Trasformazioni. Lucidi tratti dalla pagina WEB: Del prof. D. Marini

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1 Tasfomazioni Lucidi tatti dalla pagina WEB: Del pof. D. Maini La appesentazione analitica di un punto k (,,) j(,,) P P P z = P i = P j = P k i(,,)

2 Vettoi Sono identificati da punti: P e Q. Sono caatteizzati da modulo (distanza ta P e Q), oientamento e veso. Vesoi (vettoi di modulo unitaio) I vesoi: i, j, k sono i vettoi di lunghezzza unitaia che individuano gli assi catesiani, sono otogonali, e fomano una tena di vettoi otonomali, una base dello spazio catesiano 3 Z Y X Lo spazio Euclideo lo spazio può essee oientato in due modi: mano desta: avvolgete la mano all asse z e puntate il pollice veso di voi, viene a desta e va veso l alto (tena destosa). mano sinista: avvolgete la mano all asse z e puntate il pollice veso di voi, viene a sinista e va veso l alto questo definisce il wold coodinate sstem in cui sono definiti gli oggetti 4

3 Definizione degli oggetti Gli oggetti possono essee definiti in un popio sistema di ifeimento locale: i vetici dell oggetto sono definiti ispetto a un oientamento popio e natuale un oggetto complesso può essee decomposto in elementi più semplici col popio ifeimento locale e in seguito assemblato aggagando oggetti elementai un oggetto può essee istanziato più volte Pe assemblae istanziae un oggetto si applicano le tasfomazioni affini, che cambiano il ifeimento locale 5 Tasfomazioni Tasfomo P in P Cambia il sistema di ifeimento Cambia la posizione del punto 6 3

4 Ambiente Spazio affine coodinate omogenee Matici taslazione, scala, otazione, shea podotto matice vettoe colonna (il punto) 7 Tasfomazioni affini appesentate con matici più tasfomazioni possono essee combinate moltiplicando le matici ta loo, ceando una sola tasfomazione una tasfomazione si ottiene in geneale combinando tasfomazioni lineai (otazioni, scala e shea) seguite da una taslazione 8 4

5 Tasfomazioni affini (II) Taslazione tutti i punti si spostano della stessa quantità (vettoe spostamento). Di solito si considea la taslazione del baicento. Rotazione tutti i punti lungo una etta chiamata asse non si spostano. Gli alti punti descivono ciconfeenze pependicolai all asse. Scala vaiazione della dimensione lungo un asse. 9 Tasfomae gli oggetti i vetici dell oggetto vengono tasfomati denotiamo i vetici (punti) come vettoe colonna V R, D e S sono otazione, taslazione e scala il punto tasfomato si denota: V =V+D taslazione, D è un vettoe di taslazione V =SV scala, S è una matice di scala V =RV otazione, R è una matice di otazione 5

6 v = Richiami di geometia affine Spazio vettoiale lineae: opeazioni di somma ta vettoi Campo scalae e opeazioni podotto vettoe scalae Spazio affine: addizione vettoe - punto; l opeazione di Sottazione punto-punto poduce un vettoe P = (,,z) v = (v, v, v ) v v = P Q P = v + Q z + v + v z vettoe come diffeenza di due punti somma scalae- vettoe: taslazione del punto di applicazione Podotto scalae X=V.W =v w +v w +v 3 w 3 è uno scalae Significato geometico: V = Vd V α U = U d U P = U V = UV( d U }) P = UV( UV cos( α) + + Ÿ } Ÿ } } ) = 6

7 Podotto scalae, significato geometico Poiezione otogonale di un segmento su un alto. S = UV( UV cos( α) S = U V = UV( d U }) + + Ÿ } Ÿ } } ) = V = Vd V α U = U d U NB cos(α) = cos(- α) V W cos α = V W Il coseno dell angolo ta segmenti è il podotto scalae nomalizzato. 3 Popietà del segno del podotto scalae se V.W > l angolo α è: 9 < α < 9 se V.W = l angolo α è: 9 o 9 se V.W < l angolo α è: 9 < α < 7 il podotto scalae si può quindi usae pe valutae l oientamento di segmenti. Il podotto scalae è nullo se i segmenti sono otogonali (condizione di pependicolaità) 4 7

8 Rette oientate nel piano. β P o P. α = P-P o P(X,Y) = X Y o o + cos( α) + cos(9 α) = Y o + sin( α) cos α+sin α = cos α+cos β elazione di otogonalità -> paameto 5 Rette oientate = AB cos( α) = cos( β) = cos( γ) = X B(X,Y,Z) = Y [( B A) i ]/ ( B A) = BA / BA [( B A) j] / ( B A) = BA / BA [( B A) k] / ( B A) = BA / BA z Z o o o + cos( α) + cos( β) + cos( γ) 6 8

9 Rette oientate (coseni diettoi) Vale la elazione: cos α+cos β +cos γ = elazione di otogonalità -> paameti cos( α) = cos( β) = cos( γ) = [( B A) i ]/ ( B A) = BA / BA [( B A) j] / ( B A) = BA / BA [( B A) k] / ( B A) = BA / BA z 7 Angolo ta ette s θ cos(θ) = s = s + s + z s z Condizione di paallelismo: cos(θ) = =s, =s, z =s z Condizione pependicolaità: cos(θ) = s + s + z s z = (podotto scalae nullo) 8 9

10 Podotto vettoe (coss poduct) W = UV = i detu V j U V k U z = V z ( U V U V ) ( U V U V ) z ( U V U V ) z z z z Il isultato è un vettoe a sua volta. U = i V = j W = UV = ( ) ( ) ( ) = [ ] = k (,,) 9 Podotto vettoe (significato geometico) W = UV W U V α Vettoe nomale al piano identificato da U e V W = U V sin(α) sin( α ) = ( UV) /( U V ) Il podotto vettoe è nullo se i segmenti sono paalleli Il senso è coeente con la egola della mano desta

11 Podotto vettoe (significato geometico) W = UV = (UV) d i = (,,) W U j = (,,) k = (,,) V = vi + v j+ v3k U = ui + u j+ u3k W = (v u v u ) i + (v u v u ) j+ (v u v u ) k 3 U d V V α il podotto vettoe (coss poduct) si può espimee con i vesoi (icodiamo che la somma di due vettoi è un vettoe). Spazi vettoiali (definizione) I) Uno spazio vettoiale W è un guppo additivo ispetto all addizione sse: E definita l addizione: w = +. Popietà: commutativa, associativa. Esistenza: dello zeo e dell opposto. II) E definita l opeazione di moltiplicazione numeica: z = λ = λ Popietà: distibutiva ispetto alla somma ed associativa. Esistenza: dell elemento neuto. Sotto queste ipotesi, il calcolo vettoiale in uno spazio vettoiale W, qualsiasi, si effettua (pe quanto concene l addizione e la moltiplicazione numeica), con le stesse egole fomali del calcolo vettoiale nel piano o nello spazio 3D Euclideo.

12 Spazi vettoiali (popietà) α(u + v) = αu + αv lineaità α u + α u α n u n = w combinazione lineae α u + α u alloa (u,..., u α n n è la dimensione dello spazio, ) n u n = se α sono lineamente indipendenti (u,...,u = α.. = α n n = ) è la base dello spazio Se vale la elazione: u i u j = i j Le basi sono otogonali (spazi Euclidei) 3 A = α A C = Matici T [ a i, j ] A = [ a j,i ] = [ α a i, j ] C = A + B = [ a i, j + b i, j ] n AB = [ c i, j ] dove [ c i, j ] = a i,k b k, j k = Podotto degli elementi di una iga pe gli elementi di una colonna. Se A (n m) B (m p) A = 3 4 B= 3 ==> 7 C =

13 Matici (Popietà) La somma è associativa e commutativa (A + B) + C = (A + (B + C). Il podotto è associativo ispetto alla somma ma non commutativo (A+B)C = AC + BC. AB BA [ a ] I = pe i = j i, j = altimenti AI = A = IA vettoe come matice colonna matice : u T identità u = u u z podotto vettoe matice : v = u T M Segue le egole del podotto maticiale 5 Coodinate omogenee Spazio delle classi di equivalenza: ogni punto in coodinate cateziane 3D coisponde a infiniti punti nello spazio omogeneo 4D che diffeiscono solo pe un fattoe moltiplicativo w: V (,,z) coisponde a : V (wx,wy,wz,w) Il passaggio ta lo spazio omogeneo e lo spazio 3D: = X /w = Y /w z = Z /w solitamente si sceglie w= w = identifica il punto all sulla etta pe l oigine, passante pe V. 6 I coseni diettoi saanno / v, / v, z/ v. 3

14 Taslazione, Rotazione e Scala Vengono espesse come tasfomazioni nello spazio di coodinate omogenee 4D come podotto ta matici. T T T = T z '= ( T ) ( ) ( ) '= T z'= + + z + T z w'= ( ) cood. omogenee Taslazione T T V'= TV = T z z t = '/w'= ( + T )/= + T t = '/w'= ( + T )/= + T z t = z'/w'= (z + T z )/= z + T z cood. catesiane 7 Scala S S S = S z '= (.S ) ( ) '=.S ( ) ( ) z'= z.s z w'= cood. omogenee S S V'= SV = S z z s = '/w'= (.S )/ s = '/w'= (.S )/ z s = z'/w'= (z.s z )/ cood. catesiane 8 4

15 Rotazione (coodinate nel piano) (,) ρ (, ) α =ρ cosα = ρ cos(9-α) =ρ sinα 9 La otazione attono a z. α =ρ cosα =ρ sinα P (, ) P(, ) θ α P(,) =ρ cos(α+θ) = ρ cos α cos θ + ρ sin α sin θ ρ.. = cos θ + sin θ =ρ sin(α+θ) = ρ cos α sin θ + ρ sin α cos θ = sin θ + cos θ 3 5

16 La otazione attono a z P = cos ϑ sin ϑ sin ϑ cosϑ z ρ. P(, ) θ. α P(,) Matice di otazione 3 i= 3 i= m ii m m ij = jk = i k det(m) = Matice otonomale 3 I sistemi di ifeimento P = cos ϑ sin ϑ =ρ cosθ =ρ sinθ sin ϑ cosϑ ρ = z ρ = θ Matice di otazione. M = ' ' ' ' Sulla colonna i: poiezione dell asse i sugli assi i j k Sulla iga j: poiezione dell asse i,j,k sull asse j 3 6

17 Rotazione attono a z (coodinate omogenee) V' = R z cosθ sin θ V = sin θ cosθ z ' = ' = z' = w' = (.cos θ +.sin θ + + ) (.sin θ +.cosθ + + ) ( + + z + ) ( ) cood. omogenee z R z R z R z = ' / w' = (.cosθ +.sin θ) / = ' / w' = (.sin θ +.cosθ) / = z' / w' = (z.) / cood. catesiane 33 Oientamento Te paameti: te otazioni. 34 7

18 Angoli di oientamento nello spazio 3D Modo geneale: oll, pitch, e aw. (ω, φ, k): ollio, beccheggio e deiva. Sono 3 otazioni sequenziali, non commutative. 35 Rotazioni Modo geneale: oll, pitch, e aw. (ω, φ, k): ollio, beccheggio e deiva. R ω = cosω sin ω sin ω cos ω R φ = cos φ sin φ sin φ cos φ R κ = cos k sin k sin k cos k 36 8

19 Rotazioni sequenziali Ciascuna otazione avviene su uno dei piani coodinati. 37 I) Rotazione attono all asse (oll) z = = 'cos ω+ z'sin ω = 'sin ω+ z' cosω 38 9

20 II) Rotazione attono all asse (pitch) z = = = cosφ + z sin φ + z sin φ cosφ z = 'cosφ + ( 'sin ω + z'cos ω)sin φ = 'cos ω+ z'sin ω = 'sin φ + ( 'sin ω+ z'cosω) cosφ 39 III) Rotazione attono all asse z (aw) z = = z = cos k + sin k + z sin k cosk z = ['cosφ + ( 'sin ω+ z'cosω)sin φ]cos k + ['cosω+ z'sin ω]sin k = ['cosφ + ( 'sin ω+ z'cosω)sin φ]sin k + ['cosω+ z'sin ω]cosk = 'sin φ + ( 'sin ω+ z'cosω) cosφ 4

21 Dalle otazioni alla matice di otazione Come è legata R alle te otazioni indipendenti? R = cos( ϕ)cos( k) cos( w) sin( k) sin( w) sin( ϕ)cos( k) sin( w) sin( k) + cos( w) sin( ϕ)cos( k) cos( ϕ) sin( k) cos( w) cos( k) + sin( w) sin( ϕ) sin( k) sin( w)cos( k) cos( w) sin( ϕ) sin( k) sin( k) sin( w)cos( ϕ) cos( w)cos( ϕ) Si icava eseguendo le otazioni sequenziali. Ogni otazione tiene femo un asse e agisce sul piano pependicolae. Rotazioni semplici utilizzate dai pogammi di animazione, gestione maticiale efficiente del calcolo. 4 Le matici affini P = RP + T => P = AP X' Y' Z' P P P = T T T z X Y Z P P P Matice di otazione Vettoe di taslazione 4

22 Composizione di tasfomazioni Si possono applicae tasfomazioni in successione, moltiplicando in odine oppotuno le matici. V =A A V = A (A V) =(A A )V la tasf. A viene applicata pe pima! icodiamo che il podotto di otazioni non è commutativo: R R R R 43 Tasfomazioni invese Denotiamo le invese come le matici affini: T -, S -, R -. La taslazione invesa si ottiene negando i coefficienti di taslazione. La scala invesa si ottiene pendendo il ecipoco dei coefficienti. La otazione invesa si ottiene negando l angolo di otazione. Matice tasposta. 44

23 Le matici affini (tasfomazione invesa) P = RP + T => P = AP R T RP = R T P R T T => P = A - P Poiezione di T sugli assi di aivo: i T X Y Z P P P = T T T T T T Tz X' P T z Y' P T Z' z P Matice di otazione (invesa) Vettoe di taslazione (inveso) 45 Tasfomazioni diette (significato geometico) Y Y P->P. Y Z Z T X P = RP + T X ) P = RP ) P = P + T X Z In questo paticolae caso: T = [T,] 46 3

24 Tasfomazioni invese (significato geometico) Y P ->P. Y Y X Z P = R T P R T T ) P = R T P ) P = P - T inv T inv X X Z T inv si può deteminae ossevando che il punto che viene taslato è P. Questo è espesso nel sistema di ifeimento con gli assi oientati come XYZ: T inv = -RT. Le componenti della taslazione sono ottenute poiettando T, nel sistema X Y Z, in T inv, nel sistema XYZ. Z 47 Veso tasfomazioni più complesse 48 4

25 Rotazione attono a un punto e paallela a un asse taslae l oggetto nell oigine, i coefficienti della taslazione T sono ifeiti al punto p uotae attono all oigine di un angolo θ taslae invesamente nel punto p M=T - RT 49 combinando le te tasfomazioni in un unica matice: p cosθ sinθ p p T RT = sinθ cosθ p = cosθ sinθ ( p cosθ + p sinθ + p ) sinθ cosθ ( p sinθ p cosθ + p ) 5 5

26 Rotazione attono a un punto e a un asse geneico: In geneale una tasfomazione composta è oganizzata: ot, ot, ot,3 t ot, ot, ot,3 t ot 3, ot 3, ot 3,3 t z otazione taslazione 5 Cambiamento di ifeimento Le tasf. si possono consideae applicate agli oggetti (punti in un s.d..) o come cambiamento di ifeimento In questo caso si espimono i punti in un nuovo s.d..; es. taslazione: ( ) T = T ' T ' T = z' T z z 5 6

27 Paametizzae le otazioni 53 Poblema : gimbal lock blocco del gioscopio espimiamo le otazioni con gli angoli di Euleo, te angoli di otazione attono agli assi coodinati (si pensi a un velivolo, aw, pitch, oll) implementiamo gli angoli di Euleo con le matici appena esaminate 54 7

28 icodiamo che le otazioni non sono commutative! eseguiamo una otazione di aw di 9 eseguiamo una otazione di pitch o oll di 9 cosa succede? abbiamo applicato la sequenza di otazioni R(,,),... R(πt,,),..., R(π,,) con <=t<= la sequenza coetta saebbe R(,,),... R(, πt, πt),..., R(, π, π) ma come fae a sapelo? (qui l esempio) 55 Poblema : Intepolae otazioni nella animazione si ichiede di modificae la posizione di un oggetto o della camea con taslazioni e otazioni intepolae taslazioni non pone poblemi da un fotogamma al successivo la otazione deve essee intepolata, è utile quindi pote espimee la otazione in foma paametica 56 8

29 se incementiamo di una piccola quantita un angolo più volte nascono poblemi di aotondamento se abbiamo otazione attono a un solo asse nascono iegolaità e movimenti a scatto se abbiamo più otazioni, dopo un po di tempo la matice non è più otogonale e la scena si defoma si può isolvee il poblema inomalizzando la matice a ogni passo comunque è una soluzione costosa 57 Specificae le otazioni Una matice di otazione geneica dipende da 9 paameti una otazione geneica ichiede un asse di otazione n e un angolo θ: solo 4 paameti (3 pe il vettoe, pe l angolo) (c è un teoema di Euleo che gaantisce ciò) 58 9

30 L R θ RL n V il vettoe può essee scomposto in una componente paallela a n e in una otogonale: =(n.) n L= - (n.) n la componente esta invaiata nella otazione, vaia solo la componente L (ossa). V sia otogonale a L: V=n L = n da cui il vettoe uotato (osso) espesso in funzione di V: RL = (cosθ)l+ (sinθ)v da cui: R = R + RL = R + (cosθ)l+ (sinθ)v = n. n + (cosθ)( n. n) + (sinθ)n = (cosθ) + ( cosθ)n(n.) + (sinθ)n 59 I quatenioni 6 3

31 Numei complessi (ichiami) I numei complessi sono una estensione dei numei eali e sono indispensabili pe isolvee equazioni del tipo: z=(-). Adottando il simbolo i pe denotae la adice quadata dell'unita negativa, la soluzione a questa equazione diventa z = ± i. Un numeo complesso z è una coppia odinata di numei eali. Si può quindi appesentae un numeo complesso con la notazione z=(,) dove appesenta la pate eale, denotata anche con Re{z}, mente appesenta la pate immaginaia, denotata anche conim{z}. 6 Un numeo complesso si può anche appesentae nella foma z=+i (oppue z=+j nella teoia dei segnali). Questa foma di appesentazione dei numei complessi viene anche chiamata "foma Catesiana". I numei complessi possono anche essee pensati come punti del "piano complesso", peciò i numei complessi possono essee consideati come un punto vista dal quale studiae la geometia analitica del piano. Si usa anche la appesentazione in coodinate polai Im{z} Im{z} (,) iθ z=+i=e Re{z} θ Re{z} 6 3

32 Sono definite numeose opeazioni ta numei complessi, in paticolae: somma : z + z =( + i)+( + i)=(+) + i(+) sottazione: z -z =( + i)-( + i)=( -) + i( -) complesso coniugato: z* = ( + i)* = ( - i) Le opeazioni di podotto e divisione sono più semplici nella foma polae, icodando le popietà degli esponenziali: podotto: z. z = e iθ. e iθ =. e i(θ+θ) divisione: z / z = e iθ / e iθ = / e i(θ θ) 63 Pe convetie un numeo complesso dalla foma catesiana a quella polae si icoe a popietà tigonometiche e al teoema di Pitagoa; infatti icodiamo che: = cos θ ; = sin θ ed, equivalentemente, le componenti e θ di un numeo complesso in coodinate polai si convetono in foma catesiana con le due equazioni: = + θ = actan 64 3

33 La appesentazione in foma polae più adeguata è basata sulla fomula di Euleo che pemette di appesentae un numeo complesso come esponenziale in base e in foma tigonometica: e iθ = cosθ + isinθ Le fomule di Euleo invese pemettono di ottenee seno e coseno dalla appesentazione esponenziale di un numeo complesso: cosθ = eiθ + e iθ sinθ = eiθ e iθ La coppia di valoi (cos θ, sin θ) appesenta un qualunque punto su un cechio di aggio unitaio centato nell'oigine, al vaiae di θ ; peciò pe individuae qualsiasi punto nel piano è sufficiente moltiplicae la foma esponenziale pe il modulo : i z = e iθ = cosθ + isinθ 65 I quatenioni la otazione di un vettoe di un angolo si può espimee con un opeatoe chiamato quatenione, caatteizzato da 4 numei eali abbiamo 4 gadi di libetà invece dei 9 elementi della matice useemo quatenioni unitai i quatenioni possono essee consideati come una genealizzazione dei numei complessi, con uno scalae s come pate eale e un vettoe v come pate immaginaia 66 33

34 denotiamo un quatenione con: q = s + i + j + zk dove i,j,k sono i quatenioni unitai ed equivalgono ai vettoi unitai degli assi in un sistema vettoiale e hanno le popietà: i = j = k =ijk=-; ij=k; ji=-k da queste popietà icaviamo le opeazioni somma e moltiplicazione 67 Opeazioni sui quatenioni somma: q+q =(s+s,v+v ) moltiplicazione: qq =(ss -vv, vv +sv + s v) coniugato: q=(s,v) q*=(s,-v) il podotto di un quatenione con il suo coniugato dà il modulo del quatenione: qq*=(ss- v )=q 68 34

35 quatenioni della foma: q=(s,(,,)) sono associati ai numei eali quatenioni della foma: q=(s,(a,,)) sono associati ai numei complessi negazione: dato q=(s,v) si ha -q=(-s,-v) identità moltiplicativa: QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. 69 inveso della moltiplicazione: QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. basta veificae che: QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. da cui qq - =q - q= quoziente: QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. 7 35

36 Se q = il quatenione è detto unitaio L insieme dei quatenioni unitai foma una sfea in uno spazio a 4 dimensioni Si può dimostae che se q=(s,v) alloa esiste un vettoe v e un numeo -π<=θ<=π tale che: q=(cos θ, v sin θ) Se q è unitaio alloa q=(cos θ, sin θ n) con n unitaio i quatenioni non sono commutativi ispetto al podotto, es: QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. (icodiamo: qq =(ss -vv, vv +sv + s v) 7 L R θ La otazione con quatenioni RL n V è definito dal quatenione p=(,) definiamo l opeatoe R q =q(.)q - con q quatenione unitaio (s,v) applicato a p l opeatoe dà: qpq - in foma esplicita: R q (p)=(,(s -v.v)+v(v.)+s(v) icodando che: se q è unitaio alloa q=(cos θ, sin θ n) con n unitaio e sostituendo si ha: R q (p)=(,(cos θ -sin θ )+ sin θ n(n.)+ cosθsinθ(n))= (, cosθ +(- cosθ n(n.)+sinθ(n)) 7 36

37 confontiamo la: (, cosθ +(- cosθ n(n.)+sinθ(n)) con l equazione icavata pima: (cosθ) + ( cosθ)n(n.) + (sinθ)n a meno del coefficiente sono identiche la otazione di un vettoe di (θ,n) si può quindi attuae: passando allo spazio dei quatenioni appesentando la otazione con un quatenione unitaio q=(cos θ/, sin θ/ n) applicando l opeatoe q(.)q - al quatenione (,) la otazione si paametizza quindi con i 4 paameti: cos θ/, sin θ/ n, sin θ/ n, sin θ/ n z 73 continua... un po di link kewod pe iceca in ete: quatenion, eule angle 74 37

38 L R θ RL n V il vettoe può essee scomposto in una componente paallela a n e in una otogonale: =(n.) n L= - (n.) n la componente esta invaiata nella otazione, vaia solo la componente L (ossa). V sia otogonale a L: V=n L = n da cui il vettoe uotato (osso) espesso in funzione di V: RL = (cosθ)l+ (sinθ)v da cui: R = R + RL = R + (cosθ)l+ (sinθ)v = n. n + (cosθ)( n. n) + (sinθ)n = (cosθ) + ( cosθ)n(n.) + (sinθ)n 75 denotiamo un quatenione con: q = s + i + j + zk dove i,j,k sono i quatenioni unitai ed equivalgono ai vettoi unitai degli assi in un sistema vettoiale e hanno le popietà: i = j = k =ijk=-; ij=k; ji=-k da queste popietà icaviamo le opeazioni somma e moltiplicazione 76 38

39 Opeazioni sui quatenioni somma: q+q =(s+s,v+v ) moltiplicazione: qq =(ss -vv, vv +sv + s v) coniugato: q=(s,v) q*=(s,-v) il podotto di un quatenione con il suo coniugato dà il modulo del quatenione: qq*=(ss- v )=q 77 quatenioni della foma: q=(s,(,,)) sono associati ai numei eali quatenioni della foma: q=(s,(a,,)) sono associati ai numei complessi negazione: dato q=(s,v) si ha -q=(-s,-v) identità moltiplicativa: QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue

40 inveso della moltiplicazione: QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. basta veificae che: QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. da cui qq - =q - q= quoziente: QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. 79 Se q = il quatenione è detto unitaio L insieme dei quatenioni unitai foma una sfea in uno spazio a 4 dimensioni Si può dimostae che se q=(s,v) alloa esiste un vettoe v e un numeo -π<=θ<=π tale che: q=(cos θ, v sin θ) Se q è unitaio alloa q=(cos θ, sin θ n) con n unitaio i quatenioni non sono commutativi ispetto al podotto, es: QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. QuickTime and a TIFF (LZW) decompesso ae needed to see this pictue. (icodiamo: qq =(ss -vv, vv +sv + s v) 8 4

41 L R θ La otazione con quatenioni RL n V è definito dal quatenione p=(,) definiamo l opeatoe R q =q(.)q - con q quatenione unitaio (s,v) applicato a p l opeatoe dà: qpq - in foma esplicita: R q (p)=(,(s -v.v)+v(v.)+s(v) icodando che: se q è unitaio alloa q=(cos θ, sin θ n) con n unitaio e sostituendo si ha: R q (p)=(,(cos θ -sin θ )+ sin θ n(n.)+ cosθsinθ(n))= (, cosθ +(- cosθ n(n.)+sinθ(n)) 8 confontiamo la: (, cosθ +(- cosθ n(n.)+sinθ(n)) con l equazione icavata pima: (cosθ) + ( cosθ)n(n.) + (sinθ)n a meno del coefficiente sono identiche la otazione di un vettoe di (θ,n) si può quindi attuae: passando allo spazio dei quatenioni appesentando la otazione con un quatenione unitaio q=(cos θ/, sin θ/ n) applicando l opeatoe q(.)q - al quatenione (,) la otazione si paametizza quindi con i 4 paameti: cos θ/, sin θ/ n, sin θ/ n, sin θ/ n z 8 4

42 ancoa un esempio uotiamo un oggetto di 8 attono all asse con la sequenza di otazioni R(,,),... R(πt,,),..., R(π,,) con <=t<= la seconda sequenza uota attono, z : R(,,),... R(, πt, πt),..., R(, π, π) la posizione finale e identica, ma l oggetto twista nella seconda occoe contollae i 3 angoli di Euleo pe govenae la sequenza desideata da qui l uso dei quatenioni 83 con i quatenioni la otazione ottenuta con la sequenza R(,,),... R(πt,,),..., R(π,,) è appesentata dal quatenione (cos(π/), sin(π/)(,,))=(,(,,)) la otazione ottenuta con la sequenza R(,,),... R(, πt, πt),..., R(, π, π) è appesentata dal podotto dei due quatenioni (,(,,))(,(,,)=(,(,,) Il isultato è uguale 84 4

43 Intepolae una sequenza di otazioni puo oa essee attuata da una sequenza di quatenioni la sequenza di matici di otazione espesse con angoli di Euleo viene tasfomata in una sequenza di quatenioni che danno oigine a una nuova sequenza di maticidi otazione come? 85 Entae e uscie dallo spazio dei quatenioni data una matice geneale di otazione deteminae il quatenione coispondente dato un quatenione deteminae la coispondente matice di otazione 86 43

44 pe uotae un vettoe p con il quatenione q usiamo l opeatoe: q(,p)q - dove q=(cos(θ/),sin(θ/)n)=(s,(,,z)) si può dimostae che questo coisponde ad applicae al vettoe la matice di otazione: ( + z ) sz s + z + sz ( + z ) s + z M = s + z s + z ( + ) 87 la tasfomazione invesa dalla matice al quatenione consiste nel pendee una geneica matice: M, M, M, M,3 M, M, M, M,3 M, M, M, M,3 M 3, M 3, M 3, M 3,3 in cui M 3,3 =; M,3 =M,3 =M,3 =M 3, =M 3, =M 3, = alti vincoli sulla matice sono: la somma degli elementi diagonali è: 4-4( + +z ) il quatenione deve essee unitaio, quindi: s + + +z = da cui: 4-4( + +z )=4-4(- s )=4 s 88 44

45 da questa equazione si icava: s =± M, + M, + M, + M 3,3 e inolte : = M, M, 4s = M, M, 4s z = M, M, 4s 89 Intepolazione lineae sfeica SLERP pe intepolae ta due quatenioni unitai deteminando i quatenioni intemedi che identificano le matici di otazione icodaimo che lo spazio dei quatenioni unitai foma una ipesefa nello spzio 4d, peciò tutti i quatenioni intepolati giacciono sulla sfea stessa. 9 45

46 una intepolazione lineae ingenua poduce angoli diseguali e quindi una vaiazione di velocità, da qui la nozione di intepolazione sfeica: A θ p Ω B intepoliamo lungo una linea geodesica che ha gli esteemi nei punti chiave in due dimensioni (pe semplicità) i punti A,B sono sepaati dall angolo Ω, e p foma con A un angolo θ. Deiviamo p con intepolazione sfeica con l equazione paametica: p=αa+βb; 9 p=αa+βb poiché: p =; A.B=cos(Ω) A.p=cos(θ) icaviamo: p=asin(ω -θ)/sin(ω)+bsin(θ)/sin(ω) 9 46

47 genealizzando in 4d l intepolazione ta due quatenioni unitai q e q che fomano l angolo: q.q = cos(ω) si ha, consideando θ come paameto <=u<=: slep(q,q,u) = q sin( u)ω sin(ω) + q sin(ωu) sin(ω) 93 esistono due possibili achi geodesici che vanno da q a q uno segue il pecoso più beve, l alto il più lungo, e questo equivale a intepolae lungo l angolo Ω o l angolo π Ω. Ciò consegue dal fatto che gli opeatoi q(.)q - e (-q)(.)(-q) - poducono il medesimo isultato pe decidee quale pecoso seguie occoe valutae la gandezza della distanza ta i due quatenioni e ta il pimo e il secondo negato: (p-q).(p-q) veso (p+q).(p+q) e scegliee il minoe, sostituendo, nel caso, q con -q

48 L intepolazione ta più di due posizioni chiave poduce geodesiche che possono essee discontinue nella deivata pima, quindi dà luogo a movimento con scatti. pe ovviae si valuta la velocità angolae e si suddividono gli intevalli pe il paameto in modo adeguato (più fitti quando la velocità è maggioe)