L intelligenza visiva Lezione di azzeramento: introduzione alla geometria analitica

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1 L intelligena visiva Leione di aeamento: intoduione alla geometia analitica Albeto Boghese Univesità degli Studi di Milano Laboatoio di Motion Analsis and Vitual Realit (MAVR) Dipatimento di Sciene dell Infomaione Lucidi in pate tatti dalla pagina WEB: Del pof. D. Maini /64 Desciione analitica di fome geometiche Desciione paametica (e.g. Quadiche, spline), appesentaione sotto foma di funioni. Mesh, desciione pe punti. Insieme di punti + connettività (e.g. VRML) /64

2 Geometia Analitica Le coodinate dei paameti e dei punti sono espesse in un popio sistema di ifeimento (faemo ifeimento alle mesh pe semplicità). i veticidell oggetto sono definiti ispetto a un oientamento popio e natuale un oggetto complesso può essee decomposto in elementi più semplici col popio ifeimento locale e in seguito assemblato aggagando oggetti elementai. e collocae coettamente nello spaio un oggetto siapplicano le tasfomaioni che cambiano il ifeimento locale. Desciione analitica di fome geometiche semplici e della loo tasfomaione geometica (anche poiettiva). 3/64 Spai vettoiali (definiione) I) Uno spaio vettoiale W è un guppo additivo ispetto all addiione sse: E definita l addiione: w +. opietà: commutativa, associativa. Esistena: dello eo e dell opposto. II) E definita l opeaione di moltiplicaione numeica pe uno scalae: λ λ opietà: distibutiva ispetto alla somma ed associativa. Esistena: dell elemento neuto. 4/64

3 Base di uno spaio vettoiale α( u + v) αu + αv lineaità α u + α u α u n n w combinaione lineae α u + α alloa( u,..., u u α u n ) sono lineamenteindipendenti n èla dimensione dellospaio,( u,..., u n n seα α.. α n n )è la base dellospaio 5/64 Spai Hilbetiani Viene definito il podotto inteno ed associato alla noma di un vettoe ed alla metica associata allo spaio. cos(θ) opietà commutativa: Annullamento del podotto: sse Funione lineae del pimo fattoe e vale la popietà associativa: (λ) λ( ) ( + ) + Lo scalae λ può essee inteso come coodinata lungo un asse ( è un vesoe in questo caso). 6/64

4 odotto scalae, significato geometico Dalla λ() λ() con vesoe di, segue che: oieione otogonale di un segmento su un alto. V Vd V α U U d U Calcolo il podotto scalae in questo modo: S U V UV ( d U d ) S UV (d d + d d + d d ) U UV cos( α ) V U V W cosα V W V V U V Il coseno dell angolo ta segmenti è il podotto scalae nomaliato. 7/64 Spai Hilbetiani e base dello spaio Viene definito il podotto inteno ed associato alla noma di un vettoe e alla metica associata allo spaio. ( n u,..., u ) è la base dello spaio Se vale la elaione: u i u j i j Le basi sono otogonali (spai Euclidei) Sotto queste ipotesi, il calcolo vettoiale in uno spaio vettoiale W, qualsiasi, si effettua (pe quanto concene l addiione e la moltiplicaione numeica), con le stesse egole fomali del calcolo vettoiale nel piano o nello spaio 3D Euclideo. 8/64

5 Vettoi Sono identificati da punti: e Q. Sono caatteiati da modulo (distana ta e Q), oientamento e veso. Vettoe ( O) in osso. Spaio vettoiale. I vesoi: i, j, k sono i vettoidi lunghea unitaia che individuano gli assicatesiani, sono otogonali, e fomano una tena di vettoi otonomali, una base otogonale (otonomale) dello spaio catesiano. 9/64 La appesentaione analitica di un punto Spai Euclidei sono spai di Hilbet: viene definita una metica, una k noma ed il podotto inteno. (,,) i i(,,) j(,,) j k ( -O) [ i+ j + k ] /64

6 opietà del segno del podotto scalae se V.W > l angolo α è: 9 < α < 9 se V.W l angolo α è: 9 o 9 se V.W < l angolo α è: 9 < α < 7 il podotto scalae sipuò quindi usae pe valutae l oientamento di segmenti. Il podotto scalae è nullo se i segmenti sono otogonali (condiione di pependicolaità) NB cos(α) cos(-α) Condiione di otogonalità: /56 odotto vettoe (coss poduct) W UV i detu V j U V k U V ( U V U V ) ( U V U V ) ( U V U V ) Il isultato è un vettoe a sua volta. U i V j W UV ( ) ( ) ( ) [ ] k (,,) /56

7 odotto vettoe (significato geometico) W UV W U V α Vettoe nomale al piano identificato da U e V W U V α) α ) ( UV) /( U V ) Il podotto vettoe è nullo se i segmenti sono paalleli Il senso è coeente con la egola della mano desta 3/56 odotto vettoe (significato geometico) W UV (UV) d i (,,) j (,,) k (,,) V v i + v j + v k U u i + u j+ u k W (v u v u ) i + (v u v u ) j + (v u v u ) k 3 U d V W 3 U V α 3 4/56 il podotto vettoe (coss poduct) si può espimee con i vesoi (icodiamo che la somma di due vettoi è un vettoe).

8 A αa C Matici T [ a i, j ] A [ a j,i ] [ α a i, j ] C A + B [ a i, j + b i, j ] n AB [ c i, j ] dove [ c i, j ] a i, kb k, j k odotto degli elementi di una iga pe gli elementi di una colonna. Se A (n m) B (m p) A 3 4 B 3 7 C 3 > 7 3 5/56 Matici (opietà) La somma è associativa e commutativa (A + B) + C (A + (B + C). Il podotto è associativo ispetto alla somma ma non commutativo (A+B)C AC + BC. AB BA [ a ] I pe i j i, j altimenti matice identità AI A IA u T vettoe come matice colonna : u u Segue le egole del podotto maticiale u podotto vettoe matice : v u T M 6/56

9 Desciione analitica di fome geometiche semplici 7/56 Y Lo spaio Euclideo Z X Lo spaio può essee oientato in due modi: mano desta: avvolgete la mano all asse e puntate il pollice veso di voi, viene a desta e va veso l alto (tena destosa). mano sinista: avvolgete la mano all asse e puntate il pollice veso di voi, viene a sinista e va veso l alto. Questo definisce il wold coodinate sstem in cui sono definiti gli oggetti. 8/56

10 Le coodinate polai cos(θ) OH θ) H θ H (,θ) sono le coodinate polai. 9/56 Rette oientate nel piano β. o. α - o (X,Y) X + cos( α) Y + cos( β ) Y o o o + cos( 9 α ) Y o + α ) cos α+sin α cos α+cos β Relaione di otogonalità -> paameto libeo (coefficiente angolae tg(α)) /56

11 Rette oientate (coseni diettoi) AB cos( α) cos( β) cos( γ) /56 X B(X,Y,Z) Y [( B A) i ]/ ( B A) BA / BA [( B A) j] / ( B A) BA / BA [( B A) k] / ( B A) BA / BA Z o o o + cos( α) + cos( β) + cos( γ) Rette oientate (coseni diettoi) Vale la elaione: cos α+cos β +cos γ elaione di otogonalità -> paameti La etta nello spaio è identificata da 5 paameti indipendenti. /56

12 s θ α Angolo ta ette oientate β Coseni diettoi di s: s, s ; angolo β. Coseni diettoi di :,. ; angolo α. β θ + α cos(θ) cos(β α) cos(α)cos(β) +α)β) s + s cos(θ) s s + s + s (podotto scalae dei vesoi delle due ette) Condiione di paallelismo: cos(θ) s, s, s Condiione pependicolaità: cos(θ) s + s + s (podotto scalae nullo) 3/56 I piani nello spaio coseni diettoi: [cos(α), cos(β), cos(γ)] π : cos(α) + cos(β) + cos(γ) d. 4/56

13 Rappesentaione di fome semplici Definiione di una base (vettoiale) pe lo spaio Euclideo. Desciione degli elementi geometici in questo spaio mediante numei che specificano una posiione o una dieione. 5/56 Tasfomaioni Tasfomo in Cambia il sistema di ifeimento Cambia la posiione del punto 6/56

14 Coodinate omogenee Spaio delle classi di equivalena: ogni punto in coodinate cateiane 3D coisponde a infiniti punti nello spaio omogeneo 4D che diffeiscono solo pe un fattoe moltiplicativo w: V (,, ) coispond e a : V ( X, Y, Z, w) Il passaggio ta lo spaio omogeneo e lo spaio 3D: 7/56 X /w Y /w Z /w solitamente si sceglie w w identifica il punto all sulla etta pe l oigine, passante pe V. I coseni diettoi saanno / V, / V, / V. Tasfomaioni affini appesentate con matici più tasfomaioni possono essee combinate moltiplicando ta loo le maticiche appesentano ciascuna tasfomaione loo, ceando una sola tasfomaione maticiale. una tasfomaione siottiene in geneale combinando tasfomaioni di diveso tipo: otaioni, scala, shea e taslaione. 8/64

15 Tasfomaioni affini (II) Taslaione tutti i punti si spostano della stessa quantità (vettoe spostamento). Di solito si considea la taslaione del baicento. Rotaione tutti i punti lungo una etta chiamata asse non si spostano. Gli alti punti descivono ciconfeene pependicolai all asse. Scala vaiaione della dimensione lungo un asse. 9/64 Tasfomae gli oggetti i vetici dell oggetto vengono tasfomati (le loo coodinate modificate) denotiamo i vetici (punti) come vettoe colonna V. R, D e S sono otaione, taslaione e scala Il punto tasfomato si ottiene come: V V+D taslaione, D è un vettoe ditaslaione V SV scala, S è una matice discala V RV otaione, R è una matice di otaione 3/64

16 Taslaione in coodinate omogenee Vengono espesse come tasfomaioni nello spaio di coodinate omogenee 4D come podotto ta matici. Taslaione T T T T T T V ' TV T ' ( T ) ( ) ( ) ' T ' T w' ( ) cood. omogenee 3/64 t '/ w' ( + T ) / + T t '/ w' ( + T ) / + T t ' /w' ( + T )/ + T cood. catesiane Scala S S S S S S V ' SV S ' ' ' w' (. S ) s '/w' (.S )/ ( +. S + + ) ( + +. S + ) ( ) cood. omogenee s '/w' (.S )/ s '/w' (.S )/ cood. catesiane 3/64

17 La otaione Ammette appesentaioni divese. 33/64 La otaione attono a (caso piano) ρ. (, ) α ρ cosα ρ sinα (, ) θ α (,) ρ cos(α+θ) ρ cos α cos θ + ρ sin α sin θ ρ.. cos θ + sin θ ρ α+θ) ρ cos α sin θ + ρ sin α cos θ sin θ + cos θ 34/64

18 La otaione attono a (foma maticiale) cosϑ sin ϑ sin ϑ cosϑ R ρ. (, ) θ. α (,) 3 i 3 i m ij m m ij jk i k Matice di otaione det(m) Matice otonomale 35/64 Significato geometico della matice di otaione Consideiamo che il punto -> sia un punto appatenente all asse, (,) e che appatenga ad un asse, ottenuto uotando il sistema di ifeimento in, di un angolo -θ. Supponiamo che. M cosϑ sin ϑ sinϑ cosϑ ' ' θ (,). Matice di otaione ' ' M contiene la poieione degli assi del sistema di ifeimento sugli assi di. 36/64

19 Significato geometico della matice di otaione Consideiamo che il punto -> sia un punto appatenente all asse, (,) e che appatenga ad un asse, ottenuto uotando il sistema di ifeimento in di un angolo -θ. Supponiamo che (,) cosϑ sin ϑ M sinϑ cosϑ ' ' ' ' M contiene la poieione degli assi (dei vesoi) del sistema di ifeimento sugli assi di. Esempio: θ. (,) cos(-θ) cos(-θ) cos[-(9+θ)] θ) Si può estendee a punto che non giacciano su uno dei due assi coodinati. 37/64 Rotaione attono a (coodinate omogenee) V' R cosθ sinθ V sinθ cosθ ' ' ' w' (.cos θ +.sin θ + + ) (.sin θ +.cos θ + + ) ( ) ( ) cood. omogenee R R R ' / w' (.cos θ+.sin θ)/ ' / w' (.sin θ +.cos θ) / ' / w' (.) / cood. catesiane 38/64

20 Oientamento di un copo igido nello spaio Te paameti: te otaioni indipendenti. 39/64 Angoli di oientamento nello spaio 3D Modo geneale: oll, pitch, e aw. (ω, φ, : ollio, beccheggio e deiva. Sono 3 otaioni sequeniali, non commutative. 4/64

21 Rotaione attono ad un singolo asse Modo geneale: oll, pitch, e aw. (ω, φ, : ollio, beccheggio e deiva. R ω cos ω sin ω sin ω cos ω R φ cos φ sin φ sin φ cos φ R κ cos k sin k sin k cos k 4/64 Rotaioni sequeniali (non vale la popietà commutativa) R R ω R φ R κ Ciascuna otaione avviene su uno dei piani coodinati. 4/64

22 I) Rotaione attono all asse (oll) 'cosω+ ' sinω ' sinω+ 'cosω 43/64 II) Rotaione attono all asse (pitch) cosφ + sin φ + sin φ cosφ 'cosφ+ ( 'sinω+ ' cosω)sinφ ' cosω+ 'sinω 'sinφ+ ( ' sinω+ 'cosω)cosφ 44/64

23 III) Rotaione attono all asse (aw) cosk + sink + sink cosk 3 3 ['cos φ + ( 'sin ω + 'cos ω)sin φ]cos k + ['cos ω + 'sin ω]sin k ['cos φ + ( 'sin ω + 'cos ω)sin φ]sin k + ['cos ω + 'sin ω]cos k 'sin φ + ( 'sin ω + 'cos ω)cos φ 3 45/64 Dalle otaioni alla matice di otaione Come è legata R alle te otaioni indipendenti? R cos( ϕ)cos( cos( w) w) ϕ)cos( w) + cos( w) ϕ)cos( cos( ϕ) cos( w)cos( + w) ϕ) sin ( w)cos( cos( w) ϕ) w)cos( ϕ) cos( w)cos( ϕ) Si icava eseguendo le otaioni sequeniali. Ogni otaione tiene femo un asse e agisce sul piano pependicolae. Rotaioni semplici utiliate dai pogammi di animaione, gestione maticiale efficiente del calcolo. 46/64

24 La ototaslaione in foma maticiale R + T > A X' Y' Z' T T T X Y Z Matice di otaione Vettoe di taslaione 47/64 Composiione di tasfomaioni Si possono applicae tasfomaioni in successione, moltiplicando in odine oppotuno le matici. V A A V A (A V) (A A )V la tasf. A viene applicata pe pima! icodiamo che il podotto di otaioni non è commutativo: R R? R R, mente vale la popietà associativa: A (A V) (A A )V. Tuttele taslaioni, otaioni e vaiaioni di scala, possono essee appesentata in un unica matice. 48/64

25 Tasfomaioni invese Denotiamo le invese come le matici affini: T -, S -, R -. La taslaione invesa si ottiene negando i coefficientidi taslaione. La scala invesa si ottiene pendendo il ecipoco dei coefficienti. La otaione invesa siottiene negando l angolo di otaione. Matice tasposta. Si può veificae invetendo il segno e l odine delle otaioni: R R ω R φ R κ R T R -κ R -φ R -ω 49/64 La tasfomaione invesa in foma maticiale R + T > A R T R +R T - R T T > A - X Y Z 3 X' Y' Z' oieione di T sugli assi di aivo: i T 3 T T T T + T T T X T Y T Z + + T X' T Y' T Z' Matice di otaione (invesa) Vettoe di taslaione (inveso) 5/64

26 echè R T T? Solo così applicando tasfomata dietta ed invesa ipotano un sistema di ifeimento nella posiione iniiale. -T(-T,) R - R T R θ T(T,) R T T è la poieione del vettoe taslaione sul sistema di ifeimento uotato. 5/64 La poieione centale 5/64

27 oieione centale veso poieione otogonale (X,Y,Z) viene poiettato su un piano (piano immagine) nel punto (X,Y ). Z è la distana dal piano immagine. ) ) ) X dipende da X e Z. ) X non dipende da Z, ma solo da X. oieione centale: cento di poieione al finito. oieione otogonale: cento di poieione all infinito. 53/64 Raddiamento dell immagine l/ a X A o L/ e similitudine fa i tiangoli aob e AOB: f : Z A a : X A da cui: e analogamente: 54/64 a X A f / Z A a( a ; a ; a ) -> a Y A f / Z A a f Si ipotia (,,) e o(,).

28 oieione semplice a X A f / Z A a( a ; a ; a ) -> a Y A f / Z A a f l/ ABO e abo sono tiangoli simili: ab AB f /Z A f : Z A a : X A Si ipotia O(,,) e o(,). L/ 55/64 I paameti esteni Taslaione: 3 componenti: T(X C, Y C, Z C ). Rotaione R 33 (w, f, 56/64

29 Dalle otaioni alla matice di otaione Come è legata R alle te otaioni indipendenti? R cos( ϕ)cos( cos( w) w) sin ( ϕ) cos( sin ( w) + cos( w) ϕ) cos( cos( ϕ) cos( w)cos( + w) ϕ) sin ( w)cos( cos( w) ϕ) k ) w) cos( ϕ) cos( w)cos( ϕ) Si icava eseguendo le otaioni sequeniali. Ogni otaione tiene femo un asse e agisce sul piano pependicolae. Rotaioni semplici utiliate dai pogammi di animaione, gestione maticiale efficiente del calcolo. 57/64 La Rotaione 3D * A X A cos(*) +Y A cos(*) + Z A cos(*) * A X A cos(*) +Y A cos(*) + Z A cos(*) * A X A cos(*) + Y A cos(*) + Z A cos(*) In foma compatta: p* R 58/64

30 La Rototaslaione 3D Taslaione: 3 componenti: T(X C, Y C, Z C ). Rotaione: 3 componenti: R(ω, φ,. Matice di otaione con : ω, φ, k, è: cos( ϕ) cos( R cos( w) w) ϕ)cos( w) + cos( w) ϕ)cos( cos( ϕ) cos( w) cos( + w) ϕ) w)cos( cos( w) ϕ) w)cos( ϕ) cos( w)cos( ϕ) In foma compatta: p* R ( - T) I paameti esteni sono peciò 6. 59/64 Dal 3D al D a * A f / * A a( a ; a ; a ) -> a * A f / * A a f p A * R ( A - T) A(X A,Y A,Z A ) > A(* a, * a, * a ) > a( a, a,f). 6/64

31 Equaioni di collineaità (appesentaione pespettica) * A (X A -X C ) + (Y A -Y C ) + 3 (Z A -Z C ) * A (X A -X C ) + (Y A -Y C ) + 3 (Z A -Z C ) * A 3 (X A -X C ) + 3 (Y A -Y C ) + 33 (Z A -Z C ) (X A -X C ) + (Y A -Y C ) + 3 (Z A -Z C ) a - o * A f / * A f (X A -X C ) + 3 (Y A -Y C ) + 33 (Z A -Z C ) (X A -X C ) + (Y A -Y C ) + 3 (Z A -Z C ) a - o * A f / * A f (X A -X C ) + 3 (Y A -Y C ) + 33 (Z A -Z C ) Complessivamente 9 paameti. Equaioni non-lineai. 6/64 X * Y * Z * 3 oieione pospettica (in foma maticiale) T X T Y T Z aameti esteni R A T * A 6/64

32 63/64 oieione pospettica (in foma maticiale) Z Y X * * * a o * A f / * A a( a ; a ; a ) -> a - o * A f / * A a v u o o p f p f K aameti inteni o o f f a a a Quanto vale a? 64/64 Tasfomaione poiettiva in foma maticiale p KMA v u o o p f p f K T R A M

33 Tasfomaioni Tasfomaione ta spai. Un caso paticolae è la poieione. oieione centale ha due fomulaioni: appesentaione pespettiva, mediante le equaioni di collineaità e appesentaione poiettiva, mediante le equaioni poiettive. 65/64