Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione strordinri PROBLEMA Considerto il seguente sistem linere nelle incognite z: z z z ) stilire sotto quli condizioni per i prmetri reli esso è: determinto; indeterminto; impossiile. ) Posto che l tern (; ; z) si un soluzione del sistem [] studire l curv di equzione: z ( ) e disegnrne l ndmento in un riferimento crtesino ortogonle (O). [ ] PROBLEMA Con riferimento d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O): ) studire le funzioni: e disegnre i loro grfici; ) dopo ver verificto che oltre l punto O tli grfici hnno in comune un ltro punto A determinre sul segmento OA un punto P tle che condott per esso l rett prllel ll sse si mssim l lunghezz del segmento RS dove R ed S sono i punti in cui l rett intersec i due grfici suddetti; c) determinre le coordinte dei punti di scisse uguli in cui le due curve hnno tngenti prllele e verificre che oltre l punto A si ritrovno i punti R ed S; d) clcolre il volume del solido generto dll regione finit di pino delimitt dlle due curve qundo ruot di un giro completo intorno ll sse. www.mtemticmente.it
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros QUESTIONARIO. In un pino è ssegnt un prol p. Trccit l tngente t d ess nel suo vertice chimti M ed N due punti di p simmetrici rispetto l suo sse e indicte con M ed N rispettivmente le proiezioni ortogonli di M ed N sull rett t determinre il rpporto fr l re dell regione pin delimitt dll prol e dll rett MN e quell del rettngolo MNN M fornendo un esuriente dimostrzione.. Si consideri un cono circolre retto ottenuto dll rotzione di un tringolo isoscele intorno ll ltezz proprimente dett. Spendo che il perimetro del tringolo è costnte stilire qule rpporto deve sussistere fr il lto del tringolo e l su se ffinché il cono i volume mssimo.. In un riferimento monometrico di ssi crtesini ortogonli (O) è ssegnt l iperole di equzione. Considerti su di ess i punti A e B di scisse rispettivmente ed con si trccino le tngenti ll iperole in A e B. Clcolre l re dell regione pin delimitt dll iperole e dlle tngenti considerte.. Dopo ver definito il limite destro e il limite sinistro di un funzione in un punto ricorrere tli definizioni per verificre che risult: lim lim.. Considert l funzione f fornire un interpretzione geometric delle conclusioni. stilire se è continu e derivile nel punto e. Dimostrre l formul che esprime il numero delle cominzioni semplici di n oggetti presi in funzione del numero delle disposizioni semplici degli stessi oggetti presi e delle permutzioni semplici su oggetti. 7. Un urn contiene plline numerte d. Determinre l proilità che estrendo cso un pllin ess si contrssegnt d un numero: divisiile per o per 8 divisiile per e per 8 non divisiile per né per 8. 8. Con riferimento d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O) determinre le coordinte del ricentro del tringolo in cui l omoteti di centro ( ) e crtteristic / trsform il tringolo di vertici ( ) (- ) ( 8). 9. Tr le ffinità di equzioni: www.mtemticmente.it
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros X Y c d ssegnte in un pino riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O) determinre quell che trsform i punti di coordinte ( ) 7 e. e ordintmente nei punti di coordinte. Scrivere un lgoritmo che risolv il prolem di determinre un rdice pprossimt di un equzione con un pprossimzione volut. Durt mssim dell prov: ore. È consentito soltnto l uso di clcoltrici non progrmmili. Non è mmesso lscire l ul degli esmi prim che sino trscorse tre ore dll detttur del tem. www.mtemticmente.it
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros PROBLEMA Considerto il seguente sistem linere nelle incognite z: Punto z z z stilire sotto quli condizioni per i prmetri reli esso è: determinto; indeterminto; impossiile. Il determinnte dell mtrice dei coefficienti è: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Per il teorem di Crmer se il sistem [] è determinto. Se il sistem è impossiile in qunto l prim e l second equzione del sistem [] fornirà rispettivmente e. Se il sistem [] divent: z z z [] che risult essere impossiile se in qunto ltrimenti le prime due equzioni del sistem [] sreero in contrsto. Se il sistem [] divent: z z z [] e il sistem [] è indeterminto. In conclusione il sistem [] è: Determinto se Impossiile se Indeterminto se www.mtemticmente.it
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros www.mtemticmente.it Punto Posto che l tern (; ; z) si un soluzione del sistem [] studire l curv di equzione: z Per il teorem di Crmer le tre soluzioni sono: z L curv z divent Bisogn llor disegnre l curv d cui vnno esclusi i punti cioè il punto e i punti intersezione dell curv con l isettrice del primo e terzo qudrnte. Studimo llor l curv. Dominio : { } / ± R Intersezione sse scisse: non ve ne sono Intersezione sse ordinte: Positività:
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros www.mtemticmente.it < Asintoti verticli: ± ± ± m lim lim per cui ± sono due sintoti verticli Asintoti orizzontli: lim ± per cui l rett è sintoto orizzontle Asintoti oliqui: non ve ne sono dt l presenz degli sintoti orizzontli Crescenz e decrescenz: Le derivte prim e second sono per cui < ± < < < In se lle considerzioni sopr effettute deducimo che è sciss di mssimo reltivo e è sciss di minimo reltivo. Il grfico è di seguito presentto:
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros PROBLEMA Con riferimento d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O): Punto studire le funzioni: e disegnre i loro grfici; Inizimo studire l funzione Dominio : R ( ) Intersezione sse scisse: ( ) Intersezione sse ordinte: Positività: ( ) ( ) ( ) ( ) Asintoti verticli: non ce ne sono visto che il dominio è l intero sse rele Asintoti orizzontli: non ce ne sono inftti lim f lim f Asintoti oliqui: non ce ne sono inftti lim ± f Crescenz e decrescenz: ( ) < < () () < 8 Per cui ( ) è un minimo è un mssimo e è un flesso. Ecco il grfico: www.mtemticmente.it 7
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros ( ) Studimo l funzione Dominio : R Intersezione sse scisse: Intersezione sse ordinte: Positività: ( ) Asintoti verticli: non ce ne sono visto che il dominio è l intero sse rele Asintoti orizzontli: non ce ne sono inftti lim f lim f Asintoti oliqui: non ce ne sono inftti lim ± Crescenz e decrescenz: ( ) ( ) R f ( ) 8 Per cui l funzione è sempre crescente e present in un flesso tngente orizzontle. Ecco il grfico: www.mtemticmente.it 8
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros Punto dopo ver verificto che oltre l punto O tli grfici hnno in comune un ltro punto A determinre sul segmento OA un punto P tle che condott per esso l rett prllel ll sse si mssim l lunghezz del segmento RS dove R ed S sono i punti in cui l rett intersec i due grfici suddetti; Clcolimo le intersezioni tr le due curve; v risolt l equzione: ( ) ( ) I punti in comune sono O ( ) A 8 L rett che congiunge questi due punti è l rett per cui il generico punto P h coordinte P. Considerimo llor il grfico seguente in cui sono rppresentte sullo stesso sistem le due curve l rett che congiunge i loro punti di intersezione e l rett prllel ll sse delle ordinte di equzione pssnte per P : www.mtemticmente.it 9
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros www.mtemticmente.it I punti R ed S vrnno coordinte: R S L rett di equzione deve trovrsi tr le scisse dei punti O ed A per cui l limitzione geometric è. L distnz RS è: ) ( f RS Poiché deve essere per l limitzione geometric llor ) ( f RS Clcolimo le derivte: 8 ) ( < f che con l limitzione implic: ) ( < f. Inoltre 8 ) ( < f f per cui il vlore che mssimizz l distnz RS è d cui 9 8 P l distnz mssim è 7 MAX RS ed i punti diventno
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros www.mtemticmente.it 8 8 S R Punto determinre le coordinte dei punti di scisse uguli in cui le due curve hnno tngenti prllele e verificre che oltre l punto A si ritrovno i punti R ed S; Prendimo or due punti generici pprtenenti lle due curve e di ugule sciss: le coordinte generiche sono: Q P L tngente ll curv di equzione e pssnte per P è: [ ] m m ) ( Per cui l tngente h equzione: Anlogmente l tngente ll curv di equzione e pssnte per Q è: [ ] ) ( m m Per cui l tngente h equzione: Affinché queste due tngenti sino prllele si deve imporre: 8 e come si not si ritrovno i punti A R ed S. Punto clcolre il volume del solido generto dll regione finit di pino delimitt dlle due curve qundo ruot di un giro completo intorno ll sse. Il volume è pri :
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros www.mtemticmente.it [ ] π π π π π 8 9 8 7 8 8 7 8 8 8 7 d d V
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros QUESTIONARIO Quesito In un pino è ssegnt un prol p. Trccit l tngente t d ess nel suo vertice chimti M ed N due punti di p simmetrici rispetto l suo sse e indicte con M ed N rispettivmente le proiezioni ortogonli di M ed N sull rett t determinre il rpporto fr l re dell regione pin delimitt dll prol e dll rett MN e quell del rettngolo MNN M fornendo un esuriente dimostrzione. Considerimo l figur seguente in cui viene presentt l prol p di equzione con vertice nell origine ed sse coincidente con l sse delle ordinte e i due punti ( ) N ( ) M con. d L re in verde è pri : S ( ) d ( ). L re S MNN M MN NN. Il rpporto tr le due ree è del rettngolo MNN M è R che esprime il risultto del teorem di Archimede. Quesito Si consideri un cono circolre retto ottenuto dll rotzione di un tringolo isoscele intorno ll ltezz proprimente dett. Spendo che il perimetro del tringolo è costnte stilire qule rpporto deve sussistere fr il lto del tringolo e l su se ffinché il cono i volume mssimo. www.mtemticmente.it
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros Si consideri l figur seguente rffigurnte il tringolo isoscele ABC che ruotndo intorno ll ltezz proprimente dett gener un cono circolre retto. Si p ABC ed AB con l semiperimetro. < < in qunto l se del tringolo non può essere superiore Di conseguenz AC CB l per cui h ed il volume del π π cono è V ( ) < <. L mssimizzzione del volume l effettuimo trmite derivzione. L derivt prim dell funzione ( ) V π π è V ( ) per cui V V V π π π < < < < < Quindi il volume è mssimo per l per cui Quesito l e vle. V π www.mtemticmente.it π 7. Inoltre In un riferimento monometrico di ssi crtesini ortogonli (O) è ssegnt l iperole di equzione. Considerti su di ess i punti A e B di scisse rispettivmente ed con
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros www.mtemticmente.it si trccino le tngenti ll iperole in A e B. Clcolre l re dell regione pin delimitt dll iperole e dlle tngenti considerte. Affinché i punti A e B sino distinti isogn imporre. I punti A e B hnno coordinte B A e le tngenti in A e B hnno equzioni m t m t B B A A : : con m m B A per cui t t B A : : L intersezione tr le due rette tngenti si ricv imponendo : d cui. L figur sottostnte rffigurt per rppresent in verde l re d clcolre:
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros www.mtemticmente.it Tle re vle: ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln d d S Quesito Dopo ver definito il limite destro e il limite sinistro di un funzione in un punto ricorrere tli definizioni per verificre che risult: lim lim. Definimo limite destro e sinistro: Il limite destro per di un funzione f è ugule d l se: ε piccolo picere ε δ tle che se δ si h < ε l f o equivlentemente ε ε < < l f l. Il limite sinistro per di un funzione f è ugule d l se: ε piccolo picere ε δ tle che se δ si h < ε l f o equivlentemente ε ε < < l f l.
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros Applichimo l definizione di limite sinistro per provre che lim. Doimo trovre i vlori di per cui < ε. L disequzione è equivlente l sistem < ε < < ε < ε < ε ε ε ε ε ε < < Poiché per ipotesi ε è piccolo picere llor possimo considerre < ε < ed in questo modo il sistem ε < <. Quindi scelto ε per ( ε). < ε è impossiile per cui l disequzione < ε è soddisftt per ε δ vle l condizione di limite sinistro in qunto si h f Applichimo l definizione di limite destro per provre che lim. Doimo trovre i vlori di per cui < ε. L disequzione è equivlente l sistem l < ε < ε < < ε < ε < ε ε ε ε < < ε ε Poiché per ipotesi ε è piccolo picere llor possimo considerre < ε < ed in questo modo il sistem < ε. Quindi scelto ε ( ε ). Quesito < < ε è impossiile per cui l disequzione < ε è soddisftt per ε Considert l funzione f δ vle l condizione di limite destro in qunto si h fornire un interpretzione geometric delle conclusioni. f l < ε per stilire se è continu e derivile nel punto e www.mtemticmente.it 7
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros L funzione lim f in f è continu e definit su tutto R ed in prticolre lim( ) f in qunto lim f lim. L derivt prim è ( ) f e ess non è definit ( ) per cui l funzione f è continu m non è derivile in in cui present un flesso scendente tngente verticle. Quesito Dimostrre l formul che esprime il numero delle cominzioni semplici di n oggetti presi in funzione del numero delle disposizioni semplici degli stessi oggetti presi e delle permutzioni semplici su oggetti. Si dicono cominzioni semplici di n elementi diversi presi (con n) (o di clsse ) tutti i possiili gruppi che si possono formre prendendo dgli n elementi in modo d considerre distinti soltnto quei gruppi che differiscono per l ntur di lmeno un elemento. Si dicono invece disposizioni semplici di n elementi diversi presi (o di clsse ) (con n) tutti i possiili gruppi che si possono formre prendendo degli n elementi in modo d considerre distinti quei gruppi che differiscono o per l ntur degli elementi o per il loro ordine. Confrontndo l definizione di cominzioni semplici con quell delle disposizioni semplici potremo dire che per esempio i due gruppi { c c} sono due disposizioni diverse (differiscono per l ordine degli elementi) m formno l stess cominzione. Dl precedente esempio risult evidente che ogni cominzione può generre tnte disposizioni qunte sono le permutzioni dei suoi elementi. Il numero disposizioni semplici di n elementi diversi presi (o di clsse ) (con n) è dto mtemticmente dl prodotto di numeri interi consecutivi decrescenti prtire d n: D n ( n ) ( n ) L ( n ) n L n! ( n )! Il numero di permutzioni semplici di elementi è dto mtemticmente dl numero disposizioni semplici di elementi presi : P ( ) ( ) L! D L Il numero di cominzioni semplici di n elementi diversi presi (con n) (o di clsse ) è dto dl rpporto tr disposizioni semplici di n elementi diversi presi (o di clsse ) (con n) e permutzioni semplici di elementi: C n D n P ( n )!! www.mtemticmente.it 8 n! n
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros n è conosciuto come coefficiente inomile e l formul n n! n dove not come legge dei tre fttorili. D Cn è P n!! Quesito 7 Un urn contiene plline numerte d. Determinre l proilità che estrendo cso un pllin ess si contrssegnt d un numero: divisiile per o per 8 divisiile per e per 8 non divisiile per né per 8. Considerimo i seguenti eventi: E E { Pllin contrssegnt d numero divisiile per 8} { Pllin contrssegnt d numero divisiile per } Le plline contrssegnte d numeri divisiili per sono { 789 } mentre quelle contrssegnte d numeri divisiili per 8 sono P. { 8 878889 } per cui ( E ) P( E ) Ricordimo che per eventi generici si h P( E E ) P( E ) P( E ) P( E ) ( E E ) P( E ) P E che divent E P per eventi mutumente esclusivi quelli per cui il verificrsi di un evento esclude il verificrsi dell ltro. Nel nostro cso i due eventi non sono mutumente esclusivi in qunto esistono plline contrssegnte d numeri divisiili si per 8 che per e sono { 8} P. per cui ( E E ) Quindi P( E E ) P( E ) P( E ) P( E E ) estrrre un pllin contrssegnt d numero divisiile per 8 e per è ( E E ) www.mtemticmente.it 9. L proilità di P mentre l proilità di estrrre un pllin contrssegnt d numero non divisiile né per 8 né per P. è ( E E ) P( E E ) Quesito 8 Con riferimento d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O) determinre le coordinte del ricentro del tringolo in cui l omoteti di centro ( ) e crtteristic / trsform il tringolo di vertici ( ) (- ) ( 8). Le equzioni dell omoteti di centro () e crtteristic / sono:
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros www.mtemticmente.it In un omoteti il trsformto del ricentro coincide col ricentro del trsformto. Il ricentro del tringolo di prtenz è C B A C B A G per cui le coordinte del ricentro del tringolo trsformto si ricvno dl sistem G. Quesito 9 Tr le ffinità di equzioni d c Y X ssegnte in un pino riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O) determinre quell che trsform i punti di coordinte e ordintmente nei punti di coordinte 7 e. Sostituendo lle equzioni dell ffinità le coordinte dei punti corrispondenti si ottiene il seguente sistem: 7 7 7 d c c d c c d c c d c per cui l ffinità cerct è Y X
Sessione strordinri PNI Soluzioni cur di Nicol De Ros Quesito Scrivere un lgoritmo che risolv il prolem di determinre un rdice pprossimt di un equzione con un pprossimzione volut. Uno dei metodi numerici studiti ed utilizzti per determinre un rdice pprossimt di un equzione con un pprossimzione volut è il metodo di isezione. Supponimo di voler trovre l suddett rdice nell intervllo () in cui f < < f f e supponimo per ipotesi che f e di voler trovre l rdice con un pprossimzione e. L lgoritmo in pseudocodice è il seguente: Inizio progrmm clcolo rdice pprossimt Definire l vriile pprossimzione e Definire ed inizilizzre l vriile col vlore dell estremo sinistro dell intervllo in cui ricde l rdice Definire ed inizilizzre l vriile col vlore dell estremo sinistro dell intervllo in cui ricde l rdice Definire ed inizilizzre l vriile R f o Inizire il ciclo di iterzione (While) o Definire e clcolre l vriile vlor medio o Definire e inizilizzre l vriile R o Clcolre l vriile R M f ( c) M c o Ciclo di selezione (If-Then-Else): Se R R Allor c R RM Altrimenti c o Sino qundo Stmpre c < Fine progrmm clcolo rdice pprossimt e M www.mtemticmente.it