttul: pss per fortor d telefo moble (che o esstev propro, e quell fss er regme d moopolo prsttle), m che dre delle reclme delle bche? E cor: esste o o esste u strett correlzoe tr l perdurre d u feroce crs ecoomc e l prolferre degl spot su lottere, scommesse, grtt-e-vc? Alcu messgg d quest tur soo msteros l lmte dell perfd: s lmto pubblczzre u mrcho, o u drzzo teret, e cededo ll tetzoe d scoprre l oggetto pubblczzto c s rtrov ctpultt detro u tero uverso d st dedct l goco ole, o ddrttur cl televsv che, strett smbos co l web, soo destt esclusvmete ll roulette: u gro d ruot og tre mut, co l gete che put (sold ver) d cs, mgr otte fod, vece d dormre. No vorremmo pprre morlst, che morlst soo sempre oos: però che c s relzoe drett tr lo stto d slute d u socetà e l offert televsv (s pure solo quell del sottobosco televsvo) c sembr ss probble. Il pomerggo estvo e leto pssto col telecomdo mo, comuque, strusce o solo per l trttemeto commercle degl spot. S possoo scoprre cl dedct d rgomet molto specfc (e del tutto spettt), e fre detro u replc d u cotro d puglto degl A Sesst, bco e ero gr gross, e successvo dbttto sportvo co ospt studo. I questo cso specfco, pù che l eveto sportvo sé (l llor Cssus Cly, ppe dveuto Mohmmed Alì, scofgge per KO uo sfdte o prtcolrmete gguerrto), stupsce l mer d codurre l dbttto seguete. 3

4 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 Gorlst sportv gcc, crvtt, mcrofo e cogutv che rccoto l eveto co u lessco che l goro d ogg verrebbe gudcto troppo ulco che u dscussoe d tes flosof teoretc. Metfore rgoevolmete rdte uste per descrvere l eveto sportvo, u prolusoe zle sull stuzoe geerle dello sport ell zoe che ospt l cotro, qulche evtble e grbto cceo lle mplczo socl e poltche che, que temp, crtterzzroo le polemche sull coversoe ll Islm del pugle merco. Ospt che scolto fo fodo ch prl col mcrofoo mo, che se o soo fftto d ccordo co quto sto setedo; replcdo po co tervet forse meo letterr d quell de gorlst ftro, m comuque corrett, fort e sostzlmete cortes. Dbttto, somm, ssolutmete fuor tempo, se letto co co ttul. E sccome o credmo fftto che l pssto s sempre mglore del presete, c lmtmo regstrre che l modo d fre televsoe è profodmete cmbto: e questo o dpede certo dl ftto che o c s pù gete grdo d be cougre verb. È semplcemete verosmle che rumoros dbttt cotempore bbo u pres mggore sul pubblco: del resto, qudo gorlst prlvo detro u scrv co perfett dzoe e rdte perbol metforche, cocett d shre e d udtel o esstevo propro. Rme l ftto che l televsoe, molt cs, resce fotogrfre mer drmmtc stuzo che, seppur ote, resto emotvmete letter mort o qus qudo lette solo ttrverso u rtcolo o u grfco. U coto è leggere delle sttstche che dcoo che l teor drw dell evoluzoe gode d scrso credto presso molte persoe egl USA, u coto è vedere l stuzoe essere, che se d u puto d vst ssolutmete specfco e mprevedble. Esste u progrmm govle, ll tero d u TV govle, che cosste sostzlmete el combre u pputmeto dsstroso u vttm desgt ; l meccsmo è bbstz semplce: u complce elec gl orgzztor tutte le cose che mdo best l vttm, e quest struscoo u ttore (quello che dovrà mpersore l cotroprte dell pputmeto glte) mostrrs propro dotto d tutt dfett e tutte le covzo che l vttm h odo, modo d redere l cotro quto pù possble sgrdevole. Se l vttm resste fo fodo, vce qulche dollro. Lo zppg gosto s è soffermto sull trsmssoe perché u delle cose che l vttm d turo pù odv er pputo l Teor dell Evoluzoe, e buo prte del goco s bsv sul ftto che l ttore s mostrv u ftco drwo e l fcull-vttm s rrtv molto el setre le sue ffermzo che cotrstvo co l Bbb. Quello che pù stupv, ell scoltrl, er l ftto che le ussse u rgometo dlettco che d solto è rservto ll prte oppost: rbdv co forz e covzoe (che credmo fosse del tutto geu): M esstoo delle prove scetfche che dmostro che l Teor dell Evoluzoe è fls! Come f crederc se esstoo prove scetfche?. L obezoe dell fcull merc può essere «L orge delle spece» lqudt e probblmete srebbe l tteggmeto I u clssfc che cosderv crc u tret d pes pù lt scolrzzzoe, gl Stt Ut fgurvo l peultmo posto: solo l Turch mostrv u mggore sfduc Drw. Se l memor o c g, l progrmm dovrebbe chmrs Dsster Dte, e l emttete questoe è MTV. 4

5 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 pù corretto e sbrgtvo co l semplce costtzoe che le s sbgl, buo o cttv fede che s. Cò o d meo, può essere struttvo cercre d dgre meglo, se o ltro per o cdere el suo medesmo errore. L rgzz è covt che essto delle prove scetfche che dmostro l flstà dell teor d Drw 3 : per lzzre l su ffermzoe occorre qulche modo teer coto de cocett d prov, d scez, e turlmete del coteuto dell teor questoe. L prm cos d cosderre è che come tutte le teore scetfche, che quell dell evoluzoe può essere cofutt: z, drl tutt, mmgre delle prove scetfche che dmostro sez possbltà d ppello che Drw s sbglv è estremmete fcle; fossl soo ml e pte che soo rmst mprgot el suolo, e l suolo cmb el tempo. I dosur s soo estt 4 el Cretcco, e loro fossl s trovo egl strt geologc d quell epoc: se s trovsse ogg, d qulche prte del pet, u trcertopo bee slute l cos scovolgerebbe molte covzo del modo scetfco, che dovrebbe ftcre trovre l cus per l qule l evoluzoe del bestoe trovto vvo e vegeto s s, qulche modo, terrott; m quest o srebbe u prov decsv, perché o c è essu regol che mpog l vveto delle mutzo evolutve. Alcu esser vvet tuttor preset ell bosfer soo d ftto qus detc loro tchssm progetor. Per cotro, prm mmmfer, per quto rgoevolmete dvers d Tbell delle ere geologche (rubt PleoW) quell che smo rcooscere come tl, soo pprs ll fe del Crbofero. Bsterebbe rtrovre l fossle d u bel coglo egl strt del Devoo 5, e tutt l Teor dell Evoluzoe v llegrmete frs beedre. È somm possble demolre scetfcmete l Teor dell Evoluzoe (e esstoo svrte cet d ltr possbl mod teorc per frlo), e per fortu: u teor o demolble, qus per defzoe, o è u teor scetfc. Qud l ffermzoe dell rgzz v qutomeo pres cosderzoe: è successo dvvero qulcos che dmostr scetfcmete che Drw s sbglv? Può drs che l rgzz s semplcemete meglo formt d o che perdmo tempo gurdre scocchezze TV, u leto pomerggo d Agosto? U volt ppurto che o sembro esserc effettve scoperte tl seso, c s può terrogre meglo su cos s ted per prov scetfc. Purtroppo l fcull o h portto esemp specfc, e qud o è possble lzzre le sue ffermzo: su przle dscolp, possmo dre che 3 No propro d questo Drw, m che d lu, s prl RM08, Tre mtemtc ll corte del re. 4 Per lo meo, dosur proprmete dett, quell che ell mmgro collettvo soo rffgurt come ggtesch lucertolo. È lecto, qulche seso, cosderre dosur o cor estt, vsto che u delle loro evoluzo d mggor successo, gl uccell, rllegro cor l ostro veccho pet, m o è d questo che c teressmo l mometo. 5 Il Devoo (grossomodo d mlo d f) precede l Crbofero (d mlo d f). 5

6 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 tlvolt cpt che suo vversr d trcerrs detro sserzo poco motvte, che s ppello solo l prcpo d utortà ( T sbgl, l scez dce esttmete l cotrro! ), col che, d solto, l dscussoe s terrompe o degeer brutlmete. Il metodo scetfco h l su forz prcple o tto elle sue certezze, quto propro el suo opposto, quel mrge d certezz che vee sempre, ccurtmete e precsmete, defto e dchrto. Il suo potere d covcmeto st propro el mostrre che o esste 6 utortà grdo d resstere d u prov cotrr portt d mdre tur. U delle cose pù mportt che dovrebbe essere segt molto presto elle scuole è propro questo, come rcooscere l cocetto d scetfco, co tutt requst e le lmtzo che l cocetto comport. No è detto che s fcle: per gugere d u cospevolezz ccettble del cocetto d scez occorre pssre ttrverso molt prcp o mmedt, qul l rproducbltà dell eveto, cos s ted dvvero per vertà e per dmostrzoe, cos s ted dvvero per msur e molto ltro cor, fo d rrvre, evtblmete, sclfre de prcp proprmete tl, quell sort d ssom de percors metl che o possoo rchmrs ull ltro, propro quto utà prmre dell logc e dell esperez. Il prcpo d o cotrddzoe, d esempo: per quto ch esso s sottopoble d u crtc mtur e rgot, è verosmle che o v s poss propro rucre, pe l cdut d og possble rgometo coclusvo. M è verosmle che ltr prcp, che o essezlmete logc, so dt per cqust ello svolgers del rgometo scetfco. L teor d Drw vee ormlmete chmt Teor dell Evoluzoe, m reltà l terme evoluzoe è sempre stto usto co estrem cutel dl turlst glese. I prte per evtre d mettere troppo rslto l coseguez logc e evtble che che l uomo dovev essere stto sottoposto d u processo evolutvo d esser vvet cestrl, cos che vrebbe scteto (come evtblmete ccdde) u putfero, speclmete d prte d coloro che rteevo corrett ll letter l Gees così come rportt dll Bbb; prte che perché l terme evoluzoe port co sé, el ormle colloqure, u cootzoe d progresso postvo, d pssggo dl peggore l mglore seso ssoluto, che o è vece fftto fodte ell su teor. L su oper fodmetle è ftt ttolt Orge delle Spece trmte l Selezoe Nturle 7. I ltr term, l cootto scetfco pù rvoluzoro d Drw o s trov tto el cocetto dell orge delle spece, quto cò che lu terpret come motore dell speczoe, ovvero l selezoe turle. 3 L Itellget desg sfd l evoluzoe L cos è sgfctv, perché molt, che tr coloro che rfuto l teor d Drw, rcooscoo u prcpo mportte, che vece l Bbb, come pure lo stesso Arstotele, egv: ovvero che le spece ml e vegetl o soo fsse, stbl, m muto. Del resto, l selezoe rtfcle opert dll uomo su dverse spece ml domestc e pte lmetr è cos ot f d temp pù tch e, oostte temp brevssm rspetto quell geologc, gà grdo d mostrre come vvet posso mutre sesblmete le loro crtterstche. U volt rcooscut l mutbltà delle spece, però, quest tdrw ego che l evoluzoe s plott dlle mutzo cusl che, ltrettto csulmete, s rvelo 6 Qutomeo, o dovrebbe esstere. Gl scezt soo uom, e come tl, og tto sbglo e soo tett dl prcpo d utortà, dll Ipse dxt d rstotelc memor. M cpt rrmete, che perché o c è sogo pù grde, per uo scezto, che trovre u prov che demolsc covzo cosoldte e rteute corrette. 7 Pù precsmete: O the Org of Speces by Mes of Nturl Selecto, or the Preservto of Fvoured Rces the Struggle for Lfe, ovvero Sull orge delle spece per mezzo dell selezoe turle, o l coservzoe d rzze fvorte ell bttgl per l vt 6

7 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 fvorevol ll soprvvvez ell mbete: rtegoo vece che esst u progetto superore, d tur dv, che gover questo dmsmo delle spece. È quest, grossol stes, l potes ot come Itellget Desg. Dcchè l pprocco scetfco s teress essezlmete d descrvere soprttutto come, e o perché vvego cert feome, cercre d dmostrre l fodtezz del prcpo dell Itellget Desg è ovvmete molto pù complesso che cotrobttere coloro che rtegoo ver l fsstà delle spece. Essedo per prcpo l volotà d Do cooscble, è evtble che vrtulmete og ftto, og dmc, poss essere ttrbuto drettmete ll su reg cooscble. I quest term, probblmete og tettvo d u prte d covcere l ltr d essere torto è destto d u ull d ftto, per evdete mcz d terreo comue ove mbstre l dscussoe. Può però essere dctvo cpre per qul rgo drw, che pure o ho l scorcto dell fede che propro quto tle o bbsog d rtfche rzol, rtego poco probble l de d u reg tellgete del percorso evolutvo. U d queste rgo, bbstz curos, st scost detro l lugo collo delle grffe. U covzoe bbstz dffus e rdct è che le grffe so mute. Questo o è vero: che se resto btulmete slezose, soo grdo d emettere suo, che d dvers toltà e tur. Il slezo delle grffe qud o è u vertà pltoc, è solo u cosoldt btude: c s può comuque chedere per qule rgoe quest mmmfer dlle solte proporzo 8 4 Il ervo lrgeo ferore ell grff so tto rest ll comuczoe soor, che vece è soltmete molto ust speclmete tr le mdre d erbvor. U probble spegzoe st ell credble form del loro ervo lrgeo rcorrete 9. L dstz tr l cervello dell grff e l lrge è d qulche cetmetro: l ervo cofrtello del rcorrete (ervo lrgeo superore) è ftt lugo que poch cetmetr che è lecto spettrs, vsto l dstz tr l prtez e l rrvo de segl ervos che è deputto trsmettere. Vcevers, l rcorrete ferore prte dl cervello, s precpt gù bsso ll tero del lughssmo collo, rgguge l ort dorsle e press del cuore, compe u rdt versoe d U ttoro d ess, retr d uovo ell fto trforo lpo grffesco, e flmete s usce ll lrge. U percorso d pù d quttro metr, zché poch cetmetr. L cos sorprede e stupsce. Se s ccett l de dell evoluzoe delle spece e s rsle d osservre come soo orgzzt erv ml strutturlmete prmtv come gl squl, s vede che l orgzzzoe per così dre topologc degl stess è 8 L grff è evtblmete cosdert l mmmfero pù lto: u dulto oscll tr 470 e 50 cetmetr, m s soo trovt esemplr msch superor se metr. No sppmo cos e peso le bleottere zzurre, che se s mettessero ped sull cod rrverebbero cque volte l ltezz d u grff: d certo, se s cosder l rpporto tr l dmesoe del corpo lugo l drezoe del moto e quell ortogole l moto, l grff rsult co l rpporto pù bsso tr tutt mmmfer: ltre prole, pù che l mmmfero pù lto, è sez dubbo quello pù corto. 9 Detto che ervo lrgeo ferore: u drmzoe del ervo vgo, deputto l cotrollo dell lrge e qud delle corde vocl. 7

8 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 ssolutmete lere ed effcete: l vcz tr gl org e le relzo tr erv e vs sgug seguoo le ve che è turle tteders, drette e sez devzo. Qudo lcu pesc s mossero verso l terrferm, l selezoe premò lcue mutzo vtggose, e poco poco lcu org, come le brche, cmbroo tur e ecesstà, e l struttur stess del corpo mutò d coseguez. Se ello squlo l dsloczoe tr cervello, lrge e cuore è tle che o s oto dffereze sesbl, per u certo ervo, se pssre sopr o sotto u certo vso sgugo, col mutre dell dstz reltv tr quest org l dfferez ppre vece sesble, fo gugere l prosssmo del ervo lrgeo delle grffe. M se questo è spegble ttrverso l cocetto d mutzo csul pù o meo fvorte dll selezoe turle, è vece decsmete meo fclmete spegble d ch presuppoe che l evoluzoe s drett d u dsego tellgete, perché l progetto, qulor c fosse, ppre come poco effcete: ltre prole, poco tellgete. No è detto che l rgometo dell llogc devzoe d u ervo el collo dell grff resc covcere sostetor dell Itellget Desg: è possble che quest posso cotrobttere che l tellgez che gud l evoluzoe è così superore quell um che è rrogte gudcrl d prte dell uomo. Quello che c ppre comuque teresste e sgfctvo, però, o è tto l dtrb tr evoluzost e crezost, quto l cpre perché, tr coloro che rtegoo quest u prov ss sgfctv fvore delle teore d Drw (e che soo sostzlmete tutt l comutà scetfc o qus, per fortu), quest cosderzoe ppre così logcmete forte. Perché ppre llogco svluppre u ervo lugo cque metr per svolgere compt che potrebbero essere svolt d uo lugo cque cetmetr? Le rsposte possoo essere dverse, secod dl puto d vst e dell professoe dell terlocutore, m vro tutte comue u spece d sgurdo d suffcez, tto ppre scocc l domd ed evdete l rspost. Medc e bolog potrebbero osservre che tto pù utlmete lugo ed esteso è u orgo, tto mggor solo le probbltà d essere ttccto o ferto. Fsc, geger ed ecoomst per u volt potrebbero tutt trovrs d ccordo: costrure e mteere effcete u ervo mstodotco l posto d u ervetto è u crme dl puto d vst del blco eergetco, uo spreco dvvero credble. E l blco eergetco è forse l cos pù rdclmete fodmetle per tutt gl esser vvet. I mtemtc, come sempre u po pù strtt degl ltr e cofrot del modo rele, potrebbero lmtrs dre che, suppoedo eucldeo lo spzo del corpo dell grff e potzzdo d voler mmzzre l percorso geometrco che usce due estrem dell curv, quell scelt d mdre tur è u v che o rgguge l rsultto mglore: che se lcu d loro, topolog, probblmete sosterrebbero l ssolut equvlez de percors. Ametà prte, l crtero che gudc poco tellgete u percorso molto pù lugo d u ltro che rgguge l medesm met è tlmete cosoldto che è probblmete scrvble el overo de ctt prcp fodmetl del rgometo, o qutomeo dell esperez. Ne è u rprov che uo de metod pù clssc per spegre l legge dell rfrzoe dell luce rgzz che l setoo per l 5 Ddttc dell rfrzoe prm volt: l esempo che spesso s us 0 è quello d mmgre l 0 Usto spesso e forse vetto d Rchrd P. Feym. 8

9 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 stuzoe cu u bgte dffcoltà deve essere soccorso d u bgo. Se s chede d dsegre ll lvg qule trettor segurà l bgo per rggugere d cors l rv e po per uotre verso l perso percolo, gl terrogt sttvmete dsegero u percorso smle quello che, ell fgur, è dsegto rosso, pur spedo bee che l v pù breve, dl puto d vst dell mer dstz spzle, è quell rppresett blu. I qulche modo è cooscez mplct o qutomeo prestssmo cqust che l mggore effcez s ottee co u percorso spezzto. St po l docete mettere evdez che questo dpede dl ftto che l veloctà del bgo è mggore sull spgg che cqu, e che propro d quest dfferez d veloctà dpede l scelt dell trettor: logmete u testugge, qulor dovesse fre per qulche rgoe lo stesso vggo, sceglerebbe u percorso smle quello dsegto verde, perché è pù veloce cqu che terr. Il cso lmte, grgo, è quello del soccorrtore che o s uotre. L esempo pre fclmete l strd ll compresoe dell legge dell rfrzoe, che chm pputo cus l dvers veloctà dell luce corp dvers. L compresoe per così dre sttv del percorso mglore ell esempo del bgo, l repulsoe verso lo spreco eergetco e geometrco del ervo lrgeo ferore delle grffe, oltre svrte ltre cet d possbl stuzo, soo tutt rcoducbl, u modo o ell ltro, uo de prcp fodmetl dell meccc e probblmete o solo d ess: l Prcpo d Mm Azoe. Affrotto e descrtto d Eulero, pemete formlzzto per prmo d Lgrge, rpreso e mplto d Hmlto 3, questo prcpo essezle dell tur fu esplctmete proposto, che se o rcodotto formule, d colu dl qule prede cor l ome; vee ftt spesso ctto come Prcpo d Mupertus. Perre Lous Moreu de Mupertus sce St-Mlo, Bretg, Frc, l 8 settembre 698. Fglo d u gto commercte e d u mdre perprotettv, sedc vee mdto studre Prg, presso l prestgoso Collège de l Mrche. F dll zo dell su vt, Perre mostr d vere teress dvers e u sorpredete cpctà d cmbre: l Collège z studre musc, m presto cmb e s dedc ll mtemtc; ft l scuol decde d drs ll crrer mltre ed è zlmete tetto dll mr, che perché u bretoe s trov cs qudo s prl d vgzoe, m vece decde d pssre el corpo che Alexdre Dums h reso dmetcble: moschetter. Seppur uffcle u corpo prestgoso, e co u spledd crrer d frote sé, l teete Mupertus dopo ppe quttro, el 7, lsc moschetter e 6 Perre Lous Moreu de Mupertus s trsfersce Prg, per frequetre slott e, buo sostz, drs ll bell vt. C è d cosolrs co l ftto che suo teress mtemtc, u po sopt ell mbete mltre, s rovo e mturo el fervete mbete dell cptle frcese. Nel 73, sol 5, vee ftt ccolto ll Accdem delle Sceze, e comc pubblcre dvers stud: l prmo mescol U ggte celebrto uo de prm comple D Muscole Forme, RM05. Lu sì, propro prmo protgost d quest rubrc, RM048, Toro Celebrto Per ch suo l cmp, RM079. 9

10 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 suo due mor collegl, perché trtt dell form degl strumet muscl e d come quest flusc sul suoo prodotto; successv soo vece pù strettmete mtemtc, dedct ll ls de mssm e mm e d curve specfche come l cclode. Po, forse perché setv che er gà troppo tempo che s dedcv d u sol dscpl, comc d teressrs ll bolog e pubblc u memor sull slmdr. Uo sprto così rrequeto, se può permetterselo, o perde certo occsoe d vggre: v prm Lodr (dove etr fr prte dell Royl Socety), po verso l Svzzer, Bsle, dove vee ccolto d uo de Beroull 4, Joh. Ed è propro sotto l gud d Joh che l formzoe scetfc d Mupertus, pur gà così profod, rceve u spt decsv: Beroull è uo de pù fervet sostetor delle teore d Crteso e d Lebz 5, e le llustr co dovz Perre, utmete ll meccc d Newto 6. E Perre s mostr essere u buo llevo: poco tempo mette evdez uo de put flosofcmete pù debol dell teor ewto, l cocetto d zoe dstz. All lb del 730, se o s può prlre d u ulterore cmbo de suo teress, s regstr quto meo u precs foclzzzoe verso l stroom: retr Prg, e pubblc tutt u sere d memore reltve problem d meccc celeste. Questo lo rede ulterormete oto, e l pubblczoe d Fgures des stres, u trttto sull form de corp celest, gl pre l strd verso u ulterore vvetur scetfc. Uo de mggor quest del tempo er reltvo ll form estt dell Terr: el 735 l Accdem frcese orgzz due dstte spedzo co lo scopo d msurre u rco d merdo vco ll equtore e uo vco l polo, modo d verfcre l grdo d sferctà del pet. L prm spedzoe, gudt d L Codme, s drge verso l Perù; l ltr, drett verso l Lppo, vee gudt d Mupertus. S trtt u ver vvetur d lbro d Jules Vere: le codzo mbetl ero dsstrose s d estte, qudo l spedzoe vev letterlmete mgt vv dgl sett, s turlmete d vero, qudo le codzo d luce e soprttutto l freddo e l gelo redevo qus mpossble og msur. Per o 7 L spedzoe lppoe d Mupertus celebrt dlle poste fldes frs mcre u pzzco ulterore d drmmtctà, l ve dell spedzoe ufrg el Mr Bltco sull v del rtoro, m l vveturoso scezto resce slvre comuque le sue crte che cotegoo le prezose msure che gl ero costte due d lvoro. Al rtoro ptr, dt slvt cosetoo d redgere l relzoe fle ll Accdem, dmostrdo u volt per tutte che l Terr o è u sfer perfett m h u schccmeto pol. Cò oostte, sembr che ell cptle frcese s prlsse, pù che de rsultt otteut, degl str souver che Mupertus s er portto dll Lppo: due grzose fculle tve del luogo. I prte per l su rrequetezz, prte perché quell ero effettvmete qulche modo vveturos, Mupertus resce cccrs sempre egl evet pù otevol e elle dsvveture pù clmorose de suo gor: Prg è orm molto fmoso, e come sempre ccde quest cs è covolto umerevol dtrbe e ltg tr ccdemc. Qudo Federco l Grde d Pruss comc rstrellre per tutt Europ grd tellett 4 D tutt l fmgl Beroull s prl Lessco Fmglre, RM Le teore d quest ultmo, se servsse, soo rrte el solto stle L Acusmtco, RM Il ostro prolere h propro gà prlto d tutt: Isc è l protgost d Il Tempo e l Dero, RM07. 0

11 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 per l Accdem d Berlo d lu ppe sttut, lo vt predere l ttolo d presdete. Perre ccett, v Berlo, dvet mco d Federco l Grde 7 e lo ut che come cosglere mltre, seguedolo perfo su cmp d bttgl: quello d Mollwtz l gr re prusso resce subodorre per tempo che le cose s mettoo mle per l suo esercto, e resce metters slvo. Tle bltà mc vece Mupertus, che fsce prgoero degl ustrc. L su fm comuque lo protegge: vee be trttto d vees, che ll fe lo rmdo Berlo, che se, u po strvolto dll esperez guerresc, se e tor be presto cs, Prg. U cotuo vt e detro per l Europ: metre le guerre d Federco d Pruss muovoo gl eserct, Mupertus cmb zoe e crche presdezl co ltrettt rpdtà: dvee drettore dell Accdem delle Sceze frcese, po ccett l uovo vto d Federco e s decde torre Berlo come presdete dell Accdem pruss: qu resste otto (m el frttempo frces lo espelloo d quell prg), po, per dffcoltà mmstrtve e d lgu, tor uovmete Prg. Morrà fe Bsle, l 7 Luglo del 759, m o prm d essere etrto u uov lug, esteute polemc co u suo veccho mco e compgo d stud sotto Joh Beroull, Smuel Kög. L polemc rgurdv propro l prmogetur del Prcpo d Mm Azoe: Kög sosteev che fosse gà stto eucto d Lebz. Fu u polemc lug e u po trste, che perché Mupertus vev zlmete rccomdto Kög l re d Pruss, dmostrzoe che zlmete rpport ero certo buo, m po l stuzoe degeerò sult e ltg, e l vveturoso Perre fì pure scherto cus de due grzos souver che s er portto dll Fld. D certo è che l prcpo, così come è esposto, s ttgl bee Mupertus: l suo dfetto prcple er quello d o completre, o dre fo fodo gl stud che trpredev, e ftt o rsolse formule l tuzoe fodmetle del prcpo d mm zoe. M er uo sprto tteto e tellgete, e soprttutto poledrco; o stupsce qud che bb tuto u crde de meccsm uversl, che h l su evdez s ell mtemtc, s ell fsc, s ell bolog. Le sue prole, rportte test quest rtcolo, be llustro l su covzoe che d esso potessero dscedere u gr prte delle regole dell tur 8. 7 D questo sovro llumto s prl lugo Rvoluzor, l compleo dedcto Guss RM47. 8 E qulche msur, l lvoro d Emmy Noether sulle relzo tr grd prcp d coservzoe e l smmetr, elbor e rtfc quest su rvelzoe.

12 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0. Problem Rudy d Alembert Alce Rddle Potr R. Slverbrhms U problem letterro Slut d Alberto. U problem letterro L prm domd dovrebbe essere: Qut plg c soo questo problem?. Iftt sce d u lbro (versoe elettroc) che c h reglto u lettore: l utore del lbro po, cofessv cddmete d verlo preso d u romzo del qule o vevmo m setto prlre e che cofessmo l ostr crss gorz rteevmo vezoe dell utore de problem per dre u mbetzoe romtc l tutto: u veloce rcerc su Wped c h permesso d stblre o solo che l lbro esste, m che e è stto trtto u flm l cu persoggo prcple è terpretto d u ttore che cooscmo bessmo 9! E l problem, effett, è puttosto cro. Segue ostr trduzoe, puttosto lber. Le vedev og relzoe come u copp d cerch tersects. Ad u prmo sgurdo, potrebbe sembrre che mggore l tersezoe, mglore s l relzoe, m o è così. Oltre u certo puto, o esstoo rsorse propre cscuo de due per rrcchre l vt che è codvs. Probblmete l perfezoe vee rggut qudo l somm delle ree delle due prt che o s sovrppogoo egugl l re dell prte comue due cerch. Sull crt dovrebbe esstere u qulche elegte formul mtemtc per rrvre questo, che però o s pplc ll vt. Vsto che rrmete due cerch ho lo stesso rggo, volete dre u mo (lmeo sull crt ) Mrs. Mver?. Slut d Alberto Il pù veccho de VAdLdRM è dto fere co u (ex)compgo d clsse (el seso che vedo etrmb pssto l Mturtà, soo ex l uo co l ltro). Que due rgzz comco preoccuprc, s soo portt detro lbr per l test uverstro! No solo, m (uo ll sput dell ltro) s soo rccomdt rspettv getor che, se fossero usct sseme, o combssero gu. I getor, o fgl. Isomm, o c è pù relgoe. 9 Il lbro è Mrs. Mver: Wped(l)do s trov l rfermeto l flm. L ttore è Wlter Pdgeo, lo stupedo Dr. Morbus d Pet Probto (quello co Robbe the Robot! E Ae Frcs, d qulche prte...).

13 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 A questo puto, mpossbltt dgl ord de fgl trre d fod cotro lmpo o proscugre le tere scorte lcolche delle brrere del crcodro todo schmzz ottur, s è optto per u ce uo storco rstorte del Qudrltero Romo torese 0 : metre le due mdr spettegolvo su que bcchetto de fgl, due pdr ho zto u teresste gocho che, per l (gustfctssm) letezz del servzo, s è protrtto per u certo tempo. I ostr due ero s soo mpossesst d u (r)rgoevole umero d stuzzcdet, e ho comcto pzzrl sul tvolo tur : mettmo le vrgolette perché o gocv prm uo e po l ltro, m semplcemete:. Al turo 0 o c er essuo stuzzcdet sul tvolo.. Al turo vev messo uo stuzzcdet sul tvolo, lleto (d esempo) ll sse y (quluque esso s). 3. Ad og turo successvo, vev sstemto l mssmo umero possble d stuzzcdet modo tle che:. l puto medo d og stuzzcdet s trov ll estremtà d uo e d u solo stuzzcdet (quest ultmo pzzto u turo precedete). b. Og stuzzcdet che e tocch u ltro lo fcc solo d u estremtà (somm, gl stuzzcdet o s devoo coprre metà : è logco che uo stuzzcdet e può toccre pù d uo, vedoe per esempo uo che gl tocc l cetro e toccdo lu cetr d ltr due co le pute, uo per prte). Vetto spezzre gl stuzzcdet, ovvo. Il tettvo del mître d rportre l orde o sortv lcu effetto, e solo l mchevole dscussoe co l sommeler (cetrt sul ftto che co vetsette grd d tempertur ester forse l Nebbolo preferto d Rudy vrebbe mpedto l stesur d queste ote, cus rcovero) ruscv rcodurre due stuzzctor d stuzzcdet pù mt cosgl; pprovto l vo, l dscussoe s portv su rgomet pù fcet, m l problem restv gguto: Allor, quest è l ultm volt che c vedmo el 0? Sì, se c vedmo quest vero srà geo. M secodo te, s resce chudere u turo co 0 stuzzcdet sul tvolo? E el cso, che umero è l turo? Ah, o e ho de. Pù semplcemete, m chedo qut stuzzcdet c sro l duemludcesmo turo... Secodo me è pù fcle l prm domd. No lo so e o voglo sperlo. Però h trovto che quest volt l Problem dell Ao. Adesso, dovreste rspodere queste due domde, m v mettmo u cvet: o fermtev umer che v bbmo dto. U tzo (se fte brv e rspodete v dcmo come s chm e dove lvor) h scrtto su questo problem e su lcue esteso l bellezz d u ppro (el seso d pper) d tretcque pge. 0 I fmgl, opo cotrstt: secodo Rudy vle mpmete l pe, secodo su mogle è u po cro. Rudy rcoosce oggettvmete che l su opoe è qut dl ftto che h vssuto dgl zero se cqut metr dl rstorte, e l ltr volt che c vev mgto vev cque : sì, cmbto cuoco (che desso è u sgor). 3

14 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 Or, se Alce o s rrbb po mpgre, potreste studrc sopr... Co u fresco vello, vsto che qu promette clducco che settembre. 3. Bugee Jumpers ) Provte che l med rtmetc d umer postv o eccede m l med qudrtc: ) S u tero postvo mggore d. Dmostrte che l med rtmetc d umer postv o eccede m l med del -esmo orde:.. 4. Soluzo e Note L soluzoe, Pg 46 Settembre. No st ddo tto bee, vermete, m forse ce l fccmo, fre d scrvere questo umero. Per umetre le probbltà d rrvre fodo srò breve quest prte... V rcordte l questo proposto d Erc l mese scorso? Er questo: Quest cte d umer h due prtcolr: - tutt umer soo dfferet - essu umero cotee u letter del umero che segue ZERO UNDICI TRE DODICI SETTE UNO SEI QUATTRO DIECI OTTO DUE OTTANTA SEDICI OTTANTUNO MILLE QUARANTA MILLE E DIECI QUARANTAQUATTRO MILLE E SEDICI QUARANTOTTO. Quest cte e costtut d 0 elemet. Trover u cte pù lug? Beh, c h scrtto Cmllo, propro metre stvmo mettedo seme l rubrc, dcedo: Vsto che soo pgro (o è vero m v ve comodo scrverlo) prto dll sere dell esempo e fcco delle ggute. Dopo che è scoppto l 48 ggugo l 006 (o ve e soo ltr) l 006 s possoo ggugere: 4, 84, 88, 90, 9, 94 e 98. I 4, 84, 9 e 94 soo sterl metre gl 88, 90 e 98 s può ggugere l 00 che su volt può essere termto co uo de 3 precedet. Questo permetterebbe d vere 6 ctee d 4 elemet. Però s può ggugere u umero prm dello ZERO (ce e soo precch) d esempo l 7 o l 505, che l Per cu ho otteuto u cte d 5 elemet. È ostr tezoe provre l teorem ttrverso u form puttosto solt del prcpo d duzoe. 4

15 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 U d esempo: QUARANTAMILA-ZERO QUARANTOTTO-MILLESEI-NOVANTA- MILLEDUE-OTTANTOTTO. Nturlmete l uto del TurboC è stto fodmetle. Lo spevmo, che qulcuo vrebbe regto! Come ccde que cs cu smo rtrdo, che se l umero è qus proto, fccmo tempo d ggugere ltr pezzett, ed è propro quello che fccmo or, co u uov mssv d Cmllo dell ultm or: Itto m devo scusre per u po d esttezze ell m mssv precedete: lo zero o s cte co l qurtml e eppure col dcssette. Può cters co 9 umer dvers o credo d pù; l m ls è gut fo l Mess d prte l pgrz ho trovto u cte co 30 ell: 000, 98, 00, 90, 06, 94, 00, 88,, 80, 006, 9, 0, 8, 6, 40,, 7, 500, 3, 0, 8, 6006,, 6 e 84. Potr M come? l ho cott, soo 6 ell?!. Cmllo L evoluzosmo m f u bffo, qu gl ell mct soo 4 ltro che. Sì, però quest o è u cte è u coll, l prmo e l ultmo s cogugoo. È po possble flre ltr ell l suo tero, P. E fo 8, e rme sempre u coll. Beh llor spezzo l coll e fcco u cte ggugedo ell. P. Fo 30, m qul soo gl ell mct?. C. L soluzoe pg 46. Certo, l pg 46 l h ggut. S vede che che lu è u ppssoto d dlogh come l Cpo, e come tutt o u lettore dell Settm Egmstc: PAGINA 46, l cstro:...quaranta, MILLEDODICI, SETTANTATRE, DODICI... e po: ZERO, UNDICIMILAUNDICI... TRE, UNDICIMILA E co questo pssmo lle vostre soluzo de problem del mese. 4. [5] 4.. Il sgu dl PM d gosto Se fosse l Cpo complre quest rubrc, comcerebbe subto col dre che c è lmeo u perso che legge suo Prpherl: Frco57, ftt, s è ccorto dell esstez d u problem d rsolvere e l h rsolto. Gl pssmo semplcemete l prol, perché come spete sgu soo tutt dsegt, così o c servoo molte prole d descrzoe. 5

16 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 Iterpretdo ll letter due sfere soo tget (estermete) u ll ltr e soo etrmbe tget termete u sfer pù grde s h geerle che le sfere che formo l coll o soo ecessrmete pù pccole delle due sfere zl. Lo soo sempre però se cetr delle tre sfere d prtez soo llet, per cu m rrogo l drtto d ssumere quest potes, che è molto pù semplce. Le due sfere zl ho vertc A e B e curvture e b, l sfer pù grde (co l tgez ter) h cetro D e curvtur d. U sfer-perl (soo tutte ugul per evdet rgo d smmetr) h cetro C e curvtur c. Tglo sezoe per l po coteete A, B e C. Per semplctà d clcolo posso potzzre che l sfer grde bb rggo utro, tto quello che cerchmo soo solo le proporzo, qud, che possmo b che scrvere come b b. Vsto che ce l vete spttellt, utlzzo l formul d Soddy sulle -sfere per trovre l curvtur c. D otre che d e o, perché l tgez è ter. dvet ( ( ) ) b c ( b ( ) ) c ( b ) c ( ) b c b c e po ( b ) c b b b 0 c. Cosderdo che b b l prmo membro dvet c c c ( b ) c b ( b ) c b ( b b) ( b ) c ( b ) ( c ( b ) ) coè ottego c b. Il sempermetro p del trgolo ABC vle p AB AC BC c b c c e l re S vle qud 6

17 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 S p ( p AB)( p AC)( p BC) c c b c c b c c c b c c b b b c c b c Or determo l dstz d C dll sse AB, che è l ltezz CH d C sul lto AB el trgolo ABC. S Rcvo CH e scopro l dstz d u sfer-perl dll sse AB è l AB c doppo del rggo, come ell mpcchettmeto d 6 -sfere ttoro d u -sfer d ugule rggo: l coll è qud compost sempre d 6 perle sferche. Smo rmst sez prole. 4. [5] 4.. No m pce l MsterMd Sorpredetemete, l goco sembr fcle d descrvere, m o bbmo rcevuto qus essu soluzoe. Comcmo co l problem: Alberto e Fred ho scelto 6 umer dvers tr loro compres tr e 49, estrem clus. Il Cpo può fre delle potes, scegledo u sottoseme de umer e propoedol, VAdLdRM dro qut (o qul) soo quell gust. Qule strteg permette d dovre 6 umer co l mmo d tettv? Come detto, poch tervet, m come sempre teresst. Frco57 c scrve: Per quto rgurd quz del mese m soo u po crtto sul prmo ( No m pce l Mster Md ). Avevo pesto questo lgortmo: dvdo l seme due prt detche o co dfferez d (esempo 49 45), chedo qut soo su uo de due sem (e so qut ce e soo ell ltro). Applco rcorsvmete l lgortmo su due sem fo d u stuzoe certezz. Il metodo però o è ottmle come rchesto, d esempo forsce l mssmo 6 tettv per scoprre 3 su 8, metre bsto 5 domde. Co l metodo che ho pesto s dmostr che 6 umer su 49 s trovo l pù 5 domde. No sembr che s fclssmo vcere come ffermv l Cpo el testo co questo metodo, però e bbmo solo pù u ltro, quello d Fbrzo: D quel che rcordo s resce dvdure u elemeto tr elemet co u ordmeto totle log bsezo (rcerc dcotomc) e m pre che sez ulteror formzo su o s resc fre meglo. Così su due zmpe, dre che l strteg mglore per leggere el pesero d Pter, tu e Fred, s d pplcre u rcerc dcotomc modfct che esclude gl sem che per deduzoe o cotegoo lcuo degl elemet cerct. Vorre descrvere u lgortmo m m mogle preme per dre l mre ( ogg è l 0 gosto e o posso propro trrm detro ), qud fcco solo u esempo per cprc. Chedo: qut elemet c soo tr e 5? Se l rspost è 6 (oppure 0) llor escludo l seme [6, 49] (oppure [, 5]). Se vece l rspost è tr e 5 llor 7

18 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 devo rpetere l rcerc su etrmb gl sem [, 5] e [6, 49]. Rpeto qud procedmeto rcorsvmete. Cosderdo che 6 umer soo rbtrr e che l goco è bello qudo dur poco (e o s mmettoo replche), mettmo d prte le probbltà e lzzmo l mmo umero d tettv el cso peggore. Osservdo che log < log(/) l cso peggore s h qudo d og domd umer d cercre s dvdoo equmete tr sottosem; coè qudo ll prm domd qut elemet c soo tr e 5 l rspost è 3 e ll domd successv l rspost è oppure. Lo schem dell rcerc dovrebbe essere pù o meo l seguete: e, se o ho ftto mle cot, l umero d domde el cso peggore è 3 4 log6 log3 log 3 A so quest dovrebbe essere l strteg mglore m o e ho l dmostrzoe. Ioltre srebbe bello scrvere u formul geerle per N (umero d elemet d trovre) e. Or però l domd è: è meglo produrre dmostrzoe e formul o coservre l mogle? L rspost s deduce d questo puto ( seso ortogrfco) fle. Sull coservzoe dell mogle smo (ovvmete) tutt d ccordo, m spermo lo stesso ltr cotrbut... è stto gosto, or è settembre, mgr torte tutt l lvoro e c mdte ltr metod. 4.. Le probbltà che Alce... Alce e probbltà? Orrore! Ecco l problem, velocemete, che f mle solo prlre: Abbmo tre ure, due delle qul soo vuote metre l terz cotee 3N plle; dcheremo questo stto delle ure come { 0 ;0;3N }. Scopo d Alce è rrvre ll cofgurzoe { N ; N ; N } N mosse, spostdo però ll -esm moss esttmete plle d u ur d u ltr ur. Per qul vlor d N è possble? Qu è dt cor peggo che per l problem precedete. C h scrtto solo At, che è orm fmos per vere delle dee gel, m vsto che l ostro posto er lttte s è probblmete scorggt... ecco l suo prmo messggo: Se ho be cpto l problem dobbmo spostre N mosse delle sfere d u ur d ltre due zlmete vuote modo che ll fe delle N mosse tutte e 3 cotego N plle; però ell moss -esm dobbmo muovere plle (verso u sol ur). Oops metre scrvo m vee mee l dovello dell cpr-lupocvolo... Il testo del problem NON mpoe che s sposto le plle per u solo verso, ovvero s potrebbero mettere u ur d rrvo e po rmetterle quell d prtez e v così... qud l rgometo per cu m prev possble rsolvere l 8

19 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 goco solo x N er errto perché o cosderv l possbltà ppe espress... M prev troppo fcle... sete sempre u pocho cotort, vo 3... lmeo per le me cellule grge rruggte... No sppmo bee, come è evdete dll ffermzoe verssm sulle met cotorte, che o c è ete d rruggto, ftt At o demorde: Dopo ulteror rflesso e prove co excel m verrebbe d dre che è possble dsporre le sfere elle ure N mosse ecceter qudo l somm delle plle d spostre x og moss è multplo d 4, ovvero qudo N (N )/ è dell form 4 m. Questo perché così posso dsporre N plle ell prm ur, po N ell secod, toglere N dll secod o dll prm e rmetterle ell terz e fe rmettere N ell ur rmst vuot... Io o ho cpto bee se l metodo rspett le regole del problem, m o ho ltro d proporv proposto, spetterò ltro settembre. Ce l ho ftt, o m rest che ugurrv u buo mese e rsetrc d ottobre. 5. Quc & Drty I u pese tutt gl btt soo ldr. No s può cmmre per strd co degl oggett sez che vego rubt, e l uco modo per spedre qulcos sez che veg rubto d post è d rchuderlo u cssforte chus co u lucchetto. Ovuque l uc cos che o vee rubt è u cssforte chus co u lucchetto, metre s le cssefort perte, s lucchett vegoo rubt. All sct og btte rceve u cssforte ed u lucchetto d cu possede l uc cop dell chve. Og cssforte può essere chus che co pù lucchett m l chve o è cedble e o può essere portt fuor dll cs del propretro, perché verrebbe rubt durte l trsporto. No s può lcu modo fre u cop delle chv. Come può u btte d questo pese spedre l reglo d compleo d u propro mco? Spedsce l reglo l suo mco chudedo l cssforte col suo lucchetto. L mco c mette l propro lucchetto e glel rspedsce. Lu togle l suo lucchetto e rmd l cssforte, che or è chus solo dl lucchetto del suo mco che h l chve e qud può prrl. L cssforte (vuot) tor l legttmo propretro co lo stesso metodo. 6. Zugzwg! Come promesso, due goch, mprett tr d loro e (dcoo) co quello vsto l ltr volt; se cooscmo l ostro pollo (oto che come l estesore d queste ote, che srebbe Rudy) cercherà d lqudre l prmo goco ll svelt per prlre u muccho del secodo. 6. Alquerque L scccher, quest volt, è solo 5x5, m decsmete complct e, soprttutto, ffollt; ftt v servoo 4 pede (oss, per restre ell otzoe usule, due goch d dm ll tl); l tutto, v dsposto, per zo prtt, come dcto ell fgur. Pregs otre l smmetr bco/ero. Per quto rgurd l moss d og goctore, turo s muove u ped su u puto collegto 8 Prot? v! quello d prtez vt o d lto; l uco cso cu u ped può fre u moss 9

20 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 pù lug è qudo slt oltre u ped vversr, se l cs lle splle dell ped vversr è vuot. Nel cso dl puto d tterrggo s possble sltre u ltr ped (che drezoe dvers), sempre sotto l stess codzoe l cos è possble u sgol moss; comuque, qudo u ped vee sltt rsult elmt. Notte che che se l moss (sez pres) o può essere ll detro, ull vet d predere quell drezoe. Se u goctore può ctturre u ped vversr e o lo f, l vversro può soffre l ped. Perde ch o può pù muovere o o h pù pede. Pce poco? Beh, u certo seso h vuto u evoluzoe. 6. Foro Metre Frces ssedvo l cptle del Mdgscr, scerdot prtecpvo ll dfes gocdo Foro, e dll lto delle mur l reg e l popolo seguvo co mggor s le sort dell prtt (goct, secodo rt, per sscurre l vttor) che o le cruete zo de soldt J.L. Borges e A. Boy Csres, Rccot brev e strordr. Smo sempre stt btut dre pochssmo credto lle mmgfche vcede de rccot d Borges, m quest volt è tutto vero. Le truppe frces ero comdte dl geerle Je-Clude Duchese e l cptle del Mdgscr, Atrvo, cdde l prmo ottobre del 895; l reg s chmv Rvlo III, er mlferm d slute e d bss sttur; corot, spost forz l prmo mstro che e vev ll epoc 59, s ggrv per l plzzo rele costruto vet prm dll superstzos reg Rsoher: essu prte del plzzo comprvo serrture, mgle o msure cu comprssero umer se o otto. D Rvlo, sppmo che morì eslo d Alger, el 97, 56. L uc su fotogrf l mostr come be proporzot, e o pre d bss sttur: l volto è molto trste, m bello. Vemo l goco. L scccher rcord quell dell Alquerque, che se pù lrg, u dsego leggermete dverso e co u dsposzoe delle pede u po str: l trovte fgur. Per quto rgurd le pede, quest volt s v ll grde: ve e servoo vetdue per tpo, qud sccheggte le dme degl mc. Per quto rgurd l movmeto, l ped muove d dove s trov d u puto collegto quello d prtez ( psso sgolo, qud). 9 Prot? v! Per le prese, dmo sul complcto: tto per comcre, se vete u ped vversr o pù d u ell drezoe cu l pezzo h ppe mosso, potete ctturrle tutte per vvcmeto; ello stesso modo, se l csell che vete lscto vev, dcet, ell drezoe oppost quell del vostro movmeto, u o pù pede vversre, queste vegoo ctturte per rtrt; se soo possbl etrmbe le ctture, l goctore d turo scegle qule esegure. Durte l prm moss del goco d prte d etrmb goctor s può effetture u sol pres (che d pù pede), m elle mosse successve soo mmesse le prese Gpolo Dosse, evdetemete. Come bbmo gà detto, o smo sempre scur che l suo rpercorrere seter borges c pcc, m questo cso c pre decsmete cro. 0

21 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 multple, sotto l regol che tr u pres e l ltr dovete cmbre drezoe, dovete usre sempre l stess ped per le ctture ed è vetto torre ell csell d orge o su cselle precedetemete occupte durte l pres multpl. L prm cttur d u moss è obblgtor e se potedo predere u ped o lo f vee sofft: le evetul prese multple successve dell stess moss soo, vece, fcolttve. Vce ch cttur tutte le pede vversre o mette l vversro codzoe d o muovere; cso d rcooscut mpossbltà d prte d etrmb goctor d rggugere quest obettv, l prtt è ptt. E, s qu, l goco. Or, o bbmo l rcordo, proveete d Dosse o d Borges (l memor c fll), el qule l goco vee dchrto ooso e rpettvo, meo che s ggugo ulteror regole prtcolrmete complesse (stmo ddo memor, qud l form er scurmete dvers: l coteuto, comuque, er quello). No o smo ssolutmete d ccordo: d esempo, vo rsulto ltr goch cu s possble l pres per rtrt? Ache ello Zugzwg! cu bbmo trttto Ultm 3 l vetore Robert Abbott sosteev d ver pplcto tutt metod d pres cocepbl, m (smo dt cotrollre), quest o c tor propro. Il che, dovrebbe bstre defrlo goco orgle e teresste. Provte, e ftec spere. 7. Pg 46 ) Dlle due dettà: ; s rcv: Prtedo d queste espresso s rcv che:, RM088, mggo 006

22 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 e procededo ello stesso modo l teorem rsult dmostrto per tutt umer dell form m,m N. Assummo or vldo l teorem per N e mostrmoe l vldtà per, oss mostrmo che se è:, [] llor deve essere:. All uopo, sosttumo ell []: ; s h llor:, d cu cocludmo che. S verfc fclmete che l uguglz vle solo se tutt gl soo ugul tr loro. ) Provmo l dseguglz per due umer, oss provmo che:. []

23 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 3 Per l cso, l relzoe s verfc fclmete cosderdo che l med geometrc o è m mggore dell med rtmetc 4. Suppomo or l relzoe vlg per u geerco ; bbmo: ( )( ), 4 4 < d cu segue che l dseguglz vle per e qud, per duzoe, per qulss turle postvo. L prte restte dell dmostrzoe segue dll prm prte d questo problem. 4 Come sempre, l uguglz vle el cso due umer so ugul tr loro.

24 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 8. Prpherl Mthemtc 8. I Teorem delle Toslle U volt tto, prm v speghmo l ttolo. L uc ssez scolstc superore due gor che Rudy rcord è u ter settm, verso l secod elemetre, per l sportzoe delle toslle: l eveto (l ssez, o l operzoe) fu per lu tlmete trumtco che, per lugo tempo, qudo qulcuo ctv qulcos che vrebbe dovuto cooscere m o spev, l frse che seguv mmedtmete l suo sgurdo perplesso er l vro spegt qudo ho ftto le toslle : l cos ll lug è etrt el lessco fmlre, e cor ogg per dre o, o lo spevo l Nostro us quest frse. Qud, se ve l sette dre, o fte l fcc stupt e mostrte compresoe. Recetemete Rudy h trovto u sere d teorem d geometr che, per l loro elegz, c pre mpossble so gort d vr progrmm scolstc: d cu se e deduce che devoo verl spegt propro que gor, d cu l ttolo. U cos che c h sempre lscto perpless è che così tt teorem d geometr s occupo d trgol: o, dco, m e gl ltr polgo? Forse l cos sce dll possbltà comuque d dvdere u polgoo u sere d trgol e qud le cose vo come ell brzellett dell cedo l Dprtmeto d Mtemtc 5. Frcmete l cos h rgguto u lvello qus ptologco: se volete scrcrv qus seml pge d teorem delle Toslle su trgol, bst fre u slto sul Forum Geometrcorum 6. V detto che uso u lguggo molto speclstco, e og tto scoo de problem el cpre d cos sto prldo; fortutmete, c vee uto uo de st pù tch dell ostr frequetzoe del web: l Eccloped de Cetr de Trgol 7 forsce u vldo uto, o solo, m essedo etrmbe glese, che evetul problem d trduzoe soo brlltemete bypsst. Abbmo slvto 8 u cop dell pg locle orm u dec d f, e suo 380 put otevol ctlogt ho soddsftto mpmete le ostre ecesstà quest. I occsoe dell stesur d queste ote, bbmo ftto u ccesso ll pg orgle, scopredo che put otevol soo dvett pù d 300. A prte l scott bttut che orm u trgolo soo pù put otevol che quell sgfct, l che rede quest ultm otevol, Rudy s chede se l trgolo pù scleo d tutt s quello el qule esste l mssm dfferezzoe tr put: v bee che lcu soo cocdet tr d loro qulss trgolo, m dovrebbe esserc u dscreto ffollmeto. Per prm cos dsegmolo, l trgolo: u smptc covezoe vuole che l lto s opposto ll golo A, l lto b ll golo B e l lto c ll golo C; qud, AB s chm c e vt questo modo. Sempre per covezoe (qutomeo sull eccloped) A,B e C s ttrbuscoo vr gol seso torro 9. 5 Ve l bbmo gà rccott, e o l rpetmo. Se o ve l rcordte, chedete. 6 No soo tutt su trgol, m (come s dcev qulche tempo f) quest rppreseto u mggorz bulgr. Vle l vggo, per qulche or. 7 Verso l qule utrmo u ffetto smsurto: el 00, mometo de ostr prm ccess, ctlogv 38 put otevol u trgolo, e vet mut l ostr ferrgl scrcv l pg. Leggete l seguto, po fte u gro 8 Su Chodo, l fedele porttle che quegl h sosttuto Gry Wderer. C ccorgmo colpevolmete solo or d o verv m rccotto ull d quest due vldssm collbortor. 9 Smo scur d verv gà detto u problem che frces o pce l egtvtà mplct del terme torro : preferscoo (e pce che o) l terme ses trgoométrque. 4

25 Rud Mthemtc Numero 5 Settembre 0 Prldo d trgol e d put otevol, l prmo problem sce d come descrvere l poszoe d u puto: dre che l cetro è l puto d cotro delle bsettrc del trgolo o è comodssmo, vorremmo qulcos che somgl delle coordte e possblmete che s vldo per qulss trgolo: u cocetto del geere esste, z e esstoo due (...e t prev...). Quelle o pù smptche e che scurmete ho spegto metre fcevmo le toslle, soo le coordte trler: dto l puto P, predete le dstze del puto d oguo de lt e moltplctele (o dvdetele, come preferte) tutte per uo stesso vlore: bee, quelle soo le coordte trler del puto, e pù scft d vo, quel moltplctele vro rcooscuto l ftto che soo coordte omogeee. Dcevmo che metod soo due: el secodo, vece d trre delle rghe dl puto P fo lt, le trte fo gl gol, e po predete le ree de trgol PBC, PCA e PAB ; stesso trttmeto precedete (che queste soo omogeee) e otteete le coordte brcetrche del trgolo. I due sstem soo pù sml d quto sembr: ftt, se u puto h coordte trler ( x : y : z ), llor le sue coordte brcetrche soo ( x : by : cz ). Approfttmo del vostro sospro d sollevo per serre qulche complczoe: tto per comcre, s le dstze s le ree dovete prederle co sego; secodrmete, scr test, pù che d moltplczoe e d dvsoe, prlo d geerche fuzo. Tormo put otevol: qulcuo dovreste cooscerlo, e pprofttmo del veloce rpsso per fmlrzzrc co sstem d coordte. Trovte qu d seguto l tbell reltv: lcu ho defzo doppe, qud mettmo l ostr prefert ell certezz d sctere le re de sostetor dell ltr. Cetro Defzoe Trler Brcetrche Icetro Cetro del cercho tgete lt Brcetro Puto d cotro delle mede Crcocetro Cetro del cercho psste per vertc Ortocetro Puto d cotro delle ltezze : : : b : c bc : c : b : : cos A : cos B : cosc sec A : sec B : secc s A : s B : s C t A : t B : tc E se dte gurdrv le prme due, dovrebbe essere bbstz evdete l motvo per cu s soo scelt due dvers sstem d coordte. Esste u problem (brutto, m è u clssco) che tr bllo le coordte trler: messo modo brutle, è semplcemete: Trovre l lto del trgolo equltero che cotee u puto P vete coordte 3 : 4 : 5. No u mervgl, tt è che ve lo rovmo: bst rsolvere l equzoe ( b c d ) ( b c d ). Che secodo o è bellssm, e dcmo solo tre cose:. A o rcord molto l formul d Soddy (quell de cerch mutumete tget): secodo vo c è u relzoe?. Abbmo trovto l formul, m o cooscmo l dmostrzoe: qulcuo vuole provrc? 3. Il prmo che chede...m devo rsolvere, b, c o d? gl trmo l ccello (quello peste) test. 5