non ha significato in R ¼

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1 MATEMATICAerTUTTI I radicai ESERCIZIO SVOLTO Potenze e radici. Saiamo che si uò estrarre a radice quadrata soo di numeri ositivi o nui e che i risutato è un numero ositivo o nuo. La radice cubica di un numero reae quasiasi, invece, esiste semre ed ha o stesso segno de numero dato. Ad esemio: ffiffi erché 0 0 erché 0 0 ffi 0 non ha significato in R ffi erché ð Þ erché Ne caso di estrazione di radice quadrata o cubica di numeri che non sono quadrati erfetti si ottengono numeri irrazionai (numeri con forma decimae iimitata e non eriodica), come ad esemio,, ::::; er essi abbiamo semre mantenuto a scrittura con a radice iuttosto che a oro arossimazione decimae; quindi invece di,... Ricordiamo che, dato un numero naturae n diverso da zero, si definisce radicae o radice n-esima di un numero a (ositivo o nuo ne caso n sia ari), que numero b (ositivo o nuo ne caso n sia ari) che eevato aa otenza n sia uguae ad a. In simboi: n ffiffi a b equivae a bn a dove n N f0g; a, b R (ne caso n ari: a, b 0). Saiamo che: n indica indice de radicae a è detto argomento de radicae o radicando. Inotre: ffiffi se n indice di radice si omette e si one a a ffiffi se n indice di radice si omette e si one ffiffi a a detto anche radicae quadratico ffiffi se n siha a detto anche radicae cubico se n si hanno radici quarte, quinte, seste... n Per radicai di indice disari con radicando negativo vae a seguente rorietà: n ffi a n a con a > 0 Ad esemio, ffi 7 7 : I radicai

2 Cacoa, se esiste, i vaore dei seguenti radicai: rffi ffi ffi ffi ; 9 ; ; ; ; ; ; 7 ESERCIZIO SVOLTO ffi ffi ; ; La rorietà invariantiva e a semificazione di un radicae. La rorietà invariantiva afferma che: n i vaore di un radicae, con radicando maggiore o uguae a zero, non cambia se si motiicano indice e esonente de radicando er uno stesso numero naturae diverso da zero, cioè: n a m n a m Tae rorietà si aica soo su radicandi ositivi o nui. In caso di radicai di indice disari con radicandi negativi, rima di aicare tae rorietà, dobbiamo ortar fuori i segno da simboo di radice. Vediamo ora degi esemi: 7 7 ffi 0 i due radicai sono uguai erché abbiamo motiicato er indice e esonente i due radicai sono uguai erché abbiamo motiicato er indice e esonente ffiffi 0 0 i due radicai sono uguai erché, doo aver ortato fuori i segno, abbiamo motiicato er indice e esonente. Se eggiamo da destra a sinistra a reazione individuata daa rorietà invariantiva, ossiamo dire che se indice dea radice e esonente de radicando hanno un fattore comune, questo uò essere semificato. Per esemio: 7 7 abbiamo diviso indice dea radice ed esonente de radicando er ffiffi 0 abbiamo diviso indice dea radice ed esonente de radicando er Quando si esegue questa seconda oerazione si dice che si semifica un radicae. Un radicae che non si uò semificare si dice irriducibie; er esemio sono irriducibii i radicai,. Cometa e seguenti uguagianze: ffiffi ::::: 0 ffiffi ::::: ffiffi ::: 9 ffiffi ::: 7 ffiffi ::::: ffi ::: 0 7 Semifica i seguenti radicai. 0 9 ffi 0 0 ffi I radicai

3 ESERCIZIO GUIDATO Semifica i seguenti radicai: ffiffi a b Scrivi i coefficiente numerico sotto forma di otenza:... Semifica i radicae:... ffi a ab þ b Scomoni i radicando:... Semificando ottieni:... 9 Semifica i seguenti radicai: ffi ffi 9 a. x b. a b 7y y ffi y þ þ y þ y ffiffi y þ y þ 0 ESERCIZIO SVOLTO Ricordiamo che neo studio dee oerazioni con i radicai abbiamo semre considerato radicai de ffiffi tio n a con a 0, cioè con radicando non negativo sia ne caso n ari che n disari. Rivediamo, ora, e oerazioni di motiicazione e divisione di radicai. La motiicazione e a divisione fra due radicai si uò eseguire soo se i radicai hanno o stesso indice. In questo caso i rodotto o i quoziente è un radicae che ha o stesso indice e er radicando i rodotto o i quoziente fra i radicandi. Per esemio: ffi ffi : ð Þ ð Þ Se i radicai non hanno o stesso indice, occorre rima riconduri in questa situazione aicando a rorietà invariantiva; er esemio, riduciamo i seguenti radicai ao stesso indice: ; ; indice comune è i m.m. fra gi indici dee tre radici, cioè ne nostro caso ; quindi Quando i radicai hanno o stesso indice si uò oi cacoare i oro rodotto o i oro quoziente; er esemio: ffiffi : ffi In modo anaogo cacoiamo i seguenti rodotti e quozienti: 9 I radicai

4 7 : 9 : 7 Riduci i seguenti radicai ao stesso indice: a. e b. 7 e e Esegui e oerazioni indicate: a. b. rffi rffi rffi e. : f. : ESERCIZIO SVOLTO g. 9 : : h. 0 rffi r ffi! s Quando si deve eseguire i rodotto di un numero k er un radicae, basta ricordare che k er esemio: ffiffi n k n ; Quando si esegue questa oerazione di dice che si è ortato i fattore esterno sotto i simboo di radice. Se i fattore esterno è un numero ositivo, er ortaro sotto i simboo di radice basta eevaro aa otenza indicata da indice dea radice; se è negativo, basta asciare i segno " " fuori da radicae e eevare a otenza i vaore assouto de numero. Per esemio: s rffi rffi rffi s 0 Porta sotto i simboo di radice i fattori esterni suonendo ositivi quei etterai: a. rffi 9 b. a b x y x x a a ðx Þ ðx Þ ESERCIZIO SVOLTO ffiffi ðx Þ x L oerazione contraria risetto a quea de ortar dentro è quea de ortar fuori un fattore da simboo di radice; questa oerazione si uò eseguire quando esonente di uno dei fattori de radicando è maggiore o uguae de indice dea radice. I radicai

5 Si rocede cercando di riscrivere, se necessario, i radicando in modo che i fattore o i fattori da ortar fuori abbiano esonente mutio de indice; si aica oi a regoa reativa a rodotto e aa semificazione di radicai. Ad esemio: ffi ffiffi ffi 0 ffi ffi ffi x y x x y y x y a a a xy x y a ffiffi xy ESERCIZIO GUIDATO Porta fuori da simboo di radice tutti i ossibii fattori dei seguenti radicai: a. x y xy ffiffi x b. a b a b ::::::::: ffiffi a b ::::::::: qx ðx þ yþ :::::::::: 7 ESERCIZIO SVOLTO Per eevare a otenza un radicae, si eeva a quea otenza i radicando; er esemio: xy qðxyþ 9x y ffiffi qffi a b ða bþ ffiffi a b ffi ab qðabþ ab Osserviamo con attenzione utimo esemio: indice dea radice e esonente dea otenza sono entrambi divisibii er ; i cacoo dea otenza uò anche essere fatto in modo iù raido semificando questi due numeri. Per esemio: ffiffi ffi x x a x a x Per estrarre a radice m-esima di un radicae di indice n, basta considerare a radice di indice m n, qffiffi m vae cioè uguagianza n ffiffi a mn a; er esemio: qffi ffiffi qffi a a ffiffi a a Se a radice iù interna è motiicata er un fattore ad essa esterno, occorre rima trasortare sotto i simboo di radice tae fattore; er esemio: sffi rffi sffi sffi sffi a a a 9 a a I radicai

6 Cacoa: a. b. qffi ffiffi x e. y 9 ESERCIZIO SVOLTO s rffi x x f. r ffi! y s ffi x a a x Due radicai che differiscono soo er un eventuae fattore esterno, mentre indice dea radice ed i radicando sono uguai, si dicono simii. Sono ad esemio simii i radicai e, e Si ossono cacoare a somma e a differenza di due o iù radicai soo se questi sono simii. Per esemio: þ 0 ðþ 0Þ þ ð þ Þ Acuni radicai che aarentemente non sembrano simii ossono diventaro quando si ortano fuori da simboo di radice tutti i ossibii fattori; er esemio: ffiffi ffiffi ffiffi 7 þ 7 þ þ. 0 Cacoa i vaore dee seguenti esressioni: a. þ ffiffi ffiffi 0 þ b. 7 þ 7 7 þ þ ESERCIZIO SVOLTO Razionaizzare i denominatore di una frazione significa scriverne una ad essa equivaente ma ne cui denominatore non comaiono radicai. Per eseguire oerazione di razionaizzazione si deve aicare a rorietà invariantiva dea divisione e motiicare quindi numeratore e denominatore dea frazione er un oortuno fattore razionaizzante. Per esemio: i fattore razionaizzante è i fattore razionaizzante è!! i fattore razionaizzante è þ ; in questo modo si ottiene a denominatore una differenza di quadrati che eimina i due radicai þ þ þ þ I radicai

7 Razionaizza i denominatore dee seguenti frazioni: a. b. e. 7 ESERCIZIO SVOLTO 9x x f. a a b Ricordiamo che ossiamo attribuire un significato ae otenze dei numeri reai con esonente razionae mediante a reazione a m n n ffi a m dove a > 0, n N f0g, m N Per esemio: s Per e oerazioni con e otenze ad esonente frazionario vagono rorietà anaoghe a quee che già conosci er e otenze ad esonente intero; er esemio: þ : Inotre anaogia che abbiamo stabiito fra radicai e otenze ad esonente frazionario, ci ermette di oerare con i numeri scritti ne una o ne atra forma a seconda dea convenienza de cacoo; er esemio: : : þ qffi q þ þ q q þ þ þ h i qffi q þ þ ð Þ þ þ Cacoa ne modo che ritieni iù oortuno: a. : rffi : " 7 # b. :! þ I radicai 7

8 Risutati di acuni esercizi.. ; non esiste; þ ; ; ; ; non esiste; ; ; 0 9 ffiffi. ; ; 9 ; 9 ; ; ; ; 9 ; 0; ; 0; 0 ; ; ; ffiffi ffiffi ffi. ab ; a b ffiffi s x ab 9. a. y ; b. y ; y þ ; y þ. a.. a. 7 e ffiffi ; b. ; b. e r r ; ; r. a. 7 ; 0 ; ; ; b. a b ; x y ; x ; a ; q ðx Þ ; qffiffi xðx Þ ; 0 0 ; e. 9. b. a b ffiffi a ; a a b ; xðx þ yþ. a. ; b. ; 9 x y y ; x ; e. e f. x r 7 ; g. 7 x f. a r 7 ; h. 0. a. 9 ; b. ; ; 0 ab. a. ; b. x ; a b ; 7 þ ; e. þ ; f. þ þ. a. ; b. 7 ; ; 0 I radicai