Funzioni Continue. Ogni funzione elementare è continua nel suo insieme di de nizione.

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1 Funzioni Continue De nizione Una funzione f si dice continua in un punto a del suo dominio di, se f() = f(a):!a Una funzione f : I! R si dice continua in un intervallo I (I D(f)) se è continua in ogni punto di I. Ogni funzione elementare è continua nel suo insieme di de nizione. La funzione con questo gra co è continua in tutti i punti del suo dominio: l intervallo [ ; 0] ad eccezione del punto : Infatti f() = = f( ), mentre f() = 6= f( )! +! 6 0 La funzione f() = jj è una funzione continua, infatti per > 0; f() = e per < 0; f() =, quindi negli intervalli ( ; 0) e (0; +), f è continua; nel punto 0 si ha:!0 jj =!0 jj = 0 e quindi è ivi continua

2 . É una conseguenza immediata dei teoremi sui iti che la somma, il prodotto, il quoziente di due funzioni continue è ancora una funzione continua. Teorema Se f è una funzione continua nel punto b e g() = b allora!a f(g()) = f( g()) = f(b)!a!a Conseguenza immediata di questo teorema è che la composizione di funzioni contine è continua. Esempi!0 esin = e sin!0 = e 0 =!9 p = q!9 ( ) = p 8 = ( cos!0 ) = ( ( cos )) = ( cos ) = ( ) = 0!0!0 e = e!0!0 = 0 + ) = +! (e! e! = 0 +! = Teorema (dei valori intermedi) Sia f continua nell intervallo[a; b] e sia M un qualsiasi numero compreso traf(a) ef(b). Allora esiste un numero c, con a < c < b tale chef(c) = M Il teorema dei valori intermedi ci assicura che una funzione continua assume tutti i valori tra f(a)e f(b). Una conseguenza del teorema dei valori intermedi è il teorema dell esistenza degli zeri o Teorema di Bolzano. Teorema (esistenza degli zeri) Sia f continua nell intervallo[a; b] e f(a) : f(b) < 0 allora esiste un numero c, con a < c < b tale chef(c) = 0 Infatti la condizione f(a) : f(b) < 0 signi ca che f(a) e f(b) discordi e quindi 0 è un numero compreso tra f(a)e f(b): sono numeri

3 Esempio ( valori intermedi) Determinare se f() = 0 sin( + ) cos( ) assume 0 e 0 nell intervallo [0; 5]. f(0) = 0 sin(0 + ) cos( 0 ) = : 8 f(5) = 0 sin(5 + ) cos( 5 ) = 9: 7 Quindi 0 appartiene all iimagine di f In questo caso non è possibile determinare,utilizzando il teorema dei valori intermedi, se 0 appartenga oppure non appartenga all imagine di f. Dal gra co si può dire che 0 appartiene all iimagine di f Ci saranno altri teoremi che ci permetteranno di stabilire quando un numero appartiene all immagine di una funzione continua de nita su un intervallo. Esempio (esistenza degli zeri) Si mostri che p() = ha una radice nell intervallo [ ; ]: Calcoliamo i valori asunti dalla funzione agli estremi dell intervallo di de nizione:

4 p( ) = ( ) 5( ) 0( ) + 5 = 8 p() = () 5() 0() + 5 = 9 Pertanto, essendo p( ) e p() discordi, il polinomio ha almeno una radice tra e. Si può migliorare l approssimazione della radice del polinomio osservando che p(0) = 5 e p() = 8 e si può concludere che esite una radice del polinomio nell intervallo [0; ]: Migliorando ancora l approssimazione si osserva che p(0:) = 0:8 mentre p(0:5) = e quindi si può concludere che la prima cifra decimale della radice cercata è Si può provare che il valore approssimato della radice è 0, Ecco il gra co che mostra dove è la radice di cui abbiamo appena dimostrato l esistenza UNa importante conseguenza del teorema dell esistenza degli zeri ci assicura che ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale. (Ogni polinomio di grado dispari assume valori positivi e negativi perchè i iti all in nito sono in niti e discordi.) Il seguente teorema (di Weierstrass) ci assicura che una una funzione continua in un intervallo chiuso e itato ha massimi e minimi, anche se non ci dà alcun criterio per trovarli. Le tecniche per calcolarli saranno esposte dopo aver studiato le derivate. Teorema di Weierstrass Sia f continua nell intervallo chiuso e itato [a; b], allora f è dotata di un massimo assoluto M e un minimo assoluto m, cioè: per ogni [a; b], m f() M Ricordiamo le de nizioni di massimo e minimo. De nizione Una funzione f : I! R

5 . ha un massimo assoluto in un punto c I se f(c) f() per ogni I ; f(c) è detto massimo assoluto di f; il punto c è detto punto di massimo assoluto.. ha un minimo assoluto in un punto c I se f(c) f() perogni I; f(c) è detto minimo assoluto di f; il punto c è detto punto di minimo assoluto.. ha un massimo locale o relativo in un punto c I se f(c) f() in un intorno di c ossia (c r; c + r), dove r > 0 ; f(c) è detto massimo relativo di f; il punto c è detto punto di massimo relativo.. ha minimo locale o relativo in un punto c I se f(c) f() in un intorno di c ossia (c r; c + r), dove r > 0; ; f(c) è detto minimo relativo di f; il punto c è detto punto di minimo relativo. I punti di massimo e minimo vengono anche detti punti estremanti. Si noti che il massimo e il minimo assoluti per f sono unici, mentre i punti di massimo ominimo assoluti possono essere più di uno. Ad esempio la funzione f() = sin ha massimo pari a e minimo pari a, mentre i punti di massimo e minimo sono in niti. Esempi. Trovare gli estremi assoluti e relativi estremi per funzione f() =.sull intervallo[ ; ] 5

6 0 Il minimo assoluto è 0 e il massimo assoluto è. Il punto di minimo assoluto è 0, mentre il punto di massimo assoluto è.. Trovare gli estremi assoluti e relativi estremi per funzione f() = sull intervallo[ ; ] 0 Il minimo assoluto è 0 e il massimo assoluto è. Il punto di minimo assoluto è 0, mentre i punti di massimo assoluto sono e.. Trovare gli estremi assoluti e relativi estremi per funzione f() = su R 6

7 Il minimo assoluto è 0 mentre il massimo non esiste. In questo caso lla funzione f() = è continua, ma il dominio non è un intervallo chiuso e itato, quindi la tesi del teorema di Weierstrass non è necessariamente soddisfatta. Una conseguenza importante del teorema di Wierstrass e dei valori intermedi è il seguente: Teorema. L immagine di una funzione continua f : [a; b]! R è l intervallo [m; M];dove m e M sono i massimi e i minimi assoluti di f: Cioè f assume tutti i valori compresi tra il suo massimo assoluto e il suo minimo assoluto. 7