= 1. Tavola a doppia entrata. y x 1 x 2 x i x k. y 2 n 21 n 22 n 2i n 2k n x2 m x2 σ 2 x2. y j n j1 n j2 n ji n jk n xj m xj σ 2 xj
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- Adriano Di Carlo
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1 Tvol dopp ett Cttee Cttee Totl Vlo med v ze m m j j j j j j m j j s s s s s s m s s Totl t M Vlo med m m m m M vze Scomposzoe delle vze mgl m m s j j j
2 Clcolo delle mede mgl s j j j M M s j j j M s j j M m M 3 s j j j m M
3 η Rppoto d coelzoe m Esempo ppoto d coelzoe Sesso Slo Ope Opee Totle Totle med ope m 57,8 vz mede m 3,66 med opee m 44,075 med vze - m 69,698 vz ope 99,76 vz opee 63,84438 med totle M 54,7653 vz totle 30,3499 M [ m m ] / [ ] 54,765 m M 69,698 3,66 30,3 η m 3,66 30,3 0,38 3
4 dstuzoe pzle Y Ope Totle med ope m 57,8 Vz ope 99,76 dstuzoe pzle Y Opee Totle.000 med opee m 44,075 vz opee 63,84 Dstuzoe mgle Y Totle Totle med mglem 54,77 vz mgle 30,3 m Dstuzoe delle mede pzl 57, ,0.000 Totle Vz delle mede 3,6 Dstuzoe delle vze pzl 99, ,3.000 Totle Med delle vze 69,70 4
5 Covz Dt l see due vl: l covz s clcol cedo l med tmetc de podott degl sct de vlo e de vlo dlle, cospettve mede covz codevz l covz s può clcole che: 5
6 Mtce delle vze e delle covze C C 0 L uguglz s elzz se e soltto se: 0, coè, se e soltto se gl sct delle vl dlle spettve mede soo lemete dpedet: I tl cso l covz ssume vloe postvo o egtvo secod del sego del ttoe d popozoltà e l covz, vloe ssoluto, gguge l suo vloe pù lto..b. L popozoltà t gl sct de vlo e dlle spettve mede s elzz qudo le coppe d put e gccoo su u ett d equzoe co e 0 6
7 Coecete d coelzoe lee semplce mssm dpedez o dpedez mtemtc peett elzoe lee 0 vl o coelte Covz u tvol dopp ett s j M j M j M m M s s j j j j j j Covz pe u dstuzoe teoc dopp µ µ, dd 7
8 spezzt d egessoe m spezzt d egessoe ,5 45,5 5,5 57,5 Metodo de mm qudt So dte coppe, d vlo ossevt :d due vl X e Y e s dt l equzoe geele d u cuv che s tee poss ppesete degutmete l egessoe d Y su X: ; θ,θ,...,θ I pmet θ,θ,...,θ dell uzoe soo stmt medte l metodo de mm qudt. Codzoe de mm qudt: l somm de qudt degl sct vlo ossevt e vlo clcolt deve essee u mmo ε [ ; θ, θ... θ ] mmo 8
9 9 e deteme vlo delle costt θ,θ,...,θ, che soddso l codzoe pecedete s eguglo zeo le devte pzl spetto θ,θ,...,θ modo d otteee u sstem d equzo del tpo: [ ] 0,...,, ;,...,, ; j θ θ θ θ θ θ θ pe j,,, Se, l codzoe de mm qudt s scve: mmo ε ed è soddstt pe 0 ε ε 0 ε [ ] ε ε ε
10 0 opetà dell ett d egessoe - l ett d egessoe pss pe l puto, ed è qud ppesett dll equzoe: - l med tmetc de vlo ossevt è ugule quell de vlo clcolt: - l vz de vlo clcolt è: [ ] - l vz d ε è: ε - l vz de vlo ossevt è: [ ] ε.b. l vz de vlo clcolt ppeset l pte dell vz de vlo ossevt dell vle Y spegt dll egessoe sull vle X, mete l vz degl sct t vlo ossevt e clcolt, l pte o spegt.
11 Ossevdo che: Coecete d detemzoe 0 espme l zoe dell vz de vlo ossevt dell vle Y spegt dll egessoe sull vle X ε Coecete d lezoe espme l zoe d vz d Y o spegt d X.
12 ett d egessoe d Y su X ett d egessoe d X su Y coecete d detemzoe se 0, se 0,
13 elzo coecet d egessoe e d coelzoe Regessoe co dt gguppt Dt u tvol dopp ett, l codzoe de mm qudt può essee post elle due ome ltetve: S [ ] m m mmo s j S [ j ] j mmo 3
14 4 Scomposzoe d m ε m [ ] m ε Dvegez dell egessoe dll letà 0 m η ζ ζ η ζ ε ε dce d dvegez dll letà 0 ζ η ζ
15 Esempo su dc d dpedez med schem d clcolo Dstuzoe delle mpese pe ddett e pe clss d ttuto X Addett Y Fttuto mlo Totl Totl Mede pzl 39,6 74,07 9,46 64,76 Vze pzl 7,6 45,85 779,05 64,57 Clcolo codevz codevz ,75 m 509,9 88,37 64,568 7,59 η 0,95 M 3,8,63 M 64,76 0,07 M - M 8,4 0,435 M - M,94 0,89 ζ 0,006 -M -M * m - M -M m - M 4,5734, ,8854-5,6 8870,86 67,8858-6, ,893 9, ,33 94,98, ,343 6, ,57 ε 85355,093 codevz ,75 ε 4,7 495,65 [-] 8,9 Clcolo [-] Totl Totl
16 6 Regessoe multpl,...,, ;,..., h θ θ θ uzoe d egessoe multpl Codzoe de mm qudt mmo ],...,, ;,..., [ h θ θ θ Se l uzoe d egessoe è del tpo:...,...,,, ;,...,, l codzoe s scve: mmo ],..., [ Egugldo zeo le devte pzl spetto pmet,,,, s ottee pe [ ] 0 [ ] 0 [ ] 0
17 7 [ ] 0 [ ] 0 [ ] 0 Sottedo dlle ultme due equzo l pm moltplct spettvmete pe e pe s ottee l sstem:
18 8 e, dvdedo etme le equzo pe, s pevee l sstem: l cu soluzoe osce le stme d e L stm d s ottee vece dll pm equzoe del sstem : Il sstem s può solvee co l egol d Cme, coè, posto: 0 D D D 0 0 D D D D
19 el cso geele... e l sstem s tsom el sstem equzo le: s s, s,,, 3 cu l mtce de coecet delle cogte,, è l mtce delle covze delle vl X, X, X mete tem ot soo le covze dell vle Y co cscu delle vl X, X, X Coecete d coelzoe lee multpl R ε 9
20 Coelzoe lee multpl Dto u seme d vl X, X, X, l uzoe d egessoe dell vle X sulle met X, X s può scvee:,..., e l sstem d equzo che sctusce dll codzoe d mmo dvet: j co emeto l qule: j j 4,3,, j Λ Λ j j,,... dove Λ j ppeset l complemeto lgeco dell elemeto j el detemte Λ dell mtce delle vze e delle covze: mtce d vze e covze 0
21 Itt, pe j,3 l sstem 4 s scve: Applcdo l egol d Cme pe stme s h: D complemeto lgeco Λ dell elemeto el detemte Λ dell mtce delle vze e delle covze D complemeto lgeco Λ dell elemeto el detemte Λ dell mtce delle vze e delle covze Λ Λ
22 osto j j j coecet d coelzoe: e j j / j, l sstem s può espmee uzoe de ' j j j,3,, e osce l soluzoe: Λ j j ' Λ j j j j,3,..., j dove j ppeset l complemeto lgeco del detemte dell mtce d coelzoe : mtce d coelzoe Il vloe d s ottee d: j j j dove j è l med tmetc dell vle X j R
23 Scomposzoe dell vz,... l vz de vlo ossevt dell vle X è egule ll somm dell vz de vlo clcolt medte l uzoe d egessoe d X su X, X e dell vz degl sct vlo ossevt e vlo clcolt,... [ s,.., s ] ' s j j s s j e, coddo che le covze le vl X,,X ed esdu soo ulle:,..., s [ s s,..., s ],... Λ Λ Λ Λ,... su u mtce d vze e covze su u mtce d coelzoe R,...,... 3
24 Coecete d coelzoe lee multpl 0 R, soo ulle le coelzo dell vle X co tutte le lte vl è ull l vz degl sct vlo ossevt e vlo clcolt dell dpedez mtemtc Coelzoe pzle L coelzoe pzle due vl u guppo d pù vl cosste el clcole l uzoe d egessoe lee multpl d cscu delle due vl sulle lte e el clcole successvmete l coecete d coelzoe lee esdu delle due egesso o pù coelt co le lte vl che eto ell uzoe d egessoe Dte vl X, X, X pe msue, d esempo, l coelzoe pzle le vl X e X, s detemo esdu ε,3...κ dell egessoe d X sulle met - vl X 3, X e esdu ε,3...κ d X sulle stesse vl X 3, X. e clcole coecet d coelzoe pzle,3 s ope su tl esdu ε,3...κ, ε,3...κ co emeto qul è ztutto ecesso clcole le vze e l covz. Le vze soo dte d espesso sml quelle gà tovte pe,..., co l deez che detemt Λ soo sosttut d complemet lgec Λ se mc l vle X ο Λ se mc l vle X. Λ Λ,3... Λ Λ., B. Λ.hj. ppeset l complemeto lgeco dell'elemeto hj el detemte Λ 4
25 L covz è dt d: Λ Λ. Λ. se clcolt su u mtce d vze e covze, Λ., se clcolt su u mtce d coelzoe. pe cu l coecete d coelzoe pzle d ode - t le vl X e X è p :,3...,3...,3...,3... Λ Λ Λ Coecet d coelzoe d ode, , ,
26 Relzoe l coecete d lezoe ed l coecete d coelzoe pzle, R.3... R Scmdo l vle X co X R.3... R R R R R......,... Il qudto del coecete d coelzoe pzle le vl X e X dc d quto s duce, tem eltv, l zoe d vz o spegt dll vle X toducedo l vle X 6
27 Esempo: Regessoe multpl A 3, 3 [ -, 3 ] ,4,4 6,5 85,, ,9,7 7,0 86,59 5, ,0 0,4 6,8 84,77 0, ,3 4,5 6,9 87,78 0, ,8 3, 6,4 86,34 6, , 5,5 6, 87,88 3, ,6,7 6, 85,88 3, ,0 0,6 6,6 84,74,44 Mede 86,,6 6,6 ε 7,9 Clcolo vze e covze ' ' ' 3 * * 3 * 3 0,06,47 0,0 848,96 39,0 56,60 7,56 0,0 0,8 08,03 58,90 6,30 4,6 4,90 0,05 73,60 38,7 57,0,3 3,56 0, 38,85 69,05 60,37 7,0 0,4 0,03 05,8 47,84 568,3 3,80 8,34 0,4 47,0 58,0 5,04,90 0,0 0,4 033,9 40,74 555,5 37,8 4,05 0,00 648,00 35,96 58,00 Vze 9,6,8 0,08Covze,90-0,3-0,0 Devze 74,, ,655Codevze 5, -,0-0,4 Mtce devze e codevze Sstem co vle dpedete 74, 5, -0,4 5,,57 -,0,57 -,0 5, -0,4 -,0 0,66 -,0 0,66-0,4 D 0,57 -,0 D 5, -,0 D,57 5, -,0 0,66-0,4 0,66 -,0-0,4 D /D o 0,7 D /D o 0,88 64,6948 R ε / 0,4 7
28 Mtce devze e codevze Mtce coelzoe 74, 5, -0,4,00 0,37-0,0 5,,57 -,0 0,37,00-0,6-0,4 -,0 0,66-0,0-0,6,00 - Λ /Λ 9,8 0,7 - / /,8 0,37 0,7 3,77 0, Λ 3 /Λ,6 0, / 3 3 / 0,64 0,08 0,88 3,77 0,93 R - / 0,4 0,37 0,0 0, [ 0,0 ][ 0,6 ] 0,0 0,37 0, [ 0,37 ][ 0,6 ] 0,6 0,37 0, [ 0,37 ][ 0,0 ] 0,38 0,09 0,9.B: Regol d Sus ,797 0,93 8
29 Cogduzoe Qudo s cosdeo due gdutoe delle stesse utà sttstche secodo due deet ctte, l loo gdo d cocodz o dscodz s può msue medte dc dett d cogduzoe Coecete d Spem ρ 6 ρ Rgh delle due gdutoe Il coecete d Spem cocde co l coecete d coelzoe lee semplce. elle gdutoe co molt e equo è peele clcole tle dce secodo l omul: ρ dove l vz d cscu gduto è dt d: [ j j j umeostà del j-esmo guppo d e-equo j ] e l covz d: 9
30 coecete d Kedll τ s s somm lgec de put ssegt secodo l seguete cteo: - se l go dell secod utà dell copp è mggoe o moe d quello dell pm etme le gdutoe, s sseg ll copp l vloe - se l go dell secod utà dell copp è mggoe dell pm u gduto e moe ell lt s sseg l vloe - -/ umeo d coppe che s possoo ome co le utà. se l gduto è post ode cescete s dch co q l umeo d veso dell gduto oché s q / τ 4q e l clcolo dell dce s può pocedee che eettudo tutte le possl deeze t vlo ossevt ed ssegdo loo u puteggo p, 0, secodo che l deez s egtv, ull o postv. L see de putegg otteut ssume med ull, devz T T - e codevz s. τ è clcolto: τ s T T el cso cu gupp cotegoo vlo egul, l devz v clcolt secodo l: T umeo d vlo egul del guppo -esmo e l ultm omul è d peee lle pecedet 30
31 Esempo su dc d cogduzoe Co emeto ll vedt d due podott A e B soo stte costute le due seguet gdutoe d u guppo d 0 mpese. Msue l cocodz o dscodz d tl gdutoe utlzzdo l dce ρ d Spem odott A B Impese Gdutoe - - I 3-4 II III IV 4,5 7 -,5 6,5 V 4,5 7 -,5 6,5 VI VII VIII IX X Totle 9, Utlzze l ρ 0, 8 o è coetto poché 990 soo peset de pegg. S clcolo: 0 0 [ 3 3] [3 3] 8, ,05 0 e s utlzz l omul ltetv: ρ 9,5,05,05 88,05 0,6 3
32 ut lgec Msue l cocodz o dscodz d tl gdutoe utlzzdo l dce τ d Kedll odott A B Impese Gdutoe 0 - I II III IV 4,5 7 3 V 4,5 7-3 VI VII VIII IX X Totle S utlzz l omul : τ s TT ,34 [3 3 ] 8 T 0 0 [3 3 ] 84 T 0 0 3
33 Idpedez stocstc - Due ctte s cosdeo stocstcmete dpedet se, dvse le utà sttstche gupp secodo le modltà d u cttee, le dstuzo cospodet v gupp, espesse tem d equeze eltve, sulto detche - L dpedez med mplc l dpedez stocstc se pù dstuzo o ho l stess med o possoo essee detche - L dpedez stocstc o mplc l dpedez med dstuzo deet possoo vee l stess med - L dpedez stocstc mplc l dpedez med dstuzo egul ho l stess med - L dpedez med o mplc l dpedez stocstc dstuzo vet l stess med possoo essee deet 33
34 Assoczoe e cotgez e vlute l coelzoe due ctte qulttv, msut etm su scle oml o su scl omle l uo ed odle l lto, s utlzzo gl dc dett d ssoczoe e d cotgez. Il teme ssoczoe s utlzz qudo s emeto due ctte cscuo de qul peset due sole modltà ltetve: Modltà del Modltà del cttee V Somm delle equeze ctteeu V V U A U C d c d c d Secodo le ozo d dpedez e dpedez stocstc ctte U e V s cosdeo dpedet se: c ; d c d d c 0 c c > ssoczoe postv se c < ssoczoe egtv oché d c d c l ppoto : 34
35 Y d d c c dce d Youle osce u dce d ssoczoe che v ell tevllo -, Assume vloe - se se u o etme le equeze dell dgole pcple soo ullemssm ssoczoe egtv; vloe se u o etme le equeze sull dgole secod soo ullemssm ssoczoe postv. Alt dc d ssoczoe soo: V d c c d c d V ssume l vloe qudo etme le equeze poste sull dgole secod soo ulle; - qudo soo ulle etme le equeze poste sull dgole pcple. χ [ ] χ V B: ppeseto questo cso le equeze teoche che s veeo se due ctte osseo dpedet 35
36 Cotgez Se ctte U e V ssumoo, spettvmete, modltà U, U,, U ed s modltà V, V,, V s, poedo ell csell ll coco dell ì-esm g e dell j-esm colo l umeo de cs j cu è stt ossevt l copp d modltà U e V j,,s ottee u tvol d cotgez s. Tvol d cotgez Cttee Cttee V U V V V j V s Totl U j s 0 U j s 0 U j s 0 U j s 0 Totl 0 0 0j 0s Gl dc d cotgez soo costut cosdedo U e V dpedet se j 0 0 j pe,, e j,,,s,: χ s j [ j 0 0 oj oj ] 36
37 χ s j j 0 0 j el cso d complet ssoczoe e pe s χ Φ χ cotgez qudtc med el cso d complet ssoczoe e pe s Φ Cotgez d eso Φ Φ 0 < el cso d complet ssoczoe e pe s 37
38 T Idce d Tschupow χ g ssume l vloe solmete se s g s m mssmo vloe χ m m-, s- C ssume l vloe che pe s Idce d Cme χ C m 38
I t n er e po p l o a l z a io i n o e Interpolazione Analitica
Itepolzoe Dopo ve ccolto u cet popolzoe d dt sttstc eltv d u ceto feomeo d lzze dopo vel ppesett gfcmete ed ve stetzzto tmte oppotu dc d poszoe d dspesoe d fom dt d u cttee qutttvo è possle utlzze delle
ANALISI DELLA REGRESSIONE ANALISI BIVARIATA DELLA REGRESSIONE
ANALII DELLA REGREIONE L Al dell Regreoe rgurd lo tudo delle relzo etet r o pù crtter qutttv o vrl. L rcerc de legm etet r pù vrl poe come rcerc delle relzo uzol che pogoo come grdezz dpedete d u ere d
Integrazione numerica
Cludo Esttco cludo.esttco@usur.t Itegrzoe umerc Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc Formule d qudrtur. Grdo d esttezz. 3 Metodo de coecet determt. 4 Formule d Newto-Cotes semplc. Formule d Newto-Cotes composte.
Formule di Integrazione Numerica
Formule d Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc: geerltà Prolem: vlutre l tegrle deto: I d F F utlzzo opportue tecce umerce qudo: l prmtv d o e esprmle orm cus d esempo s/, ep- ; dcoltà el clcolre ltcmete l prmtv
Raccolta Formule e Dimostrazioni
Rccolt Formule e Dmostrzo B. o uò essere usto durte l rov scrtt Med rtmetc K er dstruzo d frequez s h K K Med rmoc Mr er dstruzo d frequez s h: Mr Med geometrc g M K er dstruzo d frequez: g M K. Med qudrtc
Sistemi lineari: generalità
Sstem ler: geerltà Prolem: rsolvere u sstem lere d grd dmeso N, I form comptt: A B M M M M A [ ] R vettore de coeffcet B [ ] R vettore de term ot [ ] R vettore delle cogte Sstem ler: soluzoe Teorem Rouché-pell):
Lezione 8. Risultanti e discriminanti.
Lezoe 8 Prerequst: Rdc d polo Cp d spezzeto Lezoe 5 Rsultt e dscrt I quest sezoe studo crter eettv per stlre qudo due polo coecet u cpo ho rdc cou S F u cpo Proposzoe 8 I polo o ull, ] ho u rdce coue u
Integrazione di funzioni
tegrzoe d uzo l prolem dell tegrzoe umerc d u uzoe cosste el clcolre l vlore dell tegrle deto d prtre d umeros vlor dell uzoe tegrd l clcolo umerco d u tegrle semplce v sotto l ome d qudrtur meccc quello
VARIABILI ALEATORIE (v.a.) DISCRETE
Corso d Sttstc, Lure Ecoom Azedle, Uverstà C. Ctteo, Cstellz, 7 Ottobre 008. 008 R. D Agò VARIABILI ALEATORIE: SIMBOLOGIA, DEFINIIONI, PROPRIETA VARIABILI ALEATORIE (v.. DISCRETE pgg. -3 VARIABILI ALEATORIE
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Uverstà dell Clbr FACOLTA DI INGEGNERIA Corso d Lure Igeger Cvle CORSO DI IDROLOGIA N.O. Prof. Psqule Versce SCHEDA DIDATTICA N 0 ISOIETE E TOPOIETI A.A. 200- ISOIETE Il metodo delle soete, o lee d ugule
Integrazione numerica
Itegrzoe uerc (/5 Prole: Clcolre l seguete tegrle Itegrzoe uerc ( d co e costt rel e ( uzoe cotu. (cotu Itegrzoe uerc (/5 Itegrzoe uerc (/5 No sepre è possle trovre or esplct l prtv. Ache el cso cu l s
Sistemi lineari: generalità
Sstem ler: geerltà Problem: rsolvere u sstem lere d grd dmeso N b b L L b, b b L M M M M I form comptt: b I form comptt: A [ ] R vettore de coeffcet B AX B [ b ] R vettore de term ot X [ ] R vettore delle
SOLUZIONE Applicando la formula della media per le seriazioni, si ottiene: k
ESERCIZIO S detem l valoe medo della seguete dstbuzoe del umeo d patche evase dagl mpegat d u ceto comue, ua data settmaa lavoatva: patche evase 3 5 6 8 6 Totale Impegat 5 3 5 3 pplcado la fomula della
Approssimazione di dati e funzioni: generalità
Arossmzoe d dt e uzo: geertà Probem: rossmzoe d u uzoe : ot g { } vor che uzoe ssume e ut { } s vuoe otteere u rresetzoe tc de uzoe u tervo [b] geere coteete g { }; esressoe tc de è ot m comct er e oerzo
E definito prodotto di due cracoviani W V un cracoviano A il cui generico elemento vale
Rsoluzoe de sstem ler co l metodo d Bchewcz U semplce e effcete metodo per rsolvere sstem d equzo ler è quello recetemete proposto d Bchewcz che cosete d rsolvere sstem geerc smmetrc e o smmetrc che sez
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MATEMATICA FINANZIARIA CAP. 14 20
MTEMTIC FINNZIRI CP. 42 pputi di estimo INTERESSE SEMPLICE Iteesse semplice I C M C ( ) = fzioe di o [] C M G F M M G L S O N D Motte semplice di te costti 2 3 M R R R... R [2] 2 2 2 2 Poiché l fomul è
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( ) ( ) ( ) Equazioni non lineari: generalità
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I vettori. Grandezze scalari: Grandezze vettoriali
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