Robotica ed Animazione Digitale I comportamenti

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1 Robotica ed Animaione Digitale I compotamenti Pof. Albeto Boghese Dipatimento di Sciene dell Infomaione boghese@dsi.unimi.it Univesità degli Studi di Milano Slide in pate tatte da: /65 Sommaio della leione I compotamenti Compotamento eattivo Compotamento delibeativo (FSM) Gli scheleti Desciione della posiioen di uno scheleto 2/65

2 Goal AIBO as an agent Sensations AIBO Envionment Actions I compotamenti sono una mappatua dell input in aioni, sono funioni. 3/65 I compotamenti sono funioni 4/65 2

3 Dalla misua alla peceione (featue) 5/65 The diffeent behavios Thee ae two main was to decide the AIBO s behavio: Reactive AIBO diectl esponds to the envionment. Delibeative The eponse is mediated b the (intenal) state of the AIBO (the state summaies the past histo) and it is based on the pediction of success of the selected choice. Hbid Combination of Reactive and Delibeative behavio. 6/65 3

4 Sommaio della leione I compotamenti Compotamento eattivo Compotamento delibeativo (FSM) Il planning Oveview dei sensoi ed attuatoi di AIBO Gli scheleti Desciione della posiione di uno scheleto 7/65 Reactive behavio Action -> Reaction Thee is no memo Advantages: Immediate esponse to envionment vaiations. Simple to pogam and anale The contol can be smooth fo smooth vaiations of the senso input. Disadvantages: The esponse to a stimulus is steeotped. If an action does not wok, thee ae not altenatives. Comple tasks with man inputs, ma ceate poblems. Rodne Books: 8/65 4

5 Esempio di compotamento eattivo 9/65 Schemi motoi Mapping ta infomaione poveniente dai sensoi e vettoe che definisce il movimento del obot. Pe movimento si intende un movimento veo e popio (cf. Abib) oppue un vettoe spostamento (atto di moto). I movimenti podotti da ciascun moto schema devono essee sommati. Il mapping deve tenee conto di eventuali ostacoli (o vincoli). Schemi motoi che taducono vincoli. Esempio: navigaione in pesena di ostacoli: Obstacle avoidance. Goal eaching. /65 5

6 Moto Schemas 2 Robot Robot Obstacle 3 Robot Goal Goal vecto Avoidance vecto Resulting vecto /65 Come sommae i compotamenti? Molti moduli possono essee attivi pe un ceto stimolo sensoiale. Come tattae ciò? Come aivae ad un compotamento complesso. - Opeatoi logici. - Appoccio fu. In modo più esplicito: Blending (e.g. moto schema) Competition - viene seleionato un compotamento mediante competiione. Subsumption viene seleionato un compotamento mediante citei statici. Sequencing i compotamenti vengono eseguiti in sequena. 2/65 6

7 Blending E.g. atti motoi. Viene definito uno spaio continuo o campionato dei compotamenti. Viene associato ad ogni compotamento un vettoe (ampiea e dieione). I compotamenti vengono sommati vettoialmente ed eventualmente icondotti al compotamento più vicino alla somma (appoccio fu-like). Blending è facile da implementae quando l infomaione fonita dai sensoi è vettoiale: (valoi continui con modulo e veso, esempio: posiione, velocità). Poblema: foe con la stessa ampiea e segno opposto si cancellano. Similitudine: fu sstem. 3/65 Competition In questo caso si utilia un meccanismo di winne-take-all pe geneae l attivaione. I compotamenti attivati in modo eattivo, competono; il vincente saà il compotamento del obot. E facile adattalo ad insiemi divesi di compotamento. Poblemi: oscillaioni ta due compotamenti con modulo molto vicino. 3 Robot 5 Robot 2 Robot 4 Robot Robot Obstacle Goal Goal vecto Avoidance vecto 4/65 7

8 Subsumption Simile alla Competition. Ma la scelta avviene mediante una pioità codificata a- pioi, la scelta non avviene un-time a seconda delle condiioni che si veificano. Tutti i moduli attivi output il compotamento eattivo pevisto. Il compotamento scelto è quello a pioità più elevata. E facile scalalo, a patto di aggiungee i nuovi compotamento con le loo pioità nella tabella dei compotamenti. 2 Robot 3 Robot Robot Obstacle 4 Robot Goal Goal vecto Wall follow vecto 5/65 Sommaio della leione I compotamenti Compotamento eattivo Compotamento delibeativo (FSM) Gli scheleti Desciione della posiione di uno scheleto 6/65 8

9 Agente - Può scegliee un aione sull ambiente ta un insieme continuo o disceto. - L aione dipende dalla situaione. La situaione è iassunta nello stato del sistema. - L agente monitoa continuamente l ambiente (input) e modifica continuamente lo stato. - La scelta dell aione è non banale e ichiede un ceto gado di intelligena. 7/65 Schematic diagam of an agent Agent STATE s(t) Conditionaction ule (vocabula) What the wold is like now (intenal epesentation)? What action I should do now? Fotogafia della situaione ogni Δt s(t+) a(t) Sensos Actuatos s(t+) s(t) Envionment s, stato; a = uscita 8/65 s(t+) = f[s(t),a(t)] a(t) = g[s(t)] s, stato; a, ingesso 9

10 Compotamento eattivo basato su modello: sequencing Viene eseguito un solo compotamento alla volta. Si passa da un compotamento ad un alto quando ci sono delle modifiche nell input sensoiale. Il modello miglioe pe cattuae questa modalità di compotamento è una macchina a stati finiti (FSM). Ciascuna macchina ha associato un epetoio di compotamenti. Paticolamente utiliato sia in obotica che in animaione digitale! 9/65 Rappesentaione dell utilio dei sensoi in una FSM Move head Tun 45 degees ight o left Go to ball 2/65

11 Macchina a Stati Finiti (di Mooe) La Macchina di Mooe è definita, in teoia degli automi, dalla quintupla : < X, I, Y, f(.), g(.) > X: insieme degli stati (in numeo finito). I: alfabeto di ingesso: tutti i simboli che si possono pesentae in ingesso. Y: alfabeto di uscita: tutti i simboli che si possono geneae in uscita. f(.): funione stato possimo: X = f(x,i). Definisce l evoluione della macchina nel tempo. L evoluione è deteministica. g(.): funione di uscita: Y= g(x) nelle macchine di Mooe. Pe il buon funionamento della macchina è pevisto uno stato iniiale, al quale la macchina può essee potata mediante un comando di eset. 2/65 Vantaggi in questo appoccio Aicchimento del epetoio delle isposte compotamentali. A stimoli identici possono coispondee isposte divese a seconda dello stato. Esempio: palla vicina. Diveso se in difesa o in attacco (fallo lateale o tio); se si vince o si pede (aione o melina). Si possono ceae facilmente sequene di aioni. Si possono ceae dei cicli, ma esistono stumenti di analisi: le oscillaioni sono gandemente idotte. 22/65

12 Alti vantaggi Appendimento Pe ogni stato, è possibile appendee l aione ottima pe un ceto goal. Pe ogni goal, le aioni associati ai divesi stati possono essee divese. 23/65 Emotional inteaction 24/65 2

13 Veso l appendimento Possibilità di aicchie il compotamento: Stochastic automata (Tansition function, pobabilistica) Attitudine del obot (ad esempio imitativa o compensativa) Pesonalità (Tansition function di base) 25/65 Esempio di FSM 26/65 3

14 Sommaio della leione I compotamenti Compotamento eattivo Compotamento delibeativo (FSM) Gli scheleti Rappesentaione della posiione di uno scheleto 27/65 I divesi Refeence Fame E anche: sensoi di contatto, acceleometi, ange senso E necessaio idusi ad un fame comune. 28/65 4

15 Animaione mediante otaioni Scheleto - segmenti incenieati 29/65 Desciione della posiione (scheleto=obot) Catena cinematica. Stuttua geachica. Posiione completamente definita dai gadi di libetà (movimenti concessi dai giunti aticolai). Fame. Sistema di ifeimento connesso igidamente con una pate del obot. 3/65 5

16 Joints and end-effecto Il baccio è stumentale nel posiionamento ed oientamento dell endeffecto! Tool fame viene associato all end-effecto. Il base fame (o oot node) è il sistema di ifeimento della catena cinematica. Joint pismatici o otatoi (nodes). I segmenti sono chiamati anche link. 3/65 Rappesentaione gafica 32/65 6

17 Joint base 33/65 Spai di movimento Y β P α link s + + e e link O e Joint space. E lo spaio dei paameti libei. In questo esempio: α e β. Catesian space. E la posiione di punti, ceniee in un sistema di ifeimento catesiano, ad esempio il sistema di ifeimento assoluto. In paticolae la posiione dell end-effecto. link link + + O oot end effecto Z X 34/65 7

18 Desciione della posiione Tasfomaione da un fame all alto. La tasfomaione è funione dei paameti libei e dei paameti geometici. Tasfomaioni ta sistemi di ifeimento: ototaslaione espessa mediante matici affini (tasfomaioni maticiali). 35/65 Sommaio della leione I compotamenti Compotamento eattivo Compotamento delibeativo (FSM) Gli scheleti Rappesentaione della posiione di uno scheleto 36/65 8

19 Desciione della posiione di un copo igido (non solo scheleti) Punto mateiale: P = P(t) 3 dof Copo igido: 6 dof [R(t), T(t)]. Copo defomabile: N dof G(t) 37/65 Coodinate omogenee Spaio delle classi di equivalena: ogni punto in coodinate cateiane 3D coisponde a infiniti punti nello spaio omogeneo 4D che diffeiscono solo pe un fattoe moltiplicativo w: V (,, ) coisponde a : V ( X, Y, Z, w) Il passaggio ta lo spaio omogeneo e lo spaio 3D: = X /w = Y /w = Z /w solitamente si sceglie w= w = identifica il punto all sulla etta pe l oigine, passante pe V. I coseni diettoi saanno / V, / V, / V. 38/65 9

20 Tasfomaioni 3D Taslaione tutti i punti si spostano della stessa quantità (vettoe spostamento). Di solito si considea la taslaione del baicento. Rotaione tutti i punti lungo una etta chiamata asse non si spostano. Gli alti punti descivono ciconfeene pependicolai all asse. Scala vaiaione della dimensione lungo un asse. 39/65 Taslaione in coodinate omogenee Vengono espesse come tasfomaioni nello spaio di coodinate omogenee 4D come podotto ta matici. Taslaione T T T T = T T V '= TV = T '= ( T ) ( ) ( ) '= T '= T w'= ( + + +) cood. omogenee 4/65 t = '/w'= ( + T )/= + T t = '/w'= ( + T )/= + T t = '/w'= ( + T )/= + T cood. catesiane 2

21 2 4/65 Scala in coodinate omogenee S = S S S V '= SV = S S S ( ) ( ) ( ) ( ) '. '. '. ' = = = = w S S S s = '/w'= (.S )/ s = '/w'= (.S )/ s = '/w'= (.S )/ cood. omogenee cood. catesiane 42/65 Taslaione + Scala V '= TV = T T T = = ' ' ' ' '' S S S SV V = = = ) ( ) ( '' T S T S T S V ST TV S V Taslaione Scala Taslaione + Scala Fattoiaione delle tasfomaioni: appesentaione della tasfomaione in un unica matice.

22 La otaione Ammette appesentaioni divese. ) Quatenioni (asse + angolo) 2) Matice di otaione 3) Te angoli di otaione indipendenti 43/65 Quatenioni Rappesentaione della otaione mediante: vettoe + scalae Asse di otaioneangolo di otaione Si può dimostae che data una otaione attono all asse identificato dal vesoe n, di un angolo -π<=θ<=π, questa può essee appesentata dal quatenione: q=(cos θ/2, n sin θ/2) 44/65 22

23 La otaione attono a (foma maticiale) P = cosϑ sin ϑ sin ϑ cosϑ P = RP θ. P(,) 3 i= 3 i= m 2 ij m m ij = jk = i k Matice di otaione det(m) = Matice otonomale 45/65 Significato geometico della matice di otaione Ruotiamo il sistema di ifeimento in di un angolo -θ. P = M = cosϑ sin ϑ sin ϑ cosϑ ' ' ' ' θ Matice di otaione M contiene la poieione degli assi del sistema di ifeimento sugli assi di. 46/65 23

24 P = Significato geometico della matice di otaione Consideiamo che il punto P -> P sia un punto appatenente all asse, P(,) e che P appatenga ad un asse, ottenuto uotando il sistema di ifeimento in, di un angolo -θ. cosϑ sin ϑ M = sin ϑ cosϑ ' ' ' ' M contiene la poieione degli assi (dei vesoi) del sistema di ifeimento sugli assi di. 47/65 θ P(,). Esempio: = P cos(θ) = cos(θ) = P cos[(9+θ)] = -sin(θ) Si può estendee a punti che non giacciano su uno dei due assi coodinati. Rotaione attono a (coodinate omogenee) V' = R cosθ sin θ V = sin θ cosθ ' = ' = ' = w' = (.cosθ +.sin θ + + ) (.sin θ +.cosθ + + ) ( ) ( ) cood. omogenee R R R = ' / w' = (.cosθ +.sin θ) / = ' / w' = (.sin θ +.cosθ) / = ' / w' = (.) / cood. catesiane 48/65 24

25 Oientamento di un copo igido nello spaio Te paameti: te otaioni indipendenti. 49/65 Angoli di oientamento nello spaio 3D Modo geneale: oll, pitch, e aw. (ω, φ, k): ollio, beccheggio e deiva. Sono 3 otaioni sequeniali, non commutative. 5/65 25

26 Rotaione attono ad un singolo asse Modo geneale: oll, pitch, e aw. (ω, φ, k): ollio, beccheggio e deiva. R ω = cosω sin ω sin ω cosω R φ = cosφ sinφ sinφ cosφ R κ = cos k sin k sin k cos k 5/65 Rotaioni sequeniali R = R κ R φ R ω Non vale la popietà commutativa, vale la popietà associativa. Ciascuna otaione avviene su uno dei piani coodinati. 52/65 26

27 I) Rotaione attono all asse (oll) = = 'cosω + 'sin ω = 'sin ω + 'cosω 53/65 II) Rotaione attono all asse (pitch) = cosφ = = + sinφ + sinφ cosφ = 'cosφ ( 'sinω + 'cosω)sinφ = 'cosω + 'sinω = + 'sinφ + ( 'sinω + 'cosω)cosφ 54/65 27

28 III) Rotaione attono all asse (aw) = 2 cos k + 2 sin k = 2 sin k + 2 cos k = = [ 'cosφ ( 'sinω + 'cosω)sinφ]cos k + [ 'cosω + 'sinω]sin k = [ 'cosφ + ( 'sinω + 'cosω)sinφ]sin k + [ 'cosω + 'sinω]cos k = + 'sinφ + ( 'sinω + 'cosω)cosφ 3 55/65 Dalle otaioni alla matice di otaione Come è legata R alle te otaioni indipendenti? cosφ cos k R = cosφ sin k sinφ sinω sinφ cos k + cosω sin k sinω sinφ sin k + cosω cos k sinω cosφ cosω sinφ cos k + sinω sin k cosω sinφ sin k + sinω cos k cosω cosφ Si icava eseguendo le otaioni sequeniali. Ogni otaione tiene femo un asse e agisce sul piano pependicolae. Rotaioni semplici utiliate dai pogammi di animaione, gestione maticiale efficiente del calcolo. 56/65 28

29 Rotaione geneica (coodinate omogenee) V ' = R V 2 = /65 Tasfomae gli oggetti i vetici dell oggetto vengono tasfomati (le loo coodinate modificate) denotiamo i vetici (punti) come vettoe colonna V. R, D e S sono matici associate a otaione, taslaione e scala Il punto tasfomato si ottiene come: V =V+D taslaione, D è un vettoe di taslaione V =SV scala, S èunamaticediscala V =RV otaione, R èunamaticediotaione Il punto tasfomato si ottiene in coodinate omogenee come: V =V * D taslaione, D è una matice 44 che contiene il vettoe di taslaione V =S * V scala, S èunamaticediscala4 4. V =R * V otaione, R èunamatice44 checontienela maticediotaione 58/65 29

30 La ototaslaione in foma maticiale P = RP + T => P = AP X' Y' Z' P P P = T T T X Y Z P P P Matice di otaione Vettoe di taslaione 59/65 Composiione di tasfomaioni Si possono applicae tasfomaioni in successione, moltiplicando in odine oppotuno le matici. V =A 2 A V = A 2 (A V) =(A 2 A )V la tasf. A viene applicata pe pima! icodiamo che il podotto di matici non è commutativo: A 2 A A A 2, mente vale la popietà associativa: A 2 (A V) =(A 2 A )V. L applicaione di tasfomaioni dipende dall odine con cui sono opplicate. Tutte le taslaioni, otaioni e vaiaioni di scala, possono essee appesentata in un unica matice. 6/65 3

31 Tasfomaioni invese La tasfomaione invesa si ottiene invetendo l odine delle tasfomaioni ed invetendo le singole matici: A = A 3 A 2 A A - = A - A 2 - A 3 - Denotiamo le invese come le matici di tasfomaione: T -, S -, R -. La taslaione invesa si ottiene negando i coefficienti di taslaione. La scala invesa si ottiene pendendo il ecipoco dei coefficienti. La otaione invesa si ottiene negando l angolo di otaione. Matice tasposta. Si può veificae invetendo il segno e l odine delle otaioni: R = R ω R φ R κ R T = R -κ R -φ R -ω 6/65 La ototaslaione invesa in foma maticiale P = RP + T => P = AP R T RP = +R T P - R T T => P = A - P X Y Z P P P 2 = X' Y' Z' P P P = 3 Poieione di T sugli assi di aivo: i T ( T 2 3 ( T ( T T T + T T X T Y T Z T ) X' P T ) Y' P T ) Z' P P P P Matice di otaione (invesa) Vettoe di taslaione (inveso) 62/65 3

32 Pechè R T T? Solo così applicando tasfomata dietta ed invesa ipotano un sistema di ifeimento nella posiione iniiale. -T(-T,) R - = R T R θ T(T,) R T T è la poieione del vettoe taslaione sul sistema di ifeimento uotato. 63/65 appesentate con matici Tasfomaioni igide più tasfomaioni possono essee combinate moltiplicando ta loo le matici che appesentano ciascuna tasfomaione loo, ceando una sola tasfomaione maticiale. una tasfomaione si ottiene in geneale combinando tasfomaioni di diveso tipo: otaioni, scala, scala e taslaione. 64/65 32

33 Sommaio della leione I compotamenti Compotamento eattivo Compotamento delibeativo (FSM) Gli scheleti Rappesentaione della posiione di uno scheleto 65/65 33