LICEO SCIENTIFICO STATALE E.FERMI

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1 LICEO SCIENTIFICO STATALE EFERMI SEDE: VIA MAZZINI, 7/ BOLOGNA Telef: 05/ F: 05/98 - Cdice fiscle: Sede Asscit: Vi Nzile Tsc, S Lzzr di Sve Telef: 05/ F: 05/ pst elettric: ps000d@istruzieit sit: wwwlicefermieduit PROGRAMMA DI MATEMATICA DELLA CLASSE 5ª C s 8/9 DOCENTE: GABRIELE MARIANI Lir di test: L mtemtic clri vl 5, L Sss, Petrii *umer delle re cmpresiv delle re di esercitzie e verifiche; il clcl per i sigli uclei fdti è d csiderrsi pprssimt e quidi purmete idictiv (sti pesre lle re dedicte lle verifiche elle quli qusi sempre s cmprsi più uclei, ppure lle re dedicte l ripss) L smm delle re crrispde lle 5 re di mtemtic effettivmete svlte durte l - Nucle fdte: LIMITI DI FUNZIONI (cpitli,, ) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt: Ore * Cei di tplgi dell rett rele: defiizie di itr cmplet di u put, itr destr, itr siistr Defiizie di put di ccumulzie per u sttisieme di R Defiizie di put islt L defiizie di limite (utilizzd gli itri) per fuzii reli di vriile rele ei quttr csi: limite fiit l di u fuzie per che tede u umer fiit 0; limite destr e siistr, limite ifiit di u fuzie per che tede u umer fiit 0 (sitti verticli); limite destr e siistr; limite fiit l di u fuzie per tedete ll ifiit (sitti rizztli); limite ifiit di u fuzie per tedete ll ifiit N rilevz dell evetule vlre di f i 0 i relzie lim f ( ) (distizie tr vlre putule e vlre limite, zie di ccett lcle vs ccett putule vs ccett glle: l zie di limite è u ccett lcle, ssi il vlre limite dipede sl dl cmprtmet dell fuzie itr 0, m i 0 APPLICAZIONI: esercizi di verific di u vlre limite ssegt medite l defiizie di limite (ricerc di u pprprit itr i cui è verifict l disequzie che cmpre ell defiizie di limite) per i primi due csi I due teremi sui limiti (è stt sltt, ivece, il t dell uicità del limite): L: terem dell permez del seg (c dimstrzie): se f ( ) > 0 i u itr di 0 privt l più di 0 L: terem del cfrt ( dei due criieri ) (c dimstrzie) N ivertiilità del terem dell permez del seg c ctresempi (es ( ) psitiv i u itr di privt di, m lim del seg: se f ( ) > 0 i u itr di 0 lim f ( ) = 0 l (m ecessrimete >) lim f ( ) = > 0 l llr = è strettmete è psitiv) ed ivers dele del terem dell permez privt l più di 0 e se esiste fiit lim f ( ), llr Il clcl dei limiti: L lger dei limiti (sez dimstrzii): limite dell smm, dell differez, del quziete di due fuzii, del reciprc di u fuzie; ccett di pseudugugliz (es umer [ ], + + = + = 0, ) cme prtiche scritture che permett u sitesi rpid dei teremi reltivi ll lger dei limiti Itrduzie di ltre pseuduguglize [ e ] = +, [ e ] = 0,[l 0 ] =,[l + ] = + ) cme sitesi rpid di ltri risultti ti di clcl dei limiti ( ( ) ricvili i md frmle medite l defiizie 0,,, 0, 0,, + e metdi per l determizie del vlre limite 0 Frme di idecisie [FI]: [ ] [ ] 0 0 ei csi i cui si preset u frm di idecisie: limite per le fuzii rzili itere per ± (regl rpid

2 del grd mssim ricvt cme cseguez del rccglimet frzt del mmi di grd mssim); limite per le fuzii rzili irrzili frtte per ± che preset l FI [ ] (regl rpid del grd mssim che pplict i più pssggi, ricvt cme cseguez del rccglimet frzt dell ptez di di grd mssim); limite per tedete d u vlre fiit di u fuzie rzile frtt che preset l FI [ 0 0 ] (medite scmpsizie/semplificzie); limiti di fuzii irrzili frtte che preset l FI [ 0 0 ] [ + ] (metd dell rzilizzzie) ecc si Prim limite tevle (c dimstrzie): lim = e limiti rilevti d ess derivti 0 Secd limite tevle: lim + = e (sez dimstrzie) e limiti rilevti d ess derivti Dmde teriche ricrreti elle iterrgzii rli reltivmete quest prte: frisci l defiizie di limite (ed evetulmete utilizzl i csi semplici (sl primi due) per verificre u limite ssegt); euci e dimstr i due teremi sui limiti (permez seg, cfrt); mstr u ctresempi per fr vedere che vle il terem ivers del terem dell permez del seg; 4 dimstr il prim limite tevle si lim = 0 - Nucle fdte: FUNZIONI CONTINUE (cpitl 4) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt Ore * Defiizie di fuzie ctiu i u put e i u itervll L zie di ctiuità i u put è si u ccett lcle che putule, ssi dipede si dl cmprtmet dell fuzie itr 0, m che dl su cmprtmet i 0 L lger dei limiti e le fuzii ctiue (l smm, il prdtt ecc di fuzii ctiue i 0 è u fuzie ctiu i 0 ); l ctiuità i gi put del dmii delle fuzii elemetri (ptez, espezili, lgritmiche, gimetriche, gimetriche iverse) =, =, = si, = rcsi e delle fuzii =, lg espresse medite u uic espressie litic tteiili d queste medite u umer (fiit) di perzii di ddizie mltipliczie medite cmpsizie Puti di disctiuità (il put di ccumulzie 0 pprtiee l dmii di f) e lr clssificzie (I tip slt, II tip e III tip elimiile ); iterpretzie grfic Puti di siglrità (il put di ccumulzie 0 pprtiee l dmii di f ) e lr clssificzie (I tip slt, II tip e III tip elimiile ); iterpretzie grfic APPLICAZIONI: Clcl dei limiti pplict ll studi dell ctiuità di u fuzie e ll ricerc e clssificzie dei puti di siglrità/disctiuità; imprre che u fuzie defiit trtti (c prmetri) si c ctiu sul su dmii APPLICAZIONI: Clcl dei limiti pplict ll ricerc degli sitti verticli, rizztli ed liqui (frmule sez dimstrzie per l determizie dei prmetri m e q dell sitt liqu) I tre teremi sulle fuzii ctiue (sez dimstrzie): C Il terem di Blz ( di esistez degli zeri): u fuzie defiit su u itervll chius e limitt [, ] e ivi ctiu se ssume vlri discrdi gli estremi dell itervll llr mmette lme u zer iter ll itervll: c ], [ : f ( c) = 0 Esempi e ctresempi: ecessità (idispesilità) delle iptesi, ssi il terem è ver se u delle iptesi viee mcre, el ses che esist fuzii che sddisfced che sl u delle iptesi sddisf l tesi: ctresempi i cui si preset u fuzie che, defiit su [, ] e ctiu che ssume vlri ccrdi gli estremi, h zeri Il terem esprime u cdizie sufficiete m ecessri per l esistez di u zer, ssi esist fuzii che verific l tesi del terem sez sddisfre le iptesi: ctresempi i cui si preset u fuzie defiit su u [, ] h zeri che se è ctiu che se ssume vlri ccrdi gli estremi dell itervll chius e limitt [, ] Osservzii sull uicità dell zer: se l fuzie è (strett) mt su [, ] llr è iiettiv e quidi mmette u uic zer (m ctresempi per fr vedere quest è cdizie sufficiete m ecessri per vere l uicità dell zer) C Il terem di Weierstrss ( sull esistez del mssim e miim sslut): u fuzie defiit su u

3 itervll chius e limitt [, ] e ivi ctiu mmette m e mi ssluti [, ] : f ( ) f ( ) [, ] ; m put di mssim sslut m mssim sslut [, ] : f ( ) f ( ) [, ] mi put di miim sslut mi miim sslut Esempi e ctresempi: il terem esprime u cdizie sufficiete m ecessri per l esistez del mssim e del miim sslut di f: u fuzie può vere mssim e miim sslut che se il dmii è u itervll chius e limitt se l fuzie è ctiu su [, ] Necessità (idispesilità) delle iptesi, ssi il terem è ver se u delle iptesi viee mcre, el ses che esist fuzii che sddisfced u delle iptesi sddisf l tesi: ctresempi i cui si preset u fuzie che, defiit su itervll chius m limitt, ppure su u itervll limitt m chius, ppure defiit su [, ] m ctiu su ess, mmette mssim e miim sslut C Il terem di Dru u fuzie defiit su u itervll qulsisi e ivi ctiu h per isieme delle immgii u itervll ( ecessrimete dell stess tip, c esempi) Esempi e ctresempi: il terem esprime u cdizie sufficiete m ecessri ffiché l isieme delle immgii si u itervll: u fuzie può vere cme isieme delle immgii u itervll che se il dmii è u itervll se l fuzie è ctiu sul su dmii Necessità (idispesilità) delle iptesi, ssi il terem è ver se u delle iptesi viee mcre, el ses che esist fuzii che sddisfced u delle iptesi sddisf l tesi: ctresempi i cui si preset u fuzie che, defiit su isieme divers d u itervll che è defiit su u itervll m è ctiu, h per isieme delle immgii u isieme divers d u itervll Crllri (Dru+Weierstrss): il terem dei vlri itermedi: u fuzie defiit su u itervll chius e limitt [, ] = f ( ) e e ivi ctiu ssume lme u vlt tutti i vlri cmpresi mi f ( ) R [, ] f ( ) = m = m ssi mi m mi Dmde teriche ricrreti elle iterrgzii rli reltivmete quest prte: 5 frisci l defiizie di fuzie ctiu i u put; 6 frisci l defiizie di put siglre/ di put di disctiuità ei vri csi ed illustrl grficmete; 7 euci il terem di Blz; illustrl grficmete; stilisci, c u pprtu ctresempi, perché ess esprime u cdizie sufficiete m ecessri ffiché u fuzie i u zer; spieg che cs si itede per ecessità (idispesilità) delle iptesi, fred gli pprtui ctresempi; 8 euci il terem di Weierstrss; illustrl grficmete; stilisci, c u pprtu ctresempi, perché ess esprime u cdizie sufficiete m ecessri ffiché u fuzie i mssim e miim ssluti; spieg che cs si itede per ecessità delle iptesi, fred gli pprtui ctresempi; 9 euci il terem di Dru; illustrl grficmete; stilisci, c u pprtu ctresempi, perché ess esprime u cdizie sufficiete m ecessri ffiché u fuzie i qule isieme delle immgii u itervll; spieg che cs si itede per ecessità delle iptesi, fred gli pprtui ctresempi; 0 euci il terem dei vlri itermedi e spieg perché ess discede immeditmete di t di Weirstrss e Dru - Nucle fdte: DERIVATA DI UNA FUNZIONE: (cpitl 5) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt Ore *, e icremet h di u fuzie = f ( ) L defiizie di rpprt icremetle di put iizile 0 [ ] defiit su [, ] e il su sigifict gemetric cme pedez dell rett secte il grfic di f e psste per i puti del grfic di f sciss 0 e 0 + h L defiizie di derivt prim di u fuzie i u su put cme limite del rpprt icremetle per h 0, mmess che tle limite esist fiit, e il su sigifict gemetric ituitiv cme pedez dell rett tgete l grfic di f e el su put di sciss 0 (l qule per defiizie h pedez pri f '( 0) ) APPLICAZIONE: l ricerc dell rett tgete l grfic di u fuzie i u su put Il clcl dell derivt prim i u put utilizzd l defiizie Terem: l derivilità i u put implic l ctiuità, m vicevers (c dimstrzie e ctresempi per fr vedere che vle il terem ivers; = : ctiu i = 0 m derivile i = 0) Puti (di ctiuità m) di derivilità e lr clssificzie (puti glsi, puti di fless tgete verticle e puti di cuspide, csi misti, puti tgete verticle, esempi: = : che preset u put gls i = 0; = che preset u put tgete verticle i = 0; = che preset u put di fless tgete

4 verticle i 0 = ; = che preset u put di cuspide i = 0) APPLICAZIONE: imprre che u fuzie defiit trtti c prmetri si ctiu e derivile (c ticipzie m sez dimstrzie frmle del criteri di derivilità cme cs prticlre del terem sul limite dell fuzie derivt : se = f ( ) è ctiu i = c e derivile itr c e lim f '( ) = lim f '( ) (fiiti), ssi se + c c f '( c) = f '( c) (fiiti), llr f è derivile che i = c e il vlre (fiit) cmue di tli limiti è f '( c )) + L fuzie derivt prim L fuzie derivt prim di lcue fuzii elemetri ( =, =,, = si, = e, = l ) c clcl dirett segued l defiizie Le regle di derivzie (lger delle derivte); l derivt del prdtt di u fuzie per u cstte, dell smm di due fuzii, del prdtt di due fuzii (sez dimstrzie), del quziete di due fuzii, del reciprc di u fuzie e l derivt dell fuzie cmpst (sez dimstrzie) Il terem sull derivt dell fuzie ivers (c dimstrzie, semplifict) APPLICAZIONE: l derivt delle fuzii gimetriche iverse Dmde teriche ricrreti elle iterrgzii rli reltivmete quest prte: frisci l defiizie di derivt; clcl medite l defiizie, l derivt prim di u fuzie i u put; ricv medite l defiizie l espressie litic delle fuzii derivte di lcue fuzii; f vedere che se u fuzie è derivile i u put llr è ctiu i quel put; mstr c u ctresempi che vle il vicevers; 4 frisci l defiizie di put gls, di cuspide, di fless tgete verticle; frisci esempi specifici reltivi; 5 euci e dimstr (c dim semplifict) il terem dell derivt dell fuzie ivers; 6 pplic il terem dell derivt dell fuzie ivers per clclre l derivt di lcue fuzii, i prticlre delle fuzii gimetriche iverse; 4- Nucle fdte: I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE (cpitl 6) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt Ore * Il terem di Fermt (c dimstrzie): se c è u put estremte reltiv iter l dmii di u fuzie derivile i c, llr f '( c ) = 0 (ssi è u put stziri); vlidità del terem ivers (esistez dei puti di fless tgete rizztle), c ctresempi: = i cui 0 = è u put stziri, m u put estremte reltiv (è u put di fless tgete rizztle) Osservzie: i u put estremte reltiv l derivt può esistere se per iptesi è grtit l derivilità Terem di Rlle (c dimstrzie) e su iterpretzie gemetric Terem di Lgrge (c dimstrzie) e su iterpretzie gemetric; i due crllri del T di Lgrge (c dimstrzie): se u fuzie defiit su u itervll h derivt ideticmete ull llr è cstte (m se il dmii è u itervll llr l cstte può essere divers per gu degli itervlli i cui è pssiile suddividere il dmii: fuzii cstti m cstti trtti ); se due fuzii defiite sull stess itervll h derivte uguli llr differisc per u cstte; ppliczie: per dimstrre che u fuzie defiit su u itervll è cstte st verificre che l derivt è ideticmete ull, esempi rcsi rccs = + APPLICAZIONI: imprre che u fuzie c prmetri sddisfi le tre hp del T di Rlle le due hp del T di Lgrge I teremi di De L'Hôpitl (sez dimstrzie), ppliczie dirett l clcl di limiti che preset l FI [ 0 0 ] e [ ] e limiti ricduciili che preset l FI [ 0 ]; essezilità dell iptesi esiste il limite del rpprt delle derivte mstrt medite ctresempi (d esempi 4 + si 4 lim = = (tteut c rccglimet 5 + cs cs frzt + (frmlmete) terem del cfrt) m il limite del rpprt dell derivte lim esiste i 5 si qut tle rpprt è u fuzie peridic e tutte le fuzii peridiche ( cstti) h limite per ) Terem su seg dell derivt prim e mti dell fuzie, csiddett criteri di mti (c dimstrzie); se per u fuzie derivile f si h f '( ) > 0 su u itervll llr f è crescete su quell itervll; vlidità del terem ivers: u fuzie può essere (str) crescete su itervll, m l derivt 4

5 può essere vuque psitiv: ctresempi =, fuzie crescete su R m i cui = 0 è u put stziri; vlidità dell ivers dele: se u fuzie derivile f è crescete su u itervll, llr f '( ) 0 Puti di mssim e miim reltiv di u fuzie e lr ricerc medite l studi del seg dell derivt prim L ricerc del mssim e miim sslut di u fuzie ctiu su [, ]: prlemi di mssim e miim sslut i gemetri pi, slid, litic, i prlemi di trigmetri, ei csiddetti prlemi dll reltà Ccvità/cvessità e puti di fless, l rett tgete iflessile; studi dell cvessità/ccvità e ricerc dei puti di fless c l us dell fuzie derivt secd ssi medite l studi del seg dell derivt secd (tutt sez dim) APPLICAZIONI: imprre che u fuzie c prmetri sddisfi lcue cdizii ssegte (tipicmete pssggi per u put, vere i u dt put u put di mi/m reltiv, vere i u dt put u put di fless) APPLICAZIONE: dl grfic di f l grfic di f ' Dmde teriche ricrreti elle iterrgzii rli reltivmete quest prte: 7 euci e dimstr il terem di Fermt; 8 mstr c pprtui esempi perché essere put stziri è é cdizie ecessri (esistez di puti di derivilità che s che puti di m/mi reltiv), é sufficiete (esistez dei puti di fless tgete rizztle) ffiché u put iter l dmii si di estrem reltiv; 9 euci, dimstr ed iterpret grficmete il t di Rlle; euci, dimstr ed iterpret grficmete il t di Lgrge; euci e dimstr i due crllri del t di Lgrge; che cs si può dire i geerle se u fuzie h derivt ideticmete ull? euci e dimstr il criteri di mti per fuzii derivili; spieg perché, c pprtu ctresempi, ess è ivertiile; 5- Nucle fdte: LO STUDIO DI FUNZIONE: (cpitl 7) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt L studi cmplet di fuzie rele di vriile rele: dmii, simmetrie derivti d evetule prità/disprità, seg se lgericmete fttiile, itersezii c gli ssi itersezie c l sse se lgericmete fttiile-, limiti gli estremi del dmii ed evetuli sitti (rizztli, verticli, liqui), ctiuità e ricerc e clssificzie degli evetuli puti di disctiuità e di siglrità; clcl dell fuzie derivt prim e su dmii turle e ricerc e clssificzie degli evetuli puti di derivilità; studi del seg dell derivt prim e ricerc degli itervlli di mti, dei puti di mssim e miim reltiv e dei puti di fless tgete rizztle; clcl dei mssimi e miimi reltivi; clcl dell fuzie derivt secd (sl se trpp cmpless lgericmete) e studi dell '' cvessità/ccvità medite l studi del seg di f ; puti di fless, evetule ricerc delle rette tgeti iflessili; isieme delle immgii; grfic prile (e quidi stilire, se richiest, se l fuzie è iiettiv, suriettiv, ivertiile) Ore* 5 6- Nucle fdte: CALCOLO INTEGRALE: (cpitli 8, 9, 0) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt Ore * Defiizie di primitiv di u fuzie su u itervll e di itegrle idefiit Regle di itegrzie immedite (lierità dell pertre ) Itegrli idefiiti immediti e lr geerlizzzie el cs delle fuzii cmpste e sue ppliczii che stdrd Itegrzie per prti: f ( ) g '( ) d = f ( ) g( ) f '( ) g( ) d (itegrzie per prti itert, itegrzie per prti ricrsiv, c utilizz del fttre per l itegrzie per prti di = l, di = rcsi ) f ( ) d f ( t) φ '( t) dt Itegrzie per sstituzie: = ( φ ) Defiizie di itegrle defiit (itegrle di Riem) per u fuzie ctiu defiit sull itervll [, ] cme limite cmue dell successie delle smme superiri S e iferiri s per + (si è dett, sez dimstrzie, che prtire del ftt che f è ctiu i [, ] si ptree dimstrre che tli limiti esist, s fiiti e cicid, cme suggerit dll ituizie gemetric) e sigifict dell itegrle defiit el cs i cui f ( ) 0 su [, ] (re del sttgrfic di f rispett ll sse delle ) 5

6 c, f ( ) d = ( ) c Alcue prprietà dell itegrle defiit: f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d (sez dim) f ( ) g ( ) [, ] f ( ) d g ( ) d f d, Il clcl dell re che el cs di fuzie egtiv su [, ] seg vriile; il clcl dell re rcchius tr i grfici di due più fuzii; esempi c sttgrfici rispett ll sse (evetule utilizz dell fuzie ivers) L defiizie di vlr medi (itegrle) itegrle (c dimstrzie) e su sigifict gemetric L fuzie itegrle elemetre F( ) f ( t) dt f = f ( ) d di u fuzie su u itervll; il terem dell medi = Terem fdmetle del clcl itegrle di Trricelli-Brrw (c dimstrzie): se f è u fuzie ctiu llr F, l fuzie itegrle di f, è derivile e vle F '( ) = f ( ), ssi F è u primitiv di f Il crllri (csiddett regl di clcl) del terem fdmetle del clcl itegrle che permette di clclre u itegrle defiit ricducedsi ll determizie di u qulsisi primitiv (e quidi dell itegrle idefiit): [ ] f ( ) d = h ( ) = = h ( ) h ( ) ve h è u qulsisi primitiv di f (c dimstrzie) = = APPLICAZIONE: dl grfic di = f ( ) l grfic di F( ) f ( t) dt φ ( ) L itegrzie per sstituzie e gli itegrli defiiti: = ( φ ) f ( ) d f ( t ) φ '( t ) dt φ ( ) Le fuzii itegrli cmpste β ( ) = f t dt e G( ) ( ) β ( ) = f t dt e le lr fuzii derivte prime: α ( ) H ( ) ( ) G '( ) = f ( β ( )) β '( ), H '( ) = f ( β ( )) β '( ) f ( α( )) α '( ) Appliczii: limiti di fuzii itegrli, ricerc dei puti stziri di u fuzie itegrle, ricerc dell rett tgete Clcl del vlume di slidi di rtzie itr ll'sse e ttr ll sse ; metd dei gusci cilidrici (sez dim) I geerle il clcl dei vlumi cl metd delle sezii rmli Itegrli i ses geerlizzt (itervll illimitt fuzie illimitt) Le equzii differezili: ccett geerle; il prlem di Cuch; risluzie delle equzii differezili vriili seprili (cei) Riferimeti sul lir di test: L Sss L Mtemtic Clri, vlume 5; cpitl 8 (it idefiit), prgrfi,,, 4, 5 (cei); il cpitl 9 (itegrle defiit) è stt sstituit dlle dispese per mlti spetti; per qut rigurd il cp 0 (equ diff) s stti trttti i sli prgrfi e prte del Dmde teriche ricrreti elle iterrgzii rli reltivmete quest prte: 4 frisci l defiizie di primitiv e spieg perché tutte le primitive differisc per u cstte; 5 frisci l defiizie di itegrle di Riem; 6 frisci l defiizie e l iterpretzie gemetric di vlr medi (itegrle) di u fuzie; euci e dimstr il terem dell medi itegrle; 7 euci e dimstr il terem fdmetle del clcl itegrle; 8 euci e dimstr l regl di clcl per gli itegrli defiiti; 9 spieg perché gi fuzie ctiu su [,] mmette u primitiv su [,] 6

7 7- Nucle fdte: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ (cpitl ) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt: Ore * Vriili letrie fiite e discrete e distriuzii di prilità di u vriile letri fiit e discret; defiizie X : Ω R 0 di vriile letri cme fuzie che ssci d gi esit di u esperimet letri u ω X ( ω ) = i i i umer rele; vriili letrie discrete e fiite, ssi che pss ssumere sl u umer fiit di vlri L distriuzie di prilità di u vriile letri discret e fiit Vlr medi ttes V ( X ) = σ = µ p = p µ i= i E( X ) = µ = p e vriz i= i i ( ) i i i i di u vriile letri discret e fiit Sigifict del vlre ttes, cme vlre cui tede l medi ritmetic dei vlri ssuti d X se si ripete l esperimet letri u umer grde di vlte Gichi equi, ssi gichi i cui il vlre ttes dell vriile letri gudg/perdit è ull Il prlem delle prve idipedeti - ripetute (prcess di Berulli): l distriuzie imile di prmetri e p : B( ; p ) ssi l distriuzie che segue u vriile letri X che ct il umer k di successi i prve idipedeti (prcess di Berulli) c p = prilità del success i u sigl prv; l frmul k k p( X = k) = p ( p) k V ( X ) = p( p) se X B( ; p) (sez dimstrzie) Medi e vriz di u vriile letri imile: E( X ) = p, L distriuzie di Piss (es di vriile letri discret, m ifiit); defiizie di u vriile letri X che k λ λ segue u distriuzie di Piss di prmetr λ se p( X = k) = e ; medi e vriz di u vriile k! letri che segue u distr di Piss: E( X ) = λ, V ( X ) = λ se X P( λ) (sez dimstrzie) Vriili letrie e distriuzie ctiue: l fuzie f di desità di prilità per clclre l prilità che X ssum vlri pprteeti d u itervll I : p( X I) f ( ) d c p( X c) = f ( ) d ecc Medi E( X ) = µ = f ( ) d + e vriz ( ) =, i prticlre ( ) ( ) I p X f d =, + + V ( X ) = σ = µ f ( ) d = f ( ) d µ L fuzie di riprtizie = F( ) = f ( t) dt e su legme c l desità di prilità: F '( ) f ( ) i cui f è ctiu L medi vlre medi di u distriuzie ctiu di prilità: medi medi f ( t) dt = e su iterpretzie grfic = per gi F( medi ) =, ssi Vriili letrie X che segu u distriuzie espezile di prmetr λ ; l desità di prilità di u vriile letri che segue u distriuzie espezile: λe λ se 0 f ( ) ; medi e vriz di u vriile = 0 se < 0 letri che segue u distr espezile: E( X ) =, V ( X ) = se X Esp( λ) λ λ X p( X i ) = p p p *cmpresive delle re di esercitzie delle verifiche, lle quli v ggiute 6 re di simulzie di simulzie di II prv Blg, 6 giug 9 FIRMA DEL DOCENTE FIRMA DEGLI STUDENTI ttle re* 5 7