Sommario. Gli avatar Gli scheletri Posizione dei segmenti nello spazio La cinematica diretta. 1/49 borghese A.A.

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1 Movimentaione di scheleti Coso di Robotica ed Animaione Digitale Lauea Specialistica in Infomatica Univesità degli Studi di Milano of. Albeto Boghese Laboatoio di Applied Intelligent Sstems (AIS-Lab) Dipatimento di Sciene dell Infomaione /49 Sommaio Gli avata Gli scheleti osiione dei segmenti nello spaio La cinematica dietta /49

2 Fattoi cognitivi Geneaione del movimento Gli Avata 3/49 Veso gli AVATAR Sono secondo etimologia divinità discese da cielo. Compotamento autonomo. esonalità autonoma (compotamento che segue all inteaione con l ambiente. Etenal wold Behavio Intenal wold 4/49

3 AVATAR BEHAVIOR Jacks Human Animal Catoon Best Bang fo the Buck (5 vetices o less) Fantas Animation (ma be combined with an of the pevious categoies) 5/49 Sommaio Gli avata Gli scheleti osiione dei segmenti nello spaio La cinematica dietta 6/49 3

4 Animaione mediante otaioni 7/49 Desciione della posiione (scheletoobot) Catena cinematica. Stuttua geachica. osiione completamente definita dai gadi di libetà (movimenti concessi dai giunti aticolai). Fame. Sistema di ifeimento connesso igidamente con una pate del obot. 8/49 4

5 Joints and end-effecto Il baccio è stumentale nel posiionamento ed oientamento dell endeffecto! Tool fame viene associato all end-effecto. Il base fame (o oot node) è il sistema di ifeimento della catena cinematica. Joint pismatici o otatoi (nodes). I segmenti sono chiamati anche link. 9/49 Joint base /49 5

6 Rappesentaione gafica /49 Spai di movimento Y β α link s e e link O e Joint space. E lo spaio dei paameti libei. In questo esempio: α e β. Catesian space. E la posiione di punti, ceniee in un sistema di ifeimento catesiano, ad esempio il sistema di ifeimento assoluto. In paticolae la posiione dell end-effecto. link link O oot end effecto Z X /49 6

7 Desciione della posiione Tasfomaione da un fame all alto. La tasfomaione è funione dei paameti libei e dei paameti geometici. Tasfomaioni ta sistemi di ifeimento: ototaslaione espessa mediante matici affini (tasfomaioni maticiali). 3/49 Sommaio Gli avata Gli scheleti osiione dei segmenti nello spaio (da SI) La cinematica dietta 4/49 7

8 Desciione della posiione di un copo igido (non solo scheleti) unto mateiale: (t) 3 dof Copo igido: 6 dof [R(t), T(t)]. Copo defomabile: N dof G(t) 5/49 Coodinate omogenee Spaio delle classi di equivalena: ogni punto in coodinate cateiane 3D coisponde a infiniti punti nello spaio omogeneo 4D che diffeiscono solo pe un fattoe moltiplicativo w: V (,, ) coisponde a : V ( X, Y, Z, w) Il passaggio ta lo spaio omogeneo e lo spaio 3D: 6/49 X /w Y /w Z /w solitamente si sceglie w w identifica il punto all sulla etta pe l oigine, passante pe V. I coseni diettoi saanno / V, / V, / V. 8

9 Rappesentaione di una etta nello spaio Angolo ta due segmenti: cosθ(q R) / ( Q R ). Q. θ R. Q ρ cosα cos β cosγ 7/49 Tasfomaioni 3D Taslaione tutti i punti si spostano della stessa quantità (vettoe spostamento). Di solito si considea la taslaione del baicento. Rotaione tutti i punti lungo una etta chiamata asse non si spostano. Gli alti punti descivono ciconfeene pependicolai all asse. Scala vaiaione della dimensione lungo un asse. 8/49 9

10 Taslaione in coodinate omogenee Vengono espesse come tasfomaioni nello spaio di coodinate omogenee 4D come podotto ta matici. Taslaione T T T T T T V ' TV T ' ( T ) ( ) ( ) ' T ' T w' ( ) cood. omogenee 9/49 t '/w' ( T )/ T t '/w' ( T )/ T t '/w' ( T )/ T cood. catesiane Scala in coodinate omogenee S S S S S S V ' SV S ' ' ' w' (. S ) s '/w' (.S )/ (. S ) (. S ) ( ) cood. omogenee s '/w' (.S )/ s '/w' (.S )/ cood. catesiane /49

11 /49 Taslaione Scala V ' TV T T T ' ' ' ' '' S S S SV V ) ( ) ( '' T S T S T S V ST TV S V Taslaione Scala Taslaione Scala Fattoiaione delle tasfomaioni: appesentaione della tasfomaione in un unica matice. /49 La otaione Ammette appesentaioni divese. ) Quatenioni (asse angolo) ) Matice di otaione 3) Te angoli di otaione indipendenti

12 Quatenioni Rappesentaione della otaione mediante: vettoe scalae Asse di otaioneangolo di otaione Si può dimostae che data una otaione attono all asse identificato dal vesoe n, di un angolo -π<θ<π, questa può essee appesentata dal quatenione: q(cos θ/, n sin θ/) 3/49 La otaione attono a (caso piano) ρ. (, ) α ρ cosα ρ sinα (, ) θ α (,) ρ cos(αθ) ρ cos α cos θ ρ sin α sin θ ρ.. cos θ sin θ ρ sin(αθ) ρ cos α sin θ ρ sin α cos θ sin θ cos θ 4/49

13 La otaione attono a (foma maticiale) cosϑ sin ϑ sin ϑ cosϑ R ρ. (, ) θ. α (,) 3 i 3 i m ij m m ij jk i k Matice di otaione det(m) Matice otonomale 5/49 Significato geometico della matice di otaione Ruotiamo il sistema di ifeimento in di un angolo -θ. M cosϑ sin ϑ sin ϑ cosϑ ' ' ' ' θ Matice di otaione M contiene la poieione degli assi del sistema di ifeimento sugli assi di. 6/49 3

14 Significato geometico della matice di otaione Consideiamo che il punto -> sia un punto appatenente all asse, (,) e che appatenga ad un asse, ottenuto uotando il sistema di ifeimento in, di un angolo -θ. cosϑ sin ϑ M sin ϑ cosϑ ' ' ' ' M contiene la poieione degli assi (dei vesoi) del sistema di ifeimento sugli assi di. θ (,). Esempio: cos(-θ) cos(-θ) cos[-(9θ)] -sin(θ) Si può estendee a punti che non giacciano su uno dei due assi coodinati. 7/49 Matice di otaione e basi Ruotiamo il sistema di ifeimento in di un angolo -θ. cosϑ sin ϑ sin ϑ cosϑ θ Matice di otaione a b ha componenti solo lungo c d ha componenti solo lungo ha componenti solo lungo 8/49 4

15 Rotaione attono a (coodinate omogenee) V' R cosθ sin θ V sin θ cosθ ' ' ' w' (.cosθ.sin θ ) (.sin θ.cosθ ) ( ) ( ) cood. omogenee R R R ' / w' (.cosθ.sin θ) / ' / w' (.sin θ.cosθ) / ' / w' (.) / cood. catesiane 9/49 Oientamento di un copo igido nello spaio Te paameti: te otaioni indipendenti. A.A /38 5

16 Angoli di oientamento nello spaio 3D Modo geneale: oll, pitch, e aw. (,, k): ollio, beccheggio e deiva. Sono 3 otaioni sequeniali, non commutative. 3/49 Rotaione attono ad un singolo asse Modo geneale: oll, pitch, e aw. (,, k): ollio, beccheggio e deiva. R cos sin sin cos R cos sin sin cos R κ cos k sin k sin k cos k 3/49 6

17 Rotaioni sequeniali R R R R κ Non vale la popietà commutativa, vale la popietà associativa. Ciascuna otaione avviene su uno dei piani coodinati. 33/49 I) Rotaione attono all asse (oll) 'cos 'sin 'sin 'cos 34/49 7

18 8 35/49 II) Rotaione attono all asse (pitch) cos sin sin cos )cos 'cos 'sin ( 'sin 'sin 'cos )sin 'cos 'sin ( 'cos 36/49 III) Rotaione attono all asse (aw) cos sin sin cos k k k k )cos 'cos 'sin ( 'sin ]cos 'sin 'cos [ ]sin )sin 'cos 'sin ( 'cos [ ]sin 'sin 'cos [ ]cos )sin 'cos 'sin ( 'cos [ k k k k

19 Dalle otaioni alla matice di otaione Come è legata R alle te otaioni indipendenti? cos cos k R cos sin k sin sin sin cos k cos sin k sin sin sin k cos cos k sin cos cos sin cos k sin sin k cos sin sin k sin cos k cos cos Si icava eseguendo le otaioni sequeniali. Ogni otaione tiene femo un asse e agisce sul piano pependicolae. Rotaioni semplici utiliate dai pogammi di animaione, gestione maticiale efficiente del calcolo. 37/49 Rotaione attono a (coodinate omogenee) V' R cosθ sin θ V sin θ cosθ ' ' ' w' (.cosθ.sin θ ) (.sin θ.cosθ ) ( ) ( ) cood. omogenee R R R ' / w' (.cosθ.sin θ) / ' / w' (.sin θ.cosθ) / ' / w' (.) / cood. catesiane 38/49 9

20 Rotaione attono a (coodinate omogenee) V ' R V /49 Tasfomae gli oggetti i vetici dell oggetto vengono tasfomati (le loo coodinate modificate) denotiamo i vetici (punti) come vettoe colonna V. R, D e S sono matici associate a otaione, taslaione e scala Il punto tasfomato si ottiene come: V VD taslaione, D è un vettoe di taslaione V SV scala, S è una matice di scala V RV otaione, R è una matice di otaione 4/49

21 La ototaslaione in foma maticiale R T > A X' Y' Z' T T T X Y Z Matice di otaione Vettoe di taslaione 4/49 Composiione di tasfomaioni Si possono applicae tasfomaioni in successione, moltiplicando in odine oppotuno le matici. V A A V A (A V) (A A )V la tasf. A viene applicata pe pima! icodiamo che il podotto di matici non è commutativo: A A A A, mente vale la popietà associativa: A (A V) (A A )V. L applicaione di tasfomaioni dipende dall odine con cui sono opplicate. Tutte le taslaioni, otaioni e vaiaioni di scala, possono essee appesentata in un unica matice. 4/49

22 Tasfomaioni invese La tasfomaione invesa si ottiene invetendo l odine delle tasfomaioni ed invetendo le singole matici: A A 3 A A A - A - A - A 3 - Denotiamo le invese come le matici di tasfomaione: T -, S -, R -. La taslaione invesa si ottiene negando i coefficienti di taslaione. La scala invesa si ottiene pendendo il ecipoco dei coefficienti. La otaione invesa si ottiene negando l angolo di otaione. Matice tasposta. Si può veificae invetendo il segno e l odine delle otaioni: R R R R κ R T R -κ R - R - 43/49 La ototaslaione invesa in foma maticiale R T > A R T R R T - R T T > A - X Y Z 3 3 X' Y' Z' oieione di T sugli assi di aivo: i T ( T 3 ( T ( T 3 T T T T X T Y T Z T ) X' T ) Y' T ) Z' Matice di otaione (invesa) Vettoe di taslaione (inveso) 44/49

23 echè R T T? Solo così applicando tasfomata dietta ed invesa ipotano un sistema di ifeimento nella posiione iniiale. -T(-T,) R - R T R θ T(T,) R T T è la poieione del vettoe taslaione sul sistema di ifeimento uotato. 45/49 appesentate con matici Tasfomaioni igide più tasfomaioni possono essee combinate moltiplicando ta loo le matici che appesentano ciascuna tasfomaione loo, ceando una sola tasfomaione maticiale. una tasfomaione si ottiene in geneale combinando tasfomaioni di diveso tipo: otaioni, scala, scala e taslaione. 46/49 3

24 Sommaio Gli avata Gli scheleti osiione dei segmenti nello spaio (da SI) La cinematica dietta 47/49 Cinematica dietta Conosco il valoe dei joint (angolo o offset) posiione ed oientamento dell end-point. La cinematica viene descitta come sequena di posiioni. 48/49 4

25 Sommaio Gli avata Gli scheleti osiione dei segmenti nello spaio (da SI) La cinematica dietta 49/49 5