(x) d f(x) Se il termine integrale è asintoticamente più piccolo del termine di bordo, cioè termine integrale = o(termine di bordo) quando λ, allora

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1 3.1. Anlisi sintotic: integrli di Lplce. Un integrle di Lplce h l form (1) F (λ) = b e λs(x) f(x)dx dove ssumimo che λ >. Tipicmente, λ è un prmetro grnde e simo interessti nell ndmento sintotico dell integrle qundo λ. Osservimo che (nlogmente qunto visto per gli integrli di Fourier), possimo scrivere F (λ) nell form () F (λ) = 1 b ( ) f(x) d λ S (x) dx eλs(x) dx Integrndo per prti b F (λ) = e λs(x) f(x) λs (x) 1 b ( ) d f(x) e λs(x) dx λ dx S }{{} (x) }{{} termine integrle termine di bordo Se il termine integrle è sintoticmente più piccolo del termine di bordo, cioè termine integrle = o(termine di bordo) qundo λ, llor b F (λ) e λs(x) f(x) λs (x) }{{} termine di bordo e bbimo così un utile pprossimzione dell integrle qundo λ. Tuttvi, in generle, questo metodo non funzion perché l precedente pprossimzione vle solo se S (x) non si nnull. L situzione è simile quell degli integrli generlizzti di Fourier. Adesso l situzione è l seguente: se S(x) h un mssimo globle per x = c, con c b, llor è soltnto l intorno di c che fornisce il contributo dominnte ll integrle qundo λ. Questo fenomeno può essere illustrto considerndo l integrle e λ(ln r r) dr dove S(r) = (ln r r) h un mssimo per r = 1. Se riportimo in figur l funzione integrnd per vlori cerscenti di λ, vedimo che è l regione intorno r = 1 che contribuisce mggiormente ll integrle. L line trtteggit (blu) in figur è S(r) = (ln r r), le linee continue (rosse) rppresentno l funzione e λ(ln r r) per diversi vlori di λ. 1

2 exp(x(ln(r) r)) λ x=1 λ x= exp(x(ln(r) r)) r r λ x=4 λ =8 3.5 x x= exp(x(ln(r) r)).1 exp(x(ln(r) r)) r r Metodo di Lplce. Il metodo può essere descritto in mnier nlog l metodo dell fse stzionri. Primo psso. Possimo pprossimre F (λ) con F (λ; ɛ) dove F (λ; ɛ) = c+ɛ c ɛ +ɛ b b ɛ e λs(x) f(x)dx, se < c < b e λs(x) f(x)dx, se c = e λs(x) f(x)dx, se c = b dove ɛ è rbitrrio (solo soggetto l vincolo che ciscuno dei sotto-intervlli di integrzione si contenuto in [, b]). Questo psso è giustificto se l sintotic di F (λ; ɛ), qundo λ, non dipende d ɛ ed è identic ll sintotic di F (λ) qundo λ. Queste due condizioni sono in effetti verificte. Considerimo

3 per esempio il cso < c < b. I termini c ɛ b e λs(x) f(x)dx + c+ɛ e λs(x) f(x)dx sono dominti d F (λ), qundo λ, perché e λs(x) è esponenzilmente piccolo qundo è confrontto con e λs(c) in x c ɛ e c + ɛ x b. In ltre prole, cmbire i limiti di integrzione e pssre d F (λ) F (λ; ɛ) introduce errori esponenzilmente piccoli. Secondo psso. Anlogmente l cso dell fse stzionri, considerimo F (l) F (λ; ɛ) e fccimo le pprossimzioni: Se S (c) = per c b e S (c) llor f(x) f(c) S(x) S(c) + 1 S (c)(x c) Se c = o c = b e S (c), fccimo le pprossimzioni f(x) f(c) S(x) S(c) + S (c)(x c) Terzo psso. Dopo ver ftto le pprossimzioni precedenti, estendimo gli estremi di integrzione d per vlutre gli integrli (quest operzione è legittim perché introduce soltnto errori esponenzilmente piccoli). Se S (c) = per < c < b, dobbimo vere S (c) < (x = c è un mssimo) e quindi, per λ, F (λ) c+ɛ c ɛ e λ[s(c)+ 1 S (c)(x c) ] f(c)dx f(c)e λs(c) = f(c)e λs(c) λs (c) e λ S (c) (x c) e u du 3 Quindi, poiché l integrle è ugule π, per λ si h (3) F (λ) πf(c)e λs(c) λs (c) Se S (c) = e c = o c = b, llor l ndmento sintotico dell integrle è lo stesso di quello in (3), prte l moltipliczione per un fttore 1/.

4 Se c = e S (c), dobbimo vere S (c) <, e qundo λ si h Quindi F (λ) +ɛ e λ[s()+s ()(x c)] f()dx f()e λs() e λs (c)(x c) dx F (λ) f()eλs() λs () Se c = b e S (c), dobbimo vere S (c) <, e un rgomento simile l precedente implic che qundo λ si h F (λ) f(b)eλs(b) λs (b) Fine dell descrizione del metodo di Lplce. Adesso due osservzioni. (1) Se S(x) rggiunge il suo mssimo globle in diversi punti in [, b], llor spezzimo l integrle in intervlli che contengono solo un punto, li trttimo indipendentemente usndo il metodo ppen descritto e poi sommimo tutti i contributi. () Se il mssimo globle è tle che tutte le derivte di S sono nulle fino ll derivt m-esim, che è non null, llor lo sviluppo in serie srà S(x) S(c) + 1 m! S(m) (c)(x c) m Esempio: l formul di Stirling. Voglimo determinre l ndmento sintotico dell funzione Gmm Γ(z + 1) def = e t t z dt, qundo z. In primo luogo, notimo che possimo scrivere Γ(z + 1) = e t+z ln t dt. In secondo luogo, ci riconducimo d un integrle di Lplce stndrd, fcendo l sostituzione t = zr (questo h in effetti lo scopo di crere un mssimo globle per S), Γ(z + 1) = e zr+z ln z+z ln r zdr = z z+1 e z( r+ln r) dr Quindi f(r) = 1 e S(r) = r + ln r. Si h S (r) = r e S (r) = 1 r, per r >. e concludimo che S h un mssimo globle per r = 1 e che S (1) = 1. 4

5 5 Applichimo l (3): Γ(z + 1) z z+1 πe z z = πz z z e z Poiché Γ(n + 1) = n! per n intero positivo 1, l formul precedente, per n intero positivo, divent l usule formul di Stirling per il fttorile: n! πn n n e n Lemm di Wtson. Bsndosi sulle idee esposte fin qui si può dimostrre un risultto più sofisticto per un integrle di Lplce più semplice. Per rgioni di tempo non lo dimostrimo, m chi volesse cimentrsi dovrebbe riuscirci nche d solo: l esercizio non è fcile, m nenche eccessivmente difficile. Lemm di Wtson. Per qulche b > (eventulmente infinito), si consideri l integrle di Lplce I(λ) = b f(t)e λt dt Si suppong che f(t) si continu in [, b] e che bbi f(t) t α n= n t βn come espnsione sintotic qundo t. Si ssum che α > 1 e β >, cosicché l integrle è limitto vicino t =. Se b =, si richiede nche che f(t) si di ordine esponenzile c per qulche c > (ovvero f(t) = o(e ct )) per grntire che l integrle si limitto per grndi t. Allor, per λ, I(λ) n= n Γ(α + βn + 1) λ α+βn+1 1 (1) Dll definizione dell funzione Gmm, medinte integrzione per prti, si dimostr che Γ(z + 1) = zγ(z); () Γ(1) = e t dt = 1. d queste due proprietà segue, per induzione, che Γ(n + 1) = n!. Per l nozione di espnsione sintotic si ved l prossim lezione.

6 Appliczione del metodo di Lplce l clcolo delle trnsizioni di fse mgnetiche. Voglimo desso pplicre il metodo di Lplce d un problem di fisic. Clcoleremo l sintotic per dell energi liber per spin di un sistem mgnetico di spin. Un modello mtemtico di sistem mgnetico è tipicmente bsto su un insieme di spin µ i, i = 1,,...,, che possono essere vettori, sclri, o, nel cso quntistico, opertori di spin. oi considereremo il modello più semplice bsto su spin sclri µ i = +1 o 1 corrispondenti spin su o spin giù rispettivmente. Si ssume che l energi di interzione tr due spin µ i e µ j collocti nei punti fissti r i e r j nello spzio (per esempio nei vertici di un reticolo regolre) si +φ( r i r j ) se gli spin sono prlleli (µ i µ j = +1) e φ( r i r j ) se gli spin sono nti-prlleli (µ i µ j = 1). In ltre prole, l energi totle di interzione del sistem in un dt configurzione = (µ 1,..., µ ) degli spin è E() = 1 i j φ( r i r j )µ i µ j H dove il primo termine proviene dll interzione tr gli spin e il secondo termine dll interzione di ciscun spin con un cmpo mgnetico esterno. L funzione di prtizione del sistem è Z(, β) = e βe() i=1 µ i 6 Dove l somm è su tutte le configurzioni (in totle ), µ 1 = ±1, µ = ±1... µ = ±1, T è l tempertur, β = 1/κ B T è l tempertur invers e κ B è l costnte di Boltzmnn. Tutte le proprietà termodinmiche del sistem sono ottenute prtire dll energi liber per spin che è determint dll funzione di prtizione del seguente modo f = F = κ BT 1 log Z(, β) Occorre quindi determinre in questo problem, e più in generle in tutti i problemi di meccnic sttistic dell equilibrio l ndmento sintotico di 1 log Z(, β) per. Questo è in generle, nche per il cso di spin sclri che stimo considerndo, un problem di notevole complessità mtemtic. In molti csi non disponimo d oggi di un soluzione nlitic. L teori clssic dei sistemi mgnetici si bs su un drstic semplificzione del problem, utilizzndo l pprossimzione di cmpo medio: si ssume cioè che

7 ciscun spin intergisce con un cmpo medio prodotto d tutti gli ltri spin. In quest pprossimzione φ( r i r j )µ i µ j J µ i µ j dove 1 i j J = φ(r)d 3 r 1 i j (φ negtivo, e quindi J positivo, crtterizz un sistem ferromgnetico). Il problem divent dunque quello di determinre l funzione di prtizione per un energi d interzione dt d E() = J µ i µ j H µ i 1 i j Per vlutre l funzione di prtizione, per prim cos riscrivimo l energi d interzione in un form simmetric: ( E() = J ) µ i + J H µ i i=1 Quest formul segue d µ i = 1. Adesso, semplifichimo le notzioni: ponimo e quindi A def = E() = J A + J HA L funzione di prtizione divent (4) Z(, β) = i=1 µ i e βe() = e i=1 i=1 e [ A +(βh)a] Se non ci fosse termine qudrtico in A, srebbe fcile eseguire l somm. Inftti, in tl cso si vrebbe (5) e LA = e L P i=1 µ i = (e L + e L ) = ( cosh L) Possimo ricondurci d un termine linere con un trucco bsto su integrli gussini: si h e A / = 1 e x /+Ax dx π 7

8 8 (l identità è ottenut completndo i qudrti). Se ponimo A = A nell somm secondo membro dell (4), ottenimo Z(, β) = e 1 e x /+ π Usndo l (5), si h Z(, β) = e = e = e = e = e 1 π 1 π q Ax dx e (βh)a q e x /+ Ax+(βH)A dx 1 π 1 π 1 π e x / e x / Con il cmbimento di vribili»q e x /+ x+(βh) A dx e»q A x+(βh) dx [ ( )] cosh x + (βh) dx» e x /+ log cosh ξ = x q «x+(βh) possimo ricondurre Z(, β) d un integrle di Lplce stndrd: Z(, β) = π e e [/]ξ + log{ cosh[ξ+(βh)]} dξ Abbimo cioè dove e Z(, β) = I() = π e S(ξ) e I() S(ξ) = 1 ξ + log { cosh [ξ + βh]} dx

9 Fccimo un grfico dell funzione S(ξ): fissimo βh bbstnz piccolo (bbimo scelto βh =.) e fccimo vrire βj L curv ross continu (l più scmpnt) è per βj =.; l curv continu blu è per βj =.5; l curv viol trtteggit è per βj = ; l curv verde trtteggit è per βj = 4. Le prime due curve hnno un solo mssimo per ξ =, le ltre due curve hnno due mssimi, uno negtivo e uno positivo, m un solo mssimo globle per ξ = m positivo: d osservre che è soltnto questo che contribuisce ll sintotic dell integrle. Secondo il metodo di Lplce è l ndmento nell intorno del mssimo globle che domin l integrle: gli ltri mssimi dnno contributi esponenzilmente piccoli nel limite. Uno studio grfico più ccurto permette di determinre che per βj = 1 si h un biforczione 3 nel senso che per vlori di βj < 1, l funzione S(ξ) h un solo mssimo per ξ =, mentre per βj > 1, ξ = cess di essere il punto di mssimo ssoluto dell funzione: ppen βj divent mggiore di 1, il mssimo ssoluto si spost destr. Ecco un grfico con l line trtteggit che corrisponde βj = 1, 3 In effetti, nel senso tecnico dell teori delle biforczioni, m per rgioni di tempo (e di ntur di questo corso) non possimo sviluppre questo spetto.

10 1 1.6 mentre le ltre due sono in corrispondenz di βj di poco sopr e di poco sotto L ndmento dell funzione S, discusso sopr grficmente, può essere reso più preciso studindo gli zeri dell derivt S (ξ) = ξ + tnh (ξ + βh). Il punto di mssimo globle è dunque soluzione dell equzione m = tnh (m + βh) (ssumimo βh positivo m di entità trscurbile). Considerimo il grfico: Il grfico mostr che se < 1 le due curve si intersecno nello e m = è l sol soluzione, mentre per > 1, si hnno tre soluzioni. on è difficile mostrre nliticmente che il mssimo ssoluto è per m = m > (l ltr soluzione è m nel limite di βh trscurbile). Applichimo infine I() l (3), per λ = e f(x) = 1. Allor πe S(m) I() S (m)

11 d cui Z(, β) S (m) e e S(m) Dll ndmento sintotico dell funzione di prtizione rislimo quello dell energi liber per spin f = F = 1 1 log Z(, β) β per. Quindi si h f = 1 β S(m) vle dire, l funzione S non è ltro che l energi liber per prticell cmbit di segno ( meno di un costnte moltiplictiv). Ricordimo che mgnetizzzione medi per prticell = f H = 1 S β H M S = β tnh (m + βh) = βm H Quindi m = mgnetizzzione medi per prticell Dunque, il mssimo globle per l vlutzione sintotic dell integrle con il metodo di Lplce è, nel linguggio dell termodinmic, lo stto di equilibrio termodinmico, cioè lo stto di mgnetizzzione medi che rende minim l energi liber (mssimo di S minimo di f). Rovescindo le curve di S (d esempio per βj > 1) si ottengono i grfici tipici dell energi liber (l vrire dell mgnetizzzione): 11 Per ultimo, m non per importnz, osservimo che l biforczione di cui bbimo prlto prim non è ltro che un trnsizione di fse: per βj < 1 lo stto di equilibrio è quello di un mgnetizzzione medi null, mentre per per βj > 1 si h un mgnetizzzione spontne nche in ssenz di cmpo mgnetico esterno. L tempertur critic corrisponde J/κ B T c = 1, cioè T c = J/κ B.