Fondamenti di Geometria nello spazio 3D. Corso di Robotica Prof. Davide Brugali Università degli Studi di Bergamo

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1 Fondamenti di Geometia nello pazio 3D Coo di obotia Pof. Davide Bugali Univeità degli Studi di Begamo

2 Geometia delle talazioni Q T Q Semplie talazione Q T Q y z y z Q T qz qy q b a qz qy q T T obotia - UNIBG - Pof. Bugali

3 Geometia delle otazioni otazione ipetto all ae z y y θ ρ (P, P y ) θ ρ φ (P, P y ) (Q, Q y ) P = ρ o(θ) P y = ρ (θ) Q = ρ o(θ+φ) Q y = ρ (θ+φ) p py Q = ρ o(θ)o(φ) - ρ en(θ)en(φ) Q y = ρ o(θ)(φ) + ρ en(θ)o(φ) atan py p Q = P o(φ) P y en(φ) Q y = P (φ) + P y o(φ) 3 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

4 Geometia delle otazioni otazione ipetto all ae z y y y θ ρ φ (P, P y ) (Q, Q y ) φ P Q Q = P o(φ) P y en(φ) Q y = P (φ) + P y o(φ) Q Q y o o P * P y Q Q Q Q P Q Q P Q = * P 4 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

5 Geometia delle otazioni Fonie l oientamento di una tena di oodinate ipetto ad un alta. I vettoi olonna ono i oeni diettoi degli ai della tena uotata ipetto alla tena di ifeimento. appeenta una tafomazione di oodinate he mette in elazione le oodinate di un punto in due tene diffeenti on oigine omune p = p. Inolte in vitù della popietà di otogonalità della matie, la tafomazione invea i ive p = T p La matie di otazione appeenta l opeatoe he pemette di uotae un vettoe (nella tea tena), di un angolo pefiato, attono ad un geneio ae di otazione nello pazio. 5 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

6 Geometia delle otazioni otazione diette e invee ipetto agli ai,y,z o z o y o o o z o y o o o o o o T Se - = T alloa è otogonale det() = 6 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

7 Geometia delle otazioni egola della mano deta 7 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

8 Impotanza dell odine delle otazioni 8 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

9 otazioni ueive ipetto alla tena oente La otazione ompleiva è epea ome ueione di otazioni paziali, iauna delle quali è definita ipetto alla otazione peedente. La tena ipetto alla quale avviene la otazione in atto è definita tena oente. La ompoizione di otazioni ueive ipetto alla tena oente i ottiene pe moltipliazione da ita veo deta le matii delle gole otazioni, nell odine della otazione. 9 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

10 Impotanza dell odine delle otazioni obotia - UNIBG - Pof. Bugali

11 otazioni ueive ipetto ad una tena fia La ompoizione di otazioni ueive ipetto ad una tena fia i ottiene moltipliando da deta veo ita le gole matii di otazione nell odine delle otazioni. obotia - UNIBG - Pof. Bugali

12 Angoli di oll / Pith / Yaw Z oll X yaw pith Y obotia - UNIBG - Pof. Bugali

13 Angoli PY Tale appeentazione tae oigine da una deizione delle otazioni uate fequentemente in aeonautia. In patiolae PY indiano ipettivamente il ollio (oll) il beheggio (Pith) e l imbadata (Yaw) di uno afo. In queto ao la tena di paameti appeenta otazioni definite ipetto ad una tena fia olidale al baiento dello afo. 3 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

14 Angoli PY Si uota la tena oigine dell angolo intono all ae (imbadata); tale otazione è deitta dalla matie di otazione Si uota la tena oiginale dell angolo intono all ae y (beheggio); tale otazione è appeentata dalla matie Si uota la tena oiginale dell angolo intono all ae z (ollio); tale otazione è appeentata dalla matie: y z ( ) ( ) o en o en en o en o o en ( ) en o 4 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

15 Angoli PY La otazione globale della tena, eendo ottenuta pe ompoizione ipetto ad una tena fia è: y z PY ) ( ) ( ) ( Poblema inveo , tan, tan, tan A A A appatenete all intevallo (/, 3/) , tan, tan, tan A A A 5 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

16 appeentazione on angoli di Euleo elazione di otogonalità T = I olo 3 paameti indipendenti fonie una appeentazione idondante appeentazione minima,, T Eule Angle I Eule Angle II oll-pith-yaw Sequene about OZ ai about OZ ai about OX ai of about OX ai about OY ai about OY ai otation about OZ ai about OZ ai about OZ ai 6 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

17 appeentazione on angoli di Euleo Metodo di Euleo I: i uota la tena oigine dell'angolo φ intono all'ae z: tale otazione è deitta dalla matie di otazione z(φ) i uota la tena dell'angolo θ intono all'ae oente: tale otazione è deitta dalla matie di otazione (θ). i uota la tena dell'angolo ψ attono all'ae z oente: tale otazione è deitta dalla matie di otazione z (ψ) z ' z' ' 7 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

18 Angoli di Euleo I w'= z w'"= w" v'" v " v' y u'" u' =u" 8 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

19 Angoli di Euleo I o o, o o z ' o o ' ' z o o o o o o o o o o o o o o o ' z '' z 9 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

20 appeentazione on angoli di Euleo Metodo di Euleo II: i uota la tena oigine dell'angolo φ intono all'ae z: tale otazione è deitta dalla matie di otazione z(φ) i uota la tena dell'angolo θ intono all'ae y oente: tale otazione è deitta dalla matie di otazione y (θ). i uota la tena dell'angolo ψ attono all'ae z oente: tale otazione è deitta dalla matie di otazione z (ψ) z y' z '' obotia - UNIBG - Pof. Bugali

21 Angoli di Euleo II w'= z w"'= w" v"' v' =v" y u"' u' u" obotia - UNIBG - Pof. Bugali

22 Angoli di Euleo II o o o o o o o o o o o o o o o obotia - UNIBG - Pof. Bugali

23 Angoli di Euleo: Poblema inveo EUL Si poono iavae due oluzioni, equivalenti (pe gli effetti podotti), egliendo appatenente all intevallo (, ) oppue (-, ) Le due oluzioni iavate degeneano quando = ; in queto ao è poibile deteminae oltanto la omma o la diffeenza di e. Infatti, e =,, le otazioni ueive di e ono effettuate intono ad ai di tena oente paalleli fa di loo, fonendo oì effetti di otazione equivalenti. A tan A tan A tan 3 3, 3 3, ,, A tan 3, 3 A tan A tan , 33 3 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

24 Coodinate omogenee T Q Q ototalazione * qz qy q T qz qy q y z y z Q T Q H Q 4 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

25 Coodinate omogenee qz qy q b a qz qy q Pua talazione qz qy q qz qy q Pua otazione Attenzione: La matie di tafomazione omogenea non gode della popietà di otogonalità! 5 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

26 Talazione lungo l ae z y z P u v w O, O y z P u v w O, O h ), ( h h z Tan * h p p p p p p h z y w v u w v u 6 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

27 otazione attono all ae ), ( C S S C ot z y v w P u w v u p p p C S S C z y 7 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

28 Compoizione di ototalazioni w z P Una equenza di tafomazioni egole: v Se il itema di ifeimento O-U-V-W uota attono ad un ae pinipale del itema di ifeimento O-X-Y-Z, alloa uae la Pemoltipliazione Se il itema di ifeimento O-X-Y-Z uota attono ad un ae pinipale del itema di ifeimento O-U-V-W, alloa uae la Potmoltipliazione u y 8 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

29 Eempio otazione di attono all ae OX Talazione di a lungo all ae OX Talazione di d lungo all ae OZ otazione di attono all ae OZ,,,, a d z z T T H * * * C S S C a d C S S C 9 obotia - UNIBG - Pof. Bugali

30 Compoizione di tafomazioni z H z z y y H y? H H H 3 obotia - UNIBG - Pof. Bugali