(K) T λ µ (K) N µ µ N popolazone K Fgura 7.: Rete d code chusa. lunghezza meda della coda, ntesa come element n attesa p u element n servzo, par alla

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1 Captolo 7 Le ret d code chuse e l'anals al valor medo La tecnca d soluzone per ret d code chuse che soddsfano la propret a della forma prodotta consste fondamentalmente nel calcolo d tutte le probablt a d stato, ed e questa una notevole quantt a d nformazone utlzzata soltanto n mnma msura per determnare alcune prestazon della rete, qual ad esempo l tasso medo d crcolazone. Quando soltanto prestazon mede sono d`nteresse, esste un metodo molto effcente per calcolarle, che non passa attraverso le probablt a d stato, noto come anals del valor medo (Mean Value Analyss MVA). Questo metodo, su cu s basano tutt gl algortm numerc modern, s applca sempre a ret d code con la propret a della forma prodotto. 7. Anals al valor medo Analzzamo l metodo dell`anals al valor medo ne due cas: quando nella rete presente una sola classe d utent e quando nvece v sono dverse class d utent. Il prmo caso consderato e quando nella rete c` e un`unca classe d utent, n altre parole tutt gl utent seguono lo stesso percorso. Il prncpo alla base d questa tecnca e concettualmente molto semplce e rsponde ad una vsone soggettva d una coda. S mmagn d essere uno degl utent, e c s domand qual e l numero medo d altr utent che nel muovers lungo la rete s ncontra nnanz a s e adognnodo(che non e lnumero medo degl utent nella rsorsa fornto dalla teora delle code). Se s sa rspondere a questa domanda, e possble mmedatamente conoscere l tempo medo d attesa presso ogn nodo, qund la somma de temp med d attesa pesata per fattor d vsta fornsce l tempo cclo medo, ed l suo recproco moltplcato per l numero d utent l tasso d crcolazone. Consderamo una rete d code chusa come ndcato n Fgura 7. con rsorse d tpo M=M= ed una popolazone d k utent. Un utente n arrvo ad una coda ncontra una

2 (K) T λ µ (K) N µ µ N popolazone K Fgura 7.: Rete d code chusa. lunghezza meda della coda, ntesa come element n attesa p u element n servzo, par alla lunghezza meda della coda che essterebbe con una popolazone k (rsultato d Reser). Indcato con N (k ) l numero medo d utent present presso l nodo esmo d una rete con k utent, l tempo medo d attesa ad un nodo per un utente d popolazone k e par al tempo necessaro a smaltre la coda che lo precede p u l tempo necessaro per l propro servzo. In questa trattazone per semplct a d notazone vene usato l tempo medo f = μ anzch e l tasso medo d servzo. Qund: T (k) =f h+n (k ) e la frequenza d crcolazone meda rsulta allora: (k) = P k T (k) Applcando la legge d Lttle e possble nfne conoscere l numero medo d utent present n una rsorsa d una rete d popolazone k: N (k) = (k) T (k): Dal rsultato d Reser derva un procedmento teratvo che partendo da k =, raggunge la popolazone desderata k = K. Dal caso elementare d un anello d macchne s pu o mmedatamente passare al caso p u generale d una rete arbtrara determnando da coeffcent d`nstradamento e dalle specfche del problema fattor d vsta. Dett v fattor d vsta, le formule sopra rportate s modfcano nel modo seguente: (k) = P k v T (k N (k) =v (k) T (k)

3 Esempo 7... Consderamo una rete d code chusa come ndcato n Fgura 7. con rsorse d tpo M=M= n cascata ed una popolazone d utent. Inzamo a consderare una popolazone k =: essendo e v =. Pertanto () = f + f + f T () = f h+n (0) N () = N () = N () = = f ; =; ; f f + f + f f f + f + f f f + f + f Consderamo ora una popolazone k = ed ottenamo: T () = f h+n () qual temp med d attraversamento e = f ψ+ T () = f h+n () = f ψ+ T () = f h+n () = f ψ+! f f + f + f! f f + f + f! f f + f + f quale tasso d crcolazone. () = T () + T () + T () (f + f + f ) = f (f + f + f )+f (f +f + f )+f (f + f +f ) Ξ 7.. Stazon multservent Per le ret d code chuse la tecnca rsolutva dell`anals del valor medo, poch e non utlzza l`ntera nformazone sullo stato del sstema, non consente l`estensone alle ret con stazon multservent. Poch e, per o, questa tecnca e numercamente molto p u effcente delle altre, e utle dsporre anche per questo caso un algortmo d una soluzone approssmata. Rcordamo la logca con cu opera l`anals del valor medo, che s basa sulla valutazone soggettva da parte d uno specfco utente della coda che deve subre nell`attraversare la rete. Allora, un`dea ntutva, n presenza d rsorse multservente, e che l`utente che sopraggunge

4 ncontra soltanto una frazone degl utent effettvamente n attesa, par al rapporto del loro numero totale per l numero de servent. Questa dea e ragonevole ma non completamente corretta. Indchamo, per una popolazone k della rete, con ß la probablt a che l`utente n arrvo trov =0; ; ;:::;k altr utent g a nella rsorsa, ed analzzamo l caso d una rsorsa bservente, l`estensone al caso generale sar a po mmedata. Il numero medo d utent present nella rsorsa, all`arrvo dunnuovo utente, quale c fornsce l`anals del valor medo e per defnzone: N = k X mentre l numero medo d utent effettvamente subt dal nuovo arrvato e nvece: =0 ß ~N = ß + ß +(ß 4 + ß 5 )+ Se come suggersce l`ntuzone s fosse assunto come numero d utent subt l rapporto del numero medo de present per l numerodservent ( nel caso del bservente) s sarebbe avuto: N = N =0:5ß + ß +:5ß + che confrontato con l valore effettvo porta a: ~N = N 0:5 X k ß + =0 Le due grandezze ~ N e N s dscostano d una quantt a che e scuramente nferore a 0.5, per questo s pu o concludere che, defnendo N = N 0:5, s ha: N» ~ N» N In conclusone, non e possble determnare l numero medo d utent che sar a causa d attesa per un utente n arrvo, ma sar a possble calcolare un suo lmte nferore e superore. La formula che fornsce l tempo medo d`attraversamento del rsultato d Reser s modfca n questo caso n: (k) = h+ N ~ (k ) μ dove n mancanza del valore esatto, N ~ pu o essere sosttuto da uno de suo due lmt, nferore o superore, calcolabl nel corso dello svluppo dall`algortmo. Esempo 7... S consder la rete d code rappresentata n Fgura 7., dove p = 0:, μ =, μ =. Nella rete crcolano pezz che vengono lavorat dalla macchna M e dalla macchna M. La lavorazone su M pu o fallre con probablt a p; n questo caso vene

5 λ µ µ Μ Μ p Fgura 7.: Rete d code chusa. rpetuta ndefntamente fno a quando non vene eseguta correttamente. Calcolare l tasso d produzone. Soluzone. Rsolvendo la rete medante l calcolo probablt a d stato a regme ed applcazone del teorema d Jackson per le red d code chuse ottenamo un tasso d produzone = :85. Rsolvamo la rete calcolando l tasso d produzone medante applcazone del metodo MVA. Introducamo tass d vsta: v =e v = p k = ottenamo: =:486. Con popolazone T () = μ =0:5; T () = μ = () = v T () + v T () =0:585 N () = ()v T () = 0:59; N () = ()v T () = 0:7407 Con popolazone k = ottenamo: T () = μ =0:5; T () = μ = (sono servz bservent) () = v T () + v T () =:07 N () = ()v T () = 0:585; N () = ()v T () = :485 Con popolazone k = defnamo con N (k) = N (k) e N (k) =N (k) 0:5 lmt superore ed nferore del numero medo d utent N (k) present nel servzo, rspettvamente, con una popolazone d k utent. Il valore medo N (k), fornto dal metodo MVA, e tale per cu N (k)» ~ N (k)» N (k), dove ~ N (k) e l`effettvo numero medo d utent present nella

6 rsorsa. Qund: N () = N () =0:59; N () = N () =0:7407 N () = N () 0:5 = 0:407 = 0; N () = N () 0:5 =0:407 T () = μ [ + N ()] = 0:696; T () = μ [ + N ()] = :7407 T () = μ [ + N ()] = 0:5; T () = μ [ + N ()] = :407 () = v T () + v T () =0:966; () = v T () + v T () =:0 ed ndcando con fp =:85 l valore del tasso d produzone ottenuto medante l teorema d Jackson (forma prodotto) oppure medante blancamento de fluss, segue che ()» fp» (): D seguto rportamo una breve funzone Matlab che mplementa l`algortmo d Mean Value Analyss. I parametr d nput sono: ffl v: vettore rga de coeffcent d vsta. ffl mu: vettore rga de tass d servzo. ffl k: numero d utent nel sstema. ffl mult: vettore rga: numero d servent per ogn stazone d servzo. monoservente M=M=. Default: stazon I parametr d output sono: ffl lambda: tasso d crcolazone nella rete. ffl N: vettore rga contenente l numero medo d utent n coda ne servz. ffl T: vettore rga contenente l tempo medo d attesa ne servz per k utent. ffl Tnext: vettore rga contenente l tempo medo d attesa per popolazone d k + utent. Nota: nel caso multservente parametr lam,t,tnext hanno due rghe che rappresentano lmte superore ed nferore delle rspettve grandezze. functon [lambda,n,t,tnext]=mva(v,mu,k,mult); n=length(v); tau=./mu;

7 f exst(`mult`), mult=ones(,n); end; f sum(mult)==n % caso stazon monoservent: Tnext=tau; for =:k T=Tnext; lambda=/sum(v.*t); N=lambda*(v.*T); Tnext=tau.*(+N); end; else Tnext=[tau; tau]; for =:k T=Tnext; lamupper=/sum(v.*t(,:)); lamlower=/sum(v.*t(,:)); lammean=(lamupper+lamlower)/; Tmean=(T(,:)+T(,:))/; N=lamMean*(v.*Tmean); Nupper=N./mult; ndexmult=fnd(mult>); Nlower=Nupper; Nlower(ndexMult)=Nlower(ndexMult)-... (mult(ndexmult)-)/mult(ndexmult); % nserre le due rghe seguent per lmt nferor null ndexneg=fnd(nlower<0); Nlower(ndexNeg)=zeros(,length(ndexNeg)); for j=:n f >mult(j)- Tnext(,j)=tau(j)*(+Nupper(j)); Tnext(,j)=tau(j)*(+Nlower(j)); else Tnext(,j)=tau(j); Tnext(,j)=tau(j); end; end; end;

8 end; lambda=[lamupper; lamlower]; 7. Class multple d utent Nel caso d class multple d utent la popolazone della rete e defnta attraverso un vettore, e nella notazone adottata l`ndce della classe appare come apce K = [k ;:::;k R ] con P R r= kr = K. Indchamo con k l vettore del numero de component d cascuna classe e con e r l versore con un solo n poszone r esma. Consderamo due tp d code M=M=eM=M=, con le potes solte che garantscono la forma prodotto: ne monoservent tutte le class d utent hanno sullo stessa rsorsa gl stess temp d servzo. Il rsultato d Reser vene cos aggornato. Il tempo d`attraversamento della stazone da parte d un elemento d classe r n una popolazone k rsulta dalla lunghezza meda della coda della rete che s avrebbe elmnando un elemento d classe r dalla popolazone: T r (k) = 8 >< >: f r ; f r se puro rtardo h + X j N j (k e r) ed ndcato con Q(r) l`nseme delle stazon vstate dalla classe r, la frequenza d crcolazone d quella classe rsulta: ed l numero d utent n coda r (k) = k r PQ(r) vr T r (k) N r (k) =v r r (k) T r (k): Esempo 7... S consder la rete d code rappresentata n Fgura 7., dove μ =,μ =4 e μ =. Nella rete crcolano due pezz d tpo dverso. I pezz del prmo tpo hanno cclo d lavorazone [M ;M ;M ], mentre quell del secondo tpo [M ;M ]. Determnare medante tecnche basate sulle ret d code che godono della forma prodotto tass d produzone per cascun tpo d pezz. Soluzone. S tratta d una d una rete d code chusa non Markovana, n quanto pezz che crcolano nella rete non hanno un nstradamento casuale. In partcolare l cclo d lavorazone [M ;M ;M ] prevede che pezz subscono ad ogn cclo lavorazon consecutve sulla macchna M. Le specfche del problema con nstradament determnstc sono tal per

9 µ µ M M µ M Fgura 7.: Rete d code chuse multclasse. cu la rete perde la propret a della forma prodotto ed l modello classco d una rete d code Markovane non rappresenta correttamente l problema. Per rsolvere n modo approssmato la rete adottamo l metodo della Mean Value Analyss applcato nel caso d class multple d utent. Analzzamo l cclo d lavorazone per le due class d pezz e determnamo tass d vsta: 6 4 I I I 7 5 = I ; II II II 7 5 = II dove I e II sono tass d crcolazone per le due class d pezz. Popolazone k =[; 0]: T I (k) = =0:5; T I μ (k) = =0:5; T I (k) =0 μ I (k) = T I(k)+ T =0:8 I (k) N I (k) = T I (k) I (k) =0:8; N I (k) = T I (k) I (k) =0:; N I (k) =0 Popolazone k =[0; ]: (k) = μ =0:5; (k) =0; (k) = μ = II (k) = (k)+ (k) =0:6667 N II II (k) = T (k) II (k) =0:4; N II II II (k) =0; N (k) = T (k) II (k) =0:6667

10 Popolazone k =[; ]: T I (k) = μ»+n II I (k) = [0; ] =0:6667; T I (k) =»+N II [0; μ ] =0:5; T I (k) =0 T I (k)+ T I (k) =0:66 (k) = μ»+n I II (k) = [; 0] =0:9; II (k) =0; T (k) =»+N I μ [; 0] = (k)+ (k) =0:56 Medante questa procedura teratva abbamo ndvduato tass d produzone I = 0:66 e II =0:56 rfert a cascuna classe. Osservamo che poch e la rete non gode della forma prodotto, la soluzone ottenuta per tass d produzone rsulta d conseguenza approssmata. Tuttava e possble dervare una catena d Markov che rappresenta correttamente l modello del sstema. Ξ 7.. Controllo d una rete d code chuse Nella pratca s adottano poltche d controllo n tempo reale, ovvero l`azone d decsone vene presa all`occorrenza degl event, ottenute n catena chusa come una funzone de valor attual msurat dello stato del sstema ed atte ad ottmzzare le prestazon. In generale, un sstema controllato perde la propret a della forma prodotto, e qund quelle caratterstche che ne permettono d valutare le prestazon n modo elementare. Consderamo l problema del controllo de tass d crcolazone. Nel caso d una rete d code chuse con class multple d utent, soltamente l rapporto fra le frequenze d crcolazone delle dverse class e un dato d progetto. Indchamo con rf un tasso d rfermento e con =[m ;:::;m R ] T l vettore de rapport ("mx") fra tass d crcolazone d cascuna classe ed un tasso rfermento, nel senso che cascuna classe r ha tasso d crcolazone: r = m r rf P Soltamente s scegle come tasso d rfermento rf = r r che rappresenta l tasso totale d crcolazone della rete. Il controllo del rapporto de tass d crcolazone pu o essere ottenuto, anzch e con la modfca della dscplna d coda delle rsorse (che farebbe perdere la propret a della forma prodotto alla rete), cambando la struttura logca della rete d code controllata aggungendo per cascuna classe d utent un nodo fttzo con un puro rtardo d valore medo assegnato (n altre parole ntroducendo una coda M=M= per ogn classe) e lascando nalterate le poltche FIFO delle rsorse della rete. Queste stazon hanno esclusvamente la funzone

11 d ntrodurre un termne d controllo sul tempo d ngresso degl utent n coda alla prma stazone della rete. I parametr d progetto del controllo sono rappresentat dal vettore de temp med d servzo per queste stazon fttze d controllo f =[f r ], con l`avvertenza d assegnare sempre l valore 0 al mnore de temp d rtardo. Attraverso temp d rtardo delle stazon d controllo e possble assegnare rapport de tass d crcolazone della rete, n altre parole ntervenre su valor relatv, non potendo, nvece, mporre l tasso totale, co e valor assolut. Questo tasso totale e un ndce della produttvt a della rete e dpende da temp d servzo delle stazon e dalle dmenson della popolazone d utent. Se una confgurazone d rete non e n grado d garantre l lvello d produttvt a desderato, e possble ntervenre sulla dmensone della popolazone. Esempo 7... S consder nuovamente la rete d code rappresentata n Fgura 7.. S defnsca, n base a rsultat precedent, una stratega d controllo che consenta d ottenere un mxng d produzone untaro. Soluzone. Poch e l tasso d produzone rferto alla prma classe e maggore ne consegue uno squlbro nel mxng produttvo che no ora cercheremo d rendere untaro. Denotamo con m =[; ] T l vettore de rapport fra tass d crcolazone d cascuna classe (mx) ed un tasso d rfermento che sceglamo par a = I + II. Qund mponamo che I = m = e II = m =, ovvero I = II. A tal fne ntroducamo una stazone d puro rtardo, l cu tempo d servzo e ndcato con f c, che dovr a rallentare" pezz della classe avente tasso d produzone maggore (n questo pezz d tpo I). Rpetamo la procedura d MVA descrtta sopra per l sstema controllato ndcato n Fgura 7.4. τ c µ µ M M µ M Fgura 7.4: Rete con stazone d controllo.

12 Popolazone k =[; 0]: T I (k) = μ =0:5; T I (k) = μ =0:5; T I (k) =0; T I c (k) =f c I (k) = T I (k)+ T I (k)+ Tc I (k) = :5 + f c N I (k) = T I (k) I (k) = ; N I (k) = T I (k) I (k) = 0:5 :5 + f c :5 + f c N I (k) =0; N I (k) = T I c c (k) I (k) = :5 + f c Popolazone k = [0; ]: rsultat sono gl stess d quell ottenut senza la stazone d puro rtardo n quanto l rtardo nteressa solo pezz della classe del prmo tpo (tpo I). Popolazone k =[; ]: (k) =0:5; (k) =0; (k) =; c (k) =0 II (k) = (k)+ (k) =0:6667 N II (k) = (k) II (k) =0:4; N II (k) =0 N II II (k) = T (k) II (k) =0:6667; N II (k) =0 f c c T I (k) = μ»+n II T I (k) =0; T I c (k) =f c [0; ] =0:6667; T I (k) =»+N II [0; μ ] =0:5 h [0; ] +N II c = f c I (k) = T I(k)+ TI(k)+ T c I(k) = :58 + f c (k) = μ»+n I (k) = μ»+n I [; 0] = :5 + 0:5f c ; (k) =0 :5 + f c [; 0] =; c (k) =0 II (k) = II (k)+ T (k) = :5 + f c :75 + :5f c Imponendo I (k) = II (k) ottenamo un`espressone l cu parametro ncognto e l tempo d servzo f c della stazone d rtardo: :58 + f c = :5 + f c :75 + :5f c ) f c +:f c 0:96 = 0 f c = :58; f c =0:50 e qund l`unca soluzone ammssble rsulta f c ο = 0:5. Ξ

13 7. Problem propost Problema 7... Consderare la seguente rete d code chusa n Fgura 7.5, dove tutte le rsorse sono d tpo M=M= e μ =, μ =4e μ =. Nella rete crcolano pezz d tpo dverso. I pezz del prmo tpo hanno cclo d lavorazone [M jm jm ], e quell del secondo [M jm ]. µ µ M M µ M Fgura 7.5: Rete d code chusa. Determnare medante tecnche basate sulla forma prodotto (MVA) tass d produzone per cascun tpo d pezz. In base a rsultat ottenut, defnre un stratega d controllo che consenta d ottenere un mx d produzone untaro. Problema 7... Consderare larete d code chusa n Fgura 7.6, dove tutte le rsorse sono d tpo M=M= avent μ = 0 e μ = 0, e μ = 5, e p ;I = 0:4, p ;II = 0:. Nella rete crcolano pezz d tpo dverso (I e II). I pezz d tpo I hanno cclo d lavorazone [M ;M ] con coeffcente d routng p ;I sulla macchna M, mentre pezz d tpo II hanno cclo d lavorazone [M ;M ] con coeffcente d routng p ;II sulla macchna M. µ µ p,i M M p,ii µ M Fgura 7.6: Rete d code chusa. Determnare medante tecnche rsolutve basate sulla forma prodotto (MVA) tass d crcolazone I e II per due tp d pezz ed lrelatvo mx d produzone. In base a rsultat ottenut, ntrodurre un`azone d controllo che consenta d ottenere un mx d produzone untaro. In assenza d controllo, provare a blancare l mx assegnando un ulterore utente

14 alla classe con tasso d crcolazone p u basso. S determn anche n questo caso l mx d produzone. Problema 7... Consderare larete d code chusa Fgura 7.7 dove tutte le rsorse sono d tpo M=M= avent μ = μ =0, μ = 0 e μ 4 = 5. Nella rete crcolano pezz con cclo d lavorazone [M jm ;M ], co e la prma lavorazone pu o avvenre ndfferentemente sulle macchn M o M, mentre laseconda lavorazone sulla macchna M pu o fallre un numero ndefnto d volte ed essere rpetuto con la stessa probablt a p =0:75; nquestocaso l pezzo vene rparato sulla macchna M 4 e rlavorato sulla macchna M. µ 4 M 4 µ p M µ µ M M λ Fgura 7.7: Rete d code chusa. Calcolare l tasso d produzone della rete medante applcazone del metodo della MVA e confrontare l rsultato ottenuto con quello dervante dalla soluzone medante teorema d Jackson.