ESERCIZI SULLE CURVE

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1 ESERCIZI SULLE CURVE E.M. & N.P. May 9,. Scrivere le equazioni parametriche della curva con sostegno il segmento di estremi P(,, e P(-,,7 x y z + t 7 x(t + 5t y(t t, tɛ[, ] z(t + 4t γ (t ( 5t, t, + 4t, tɛ[, ] + t 5 4. Scrivere una parametrizzazione dell'arco del I, II e IV quadrante avente estremi A(,- e B(-,. Abbiamo un arco di circonferenza che possiamo parametrizzare partendo da B no ad arrivare ad A ( Il raggio è γ (t (cost, sint, tɛ[ π, π]. Scrivere una parametrizzazione regolare a tratti del triangolo di vertici A(, B(, e C(,. (dopo aver disprezzato le mie doti di disegno il triangolo lo saprete fare anche voi tiè Parametrizziamo segmento per segmento

2 ( ( x γ a y γ a (t (, t, tɛ[, ] [( + t ( ] ( ( + t Passiamo alla parametrizzazione del secondo segmento ( ( x γb y [( + t γ b (t ( t, t, tɛ[, ] ( ] ( ( + t Sappiamo però che dobbiamo operare una traslazione temporale in modo che l'intervallo di t della seconda curva INIZI dalla FINE dell'intervallo della curva precedente t t + Trasformiamo tutto in t γ b (t ( t, t, t ɛ[, ] Parametrizziamo il terzo e ultimo segmento ( ( [( ( ] ( x γc + t y ( + t γ c (t (t,, tɛ[, ] Come prima dobbiamo traslare la variabile. Stavolta devo partire da. t t + γ c (t (t,, t ɛ[, ] Scriviamo tutto insieme γ (t (, t tɛ[, ] ( t, t tɛ[, ] (t, tɛ[, ]

3 4. Calcolare la lunghezza della curva γ (t (t, t, + t, tɛ[, ] Devo prima sincerarmi che la curva sia regolare: γ (t (, t, t t Regolare. Calcolo la norma γ (t + 4t + 4t 4 (t + t + l( γ a γ (t dt [ ] (t + dt t + t Calcolare la lunghezza della curva γ (t (t, log( t, tɛ[, ] γ (t (, t t t γ (t + 4t +t ( t 4 t +4t +t ( t 4 +t ( t (+t ( t +t t l( γ a γ (t dt / [ ( ] / t + ln +t t / / ( +t t dt / / ( + t + +t + ln ( ln ( + ln( dt [ t ln( t + ln( + t]/ / 6. Calcolare la lunghezza della curva γ (t (t, t, tɛ[, ] Se provate a fare i conti arrivate alla ne solo ad allora vi accorgete di un ENORME bastardata che ho messo. Notate come per valori di t negativi siamo fuori dal dominio della curva ( non esiste in campo reale t^(/ con t negativo. Questo era per farvi vedere come anche le curve, essendo funzioni, hanno un dominio, e ci si aspetta che l'intervallo proposto ci cada dentro. In ogni caso una situazione così strana non vi capiterà mai, ma se dovessero capitarvi (come in questo caso integrali che non sono deniti per i valori dati, allora questa è una possibile causa (supposta vericata la regolarità. Per farvi vedere comunque una soluzione cambiamo l'intervallo in [,/]

4 γ (t (, t/ t γ (t t l( γ a γ (t dt / 4 9 [ (+ 9 4 t/ / ] / / 8 7 ( ( tdt 4 / tdt 4 / ( t / dt 7. Calcolare la lunghezza della curva γ (t (t,, tɛ[, ] RIGA MESSA PER SBAGLIO Calcolare i seguenti integrali curvilinei fds : γ 8. f(x, y, z x + y z + γ (t (t, t, t +,tɛ[, ] Verrichiamo come al solito la regolarità della curva: γ (t (t,, t Regolare. C'è da vericare inoltre che il dominio della funzione contenga il sostegno della curva domf R (x, y t γ (t 4t t a f( γ (t γ (t dt (t + t (t t dt (4t 4t 4t t dt 4t 5 + 4t dt 8t 5 + 4t dt [ ] 8t (5 + 4t / dt (5+4t [ ] / /

5 9. f(x, y y γ (t (sint, cost,tɛ[, π] γ (t (cost, sint t[non esiste t che annulla contemporaneamente seno e coseno] domf Γ? y y cost, ok t γ (t cos t + sin t a f( γ (t γ (t dt π [ cost] π cos t dt π sin t dt π sint dt. f(x, y y γ (t (t, e t,tɛ[, log] γ (t (, e t t domf Γ? Si perchè il dominio è tutto R γ (t + e t a f( γ (t γ (t dt ln e t + e t dt ln e t + e t dt 5

6 ln e t ( + e t / dt [ ] (+e t / ln / [ 5 5 ]. f(x, y x γ (t (t, tlogt,tɛ[, π] γ (t (, logt + t domf Γ? x t NO!! t è contenuto in [,π]! L'integrale non può essere risolto!. f(x, y xy dove la curva è una parametrizzazione del quarto di ellisse del I quadrante di semiassi a e b centrata nell'origine. Dobbiamo parametrizzare l'ellisse solo che invece di prenderla tutta dobbiamo prenderla no all'angolo π γ (t (acost, bsint,tɛ[, π ] γ (t ( asint, bcost t domf Γ? Si perchè il dominio è tutto R γ (t a sin t + b cos t 6

7 a f( γ (t γ (t dt abcostsint a π sin t + b cos tdt π abcostsint a sin t + b ( sin tdt abcostsint b π + (a b sin π ab tdt (a b (a b costsint b + (a b sin tdt ab (a b ab (a b [ ] (b +(a b sin t / π/ [ a b ] ab(a b (a b ab(a b(a +ab+b (a b(a+b ab(a +ab+b (a+b /. f(x, y, z x + y dove la curva è una parametrizzazione del segmento di estremi A(,-. e B(,, Parametrizziamo al solito il segmento: x y + t z + t γ (t ( t, + t, t, tɛ[, ] γ (t (,, t domf Γ? Si perchè il dominio è tutto R γ (t a f( γ (t γ (t dt (( t + (t 6dt (t 6dt 6 (t dt [ ] 6 (t 6 Calcolare il baricentro delle seguenti curve omogenee (N.B. OMOGENEO 7

8 densità costante: µdensità 4. γ (t ( + t, 4t,tɛ[, ] γ (t (, 4 t γ (t Calcolo la MASSA della curva m γ µ a µ( γ (t γ (t dt Quando la densità è costante non dipende dalla curva m µ γ (t dt µ 7dt µ 7 Adesso calcoliamo coordinate centro di massa (xcm,ycm x CM m γ µx b m a µ( γ (t x(t γ (t dt Con densità costante x CM m µ ( + t 7dt [ ] µ 7 µ t + t 7 y CM m γ µy b m a µ( γ (t y(t γ (t dt Con densità costante y CM m µ 4t 7dt [ ] µ 7 µ 4 t 7 x CM (, 8

9 5. γ (t (cost, sint,tɛ[, π/] γ (t ( sint, cost t γ (t sin t + cos t Calcolo la MASSA della curva m π/ µ γ (t dt π µdt µ π Adesso calcoliamo coordinate centro di massa (xcm,ycm x CM m a µ( γ (t x(t γ (t dt π/ m µ costdt µ µ π [sint] π/ π y CM m x CM ( π, π a µ( γ (t y(t γ (t dt π/ m µ sintdt µ µ π [ cost] π/ π 6. γ (t ( + t, 4t, t,tɛ[, ] γ (t (, 4, t γ (t Calcolo la MASSA della curva m µ γ (t dt µ 6dt µ 6 Adesso calcoliamo coordinate centro di massa (xcm,ycm,zcm 9

10 x CM m y CM m z CM m x CM (,, a µ( γ (t x(t [ ] γ (t dt m µ (+t 6dt µ 6 µ t + t 6 a µ( γ (t y(t [ ] γ (t dt m µ 4tdt µ 6 µ 4 t 6 a µ( γ (t z(t [ ] γ (t dt m µ tdt µ 6 µ t 6 7. γ (t (cost, sint, 4t,tɛ[, π] γ (t ( sint, cost, 4 t γ (t 9sin t + 9cos t Calcolo la MASSA della curva m π µ γ (t dt π µ5dt µ5 Adesso calcoliamo coordinate centro di massa (xcm,ycm,zcm x CM m a µ( γ (t x(t γ (t dt m π µ5 µ cost 5dt µ5 [sint]π y CM m z CM m a µ( γ (t y(t γ (t dt m a µ( γ (t z(t γ (t dt m π µ5 µ sint 5dt µ5 [ cost]π 6 [ ] π π µ5 µ 4t 5dt µ5 4 t π

11 x CM (, 6, π Calcolare le rette tangenti (esprimerle in forma cartesiana alle curve nei punti assegnati: 8. γ (t (cost, t,tɛ[, ], P (,. Calcoliamo t tale che γ (t P { cost t t. Calcoliamo γ (t γ (t ( sint, γ (t (,. Usiamo la formula ( x y P + γ (t (t t ( x y ( ( + t { x y t eq. parametriche 4. Trovo eq. cartesiana risolvendo il sistema (eliminando dipendenza dal tempo In questo caso è banalmente x

12 9. γ (t (e t, t + t,tɛ[, ], P (,. Calcoliamo t tale che γ (t P { e t t + t N on esiste t che soddisfa il sistema il punto non sta sulla curva. γ (t (log( t, t t,tɛ[, ], P (,. Calcoliamo t tale che γ (t P { log( t t t t. Calcoliamo γ (t γ (t ( t, t γ (t (,. Usiamo la formula ( x y P + γ (t (t t ( x y ( ( + t { x t y t eq. parametriche 4. Trovo eq. cartesiana risolvendo il sistema (eliminando dipendenza dal tempo

13 y x. γ (t (t, t, t,tɛ[, ], P (,,. Calcoliamo t tale che γ (t P t t t t. Calcoliamo γ (t γ (t (, t, t 4 γ (t (,,. Usiamo la formula x y z P + γ (t (t t x y z x + t t y + (t z (t + (t eq. parametriche 4. Trovo eq. cartesiana risolvendo il sistema (eliminando dipendenza dal tempo [In tre dimensioni abbiamo bisogno di DUE eq. cartesiane

14 { y + (x z (x γ (t Calcolare le ascisse curvilinee delle seguenti curve a partire dai t assegnati:. γ (t ( +t, t +t,tɛ[, ],t γ (t ( 4t (+t, (t (+t { 4t (+t { t (t (t (+t Regolare Non esistono soluzioni in t γ (t +t 6t (+t + 4(t 4 (+t 4 6t +4t t 4t (+t 4 +8t +4 4 (+t (t + 4 (t + 4 Calcoliamo s(t s(t t t γ (t dt t +t dt [arctan(t] t arctan(t. γ (t (t, t, t,tɛ[, ],t γ (t (, t, t t γ (t 4 + 4t + t 4 (t + t + Calcoliamo s(t s(t t t γ (t dt t (t + dt [ t + t]t t + t 4

15 4. γ (t (acost, asint,tɛ[, π],t γ (t ( asint, acost t γ (t a sin t + a cos t a a Calcoliamo s(t s(t t t γ (t dt t adt at APPLICAZIONE PRATICA DELL'ASCISSA CURVILINEA L'ascissa curvilinea entra in gioco quando si vogliono fare le cosiddette riparametrizzazioni a velocità unitaria. Come sappiamo se intendessimo una curva come una posizione nel tempo, allora la norma della derivata della curva può essere intesa come il modulo della velocità (se essa è costante nel tempo. L'ascissa curvilinea denisce dunque una riparametrizzazione della curva nella quale la norma della sua derivata viene unitaria. Consideriamo gli esercizi e 4 (per il è complesso denire una funzione inversa.. Possiamo denire a partire da s(t arctan(t t tan( s Per riparametrizzare la curva semplicemente sostituiamo a t l'espressione trovata γ (t ( +tan ( s, tan( s +tan ( s, sɛ [ π, ] π Derivando troviamo γ (t ( sin(s, cos(s 5

16 γ (t. s(t at t s a ( γ (t (acos s ( a, asin s a, sɛ[, a π] Derivando γ (t ( sin ( s a, cos( s a γ (t I concetti di curve a velocità costante sono poi di grande utilizzo in geometria dierenziale delle curve e una parametrizzazione del genere permette successivamente di caratterizzare tali curve coi concetti di curvatura e torsione che solo i nostri amici matematici si dedicano a studiare ; 6