(a) A ammette punti isolati = B Ø; (d) A B Ø= A non ammette punti isolati; (c) A non ammette punti isolati = A B Ø;

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1 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali - Analisi Matematica A (c.l.t. in Fisica) Prova parziale del 22 Novembre 2010 Svolgere gli esercizi seguenti 1. Sia A un sottoinsieme non vuoto e itato di R e sia B = R \ A; stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false, fornendo le dimostrazioni nel caso delle affermazioni vere ed un adeguato controesempio nel caso di falsità: (a) A ammette punti isolati = B Ø; (b) B Ø= A ammette punti isolati; (c) A non ammette punti isolati = A B Ø; (d) A B Ø= A non ammette punti isolati; 2. Data la funzione ( x 2 ) 3x 4 f(x) = log 3x 1 e detti D e C rispettivamente il dominio ed il codominio di f, stabilire qual è il più grande tra i numeri inf D e sup C D. 3. Determinare i punti di continuità della funzione f : [0, 1] R definita da e provare che è invertibile. log x se x = 1 n, n N+ f(x) = x se x R \ Q 1 x 2 altrove Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 1

2 Svolgimento della prova del 22 Novembre 2010 Esercizio 1. La (a) è vera; infatti se x o è un punto isolato di A, necessariamente x o B ; per provarlo occorre dimostrare che per ogni r > 0 nell intorno centrato di I(x o, r) cadono punti di B diversi da x o. Ma se x o è un punto isolato di A, esiste r > 0 tale che I(x o, r) A \ {x o } = Ø. Allora necessariamente I(I(x o, r) \ {x o } B. Ora distinguiamo due casi: se r r risulta I(x o, r) I(x o, r) e quindi I(x o, r) A \ {x o } I(x o, r) A \ {x o } e dunque I(x o, r) A \ {x o } = Ø; allora è anche I(x o, r) \ {x o } contiene solo punti di B. Se invece r > r allora I(x o, r) \ {x o } I(x o, r) \ {x o } e quest ultimo insieme è fatto solo di punti di B; allora a più forte ragione questi punti di B (diversi da x o ) cadono in I(x o, r). La (b) è falsa, basta prendere A = [0, 1] che non ha punti isolati, e si trova B = (, 0[ ]1, + ) e quindi B non è vuoto. La (c) è vera. Infatti poichè A è itato, ammette estremo inferiore ed estremo superiore; poichè questi per ipotesi non possono essere punti isolati, sono per forza punti di accumulazione per A. Entrambe sono però anche di accumulazione per B; infatti se consideriamo per esempio s = sup A e consideriamo un generico intorno centrato di s, I(s, r) troviamo certamente un punto di A in [s r, s[ I(s, r) ma anche infiniti punti di B, e precisamente almeno tutti quelli della metà di destra, cioè di ]s, s + r] in quanto s per ipotesi è un maggiorante di A. La (d) è falsa; ad esempio se si considera A = [0, 1] {2} [3, π] si ha che 2 è un punto isolato di A, ma A B contiene per esempio 0, quindi non è vuoto. Esercizio 2. Per il calcolo del dominio si deve avere x 2 3x 4 > 0 perchè log sia definito 3x 1 x 1 3 perchè si trova a denominatore dell argomento del logaritmo Risolvendo la disequazione fratta si perviene allo schema ] e quindi il dominio è D = 1, 1 [ ]4, + ). 3 Per determinare il codominio, cerchiamo di ricavare x dall equazione ( x 2 ) 3x 4 y = log, 3x 1 che ha senso per qualsiasi valore y R; questa equazione equivale alla 10 y = x2 3x 4 3x 1 in quanto la funzione logaritmo è strettamente monotona, e quindi iniettiva. Proseguendo si trova 10 y (3x 1) = x 2 3x 4 ovvero x 2 3x( y ) y = 0. 2

3 Perchè questa equazione abbia soluzioni reali, occorre che il discriminante sia non nullo, e cioè che Svolgendo i conti si perviene a = 9( y ) 2 4(10 y 4) 0. = y y + 25 e questa quantità è certamente positiva per qualsiasi valore di y, perchè lo sono tutti e tre gli addendi, dato che 10 y > 0 per qualsiasi valore dell esponente y. Dunque per ogni y R si trovano due elementi del dominio x 1, x 2 = 3(1 + 10y ) ± le cui immagini valgono y, ovvero C = R. Allora C D = R \ D = (, 1] [ ] 1 3, 4. Perciò si ha inf D = 1 < sup C D) = 4. Esercizio 3. Intanto si può tracciare con una certa approssimazione il grafico della funzione 2 Da esso si desume che l unico punto nel quale si può avere continuità è il punto x o nel quale si intersecano i grafici delle funzioni della II e della III legge; per determinarne il valore basta risolvere l equazione x = 1 x 2 che ha come soluzioni x 1, x 2 = 1 ± Quindi nel punto x o = R \ Q 2 2 si ha x x o f Q (x) = x x o f R\Q (x) e quindi per il II Teorema delle Restrizioni tale ite esiste. Inoltre, poichè g(x) = x è una funzione continua, risulta certamente x x o g(x) = x o e quindi, per il I Teorema dell Restrizioni f R\Q (x) = g R\Q (x) = x o = f(x o ) x x o x x o ovvero f è continua in x o. In ogni altro punto di [0,1] invece il ite non esiste, perchè vi sono almeno due restrizioni (e cioè f Q e f R\Q ) che hanno iti diversi. Per provare che f è invertibile, basta provare che essa è iniettiva; supponiamo per assurdo che non lo sia, ovvero che esistano x 1 x 2 in [0,1], per i quali { f(x 1 ) = f(x } 2 ). 1 Poniamo per comodità A = [0, 1] (R \ Q), B = n, n N+, C = (Q [0, 1]) \ B. Poichè ciascuna delle tre leggi è iniettiva in [0,1], non può accadere che x 1, x 2 si trovino entrambe in A, oppure entrambe in B o infine entrambe in C. D altra parte, per sua stessa costruzione, risulta f(a) R \ Q, f(b) (, 0], f(c) ]0, 1] Q (perchè il quadrato di un razionale rimane razionale...); dunque non può accadere che f(x 1 ) = f(x 2 ) se x 1, x 2 appartengono a due distinti tra i tre insiemi suelencati. 3

4 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali - Analisi Matematica A (c.l.t. in Fisica) Prova parziale del 20 Dicembre 2010 Svolgere gli esercizi seguenti 1. Studiare al variare di x 1 il comportamento della serie ( x 2 + x 2 x + 1 ) n 2 n + 2 n n 2 + n log n. 2. Pacchetti natalizi. L annuale omaggio natalizio del negozio di Mara e Valeria quest anno consiste in una lavagnetta magnetica per cucina di forma rettangolare, e di misura l L. Ora le due proprietarie stanno incartando tutte le lavagnette; in particolare Valeria si occupa dei nastrini, ed ha deciso di optare per la disposizione diagonale che a suo giudizio si adatta meglio alla carta-regalo prescelta. i. Trascurando il fiocco e i ricci finali, se si parte da un punto A = (0, y) con y ] 0, l [ 2 disporre il nastrino, qual è il punto P = (x, 0) più conveniente per far girare il nastro, in modo da utilizzarne la lunghezza minore, supponendo che si possa trascurare lo spessore della lavagnetta? ii. (Facoltativo) Determinare anche qual è la posizione ottimale del punto iniziale A. a Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 4

5 Svolgimento della prova del 20 Dicembre 2010 { } Esercizio 1. La serie è a termini positivi in A = x 1 tali che x2 + x 2 > 0, a termini di segno { } x + 1 alternato in B = x 1 tali che x2 + x 2 < 0 e a termini nulli, e quindi banalmente convergente { x + } 1 in C = x 1 tali che x2 + x 2 = 0. Risolvendo le relative disequazioni si trova x A =] 2, 1[ ]1, + ) - B = (, 2[ ] 1, 1[ - C = { 2, +1}. Iniziamo a studiare la convergenza assoluta della serie, adoperando il Criterio del Rapporto Asintotico per valori x C. Si ha a n+1 a n = x 2 (n+1) + x 2 2 n 2 n n + 1 x + 1 = x 2 2n+1 + x 2 n n + 1 x + 1 n + 2 n x 2 2n+1 + x 2 n n + 1 x + 1 n + 2 n n n + 1 (n + 1) 2 + (n + 1) log(n + 1) n2 + n log n n + 2 n = n(n + log n) (n + 1)[n log(n + 1)] = n + log n n log(n + 1). Per quanto riguarda i iti del secondo e quarto fattore, si può adoperare il Principio di Sostituzione degli Infiniti: n n + 1 n + n + 2 n + 1 = = 1 n n + n n + n + log n n log(n + 1) = Invece per il ite del fattore geometrico si ha 0 se x X = n + x 2 + x 2 x + 1 2n+1 = 1 se x Y = + se x Z = n + n n + 1 = 1. { x 1 tali che { x 1 tali che { x 1 tali che x 2 + x 2 x + 1 x 2 + x 2 x + 1 x 2 + x 2 x + 1 } < 1 } = 1 }. > 1 Risolvendo le disequazioni si trova quindi che in X =] 1 2, 3[ ] 1 + 2, 3[ la serie converge assolutamente. In Z = (, 1 2[ ] 3, 1[ ] 1, 1+ 2[ ] 3, + ) la serie diverge assolutamente; pertanto in Z A =] 3, 1[ ] 3, + ), essendo la serie anche a termini positivi, si ha divergenza. Invece in Z B = (, 1 2[ ] 1, 1 + 2[) la serie è a segni alterni, cioè può scriversi come ( 1) n a n ; poichè in Z si ha n + a n+1 a n > 1, significa che definitivamente per le x Z B risulta a n+1 > a n, e questo permette di applicare il Secondo Criterio di Indeterminatezza; di conseguenza in Z B la serie è indeterminata. Resta da stabilire il comportamento della serie nei punti di Y = { 1 ± 2, ± 3}. 5

6 In Y A = {± 3} la serie diviene n + n + 2 n n 2 ; ora risulta + n log n n + 2 n n 2 + n log n 1 n n 2 + 2n n = n + n 2 + n log n = 1 dove l ultimo passaggio è giustificato dal Principio di Sostituzione degli Infiniti. Quindi per il Criterio del Confronto asintotico, in Y A la serie diverge. Rimane da stabilire il comportamento in Y B dove la serie diviene ( 1) n n + 2 n n 2, cioè una + n log n serie a segni alterni assolutamente divergente. Proviamo a stabilire l eventuale monotonia del termine in valore assoluto, ovvero della successione n n + 2 n n 2. A tale fine consideriamo la funzione + n log n la cui derivata è data da f(x) = x + 2 x x log x, f (x) = x2 x 3x 2 x log x 2x x x x (x 2 + x log x) 2. Dunque g ha la derivata prima certamente negativa per esempio in [1, + ); in questa semiretta destra allora, come conseguenza del Teorema di Lagrange, la funzione g è decrescente, e dunque è decrescente anche n a n. Infine risulta a n = n + n + n + 2 n n 2 + n log n = 1 n + n = 0 dove la prima uguaglianza è conseguenza ancora del Principio di Sostituzione degli Infiniti. Ora si può applicare il Criterio di Leibnitz, e concludere che in Y B la serie converge. Esercizio 2. Per la parte i. basta minimizzare la lunghezza della spezzata AP B al variare di P sul lato lungo della lavagnetta. Utilizzando il sistema di assi cartesiani suggerito dalla figura, la variabile è l ascissa di P, e la funzione da minimizzare è d(x) = x 2 + y 2 + (l y) 2 + (L x) 2, x [0, L]. L esistenza del minimo assoluto è garantita dal Teorema di Weiertstrass, mentre per la ricerca facciamo ricorso al Teorema di Fermat, e cioè cerchiamo il valore del minimo assoluto tra i punti di - C 1 = {0, L}; - C 2 = {x ]0, L[ tali che non esiste d (x)}; - C 3 = {x ]0, L[ tali che d (x) = 0}. Intanto il calcolo della derivata prima fornisce d (x) = 2x 2 x 2 + y 2(L x) 2 2 (l y) 2 + (L x). 2 Osservando che le quantità che compaiono sotto la radice sono tutte positive, si vede immediatamente che C 2 =Ø. Passiamo alla determinazione di C 3. L equazione d (x) = 0 si traduce in x x 2 + y 2 = L x (l y) 2 + (L x) 2 6

7 che, trattandosi di quantità non negative, è equivalente a da cui si arriva all equazione ovvero all equazione in x x 2 x 2 + y 2 = (L x) 2 (l y) 2 + (L x) 2 x 2 (l y) 2 (L x) 2 y 2 = 0 x 2 (l 2 2ly) + 2Lxy 2 L 2 y 2 = 0. Questa è un equazione di II grado se y < l, mentre diventa di I grado se il punto iniziale A è proprio 2 il punto medio del lato corto della lavagnetta. Nel I caso si ha = L 2 y 2 (y l) 2 > 0 e quindi si trova x 1, x 2 = Ly2 ± Ly(l y) l(l y) delle quali solo la prima è accettabile. Per y = l 2 = l equazione di primo grado diviene Ly2 + lly Ly 2 l(l 2y) Ly2 Lly Ly 2 l(l 2y) = 2Ly2 + lly l(l 2y) < 0 = Ly(l 2y) l(l 2y) = Ly l 2L l2 4 x L2 l2 4 = 0 2x L = 0 che ammette la soluzione x = L 2 = Ly l. La disequazione d (x) > 0 in entrambe i casi fornisce con analoghe considerazioni l insieme delle soluzioni x > Ly [ ] Ly l. Dunque, come conseguenza del Teorema di Lagrange, d è crescente in l, L [ decrescente in 0, Ly ] ( ) Ly e quindi il punto P = l l, 0 è la posizione ottima. ( ) Ly Per rispondere al quesito ii) invece bisogna determinare il valore di d e minimizzarla rispetto l ad y. Si ha d ( ) Ly L = 2 y 2 l l 2 + y 2 + = y l L 2 + l 2 + = y l L 2 + l 2 + (l y) 2 + l 2 2ly + y 2 + L 2 + L2 y 2 y 2 ( 1 + L2 l 2 ( L Ly ) 2 = l l 2 ) ( 2y l + L2 l 2 L2 y l = ) + L 2 + l 2 = = y L l 2 + l 2 + (l 2 + L 2 ) y2 l 2 2y l (l2 + L 2 ) + (l 2 + L 2 ) = = [ ] L 2 + l 2 y y l + 2 l 2 2y l + 1 = [ ] L 2 + l 2 y y l + 2 2ly + l 2 l 2 = = [ ] y L 2 + l 2 y l L + = 2 + l 2 (y + y l ). l l l ( ) Ly L Poichè y < l si trova quindi che la distanza vale d = 2 + l 2 l = L l l 2 + l 2 ovvero non dipende dal punto di partenza A. Ovvero la quantità di nastrino minima è sempre la stessa, qualsiasi sia il punto di partenza A, a condizione di scegliere la posizione ottimale P determinata in i). 7

8 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali - Analisi Matematica 1 (c.l.t. in Fisica) Prova scritta dell 8 febbraio 2011 Svolgere gli esercizi seguenti 1. Stabilire per x > 3 2 il comportamento della serie ( ) log(2x 3) n log n n arctan n x 2 4x 5 n n log n. (9) 2. La cornice. Un macchinario viene progettato per realizzare la copertura in cartoncino rigido di una cornice, ottenuta tramite ritaglio di un profilo circolare dalla sagoma quadrata della parte inferiore della cornice. Il macchinario esegue tanto il taglio del singolo pezzo che la verniciatura della sagoma ritagliata. Per garantire consistenza alla cornice, il bordo non può essere più sottile di l 10. La parte di costo dovuta all esercizio del macchinario è funzione lineare del tempo di lavorazione del singolo pezzo. Le velocità v 1 con cui la macchina esegue le operazioni di taglio (espressa in cm/sec) e v 2 per le operazioni di verniciatura (espressa in cm 2 /sec) ed il lato l della sagoma quadrata sono legate tra di loro dalla condizione l > 5v 2 v 1. Determinare il raggio del foro più conveniente per la produzione. (10) 3. Calcolare gli eventuali asintoti del grafico della funzione integrale di f : [0, + ) R definita da (11) f(x) = x (x 2 + 4)(x + 3). Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. I punteggi tra parentesi indicano il grado di difficoltà, e quindi la valutazione massima, di ciascun esercizio. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 8

9 Svolgimento della prova dell 8 febbraio 2011 Esercizio 1 Poiché l esponente n log n non sempre é intero, il termine generale é definito solo per log(2x 3) x 2 > 0; il segno del numeratore cambia quando 2x 3 = 1, ovvero in corrispondenza 4x 5 a x = 2, mentre quello del denominatore cambia in corrispondenza delle soluzioni dell equazione x 2 4x 5 = 0 ovvero dei punti x 1 = 1 e x 2 = 5. Si ha quindi lo schema dei segni Dunque, ricordando anche che deve aversi x > 3 il termine generale della serie é definito per ] ] 2 3 x D = 2, 2 ]5, + ), e la serie é tutta a termini positivi. Il rapporto tra termini consecutivi é dato da a n+1 a n = ( ) log(2x 3) (n+1) log(n+1) n log x 2 4x 5 n (n + 1) + 1) n arctan(n n log n n arctan n (n + 1) n + 1 log(n + 1). Per calcolarne il ite, cominciamo a calcolare il ite dell ultimo fattore; applicando il Principio di sostituzione degli infiniti si ha n + n n log n (n + 1) n + 1 log(n + 1) = n + n 2 (n + 1) 2 = 1. Il secondo ed il terzo fattore tendono facilmente a 1 entrambe; pertanto si ha Si ha ( ) log(2x 3) (n+1) log(n+1) n log n x 2 = 4x 5 ( ) a n+1 log(2x 3) (n+1) log(n+1) n log n = n + a n n + x 2. 4x 5 ( ) log(2x 3) n log(n+1) n log n+log(n+1) x 2 = 4x 5 ( log(2x 3) x 2 4x 5 ( ) log(2x 3) log(1+ 1 n) n ( ) log(2x 3) log(n+1) = x 2 4x 5 x 2. 4x 5 ( ) log(2x 3) Il primo fattore tende a x 2 in quanto l esponente tende a 1, per applicazione del 4x 5 ite notevole; il secondo fattore invece ha ite pari a 0, 1 o + a seconda che la base sia minore, uguale o maggiore di 1. In conclusione quindi si ha { } log(2x 3) 0 se x X = x D t.c. x 2 4x 5 < 1 a n+1 = n + a n 1 se x Y = + se x Z = { x D t.c. { x D t.c. } log(2x 3) x 2 4x 5 = 1 } log(2x 3) x 2 4x 5 > 1 ) n log( n+1 n )+log(n+ 9

10 Pertanto per determinare le zone di convergenza (rispettivamente di divergenza) occorre risolvere la disequazione di tipo misto Cominciamo col risolvere l equazione log(2x 3) log(2x 3) x 2 < 1 4x 5 x 2 4x 5 1 < 0. log(2x 3) 0 = x 2 4x 5 1 = log(2x 3) (x2 4x 5) x 2. 4x 5 Deve quindi aversi log(2x 3) = x 2 4x 5, che puó risolversi qualitativamente col metodo grafico: Si vede pertanto che esistono due soluzioni x 1 ] [ 3 2, 2 e x 2 > 5. Per x ]x 1, x 2 [ invece log(2x 3) > x 2 4x 5 quindi il numeratore nella disequazione fratta é positivo. Allora lo schema dei segni, tenuto conto del segno del denominatore, giá studiato precedentemente, sará ] [ 3 e dunque si ha X =]x 1, 2[ ]x 2, + ), Y = {x 1, x 2 }, Z = 2, x 1 ]5, x 2 [. La serie converge in X e diverge in Z; per quanto rigurda i punti in Y, in essi la serie si riduce a n arctan n n n log n. Si puó studiarla con il Confronto asintotico con la serie armonica, e quindi cercando di valutare il ite n arctan n n n log n n 2 arctan n = n + 1 n + n n log n n A questo ite applichiamo intanto il Principio di sostituzione degli infiniti, che ci permette di cancellare a denominatore gli addendi piú lenti, e cioé log n e 2 n; dunque rimane da calcolare n 2 arctan n n + n 2 = π 2 10

11 e quindi le due serie hanno lo stesso comportamento; pertanto anche nei punti di Y la serie diverge. Esercizio 2 Dato che il costo è funzione lineare del tempo di lavorazione del singolo pezzo, occorre minimizzare il tempo di lavorazione, come funzione del raggio, ovvero occorre minimizzare la funzione 4l + 2πr t(r) = + l2 πr 2, v 1 v 2 ottenuta sommando il tempo di taglio della sagoma (tanto il profilo esterno che il foro circolare) ed il tempo di verniciatura del pezzo, per r [0, 25 ] l che si ottiene dal vincolo sullo spessore del bordo. Si tratta quindi di una funzione derivabile rispetto ad r, e dunque a maggior ragione continua; pertanto l esistenza del minimo assoluto è assicurata dal Teorema di Weierstrass. Inoltre per il Teorema di Fermat, il minimo assoluto può essere assunto o in uno degli estremi dell intervallo, o in uno zero della derivata prima. Intanto si ha t (r) = 2π v 1 2πr v 2 ( 1 = 2π r ). v 1 v 2 Pertanto t (r) = 0 se r = v 2 < 2l dove l ultima maggiorazione discende dal vincolo; infatti v 1 5 poichè l > 5 v 2 risulta che v 2 < l v 1 v 1 5 < 2 l. Quindi il vertice della parabola è interno all intervallo 5 in cui si sta studiando t(r); tuttavia è immediato osservare che t (r) è positiva a sinistra di questo [ valore e negativa a destra; come conseguenza del Teorema di Lagrange quindi t è crescente in 0, v ] [ 1 v1 e decrescente in, 2 ] v 2 v 2 5 l ; dunque il minimo assoluto è assunto in uno degli estremi. Risulta t(0) = 4l + l2 v 1 v 2 e ( ) 2l 4l + 4 t = 5 πl l πl2 = 4l + l2 + 4πl ( 1 l ) 5 v 1 v 2 v 1 v 2 5 v 1 5v 2 e poichè il fattore nelle parentesi tonde è negativo, grazie al vincolo, risulta ( ) 2l t = t(0) + 4πl ( 1 l ) < t(0). 5 5 v 1 5v 2 Pertanto il raggio più conveniente è quello massimo consentito, cioè 2l 5. Esercizio 3 La funzione integrale non ammette certamente asintoti verticali, in quanto è continua e definita in [0, + ). Può tuttavia ammettere asintoti orizzontali o, in alternativa, obliqui. Nel caso che stiamo esaminando ammetterà certamente un asintoto orizzontale, in quanto la funzione f è integrabile in senso generalizzato in [0, + ). Infatti si ha f(x) = 1 x + 1 x 2 e quindi si può applicare il Criterio dell ordine di infinitesimo. Per determinare l equazione dell asintoto, occorre calcolare Def F (x) = x + x + x 11 0 f(t)dt Def = + 0 f(x)dx.

12 Per calcolare il valore di F (x) computiamo innanzitutto l integrale indefinito di f; ricorrendo al metodo di decomposizione si ha x (x 2 + 4)(x + 2) = A x Bx + C x = (A + B)x2 + (3B + C)x + 4A + 3C (x + 3)(x 2 + 4) che, grazie al Principio di identità dei polinomi, conduce al sistema nelle incognite A, B, C A + B = 0 3B + C = 1 4A + 3C = 0. Per esso si trova l unica soluzione A = 3 13, B = 3 13, C = Dunque per linearità risulta = x (x 2 + 4)(x + 2) dx = log(x + 3) dx x x x dx { 3 13 log(x + 3) log(x2 + 4) + 2 3x + 4 x dx = 1 dx = x2 4 ) + c, c R ( x 13 arctan 2 ( ) 3 1 x = log arctan x + c, c R 13 x } = Per la continuità dell integranda, questo insieme rappresenta anche l insieme delle primitive dell integranda, e quindi si ha ( ) 3 F (x) = 1 x log arctan x 1 13 x log Ora risulta e quindi mentre Così x + log x + x = 1 x + 3 ( ) 3 x = 0 x + 3 x + 2 arctan x 2 = π. F (x) = 1 ( π 8 ). x

13 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali- Analisi Matematica 1 (c.l.t. in Fisica) Prova scritta del 18 febbraio Studenti immatricolati a partire dall AA Svolgere gli esercizi seguenti 1. Studiare, per x 0 il comportamento della serie x nx 1 + n x. (8) 2. Determinare, se esiste, il punto del grafico di f(x) = che si trova a distanza minima dall origine. arctan ( ) x + 1 x 3 Suggerimento : anzichè minimizzare la distanza, è equivalente minimizzarne il quadrato.(12) 3. I bicchieri. Un bicchiere da vino è ottenuto dalla rotazione attorno all asse y della funzione f : [0, 1] R definita da { f(x) = e x2 x 2 1 se x 1. 0 se x = 1 Ora si vuole tracciare il profilo del bicchiere da acqua gemello, tramite la rotazione attorno all asse y di una funzione ϕ : [0, α] R definita a sua volta da { ϕ(x) = αe x2 x 2 α 2 se x α 0 se x = α ed in modo che il volume del nuovo bicchiere sia pari a 5 del volume del bicchiere da vino. 4 Determinare il valore di α. (10) (N.B. Non è necessario, ed è complicato, calcolare gli integrali definiti di f e ϕ). Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. I punteggi tra parentesi indicano il grado di difficoltà, e quindi la valutazione massima, di ciascun esercizio. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 13

14 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali- Analisi Matematica 1 (c.l.t. in Fisica) Prova scritta del 18 febbraio Studenti immatricolati prima dell AA Svolgere gli esercizi seguenti 1. Stabilire l insieme di convergenza puntuale della serie [log(3 + n x ) x log n], x R e stabilire se in esso la convergenza è o no totale. (8) 2. Determinare, se esiste, il punto del grafico di f(x) = che si trova a distanza minima dall origine. arctan ( ) x + 1 x 3 Suggerimento : anzichè minimizzare la distanza, è equivalente minimizzarne il quadrato.(12) 3. I bicchieri. Un bicchiere da vino è ottenuto dalla rotazione attorno all asse y della funzione f : [0, 1] R definita da { f(x) = e x 2 x 2 1 se x 1. 0 se x = 1 Ora si vuole tracciare il profilo del bicchiere da acqua gemello, tramite la rotazione attorno all asse y di una funzione ϕ : [0, α] R definita a sua volta da { ϕ(x) = αe x 2 x 2 α 2 se x α 0 se x = α ed in modo che il volume del nuovo bicchiere sia pari a 5 del volume del bicchiere da vino. 4 Determinare il valore di α. (10) (N.B. Non è necessario, ed è complicato, calcolare gli integrali definiti di f e ϕ). Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. I punteggi tra parentesi indicano il grado di difficoltà, e quindi la valutazione massima, di ciascun esercizio. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 14

15 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Insegnamento di Analisi Matematica 1 - c.l. in Fisica Prova teorica del 18 Febbraio Studenti immatricolati a partire dall AA Nome e Cognome... Svolgere i seguenti quesiti 1. Enunciato e dimostrazione del Criterio di Leibnitz 2. Enunciato e dimostrazione del Teorema di Heine-Pincherle-Borel 3. (Facoltativo) Data f : R R derivabile, e dati due punti P, Q con P graphf, Q graphf e tali che d(p, Q) = min{d(p, A), A graphf}, provare che la retta tangente al grafico della f in Q è sempre ortogonale alla congiungente P Q. Rispondere inoltre ai seguenti quesiti a risposta multipla compilando la tabella in calce 1. Sia A l alfabeto latino, e consideriamo la legge definita su A come f(lettera) = vocabolo che inizia per lettera (Esempio f(d) = dado). Su quale insieme B la f : A B è un applicazione? A. B = { nomi (in italiano) dei giorni della settimana } B. B = { nomi di fiori } C. B = qualsiasi alfabetiere della scuola elementare D. B = tutto il vocabolario della lingua italiana 2. Sia x o A + A e sia f : A R una funzione tale che f(x) > 0 > f(x). x x + o x x o Allora l affermazione non esiste x x o f(x) è una conseguenza A. del Teorema di unicità del ite B. del Teorema della Permanenza del segno C. del I Teorema delle Restrizioni D. del II Teorema delle Restrizioni 3. Sia H = {f C([a, b]) tali che f(a) = 0}, e sia la relazione definita da f g o(f) o(g), dove o(f) si riferisce al fatto che f è un infinitesimo per x a. Allora è A. solo un preordinamento perchè non vale la proprietà antisimmetrica; B. solo un ordinamento parziale perchè non è detto che due elementi di H si possano sempre confrontare; C. un ordinamento totale D. nessuna delle precedenti relazioni è vera perchè non è detto che f, g H siano per forza infinitesimi simultanei. 4. Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[, e tale che esiste un punto x o ]a, b[ in cui la tangente al grafico e la congiungente dei punti (a, f(a)) e (b, f(b)) sono ortogonali. Quale tra le seguenti affermazioni è possibile? 15

16 A. f è strettamente monotòna B. f è monotòna C. f(a) = f(b) D. nessuna delle precedenti affermazioni è possibile 5. Se f è la funzione il cui grafico è rappresentato in figura, quale dei seguenti insiemi ha meno punti? A. {x [a, b] tali che f (x) = 0} B. {x [a, b] tali che f (x)} C. {x [a, b] di massimo relativo per f} D. {x [a, b] di minimo relativo per f} 6. Quale dei seguenti criteri non si puó applicare alla serie A. il Criterio del Confronto B. il Criterio del Rapporto C. il Criterio di Leibnitz (x arctan x) n 2n + 4 n 2 log n? n=2 D. il Criterio della convergenza assoluta 7. Data f : [a, b] R Riemann integrabile, quale di queste intersezioni può essere vuota? A. f(x)dx C([a, b]) B. S f C([a, b]) C. T f C([a, b]) D. nessuna delle precedenti 8. Dati due insiemi non vuoti A e B di uno spazio vettoriale V, quale tra le seguenti relazioni è falsa? A. A + B = B + A B. A + A = 2A C. A + B = A B = {0} D. 3(A + B) = 3A + 3B 9. Nella dimostrazione di quale di questi teoremi si fa ricorso alla Proprietà degli Intervalli Incapsulati? A. Teorema di esistenza dell estremo superiore 16

17 B. Teorema di unicità dell estremo superiore C. Teorema di Regolarità delle successioni monotone D. in nessuno dei tre precedenti 10. Quale tra i seguenti insiemi può essere messo al posto dei puntini di sospensione nell affermazione Se x o... allora esiste una successione n x n A tale che x n x o. A. A B. A o C. A D. Ā A causa di un errata formulazione, l ultimo quesito ha tutte le risposte corrette! 17

18 Svolgimento della prova del 18 febbraio 2011 Esercizio 1 Si tratta di una serie a termini tutti positivi. Inoltre conviene scrivere x nx = e nx log x. Applicando il Criterio del Rapporto Asintotico si ha a n+1 e (n+1)x log x 1 + n x = n + a n n + e nx log x 1 + (n + 1) x = n + ex log x 1 + n x 1 + (n + 1) x = ex log x. Occorre pertanto stabilire quando e x log x é minore (rispett. uguale o maggiore) di 1. Per avere e x log x = 1 occorre che x log x = 0 e poiché x 0 occorre che log x = 0 ovvero che x = 1 cioé x = ±1. Invece per avere e x log x < 1 deve aversi x log x < 0 cioé i due fattori debbono essere discordi; quindi deve accadere che { x > 0 log x < 0 oppure { x < 0 log x > 0 Il primo sistema equivale a { x > 0 x < 1 e quindi x ]0, 1[ e analogamente il secondo sistema conduce a x (, 1[. Dunque la serie converge per x (, 1[ ]0, 1[ e diverge per x ] 1, 0[ ]1, + ). Resta da stabilire il comportamento della serie nei punti x = ±1 dove la serie si riduce a n che diverge, per facile confronto asintotico con la serie armonica Esercizio 2 Intanto la funzione f(x) è definita per x 3; inoltre per avere un radicando non negativo, occorre che l argomento dell arcotangente sia non negativo. La soluzione della disequazione razionale fratta conduce a D = (, 1] ]3, + ). Questo è anche il dominio della funzione da minimizzare, che, seguendo il suggerimento, è data da ( ) x + 1 d(x) = [f(x)] 2 + x 2 = arctan + x 2, x D. x 3 In ossequio al Teorema di Fermat, l eventuale minimo assoluto di d dovrà appartenere ad uno dei tre insiemi C 1 = {x D d (x) = 0}, C 2 = {x D d (x)} = Ø, C 3 = { 1} che è l unico punto di frontiera appartenente a D. Per determinare C 1 calcoliamo la derivata prima d (x) = ( x + 1 x 3 ) 2 x 3 x 1 (x 3) 2 + 2x = 2 [ x 1 n. ] 1 x 2. 2x + 5 Dunque d 1 (x) = 0 se x = x 2 2x + 5 cioè x 0 e quindi, equivalentemente x2 2x + 5 = 1 x che è facile studiare attraverso il metodo grafico. 18

19 Si trova quindi che esiste un unico punto x o [0, 1] in cui i due grafici si intersecano; tuttavia questo punto non appartiene a D, quindi C 1 =Ø. Sempre il medesimo grafo ci convince che per x > x o si ha 1 x < x2 2x + 5 e quindi che d (x) > 0 per x > 3, mentre è < 0 per x < 1; pertanto d è decrescente in (, 1] e crescente in ]3, + ). Allora per stabilire se l unico candidato 1 è o no il minimo assoluto, confrontiamo tra loro d( 1) = 1 e d(x) = π + 9 > 1, da cui discende che il punto ( 1, 0) è il punto del grafico a x distanza minima dall origine. Esercizio 3 Detti v e V i volumi dei bicchieri da vino e da acqua rispettivamente, si ha Perciò si cerca α tale che V = 2π Per comodità poniamo I = Ora 1 0 α 0 α 0 v = 2π 1 0 xe x2 x 2 1 dx αxe x2 x 2 α 2 dx = 5 4 v = π x2 αxe x 2 α 2 dx = 5 4 xe x2 x 2 1 dx. x 2 x 2 α 2 = x α 2 ( x 2 α xe x2 x 2 1 dx. ) = x 2 α 2 x 2 α 2 1 xe x2 x 2 1 dx. e quindi, posto t = x α Con la sostituzione t = x α x 2 x 2 α 2 = t2 t 2 1. si ha x = αt da cui dx = αdt e quindi α 0 x2 αxe x 2 α 2 dx = α 3 te t2 t 2 1 dt = α 3 I

20 da cui α 3 I = 5 4 I cioè α = Esercizio 1 - AA anteriori al Il termine generale si può riscrivere come log(3 + n x ) x log n = log (1 + 3n ) x e dunque ;a serie ètuta atermini positivi; inoltre, poichè (1 + 3n ) x log n + = 1 3 n x (si tratta di un ite notevole), la serie ha lo stesso comportamento della serie (armonica 3 generalizzata) e quindi converge solo per x > 1. nx Per stabilire se la convergenza è o no totale, occorre studiare la serie numerica M n = sup x>1 M n dove f n (x); per determinare il valore di questo estremo superiore, consideriamo le derivate: f n(x) = n x nx log n log n = 3 log n 3 + n x, x R; Poichè esse sono sempre negative, ciascuna f n è continua e decrescente in R; così ( sup f n (x) = f n (1) = log ) x>1 n e poichè la serie diverge (per confronto asintotico con la serie armonica), si conclude cha la convergenza non è totale. Infine la tabella delle risposte corrette per il test a risposta multipla è la seguente 20

21 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali- Analisi Matematica 1 (c.l.t. in Fisica) Prova scritta del 1 Marzo 2011 Svolgere gli esercizi seguenti 1. Determinare l insieme di definizione ed il comportamento della serie (8) ( x 2 + x ) n n. x 2 3x Lo scuolabus. Le frazioni di Alture d Epigrafico (A = (0, 2)) e Borgo Ipografo (B = (2, 1)) sono servite dallo scuolabus comunale. La strada principale corre lungo il grafico della funzione f(x) = e x x+1. Inizialmente il sindaco aveva collocato la fermata dello scuolabus sul punto di intersezione tra la strada principale e la congiungente AB. Ma gli abitanti di una delle due frazioni hanno protestato:non è giusto! Così noi dobbiamo percorrere più strada di loro!. Chi ha protestato? Allora il sindaco decide di spostare la fermata in un punto P sulla strada principale, in modo che la distanza sia la stessa per entrambe le frazioni. Può farlo? Quante opzioni ha? L ascissa di P è maggiore, minore o uguale a quella di B? (10) 3. Calcolare l area della porzione di piano compresa tra l asse delle x, le rette verticali di equazioni x = 3 4 e x = 3 4 ed il grafico della funzione f(x) = log x2 + 2x 3.(12) Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. I punteggi tra parentesi indicano il grado di difficoltà, e quindi la valutazione massima, di ciascun esercizio. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 21

22 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Insegnamento di Analisi Matematica 1 - c.l. in Fisica Prova teorica del 1 marzo Studenti immatricolati a partire dall AA Nome e Cognome... Svolgere i seguenti quesiti 1. Enunciato e dimostrazione del Criterio di Riemann 2. Relazione tra insiemi connessi e connessi per poligonali. 3. (Facoltativo) Sia a n+1 a n una serie tale che = 2. n + a n i. stabilire di che tipo di serie si tratta; ii. determinarne il comportamento. Rispondere inoltre ai seguenti quesiti a risposta multipla compilando la tabella in calce 1. Dato a ]0, + ) \ Q, quale tra le seguenti alternative è certamente vera? I. a 2 ]0, + ) \ Q; II. 2 a ]0, + ) \ Q A. la (I) B. la (II) C. entrambe D. nessuna delle due 2. Il Teorema della Permanenza del segno non si inverte totalmente: quale tra le seguenti successioni é un controesempio in tal senso? A. n 1 n B. n ( 1)n n C. n ( 1) n D. n n 2 + n 3. Se una funzione f ha il dominio itato inferiormente, ed ammette tre asintoti, quale tra le seguenti affermazioni è certamente falsa? I. f non può essere itata II. f non può essere continua A. la (I) B. la (II) C. entrambe D. nessuna delle due 22

23 4. Quale tra le funzioni x sin 1 per x 0 (I) f(x) = x 0 per x = 0 x 2 cos 1 x se x 0 (II) g(x) = 0 se x = 0 è continua ma non derivabile in x = 0? A. la (I) B. la (II) C. entrambe D. nessuna delle due 5. Data f C 1 ([a, b]), quale tra le seguenti implicazioni può inserirsi al posto dei puntini tra le affermazioni f([a, b]) Q f ([a, b]) Q? 6. Se A. = ma =; B. = ma ; C. ; D. nessuna delle precedenti. a n converge assolutamente, la serie A. può solo convergere B. può solo divergere C. può essere solo indeterminata ( 1) n a n n α D. non si può stabilire il comportamento, di pende dal valore di α; f(x) 7. Se f C([a, + )) è tale che x + x 2 = 3 allora A. 0 B. + C. 3 x + x a f(t)dt x 2 =... D. non lo si può stabilire, perchè non è detto che il ite esista 8. Data f : [1, 2] R definita da f(x) = 7x + 12 x 3 (x 2 2x + 4) e detta F la sua funzione integrale, quale tra queste due rette non è parallela alla congiungente (1, F (1)) e (2, F (2))? I. y = 3; II. y = x + 7. A. la (I) B. la (II) 23

24 C. entrambe D. nessuna delle due 9. Nella dimostrazione del Teorema degli zeri non si utilizza A. il Teorema di regolarità delle sucessioni monotòne B. la Proprietà degli Intervalli Incapsulati C. il Teorema della Permanenza del segno D. il Teorema di itatezza delle funzioni continue 10. Sia f : A W una funzione continua tra spazi normati, e sia C W un connesso. Allora f 1 (C) non può essere A. chiusaperto B. compatto C. connesso D. può essere ognuna delle alternative precedenti 24

25 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Insegnamento di Analisi Matematica 1 - c.l. in Fisica Prova teorica del 1 marzo Studenti immatricolati prima dell AA Nome e Cognome... Svolgere i seguenti quesiti 1. Enunciato e dimostrazione del Criterio di Riemann 2. Enunciato e dimostrazione del Teorema di regolarità delle successioni monotòne 3. (Facoltativo) Sia a n+1 a n una serie tale che = 2. n + a n i. stabilire di che tipo di serie si tratta; ii. determinarne il comportamento. Rispondere inoltre ai seguenti quesiti a risposta multipla compilando la tabella in calce 1. Dato a ]0, + ) \ Q, quale tra le seguenti alternative è certamente vera? I. a 2 ]0, + ) \ Q; II. 2 a ]0, + ) \ Q A. la (I) B. la (II) C. entrambe D. nessuna delle due 2. Il Teorema della Permanenza del segno non si inverte totalmente: quale tra le seguenti successioni é un controesempio in tal senso? A. n 1 n B. n ( 1)n n C. n ( 1) n D. n n 2 n 3. Se una funzione f ha il dominio itato inferiormente, ed ammette tre asintoti, quale tra le seguenti affermazioni è certamente falsa? I. f non può essere itata II. f non può essere continua A. la (I) B. la (II) C. entrambe D. nessuna delle due 25

26 4. Quale tra le funzioni x sin 1 per x 0 (I) f(x) = x 0 per x = 0 x 2 cos 1 x se x 0 (II) g(x) = 0 se x = 0 è continua ma non derivabile in x = 0? A. la (I) B. la (II) C. entrambe D. nessuna delle due 5. Data f C 1 ([a, b]), quale tra le seguenti implicazioni può inserirsi al posto dei puntini tra le affermazioni f([a, b]) Q f ([a, b]) Q? 6. Se A. = ma =; B. = ma ; C. ; D. nessuna delle precedenti. a n converge assolutamente, la serie A. può solo convergere B. può solo divergere C. può essere solo indeterminata ( 1) n a n n α D. non si può stabilire il comportamento, di pende dal valore di α; f(x) 7. Se f C([a, + )) è tale che x + x 2 = 3 allora A. 0 B. + C. 3 x + x a f(t)dt x 2 =... D. non lo si può stabilire, perchè non è detto che il ite esista 8. Data f : [1, 2] R definita da f(x) = 7x + 12 x 3 (x 2 2x + 4) e detta F la sua funzione integrale, quale tra queste due rette non è parallela alla congiungente (1, F (1)) e (2, F (2))? I. y = 3; II. y = x + 7. A. la (I) B. la (II) 26

27 C. entrambe D. nessuna delle due 9. Nella dimostrazione del Teorema degli zeri non si utilizza A. il Teorema di regolarità delle sucessioni monotòne B. la Proprietà degli Intervalli Incapsulati C. il Teorema della Permanenza del segno D. il Teorema di itatezza delle funzioni continue 10. Sia f : [a, b] R una funzione itata. Quale tra le seguenti implicazioni può essere inserita tra le affermazioni A. = ma =; B. = ma ; C. ; D. nessuna delle precedenti. f è Riemann integrabile...f è continua 27

28 Svolgimento della prova del 1 marzo 2011 Esercizio 1 Intanto deve essere x 0 e x 2 3x+2 0. Poichè inoltre l esponente n n può assumere x 2 + x anche valori non appartenenti a N si deve anche richiedere che x 2 0. Svolgendo i 3x + 2 calcoli si perviene a D = [0, 1[ ]2, + ). La serie risulta essere a termini non negativi; applichiamo il Criterio della radice: si ha ( n x 2 + ) n x an = x 2 3x + 2 e quindi n + n an = 0 se 1 se x 2 + x x 2 3x + 2 < 1 x 2 + x x 2 3x + 2 = 1 x 2 + x + se x 2 3x + 2 > 1 x 2 + x Consideriamo innanzitutto l equazione x 2 3x + 2 = 1 cioè x2 + x x 2 + 3x 2 x 2 3x + 2 Questa condizione è verificata se si annulla il numeratore, ovvero, se { x = t 3t 2 + t 2 = 0 = 0. L equazione ammette le soluzioni t 1 = 1, t 2 = 2 3 ; poichè t = x la prima è inaccettabile, mentre la seconda fornisce il valore x = 4 9 D. Ora lo studio del segno della frazione schema x 2 + x x 2 1 fornisce, con analoghe considerazioni, lo 3x + 2 ] ) [ 4 Pertanto la serie diverge per x D 9, + e converge per x 0, 4 [. 9 Per x = 4 9 infine, la base nel termine generale vale 1, pertanto ogni a n = 1 e quindi la serie diverge. Esercizio 2 Intanto conviene effettuare uno studio qualitativo del grafico di f, itandosi a considerare x 0; si ha facilmente che f(x) = e e che f(0) = 1. La derivata prima vale x + f (x) = 28 e x x+1 (x + 1) 2

29 che è sempre maggiore di 0; pertanto f è crescente in [0, + ). Il calcolo della derivata seconda fornisce e x 1 x+1 f (x + 1) (x) = 2 (x + 1)2 e x x+1 2(x + 1) (x + 1) 4 = e x x+1 (2x + 1) (x + 1) 4 che è tutta negativa in [0, + ); quindi la funzione è concava. Graficamente quindi si ha la rappresentazione Da ( essa si desume intanto che il punto medio della congiungente AB, che ha coordinate M = 1, 3 ) si trova nell ipografico di f, in quanto f(1) = e > Pertanto BF > BM = AM > AF e quindi hanno protestato gli abitanti di Borgo Epigrafo. Per rispondere agli altri quesiti, occorre determinare un punto P graphf tale che AP = BP ; dunque un punto P = (x, e x x+1 ) tale che ) x 2 + (e x 2 ) x+1 2 = (2 x) 2 + (e x 2 x+1 1 o, equivalentemente Svuiluppando i quadrati si trova cioè ) x 2 + (e x 2 ) x+1 2 = (2 x) 2 + (e x 2 x+1 1. x 2 + e 2x x e x x+1 = 4+ x 2 4x+ e 2x x e x x+1 g(x) = 2e x x+1 4x + 1 = 0. Occorre quindi stabilire se questa funzione g ammette zeri, e quanti. Per x = 0 si ha g(0) = 3 > 0, mentre per x = 2 è g(2) = 2e < 0. Quindi per il teorema degli zeri, esiste almeno un punto P sulla strada principale che accontenta sia gli abitanti di Alture che quelli del Borgo. La g ammette uno zero solo, perchè se vi fossero due punti P 1 e P 2 sul grafico entrambe equidistanti da A e da B, vorrebbe dire che per entrambe si realizza la condizione e x x+1 = 2x 1 2 e quindi entrambe appartengono tanto al grafico di f che alla retta y = 2x 1 2. Allora tale retta è una congiungente di due punti del grafico, e quindi per il Teorema di Lagrange, dovrebbe esistere un punto in cui la derivata f vale 2, cioè e x x+1 (x + 1) 2 = 2 29

30 ovvero e x x+1 = 2(x + 1) 2 che graficamente si prova essere impossibile Dunque esiste un unico zero di g, che come si è provato, appartiene all intevallo [0, 2], quindi l ascissa del punto P è intermedia fra quella di A (cioè 0) e quella di B (cioè 2). Esercizio 3 Intanto osserviamo che x 2 + 2x 3 = 0 per x 1 = 3, x 2 = 1 e quindi il polinomio è negativo nell intervallo che stiamo considerando; quindi possiamo scrivere f(x) = log( x 2 2x + 3). Ora bisogna stabilire il segno di f; a questo scopo dobbiamo determinare le soluzioni dell equazione x 2 2x + 3 = 1 cioè x 2 + 2x 2 = 0, che sono x 1, x 2 = 1 ± 3. Di esse solo la seconda si trova nell intervallo che stiamo considerando. Graficamente per l argomento del logaritmo si ha e quindi f(x) 0 per 3 4 x e f(x) < 0 per < x < 3 4. richiesta si ottiene come Quindi l area A = log( x 2 2x + 3) dx = log( x 2 4 2x + 3)dx 1+ log( x 2 2x + 3)dx. 3 Ora calcoliamo l integrale indefinito; applicando la formula di integrazione per parti si ha log( x 2 per parti 2x + 3)dx = x log( x 2 x 2x + 3) x 2 ( 2x 2)dx = 2x + 3 = x log( x 2 x(x + 1) 2x + 3) 2 x 2 + 2x 3 dx. A questo punto conviene calcolare separatamente l ultimo integrale indefinito; prima di tutto si effettua x(x + 1) la divisione tra i polinomi, e si trova che x 2 + 2x 3 = 1 x 3 da cui (x 1)(x + 3) log( x 2 2x + 3)dx = x log( x 2 x 3 2x + 3) 2x + 2 (x 1)(x + 3) dx. 30

31 Ancora, per il calcolo dell ultimo integrale, determiniamo A e B in modo che x 3 (x 1)(x + 3) = A x 1 + B x + 3 che per il Principio di identità dei polinomi, conduce al sistema lineare { A + B = 1 3A B = 3 che ammette la soluzione A = 1 2, B = 3. Quindi l integrale indefinito vale 2 x 3 { (x 1)(x + 3) dx = 12 log x } log(x + 3) + c, c R da cui log( x 2 2x + 3)dx = { x log( x 2 2x + 3) 2x log x log(x + 3) + c, c R } che naturalmente fornisce la famiglia delle primitive dell integranda, dato che quest ultima è continua. Allora, scelta una qualsiasi P in questo insieme, applicando la Formula di Newton-Leibnitz, si trova A = 2P ( 1 + ( ) ( 3 3) P P 3 ) = 4 4 = 2[2 2 3 log(2 3) + 3 log(2 + 3)] log 16 + log log log log 1 13 log 4 4 = = 2[2 2 3 log(2 3) + 3 log(2 + 3)] log + log Infine la tabella delle risposte corrette per il test a risposta multipla è la seguente 31

32 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali- Analisi Matematica A (c.l.t. in Fisica) Prova scritta del 21 giugno Studenti immatricolati a partire dall AA Svolgere gli esercizi seguenti 1. Data la serie ( x 2 ) n 6x x n cos 1 n determinarne il dominio di definizione D ed il comportamento in ogni punto di D. (10) 2. Il moletto. Con la sua liquidazione, il signor Pescatrote, ormai pensionato, ha acquistato un piccolo lotto di terreno con una villetta sulle rive del lago Arco d Argento. La casa si trova nel punto C della pianta, e la zona tratteggiata è il giardino di sua proprietà. Determinare le coordinate del punto di confine B. Ora Pescatrote vuole costruire un piccolo molo in legno, per pescare e per attraccarvi la sua barchetta a remi; poichè sa di avere una certa età, vuole saggiamente collocarlo nel punto meno distante dalla sua abitazione. Per questo suo nipote, Renzo Pescatrote, gli ha suggerito di costruirlo nel punto B, che a suo avviso è il punto più vicino a C. Per fortuna Lucia, la fidanzata di Renzo, che studia Fisica, lo redarguisce: Ma Renzo! Non è la scelta migliore! C è un punto sul vostro tratto di costa che è ancora più vicino a C. Dimostra che Lucia ha proprio ragione. Suggerimento: anzichè minimizzare la distanza, si può minimizzarne il quadrato.(12) 3. Determinare il valore assunto in x = 2 della primitiva di x f(x) = 1 + x 4 che vale 0 in x = 0. (8) Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. I punteggi tra parentesi indicano il grado di difficoltá, e quindi la valutazione massima, di ciascun esercizio. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non piú di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 32

33 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali- Analisi Matematica A (c.l.t. in Fisica) Prova scritta del 21 giugno Studenti immatricolati nell AA Svolgere gli esercizi seguenti 1. Determinare il raggio e l intervallo di convergenza della serie di potenze ( 1) n ne n + cos 1 x n. n (10) 2. Il moletto. Con la sua liquidazione, il signor Pescatrote, ormai pensionato, ha acquistato un piccolo lotto di terreno con una villetta sulle rive del lago Arco d Argento. La casa si trova nel punto C della pianta, e la zona tratteggiata è il giardino di sua proprietà. Determinare le coordinate del punto di confine B. Ora Pescatrote vuole costruire un piccolo molo in legno, per pescare e per attraccarvi la sua barchetta a remi; poichè sa di avere una certa età, vuole saggiamente collocarlo nel punto meno distante dalla sua abitazione. Per questo suo nipote, Renzo Pescatrote, gli ha suggerito di costruirlo nel punto B, che a suo avviso è il punto più vicino a C. Per fortuna Lucia, la fidanzata di Renzo, che studia Fisica, lo redarguisce: Ma Renzo! Non è la scelta migliore! C è un punto sul vostro tratto di costa che è ancora più vicino a C. Dimostra che Lucia ha proprio ragione. Suggerimento: anzichè minimizzare la distanza, si può minimizzarne il quadrato.(12) 3. Determinare il valore assunto in x = 2 della primitiva di x f(x) = 1 + x 4 che vale 0 in x = 0. (8) Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. I punteggi tra parentesi indicano il grado di difficoltá, e quindi la valutazione massima, di ciascun esercizio. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non pi di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 33

34 Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Insegnamento di Analisi Matematica A - c.l. in Fisica Prova teorica del 21 giugno - Studenti immatricolati a partire dall AA Nome e Cognome... Svolgere i seguenti quesiti 1. Enunciato e dimostrazione del Teorema degli zeri 2. Insiemi stellati e insiemi connessi; confronti. 3. (Facoltativo) Sia f : R R una funzione continua, e si consideri la funzione G : [ 1, 1] R definita da G(x) = x i) Provare che G è derivabile in tutti i punti x 0; ii) sotto che ipotesi esiste G (0)? 0 f(t)dt. Rispondere inoltre ai seguenti quesiti a risposta multipla compilando la tabella in calce 1. Date le funzioni f, g : [0, 1] R definite da { 1 x se x R \ Q f(x) = x se x Q { 1 x se x Q g(x) = x se x R \ Q quale delle due risulta invertibile? A. solo la f B. solo la g C. entrambe D. nessuna delle due 2. Data una successione n a n 0 ( A. la successione n a n e n 1 + n) 1 n a n possono solo essere entrambe convergenti B. la successione n a n e n C. la successione n a n e n asintotico ( n) n a n possono solo essere entrambe regolari ( n) n a n possono solo avere lo stesso comportamento D. nessuna dle precedenti opzioni è corretta, perchè possono avere anche comportamenti diversi una dall altra 3. Se f : [0, 1] [3, 5] R è continua, e il codominio è connesso, quale tra le seguenti affermazioni è certamente falsa? I. f è itata II. f è iniettiva A. la (I) B. la (II) 34

35 C. entrambe D. nessuna delle due 4. Data f C 1 ([a, b]) crescente, quale tra le seguenti affermazioni è certamente falsa? (I) esiste un punto x o ]a, b[ in cui la tangente al grafico e la congiungente dei punti (a, f(a)) e (b, f(b)) sono parallele; (II) esiste un punto x o ]a, b[ in cui la tangente al grafico e la congiungente dei punti (a, f(a)) e (b, f(b)) sono ortogonali. A. la (I) B. la (II) C. entrambe D. nessuna delle due 5. Data una funzione f : [0, 3] R derivabile, e tale che f(0) = 3 e f(3) = 0, quale tra le seguenti affermazioni potrebbe essere falsa? A. esiste x o [1, 3] tale che f (x o ) Z B. esiste x o [1, 3] tale che f (x o ) Q C. esiste x o [1, 3] tale che f (x o ) R \ Q D. nessuna delle precedenti 6. Quale tra le seguenti implicazioni può esser inserita al posto dei puntini? a n diverge a +... a n diverge assolutamente A. = ma =; B. = ma ; C. ; D. nessuna delle precedenti. 7. Sia f : [0, + ) R una funzione derivabile e tale che f (x) = 1. x + integrale di f, F : [0, + ) R Allora la funzione A. ammette solo asintoti orizzontali B. ammette solo asintoti verticali C. ammette solo asintoti obliqui D. non ammette alcun tipo di asintoto 8. Sia F la funzione integrale di f : [1, 7] R definita da f(x) = [x]; quale tra gli insiemi elelncati ha il maggior numero di punti? A. C 1 = {x F (x) = 0} B. C 2 = {x F (x)} C. l insieme dei punti di minimo per F D. l insieme dei punti di massimo per F 9. Sia A un sottoinsieme di uno spazio normato di dimensione finita. Se A è compatto, allora A è certamente A. chiuso 35