Realtà Virtuale Geometria I

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1 Realtà Vituale Geometia I o. Albeto Boghese Dipatimento di Inomatica albeto.boghese@unimi.it Univesità degli Studi di Milano A.A. 8-9 /4 Lesson content Skeleton Repesentation o the skeleton position A.A. 8-9 /4

2 Visione 3D, Elaboaione di immagini e gaica Vision 3D: Imagine/s > 3D econstuction o the static o dnamic scene and its intepetation 3D Gaphics: 3D model o the scene, static o dnamic > 3D visualiation Vitual Realit is a banch o 3D gaphics The meet on the gound o 3D visualiation A.A /4 Skeleton animation though otations Skeleton - segments connected b hinges A.A /4

3 Gaphical epesentation A.A /4 osition desciption (skeleton obot) Kinematic chain. Hieachical stuctue. osition ull deined b degees o eedom (movements alloed b aticulated joints). Fame. Reeence sstem igidl connected ith pat o the obot. A.A /4 3

4 b a Y s + + e O Movement spaces Joint space. It is the space o ee paametes. Hee: a e b. Catesian space. It is the position o points, hinges in a Catesian eeence sstem, o instance the absolute eeence sstem. In paticula the positiono the end-eecto. + + O oot end eecto Z X A.A /4 osition desciption Tansom om one ame to anothe. The tansom is a unction o the ee paametes and o the geometical paametes. We ill conside hee the ototanslation (otation + tanslation) that can be epessed though maties. A.A /4 4

5 Lesson content Skeleton Repesentation o the skeleton position A.A /4 Desciione della posiione di un copo igido (non solo scheleti) unto mateiale: (t) 3 do Copo igido: 6 do [R(t), T(t)]. Copo deomabile: N do G(t) A.A. 8-9 /4 5

6 Coodinate omogenee Spaio delle classi di equivalena: ogni punto in coodinate cateiane 3D coisponde a ininiti punti nello spaio omogeneo 4D che dieiscono solo pe un attoe moltiplicativo : V (,, ) coisponde a : V ( X, Y, Z, ) Il passaggio ta lo spaio omogeneo e lo spaio 3D: X / Y / Z / solitamente si sceglie identiica il punto all sulla etta pe l oigine, passante pe V. I coseni diettoi saanno / V, / V, / V. A.A. 8-9 /4 Tasomaioni 3D Taslaione tutti i punti si spostano della stessa quantità (vettoe spostamento). Di solito si considea la taslaione del baicento. Rotaione tutti i punti lungo una etta chiamata asse non si spostano. Gli alti punti descivono ciconeene pependicolai all asse. Scala vaiaione della dimensione lungo un asse. A.A. 8-9 /4 6

7 Taslaione in coodinate omogenee Vengono espesse come tasomaioni nello spaio di coodinate omogenee 4D come podotto ta matici. Taslaione T T T T T T V' TV T ' T ' T ' T ' cood. omogenee A.A /4 t '/' ( T )/ T t '/' ( T )/ T t '/' ( T )/ T cood. catesiane Scala in coodinate omogenee S S S S S S V' SV S ' ' ' '. S. S. S A.A /4 cood. omogenee s '/' (.S )/ s '/' (.S )/ s '/' (.S )/ cood. catesiane 7

8 8 A.A /4 Taslaione + Scala V' TV T T T ' ' ' ' '' S S S SV V ) ( ) ( '' T S T S T S V ST TV S V Taslaione Scala Taslaione + Scala Fattoiaione delle tasomaioni: appesentaione della tasomaione in un unica matice. A.A /4 La otaione Ammette appesentaioni divese. ) Quatenioni (asse + angolo) ) Matice di otaione 3) Te angoli di otaione indipendenti

9 Quatenioni Rappesentaione della otaione mediante: vettoe + scalae Asse di otaioneangolo di otaione Si può dimostae che data una otaione attono all asse identiicato dal vesoe n, di un angolo -p<q<p, questa può essee appesentata dal quatenione: q(cos q/, n sin q/ A.A /4 Algeba ith quatenions La otaione di un punto p si può ottenee mediante podotto di Hamilton: Dato q il quatenione che appesenta la otaione Espesso un punto p mediante quatenione come: p [, X, Y, Z} Il punto p ottenuto da p dopo l applicaione della otaione q si ottiene come: q p q - iù semplicemente, sena coinvolgee il podotto di Hamilton A.A /4 9

10 Matici di otaione e quatenioni Si può tasomae un quatenione in una matice di otaione secondo: R q j +q k q i q j q k q q i q k + q j q q i q j + q k q q i +q k q j q k q i q q i q k q j q q j q k + q i q q i +q j Dove: q {q, q i, q j, q k } A.A /4 La otaione attono a (oma maticiale) cos sin sin cos R q. (,) 3 i 3 i m ij m m ij jk i k Matice di otaione det(m) Matice otonomale A.A. 8-9 /4

11 Signiicato geometico della matice di otaione Ruotiamo il sistema di ieimento in di un angolo -q. M cos sin sin cos ' ' ' ' Matice di otaione q M contiene la poieione degli assi del sistema di ieimento sugli assi di. A.A. 8-9 /4 Signiicato geometico della matice di otaione Consideiamo che il punto -> sia un punto appatenente all asse, (,) e che appatenga ad un asse, ottenuto uotando il sistema di ieimento in, di un angolo -q. cos sin M sin cos ' ' ' ' M contiene la poieione degli assi (dei vesoi) del sistema di ieimento sugli assi di. q. (,) Esempio: cos(q) cos(q) cos[(9+q)] -sin(q) Si può estendee a punti che non giacciano su uno dei due assi coodinati. A.A. 8-9 /4

12 Rotaione attono a (coodinate omogenee) V' R cos q sin q V sin q cos q ' ' ' '.cos q.sin q.sin q.cos q cood. omogenee R R R ' / ' (.cos q.sin q) / ' / ' (.sin q.cos q) / ' / ' (.) / cood. catesiane A.A /4 Oientamento di un copo igido nello spaio Te paameti: te otaioni indipendenti. A.A /4

13 Angoli di oientamento nello spaio 3D Modo geneale: oll, pitch, e a. (,, k): ollio, beccheggio e deiva. Sono 3 otaioni sequeniali, non commutative. A.A /4 Rotaione attono ad un singolo asse Modo geneale: oll, pitch, e a. (,, k): ollio, beccheggio e deiva. R cos sin sin cos R cos sin sin cos R k cos k sin k sin k cos k A.A /4 3

14 Rotaioni sequeniali R R k R R Non vale la popietà commutativa, vale la popietà associativa. Ciascuna otaione avviene su uno dei piani coodinati. A.A /4 I) Rotaione attono all asse (oll) 'sin 'sin A.A /4 4

15 5 A.A /4 II) Rotaione attono all asse (pitch) cos sin sin cos )cos 'sin ( 'sin 'sin )sin 'sin ( A.A /4 III) Rotaione attono all asse (a) cos sin sin cos k k k k )cos 'sin ( 'sin ]cos 'sin [ ]sin )sin 'sin ( [ ]sin 'sin [ ]cos )sin 'sin ( [ k k k k

16 Dalle otaioni alla matice di otaione Come è legata R alle te otaioni indipendenti? cos cos k R cos sin k sin sin sin cos k cos sin k sin sin sin k cos cos k sin cos cos sin cos k sin sin k cos sin sin k sin cos k cos cos Si icava eseguendo le otaioni sequeniali. Ogni otaione tiene emo un asse e agisce sul piano pependicolae. Rotaioni semplici utiliate dai pogammi di animaione, gestione maticiale eiciente del calcolo. A.A /4 Rotaione geneica (coodinate omogenee) V ' R V A.A /4 6

17 Tasomae gli oggetti i vetici dell oggetto vengono tasomati (le loo coodinate modiicate) denotiamo i vetici (punti) come vettoe colonna V. R, D e S sono matici associate a otaione, taslaione e scala Il punto tasomato si ottiene come: V V+D taslaione, D è un vettoe di taslaione V SV scala, S è una matice di scala V RV otaione, R è una matice di otaione Il punto tasomato si ottiene in coodinate omogenee come: V V * D taslaione, D è una matice 44 che contiene il vettoe di taslaione V S * V scala, S è una matice di scala 4 4. V R * V otaione, R è una matice 44 che contiene la matice di otaione A.A /4 La ototaslaione in oma maticiale R + T > A X' Y' Z' T X T Y T Z Matice di otaione Vettoe di taslaione A.A /4 7

18 Composiione di tasomaioni Si possono applicae tasomaioni in successione, moltiplicando in odine oppotuno le matici. V A A V A (A V) (A A )V la tas. A viene applicata pe pima! icodiamo che il podotto di matici non è commutativo: A A A A, mente vale la popietà associativa: A (A V) (A A )V. L applicaione di tasomaioni dipende dall odine con cui sono opplicate. Tutte le taslaioni, otaioni e vaiaioni di scala, possono essee appesentata in un unica matice. A.A /4 Tasomaioni invese La tasomaione invesa si ottiene invetendo l odine delle tasomaioni ed invetendo le singole matici: A A 3 A A A - A - A - A 3 - Denotiamo le invese come le matici di tasomaione: T -, S -, R -. La taslaione invesa si ottiene negando i coeicienti di taslaione. La scala invesa si ottiene pendendo il ecipoco dei coeicienti. La otaione invesa si ottiene negando l angolo di otaione. Matice tasposta. Si può veiicae invetendo il segno e l odine delle otaioni: R R R R k R T R -k R - R - A.A /4 8

19 La ototaslaione invesa in oma maticiale R + T > A R T R +R T - R T T > A - X Y Z 3 3 X' Y' Z' oieione di T sugli assi di aivo: i T ( T 3 ( T ( T 3 T T T T T T X Y Z T ) T ) T ) X' Y' Z' Matice di otaione (invesa) A.A /4 Vettoe di taslaione (inveso) echè R T T? Solo così applicando tasomata dietta ed invesa ipotano un sistema di ieimento nella posiione iniiale. -T(-T,) R - R T R q T(T,) R T T è la poieione del vettoe taslaione sul sistema di ieimento uotato. A.A /4 9

20 appesentate con matici Tasomaioni igide più tasomaioni possono essee combinate moltiplicando ta loo le matici che appesentano ciascuna tasomaione loo, ceando una sola tasomaione maticiale. una tasomaione si ottiene in geneale combinando tasomaioni di diveso tipo: otaioni, scala, scala e taslaione. A.A /4 Sommaio della leione I compotamenti Compotamento eattivo Compotamento delibeativo (FSM) Gli scheleti Rappesentaione della posiione di uno scheleto A.A /4