Problema di Ottimizzazione Combinatoria

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1 Problema di Ottimizzazioe Combiatoria I questo paragrafo defiiamo che cosa si itede per problema di ottimizzazioe combiatoria e mostriamo alcui esempi di problemi che ammettoo ua formulazioe a umeri iteri o biaria. Parliamo di ottimizzazioe perché abbiamo come obiettivo quello di massimizzare o miimizzare ua fuzioe obiettivo, e diremo che essa è combiatoria perché dovremo idividuare quali oggetti facciao parte della soluzioe e quali o. L espressioe più geerale di u problema di ottimizzazioe combiatoria è questa: Dati: u isieme A = {a 1, a 2,..., a } di elemeti; u vettore c = (c 1, c 2,..., c ) di costi associati agli elemeti ; ua famiglia F di sottoisiemi ammissibili di A; Trovare: u sottoisieme X F I modo tale che: sia ottimizzata la fuzioe obiettivo (di espressioe data). I questa descrizioe per famiglia si itede u isieme di sottoisiemi dell isieme dato A. Ioltre, per mateere la massima geeralità o abbiamo defiito l espressioe della fuzioe obiettivo, é se essa vada miimizzata o massimizzata, cose che dipedoo dallo specifico problema i esame. Ipotizzado di dover miimizzare ua fuzioe obiettivo c(x), i modo compatto possiamo scrivere che il problema di Ottimizzazioe Combiatoria descritto sopra corrispode a mi{c(x) : X F}. La famiglia F è solitamete descritta (co precisioe) a parole, e bisoga trovare dei vicoli, di espressioe lieare, che siao ammissibili da tutti e soli i sottoisiemi di A che soo ammissibili, ossia da quei sottoisiemi che appartegoo a F. E importate che tutti gli isiemi che appartegoo a F verifichio i vicoli che scriveremo, altrimeti potrebbe succedere che l ottimo si trovi proprio i corrispodeza di ua di quelli esclusi, e la formulazioe o sarebbe i grado di determiarlo. Al cotrario, è importate che solo gli isiemi che appartegoo a F verifichio i vicoli che scriveremo, altrimeti potrebbe succedere che la formulazioe determii ua soluzioe ottima proprio i corrispodeza di u sottoisieme di A che o appartiee a F, cosa che o deve mai succedere. Per poter scrivere ua formulazioe, itera o biaria che sia, è ecessario trovare u modo corretto per rappresetare ogi possibile sottoisieme di A, cosa che avviee attraverso la scelta delle variabili. Successivamete ci si porrà il problema di come descrivere tutti e soli i sottoisiemi della famiglia F, cosa che avviee attraverso la defiizioe dei vicoli. La rappresetazioe di ogi possibile sottoisieme di A è comue a molti problemi di ottimizzazioe combiatoria, per questo motivo e parliamo i questo paragrafo. Al cotrario, la descrizioe della famiglia F dipede dalla sua defiizioe, quidi dipede dal particolare problema i esame: per questo sarà oggetto degli esempi. I sottoisiemi di A vegoo bee descritti dal vettore di icideza. Dato u sottoisieme X A, il suo vettore di icideza x è u vettore biario co compoeti, alle quali si attribuisce il seguete sigificato: { 1 se ai F x i = per i = 1, 2,...,. 0 se a i F Duque ogi sottoisieme X A ammette u vettore di icideza, e al cotrario u qualsiasi vettore biario a compoeti idetifica uivocamete, attraverso il valore assuto dalle sue compoeti, u sottoisieme di u isieme di elemeti, come è A. Possiamo duque utilizzare tale vettore x biario a compoeti ella formulazioe. La scelta di u vettore biario a compoeti è corretta ache da u puto di vista dimesioale, come ora mostriamo. I possibili sottoisiemi di u isieme dato A, comprededo i questo eleco il sottoisieme vuoto, e il sottoisieme completo A, soo i umero di 2, e formao l isieme delle parti di A, che viee idicato co P(A) (stiamo dicedo quidi che P(A) = 2 ). Il umero delle possibili cofigurazioi di u vettore biario a compoeti è esattamete 2. Il sigificato associato ai possibili valori di ogi compoete del vettore crea ua corrispodeza biuivoca tra i sottoisiemi di A e le cofigurazioi del vettore biario. 24

2 Esempio: Sia A = {a, b, c}. L isieme P(A) delle parti di A è P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} (si oti che il primo sottoisieme cosiderato i P(A) è l isieme vuoto, che ultimo è A stesso, e che P(A) = 2 3 = 8). Il vettore x che utilizziamo, secodo la defiizioe, è u vettore biario a = 3 compoeti. Le sue cofigurazioi soo 2 3 = 8 e soo (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1). Secodo la defiizioe esse, ell ordie, rappresetao i sottoisiemi di A elecati sopra. Per quato riguarda i vicoli della formulazioe, essi adrao scritti i modo tale da redere ammissibili per la formulazioe tutte e sole le cofigurazioi del vettore a compoeti che corrispodoo a sottoisiemi che appartegoo alla famiglia F. I alcui casi ci verrà i aiuto il poliomio caratteristico del sottoisieme. Esso viee scritto così: x i + (1 x i ) a i X a i X Ad esempio, se = 4 e X = {a 1, a 4 }, otteiamo x 1 + (1 x 2 ) + (1 x 3 ) + x 4 L equazioe lieare che si ottiee uguagliado a il poliomio caratteristico di u sottoisieme X A è verificata esclusivamete dal vettore caratteristico del sottoisieme X. Ad esempio: se = 4 e X = {a 1, a 4 }, l equazioe x 1 + (1 x 2 ) + (1 x 3 ) + x 4 = 4 è verificata solo dal vettore x = (1, 0, 0, 1). Al cotrario, tutti gli altri vettori x verificao x 1 + (1 x 2 ) + (1 x 3 ) + x 4 3 (si ricordi che la somma di k termii biari, come soo x i e (1 x j ), o può mai eccedere k!). Duque se il vettore x = (1, 0, 0, 1) o è ammissibile, è sufficiete scrivere il vicolo x 1 + (1 x 2 ) + (1 x 3 ) + x 4 3, Ifie, se le codizioi che descrivoo i sottoisiemi che devoo essere ammessi o esclusi coivolgoo solo alcue delle variabili ma o tutte, il poliomio caratteristico coivolgerà solo tali variabili. Ad esempio, se dobbiamo idetificare il gruppo dei sottoisiemi che cotegoo a 1 ma o cotegoo a 3 (co essua altra codizioe sugli altri elemeti) scriveremo il poliomio x 1 +(1 x 3 ). Se i sottoisiemi che cotegoo a 1 ad o cotegoo a 3 soo ammissibili, scriveremo x 1 + (1 x 3 ) = 2 (il 2 è dovuto al fatto che due soo i termii biari el poliomio). Se, ivece, i sottoisiemi ammissibili soo tutti trae quelli che cotegoo a 1 ad o cotegoo a 3 allora scriveremo x 1 + (1 x 3 ) 1, cioè x 1 x 3 0. Vediamo alcui esempi. Formulazioe di u problema i cui F={sottoisiemi di A composti da 3 elemeti} Avedo scelto di rappresetare i sottoisiemi di A attraverso il loro vettore di icideza, il umero di elemeti di u qualsiasi sottoisieme X A, ossia la sua cardialità, è pari al umero di elemeti 1 del vettore di icideza. Siccome solo gli elemeti 1 cotribuiscoo a ua somma, metre gli 0 o cotribuiscoo a ua somma, possiamo calcolare X come i=1 x i. L apparteeza di u sottoisieme di A alla famiglia F dei sottoisiemi ammissibili per il problema si traduce quidi facilmete el vicolo: i=1 x i = 3. Questo vicolo descrive esattamete la famiglia F, perché solo i vettori biari co (esattamete) tre compoeti di valore 1 lo verificao, quidi soo soluzioi ammissibili della formulazioe. Questo sarà l uico vicolo della formulazioe biaria del problema. Tato per completare la formulazioe, suppoiamo che il ostro obiettivo sia quello di scegliere il sottoisieme X F di costo miimo, dove per costo si itede la somma dei costi c j degli elemeti el sottoisieme scelto, ossia a c j X j (i costi degli elemeti soo dati). La fuzioe obiettivo, utilizzado le variabili x j si scrive mi j=1 c jx j dove a secoda che x j valga 1 oppure 0, i coefficieti di costo dao u cotributo effettivo o ullo alla fuzioe obiettivo, a secoda 25

3 dell apparteeza dell elemeto a j al sottoisieme scelto. La formulazioe completa quidi è: mi j=1 c jx j j=1 x j = 3 x j {0, 1} per j = 1, 2,..., Formulazioe di u problema i cui F={sottoisiemi di A che escludoo 4 elemeti dell isieme A} Avedo scelto di rappresetare i sottoisiemi di A attraverso il loro vettore di icideza, il umero di elemeti che o fao parte di di u sottoisieme X A è pari al umero di elemeti 0 del vettore di icideza. Per cotare gli 0 di u vettore di variabili biarie dobbiamo scrivere i=1 (1 x i). L apparteeza di u sottoisieme di A alla famiglia F dei sottoisiemi ammissibili per il problema si traduce quidi facilmete el vicolo: i=1 (1 x i) = 4. Questo vicolo descrive esattamete la famiglia F, perché solo i vettori biari co (esattamete) quattro compoeti di valore 0 lo verificao, quidi soo soluzioi ammissibili della formulazioe. Questo sarà l uico vicolo della formulazioe biaria del problema. Se il ostro obiettivo era quello di scegliere il sottoisieme X F di costo massimo, otteiamo la seguete formulazioe: max j=1 c jx j j=1 (1 x j) = 4 x j {0, 1} per j = 1, 2,..., Formulazioe di u problema i cui F = P(A) Come sempre, dobbiamo scrivere dei vicoli che lascio fuori dalla regioe ammissibile della formulazioe i vettori di icideza dei sottoisiemi che o appartegoo a F. Ma dato che F = P(A), o ci soo sottoisiemi o ammissibili, quidi la formulazioe è priva di vicoli. Quelli che ivece soo ecessari soo i vicoli che descrivoo il tipo (biario) delle variabili. Immagiado che la fuzioe obiettivo sia di miimizzazioe della somma dei costi degli elemeti i u sottoisieme, allora la formulazioe risulta: mi j=1 c jx j x j {0, 1} per j = 1, 2,..., La formulazioe è evidetemete baale perché la soluzioe è immediata: la soluzioe ottima è il sottoisieme degli elemeti che hao i costi 0. Quidi se tutti i costi soo positivi, la soluzioe ottima è l isieme vuoto, altrimeti è il sottoisieme degli elemeti co costo egativo o ullo. Formulazioe di u problema i cui F = P(a) \ {a 1, a 2, a 3 } L isieme di vicoli che scriveremo dovrà essere verificato da tutti i possibili sottoisiemi di A trae {a 1, a 2, a 3 }. Si oti che soo ammissibili sia tutti i sottoisiemi propri dell isieme vietato (ad esempio {a 1 }, oppure {a 1, a 3 }), sia quei sottoisiemi che cotegoo propriamete il sottoisieme vietato (ad esempio {a 1, a 2, a 3, a 4 }, oppure A stesso). Sembrerebbe aturale scrivere il vicolo x 1 + x 2 + x 3 2. Questo ha sì l effetto di elimiare l isieme {a 1, a 2, a 3 }. Tuttavia, ha l effetto di elimiare ache tutti quegli isiemi che cotegoo propriamete {a 1, a 2, a 3 } (ad esempio, verrebbero cosiderati iammissibili gli isiemi {a 1, a 2, a 3, a 4 } e A stesso, che abbiamo appea detto essere apparteeti a F). Quidi questo o è u vicolo adatto per descrivere F. 26

4 U modo corretto per scrivere ua formulazioe biaria è quello che utilizza il poliomio caratteristico del sottisieme. Per = 4 esso risulta x 1 + x 2 + x 3 + (1 x 4 ). Il vettore di icideza (1, 1, 1, 0) di tale sottoisieme è l uico che verifica il vicolo x 1 + x 2 + x 3 + (1 x 4 ) = 4, e quidi, è l uico che o verifica x 1 + x 2 + x 3 + (1 x 4 ) 3. Dovedo escludere il solo sottoisieme {a 1, a 2, a 3 }, e ell ipotesi che si tratti di idividuare il sottoisieme di peso massimo (il peso di u sottoisieme essedo defiito come la somma degli elemeti che esso cotiee), la formulazioe risulta max c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 x 1 + x 2 + x 3 x 4 2 x j {0, 1} per j = 1, 2,..., 4. Formulazioe di u problema i cui F = P(a) \ ({a 1, a 3, a 4 } {a 2, a 3 }) Il vettore di icideza (1, 0, 1, 1) del sottoisieme {a 1, a 3, a 4 } viee escluso dalla disequazioe x 1 + (1 x 2 ) + x 3 + x 4 3. Il vettore di icideza (0, 1, 1, 0) del sottoisieme {a 2, a 3 } viee escluso dalla disequazioe (1 x 1 ) + x 2 + x 3 + (1 x 4 ) 3. La formulazioe richiesta è, quidi max c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 x 1 x 2 + x 3 + x 4 2 x 1 + x 2 + x 3 x 4 1 x j {0, 1} per j = 1, 2,..., 4. Ifatti: il vettore (1, 0, 1, 1) o sarà ammissibile perché verifica il solo secodo vicolo ma o il primo; il vettore (0, 1, 10) o sarà ammissibile perché verifica il solo primo vicolo ma o il secodo. Ogi altro vettore, quidi ogi altro sottoisieme, sarà ammissibile perché verificherà etrambi i vicoli della formulazioe. Formulazioe di u problema i cui F = {a 1, a 3, a 4 } {a 2, a 3 } Il vettore di icideza (1, 0, 1, 1) del sottoisieme {a 1, a 3, a 4 } è l uico che verifica l equazioe x 1 + (1 x 2 ) + x 3 + x 4 = 4. Il vettore di icideza (0, 1, 1, 0) del sottoisieme {a 2, a 3 } è l uico che verifica l equazioe (1 x 1 )+x 2 +x 3 +(1 x 4 ) = 4. Quidi la prima uguagliaza o è verificata da essu vettore, eccetto (1, 0, 1, 1), e la secoda o è verificata da essu vettore, eccetto (0, 1, 1, 0). Di cosegueza, se scrivessimo come vicoli della formulazioe le due uguagliaze, la formulazioe o avrebbe soluzioe ammissibile perché o esiste u vettore che le verifica etrambe! Tuttavia (1, 0, 1, 1) deve veire ricoosciuto come ammissibile per il fatto che verifica la prima uguagliaza, e o ci iteressa che verifichi la secoda, e (1, 0, 1, 1) deve veire ricoosciuto come ammissibile per il fatto che verifica la secoda uguagliaza, e o ci iteressa che verifichi la prima! Quidi dobbiamo itrodurre ua uova variabile biaria y che distigua tra queste due situazioi. Ogi equazioe deve prima essere trasformata ella coppia di disequazioi corrispodeti (ad esempio x 1 + (1 x 2 ) + x 3 + x 4 = 4 viee sostituita dalla coppia x 1 + (1 x 2 ) + x 3 + x 4 4 e x 1 + (1 x 2 ) + x 3 + x 4 4). Tuttavia, i ogi coppia, ua delle due disequazioi è sempre verificata, quidi può essere trascurata (delle due disequazioi appea scritte, quella co il può essere omessa perché sempre verificata, ifatti la somma di 4 termii biari o può mai valere più di 4). Semplificado le costati si ottiee la seguete formulazioe: max c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 x 1 x 2 + x 3 + x 4 3 M(1 y) x 1 + x 2 + x 3 x 4 2 My x j {0, 1} per j = 1, 2,..., 4 y {0, 1}. 27

5 Formulazioe di u problema i cui F = {sottoisiemi di A che cotegoo sia a 1, sia a 3 } Di uovo, utilizziamo il poliomio caratteristico, questa volta limitatamete alle variabili x 1 e x 3. Esso risulta: x 1 + x 3. Dato che i sottoisiemi di A che cotegoo a 1 e a 3 soo i soli ammissibili, e che il umero di variabili el vicolo è 2, la formulazioe risulta: mi j=1 c jx j x 1 + x 3 = 2 x j {0, 1} per j = 1, 2,..., I alterativa, al posto del vicolo x 1 + x 3 = 2 si potevao utilizzare i due vicoli x 1 = 1 e x 3 = 1. Questi coppia di vicoli è equivalete al precedete: ifatti il primo vicolo implica etrambi i vicoli della coppia, e viceversa (ossia i due vicoli della coppia, isieme, implicao il primo). Queste implicazioi valgoo solo perché le variabili soo biarie. Se le variabili o fossero state biarie, ma, ad esempio, itere o egative (cioè x i 0, e itera), tale equivaleza o sarebbe stata valida, dato che il vicolo x 1 + x 3 = 2 avrebbe ammesso tutte le soluzioi i cui x 1 = 2 e x 3 = 0 e quelle i cui x 1 = 0 e x 3 = 2, che o soo ivece cofigurazioi ammesse dai vicoli x 1 = 1 e x 3 = 1. Per quato appea detto, ella formulazioe proposta si potrebbe applicare il vicolo di uguagliaza a 1 di x 1 e di x 3, ed elimiare il vicolo e tali variabili dalla formulazioe. I questo modo si otterrebbe la seguete formulazioe: mi c 2 x 2 + c 4 x 4 + c 5 x c x x j {0, 1} per j = 2, 4, 5,...,. Questa formulazioe è defiita su 2 variabili. Dopo averla risolta, occorre solo fare attezioe alla ricostruzioe della soluzioe desiderata ( variabili) e al calcolo del suo costo. La soluzioe al problema dato si ottiee dall uioe della soluzioe di questa formulazioe co gli elemeti a 1 e a 3, ovvero re-iseredo le compoeti x 1 e x 3 co valore 1 el vettore, per riportare il vettore alla dimesioe. Il costo della soluzioe fiale si calcola aggiugedo c 1 + c 3 al valore della fuzioe obiettivo della formulazioe. Formulazioe di u problema i cui F = {sottoisiemi X A tali che a 4 X = a 2 X} Questo esempio mostra come si trasforma u implicazioe i u vicolo lieare i variabili biarie. Nella fattispecie, il vicolo di iteresse è x 4 1 x 2. Ifatti, se x 4 = 1 allora x 2 = 0, metre se x 4 = 0 allora x 2 può assumere sia il valore 0 che il valore 1, come desiderato. Nell ipotesi di voler massimizzare il peso del sottoisieme, la formulazioe risulta: max j=1 c jx j x 2 + x 4 1 x j {0, 1} per j = 1, 2,..., Formulazioe di u problema i cui F = {sottoisiemi X A tali che a 1 X se e solo se a 3 X} Questo esempio mostra come si trasforma il se e solo se i u vicolo lieare i variabili biarie: precisamete, il vicolo di iteresse è x 1 = x 3. È facile vedere che tale vicolo esprime la codizioe desiderata. Nell ipotesi di voler massimizzare il peso del sottoisieme, la formulazioe risulta: max j=1 c jx j x 1 x 3 = 0 x j {0, 1} per j = 1, 2,..., 28

6 Set Coverig, Set Partitioig, Set Packig U problema di Set Coverig (copertura di isiemi per mezzo di elemeti) è defiito come segue: Dati: u isieme A = {a 1, a 2,..., a } di elemeti; u costo c j 0 associato all elemeto a j A, per j = 1, 2,..., ; ua famiglia F = {A 1, A 2,..., A m : A i A per i = 1, 2,..., m} di m sottoisiemi di A; Trovare: u sottoisieme X A di A I modo tale che: da ogi sottoisieme A i, vega scelto almeo u elemeto, per i = 1, 2,..., m; e sia miimo il costo c(x) = a j X c j del sottoisieme X scelto. La formulazioe di u Set Coverig è la seguete: ovvero mi mi cx a j A i x j 1 per i = 1,..., m x {0, 1} cx j=1 e i,jx j 1 per i = 1,..., m x {0, 1} { 1 se Ai a dove e i,j = j. Si oti che la geerica riga i della matrice E dei coefficieti della 0 se A i a j formulazioe, è u vettore di elemeti 0,1 che rappreseta il vettore di icideza del sottoisieme A i. Si osservi che, essedo i costi c j tutti o egativi, il problema diveterebbe baale se dovessimo massimizzare la fuzioe obiettivo, aziché miimizzarla. Ifatti X = A, ossia l itero isieme, sarebbe soluzioe ottima del problema. Se la matrice E = [e i,j ] è la matrice di icideza (cioè la matrice odi/archi) di u grafo G, allora la formulazioe di Set Coverig risolve il problema dell Edge Cover (copertura dei odi attraverso u sottoisieme di archi): dati u grafo G = (V, F ) co pesi associati agli archi, trovare u sottoisieme X F di archi, tale che da ogi odo vega scelto almeo uo degli archi icideti sul odo stesso, e sia miimo il peso complessivo del sottoisieme X. Se la matrice E = [e i,j ] è la trasposta della matrice di icideza di u grafo G, allora la formulazioe di Set Coverig risolve il problema del Node Cover (copertura degli archi attraverso u sottoisieme di odi): dati u grafo G = (V, F ) co pesi associati ai odi, trovare u sottoisieme X V di odi, tale che da ogi arco vega scelto almeo uo dei odi suoi estremi, e sia miimo il peso complessivo del sottoisieme X. Se egli m vicoli del Set Coverig, viee itrodotto il sego di = al posto del, allora si parla di Set Partitioig. L euciato di u problema di Set Partitioig è il seguete: Dati: u isieme A = {a 1, a 2,..., a } di elemeti; u costo c j 0 associato all elemeto a j A, per j = 1, 2,..., ; ua famiglia F = {A 1, A 2,..., A m : A i A per i = 1, 2,..., m} di m sottoisiemi di A; Trovare: u sottoisieme X A di A I modo tale che: da ogi sottoisieme A i, vega scelto esattamete u elemeto, per i = 1, 2,..., m; e sia miimo (oppure massimo) il costo c(x) = a j X c j del sottoisieme X scelto. La formulazioe a umeri iteri di u Set Partitioig è la seguete (ell ipotesi di optare per la miimizzazioe): mi cx a j A i x j = 1 per i = 1,..., m x {0, 1} 29

7 ovvero mi cx j=1 e i,jx j = 1 per i = 1,..., m x {0, 1} { 1 se Ai a dove e i,j = j. Si oti che la geerica riga i della matrice E dei coefficieti della 0 se A i a j formulazioe, è u vettore di elemeti 0,1 che rappreseta il vettore di icideza del sottoisieme A i. Nel caso i esame, visti i vicoli di uguagliaza, ha seso tato miimizzare che massimizzare il valore della fuzioe obiettivo, e essua soluzioe è baale da determiare. Se gli m vicoli che el Set Coverig soo di e el Set Partitioig soo di =, vegoo trasformati i vicoli di e la fuzioe obiettivo è di massimizzazioe, allora si parla di Set Packig. Il suo euciato è: Dati: u isieme A = {a 1, a 2,..., a } di elemeti; u costo c j 0 associato all elemeto a j A, per j = 1, 2,..., ; ua famiglia F = {A 1, A 2,..., A m : A i A per i = 1, 2,..., m} di m sottoisiemi di A; Trovare: u sottoisieme X A di A I modo tale che: da ogi sottoisieme A i, vega scelto o più di u elemeto, per i = 1, 2,..., m; e sia massimo il costo c(x) = a j X c j del sottoisieme X scelto. La formulazioe a umeri iteri di u Set Packig è la seguete: ovvero max max cx a j A i x j 1 per i = 1,..., m x {0, 1} cx j=1 e i,jx j 1 per i = 1,..., m x {0, 1} Si oti che la fuzioe obiettivo è da massimizzare perché, essedo i costi o egativi, il problema sarebbe baale se si chiedesse di miimizzare il valore della fuzioe obiettivo: la soluzioe vuota X = sarebbe soluzioe ottima del problema. Se la matrice E = [e i,j ] è la matrice di icideza di u grafo G, allora la formulazioe di Set Packig risolve il problema del Matchig di peso massimo: dati u grafo G = (V, F ) co pesi associati agli archi, trovare u sottoisieme X F di archi, tale che da ogi odo vega scelto al più uo degli archi icideti sul odo stesso, e sia massimo il peso complessivo del sottoisieme X. Se la matrice E = [e i,j ] è la trasposta della matrice di icideza di u grafo G, allora la formulazioe di Set Packig risolve il problema dell Isieme Idipedete di peso massimo: dati u grafo G = (V, F ) co pesi associati ai odi, trovare u sottoisieme X V di odi, tale che da ogi arco vega scelto al più uo dei odi suoi estremi, e sia massimo il peso complessivo del sottoisieme X. Siao R cover, R part, e R pack le regioi ammissibili, rispettivamete, per i problemi di Set Coverig, di Set Partitioig, e di Set Packig, ossia gli isiemi delle soluzioi ammissibili dei tre corrispodeti problemi. Risulta R part R cover, R part R pack e R cover R pack = R part : ifatti ogi soluzioe ammissibile di Set Partitioig è ammissibile tato per Set Coverig, tato per Set Packig, metre o è vero che ogi soluzioe ammissibile di Set Coverig è ammissibile per Set Partitioig, é che ogi soluzioe ammissibile di Set Packig è ammissibile per Set Partitioig. Questo è chiaro ache dall aalisi di quei vicoli che, a secoda del problema, soo di, di =, oppure di. 30

8 Bi Packig L euciato di u problema del Bi Packig è il seguete: Dati: u isieme A = {a 1, a 2,..., a } di elemeti; u peso p i 0 associato all elemeto a i A, per i = 1,..., ; u umero itero o egativo B; Trovare: ua partizioe di A i k sottoisiemi A j A di elemeti di A, j = 1,..., k I modo tale che: il peso totale degli oggetti i uo stesso sottoisieme A j o ecceda B, e il umero k di sottoisiemi della partizioe sia miimo. Per partizioe di A i k sottoisiemi si itede ua collezioe di k sottoisiemi di A, precisamete A 1, A 2,..., A k, co la proprietà che la loro uioe forma l isieme A, cioè k j=1 A j = A 1 A 2 A k = A, e che A p A q = per ogi p = 1,..., k, q = 1,..., k, i j. Ua partizioe di A, i altre parole, è ua famiglia di sottoisiemi di A tale che ogi elemeto appartiee a esattamete u isieme. Il problema di Bi Packig può essere pesato come il problema di impacchettare oggetti dati, di peso oto, el miimo umero k di coteitori di uguale capacità B. Per poter scrivere ua formulazioe a umeri iteri del problema, occorre scegliere le variabili da usare. Delle variabili servoo per idicare quali soo i sottoisiemi { A j : a questo scopo 1 se ai A possiamo utilizzare delle variabili 0-1, e precisamete delle variabili x i,j = j per 0 se a i A j i = 1,... e j = 1,...,. Occorre ipotizzare che possao essere ecessari u umero di sottoisiemi (coteitori) esattamete pari al umero degli elemeti, ossia che ua soluzioe ottima possa avere ecessità di tale umero di sottoisiemi. Tale umero è chiaramete sufficiete (stiamo implicitamete assumedo che gli oggetti siao idivisibili), ed è ecessario, per esempio, se il peso p i di ogi oggetto a i verifica p i > B/2 per i = 1,...,. I geerale, poi, se l ottimo farà uso di k sottoisiemi, vorrà dire che k sarao sottoisiemi vuoti. Quidi, oltre alle variabili x i,j appea itrodotte, occorrerao delle variabili che idichio { se il geerico sottoisieme A j è vuoto 1 se Aj o o. A tale scopo, itroduciamo le variabili biarie y j = per j = 1,...,. Il fatto 0 se A j = che l isieme A j sia vuoto o o si può dedurre dal umero A j = i 1 x i,j di elemeti che e fao { 1 se i parte, quidi possiamo scrivere y j = 1 x i,j > 0 0 se per j = 1,...,. Questa defiizioe i 1 x i,j = 0 mostra chiaramete che esiste u legame forte tra le variabili x e le y: tale legame va espresso opportuamete co uo o più vicoli ella formulazioe. La fuzioe obiettivo della formulazioe è questa: mi z = 1y = j 1 y j. Poi bisoga assicurare che la soluzioe idividuata sia ua partizioe, e cioè che ogi elemeto faccia parte di esattamete u sottoisieme: x i,j = 1 per i = 1,...,. j=1 Per assicurare che il peso totale di ogi sottoisieme o ecceda il limite B, si scrivoo i vicoli p i x i,j B per j = 1,...,. Ifie, per esprimere il legame tra le x e le y, si può scrivere i=1 x i,j y j per i = 1,..., e j = 1,...,. 31

9 I questo modo, tutte le volte che a siistra del c e uo 0, il vicolo è baale (0 y j ), metre tutte le volte che c è u 1 la y j corrispodete è costretta ad assumere valore 1 (ifatti 1 y j implica y j = 1). Questo o è l uico modo di scrivere dei vicoli che leghio le x alle y. Aziché gli 2 vicoli precedeti possiamo scrivere gli vicoli segueti: x i,j My j per j = 1,..., i=1 dove M >> 0 è la solita costate di valore molto più grade di tutti i p i o addirittura della loro somma, e serve per compesare il fatto che i=1 x i,j potrebbe assumere valori > 1. Ifatti, i=1 x i,j può assumere valori tra 0 e, e My assume o il valore 0 (quado y = 0) o il valore M (quado y = 1). U modo acora più sofisticato per vicolare il valore delle y al valore delle x è il seguete p i x i,j By j per j = 1,...,. i=1 Ifatti, se l isieme A j è vuoto, cioè se x i,j = 0 per i = 1,..., chiaramete ache i=1 p ix i,j = 0, quidi il vicolo è baale (e la fuzioe obiettivo fisserà y j = 0 perché coveiete per la miimizzazioe). Al cotrario, se l isieme A j cotiee almeo u elemeto, si ha che i=1 p ix i,j > 0 cosa che implica y j = 1 perché altrimeti il vicolo o potrebbe essere verificato. Al cotempo, el mometo i cui y j = 1, il termie destro della disequazioe assume valore B, portado alla luce il vicolo sul limite di peso. Se si decide di utilizzare questi vicoli ella formulazioe, allora possoo essere omessi i vicoli i=1 p ix i,j B per j = 1,...,. I defiitiva, la formulazioe a umeri iteri di u Bi Packig è idifferetemete ua delle tre segueti mi z = 1y = j=1 y j i=1 p ix i,j B per j = 1,..., x i,j y j per i = 1,... e j = 1,..., j 1 x i,j = 1 per i = 1,..., oppure mi z = x {0, 1} 2 y {0, 1} 1y = j=1 y j i=1 p ix i,j B per j = 1,..., i=1 x i,j My j per j = 1,..., j 1 x i,j = 1 per i = 1,..., oppure mi z = x {0, 1} 2 y {0, 1} 1y = j=1 y j i=1 p ix i,j By j per j = 1,..., j 1 x i,j = 1 per i = 1,..., x {0, 1} 2 y {0, 1} Localizzazioe Il problema di localizzazioe cosiste el decidere dove sistemare alcue postazioi i modo da garatire ua buoa efficieza del servizio. Possiamo pesare di dover sistemare sul territorio 32

10 alcue caserme di vigili del fuoco i modo che ogi puto importate della città o si trovi più lotao di u certo itervallo di tempo da almeo ua caserma. Per puto importate, o puto critico, itediamo u qualsiasi puto che possa rappresetare u itero quartiere, ad esempio, u ospedale, la scuola, la biblioteca, la piazza pricipale, etc... Ioltre si suppoe che siao ote a priori le possibili aree (siti) dove istallare le caserme. Ogi sito è caratterizzato da u costo, che è il costo che adrebbe sosteuto per istallarvi ua caserma, e che è diverso, geeralmete parlado, da sito a sito. Il problema cosiste el decidere i quale siti istallare le caserme i modo da garatire la qualità del servizio richiesta, e i modo da miimizzare il costo totale di costruzioe. Formalmete: Dati: u isieme P = {p 1, p 2,..., p m } di m puti critici; u isieme S = {s 1, s 2,..., s } di siti dove localizzare il servizio, oguo caratterizzata da u costo c j di istallazioe, j = 1, 2,..., ; ua matrice D di dimesioi m il cui geerico elemeto d i,j rappreseta la distaza miima, i tempo, che separa il puto critico p i dal sito s j, per ogi i = 1, 2,..., m, e j = 1, 2,..., ; e u itero k 0. Trovare: i quali siti istallare il servizio I modo tale che: tutti i puti critici siao serviti etro k miuti, e sia miimizzato il costo totale di istallazioe. Trattadosi di u problema di selezioe di u sottoisieme, è coveiete che la soluzioe sia rappresetata dal vettore di icideza del sottoisieme scelto, quidi è comodo utilizzare variabili biarie, ua per ogi area, alle quali associamo il seguete sigificato: { 1 se verrà istallato u puto di servizio el sito sj x j = 0 se o verrà istallato u puto di servizio el sito s j Come al solito, ua tale scelta delle variabili permette di spostare all itero dei termii della sommatoria le iformazioi sulla soluzioe. Ifatti alla sommatoria cotribuirao, come richiesto, tutti e soli i costi dei siti i cui verrà istallato u puto di servizio. La fuzioe obiettivo della formulazioe quidi si scrive: mi c j x j. j=1 Passiamo ora a scrivere il vicolo sulla qualità del servizio. Ua soluzioe ammissibile, come già detto, è u sottoisieme di siti che el complesso assicurao che ogi puto critico sia servito etro il tempo prefissato k. Acor prima di scrivere il vicolo appropriato, questa richiesta ci permette di capire se ua istaza del problema ha (almeo ua) soluzioe ammissibile. Se, ifatti, ella matrice D vi soo ua o più righe i cui elemeti hao tutti valori > k, allora il problema o ha soluzioe perché esiste u puto critico che dista più del cosetito da ogua delle aree possibili per la localizzazioe del servizio. Escludedo che ci si trovi i questo caso, passiamo a discutere la forma dei vicoli che assicurao la desiderata qualità del servizio. Cosideriamo gli m vicoli d i,j x j k per ogi i = 1, 2,..., m, e per ogi j = 1, 2,...,. Questi vicoli, come ora mostriamo, hao u effetto opposto a quello desiderato, quidi NON soo corretti. Ifatti, cosideriamo u qualsiasi puto critico p h. Gli vicoli relativi a p h che scriviamo soo d h,j x j k per ogi j = 1, 2,...,. Da questi vicoli segue ecessariamete che x j = 0 per tutti i siti s j che distao più di k da p h (cosa assolutamete errata!); cotemporaeamete, questi vicoli o riescoo a imporre che si attrezzi allo scopo previsto almeo uo dei siti raggiugibili etro k miuti da p h. I altre parole, i vicoli cosiderati, creao dai ad altri, impoedo che il servizio o vega istallato i puti lotai, e creao dai a sé stessi i quato o implicao che vega istallato il servizio i almeo uo dei siti vicii. Quidi occorre pesare ad altre espressioi per i vicoli. Ripartiamo proprio da quest ultima osservazioe per scrivere dei vicoli corretti. Ifatti, quello che a oi iteressa o è cofrotare la distaza d i,j che separa il puto critico p i dal sito s j, ma 33

11 assicurare che tra i siti accettabili per il puto critico p i (ossia tra quelli che hao distaza da p i o superiore a k) e vega scelta almeo ua. Defiiamo S(i) come l isieme dei siti s j che distao o più di k dal puto critico i, ossia S(i) = {s j L : d i,j k}, per i = 1, 2,..., m. I vicoli da scrivere ella formulazioe soo allora La formulazioe completa, quidi è s j S(i) x j 1 per i = 1, 2,...,. ovvero mi cx s x j S(i) j 1 per i = 1,..., x {0, 1} mi cx j=1 a i,jx j 1 per i = 1,..., x {0, 1} dove la matrice dei coefficieti della formulazioe è ua matrice biaria A, i cui il geerico elemeto a i,j vale 1 se il j-esimo sito è ammissibile per il puto critico p i, ossia se d i,j k, e vale 0 altrimeti, ossia se d i,j > k L isieme degli 1 della geerica coloa j della matrice A idica il sottoisieme dei puti critici raggiugibili dal sito s j etro k miuti. Allo stesso modo, l isieme degli 1 della geerica riga i della matrice idica il sottoisieme dei siti raggiugibili etro k miuti dal puto critico p i (la riga, i altre parole, è il vettore di icideza di tale sottoisieme di L). L importaza della matrice A sta el fatto che essa rede combiatori i dati della D, ifatti sitetizza l ammissibilità di u sito rispetto a u puto critico utilizzado 2 soli valori. Al cotrario, la matrice D è ua matrice di umeri reali, che cotiee co fi troppo dettaglio le iformazioi che servoo a oi, ifatti cotiee la distaza di ogi puto critico da ogi area. Da questi valori, tramite u preprocessameto (che è quello che ha permesso di defiire gli elemeti a i,j ) siamo i grado di estrarre l iformazioe che serve a oi, e co il grado di sitesi più opportuo. Il problema di localizzazioe si rivela essere u problema di Set Coverig. Suppoiamo che o ci vega data la matrice D, ma ci vegao foriti i tempi di percorreza di tutte le strade della città. Per costruire la matrice D possiamo usare l algoritmo di Moore- Dijkstra per determiare la distaza (i tempo) tra ogi puto critico e ogi sito. Per costruire la matrice A, possiamo derivarla dalla D ua volta determiata quest ultima. I alterativa, sfruttiamo le caratteristiche dell algoritmo citato (adare a rivedere il suo fuzioameto!), che raggiuge le località per distaze o decresceti a partire dal geerico puto critico p i. No appea raggiugiamo ua località (sito o o) che dista più di k miuti da p i, vuol dire che le successive località soo sicuramete più distati, quidi fissiamo a i,j = 1 i corrispodeza ai siti s j che abbiamo già raggiuto a partire da p i e, per esclusioe, possiamo fissare a i,j = 0 per tutti gli altri. Vicoli del tipo Se...Allora... Quado ci si trova i preseza di richieste del tipo Se...Allora..., si procede i questo modo. Facciamo u esempio, e suppoiamo che la richiesta sia che se x 4 allora y 3, co x e y variabili itere e o egative. Ci troviamo davati al problema di distiguere tra due situazioi: 34

12 x 4 oppure x 3 (...l Altrimeti!). Quidi itroduciamo ua uova variabile biaria, w {0, 1} che verrà usata per scrivere i vicoli x 4 M(1 w) y 3 + M(1 w) x 3 + Mw w = 1 ricoosce la situazioe x 4, e associa a questa situazioe il vicolo y 3. w = 0 ricoosce la situazioe opposta, cioè x 3 e o le associa altri vicoli perché (i questo caso) o richiesto. Attezioe a o dimeticare mai questa secoda parte perchè, se omettessimo il terzo vicolo (l Altrimeti!), il solutore potrebbe porre w = 0, rededo sempre verificati i 2 vicoli rimaeti, e quidi potrebbe riteere erroeamete ammissibili coppie (x, y) quale, ad esempio, la (6, 6). Formulazioe di u problema i cui ua variabile è costretta ad assumere valore all itero di u isiemi di valori fissati a priori Sia dato il seguete problema di ottimizzazioe combiatoria: mi{cx : Ax b, x 1 {a 1, a 2,..., a k }, x 2,..., x 0}, dove ua delle variabili del problema, la x 1, può assumere uo solo tra k valori distiti a 1, a 2,..., a k. Questa codizioe può essere espressa co dei vicoli lieari se si iseriscoo k variabili biarie y i, che assumoo valore 1 quado x 1 = a i, e valore 0 altrimeti. La formulazioe risultate, che descrive esattamete il ostro problema e che ha tutti vicoli lieari è la seguete: mi cx + 0y Ax b x 1 = a 1 y 1 + a 2 y a k y k y 1 + y y k = 1 y {0, 1} k x i 0 per i = 2, 3,..., E facile verificare che questa formulazioe descrive esattamete il ostro problema, e ha tutti i vicoli lieari, come richiesto. Il umero di variabili di questa formulazioe è + k, e precisamete le variabili formao u vettore i cui (per esempio) le prime compoeti corrispodoo alle variabili x e le ultime k corrispodoo alle y. Assumedo che A abbia dimesioi m, il umero di vicoli della formulazioe proposta è m + 2, a cui vao aggiuti i vicoli che specificao il tipo delle variabili x e della y. Si osservi, ifie, che, come al solito, al mometo della risoluzioe bisogerà sostituire ai vicoli di uguagliaza due vicoli di, dado luogo a u problema co m + 4 vicoli. Formulazioe di u problema i cui si devoo verificare almeo k vicoli i u isieme di m vicoli dati L euciato del problema è il seguete Dati: u vettore costi c = (c 1, c 2,... c ), u itero k > 0, e gli m vicoli lieari i variabili reali x 1, x 2,..., x ; a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1, x b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2, x b 2... a m,1 x 1 + a m,2 x a m, x b m 35

13 Trovare: ua soluzioe x = (x 1, x 2,..., x ); I modo tale che: il valore cx sia miimo e siao rispettati almeo k vicoli tra gli m dati. Il problema si formula itroducedo m variabili fuzioali biarie y i, che assumoo valore 1 se l iesimo vicolo è attivo, e valore 0 se il vicolo è baalmete verificato. La formulazioe risultate è: mi cx + 0y a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1, x b 1 M(1 y 1 ) a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2, x b 2 M(1 y 2 )... a m,1 x 1 + a m,2 x a m, x b m M(1 y m ) y 1 + y y m k x i 0 per i = 1, 2,..., y {0, 1} m dove M >> 0. E chiaro che servao delle variabili biarie per distiguere se l i-esimo vicolo è attivo oppure o. Tuttavia ulla vieta di associare a queste due situazioi il sigificato opposto a quello defiito sopra. I altre parole, proviamo a defiire m variabili fuzioali biarie z i, che assumoo valore 0 se l i-esimo vicolo è attivo, e valore 1 se il vicolo è baalmete verificato. La formulazioe risultate sarà allora: mi cx + 0z a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1, x b 1 Mz 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2, x b 2 Mz 2... a m,1 x 1 + a m,2 x a m, x b m Mz m z 1 + z z m m k x i 0 per i = 1, 2,..., z {0, 1} m dove M >> 0. Il vicolo z 1 + z z m m k deriva dalle segueti cosiderazioi. Se il problema richiede che siao verificati almeo k vicoli tra gli m dati, allora ecessariamete ve e devoo essere al più m k o verificati. Data la defiizioe delle z i, u vicolo o è verificato quado la corrispodete variabile vale 1. Il umero dei vicolo o verificati, duque, è pari alla quatità z 1 + z z m. Da qui il vicolo. U modo equivalete di ragioare si basa sull osservazioe che y i = 1 z i, sulla base dei sigificati associati alle variabili y e z. Prediamo il vicolo y 1 + y y m k e sostituiamo a ogi y i il valore (1 z i ) otteedo (1 z 1 ) + (1 z 2 ) + + (1 z m ) k, da cui il vicolo z 1 + z z m m k. Passi logici ella formulazioe di u problema decisioale Siamo ora i grado di riassumere quali soo i passi logici ecessari per formulare u problema decisioale. I primo luogo, occorre compredere di che tipo è la decisioe da predere. Questo ci permette di stabilire il tipo di variabili da utilizzare ella formulazioe. Se la decisioe cosiste ello scegliere uo di due casi possibili (decisioe di tipo si/o, o/off, ivestimeto da fare o o fare, etc...) allora il tipo di variabili più idicato è il tipo biario. Se, ivece, si tratta di stabilire u valore itero come, ad esempio, il umero di pezzi da mettere i produzioe, o quate copie di u certo oggetto vao selezioate, allora, probabilmete, il tipo più idicato per defiire le variabili è il tipo itero. Il secodo puto è associare u sigificato ai valori che ogi variabile può assumere. Questo ci serve sia per essere sicuri di scrivere dei vicoli che rispettio esattamete il sigificato che oi 36

14 vogliamo, sia per poter iterpretare a posteriori la soluzioe, ua volta che e è stata otteuta ua a seguito della risoluzioe della formulazioe che ci stiamo accigedo a scrivere. Bisoga poi scrivere i vicoli e la fuzioe obiettivo. Tato gli ui che l altra devoo corrispodere ai vicoli e alla fuzioe costo che descrivoo il problema, e, soprattutto, devoo essere tali da guidare le variabili ad assumere il sigificato che oi effettivamete ci aspettiamo. I particolare, è importate ua verificare che vi sia perfetta corrispodeza tra le soluzioi che risultao ammissibili/o ammissibili per la formulazioe appea scritta e le soluzioi che il ostro problema, defiito a parole, ritiee siao ammissibili/o ammissibili. Se tale corrispodeza o è perfetta, vuol dire che i vicoli scritti per la formulazioe o descrivoo il ostro problema decisioale. I questo caso si deve valutare l ipotesi di reiterare il processo, evetualmete iseredo altre variabili (sia di tipo decisioale che di tipo fuzioale), oppure decidedo di cambiare il tipo di ua o più di esse, e/o modificado i vicoli e la fuzioe obbiettivo. Solitamete dopo qualche iterazioe si riesce a scrivere ua formulazioe che corrispoda al problema desiderato. 37