Unità di misur. ppunti di Topogrfi UNIT DI MISUR distnze L unità di misur bitulmente impiegt per esprimere le distnze è il metro. Per grndezze molto piccole è opportuno ricorrere i sottomultipli, centimetro e millimetro. [ ], pri 1/60 del grdo sessgesimle [ ] ed il secondo sessgesimle, pri 1/60 del primo sessgesimle; le frzioni di secondo sono espresse nel sistem decimle. Per trsformre l mpiezz di un ngolo sessgesimle in ltre unità di misur è necessrio prim esprimerlo nel sistem sessdecimle. ngoli Tutte le strumentzioni topogrfiche moderne impiegno il sistem centesimle: il primo centesimle è definito come 1/400 dell ngolo giro ed è chimto nche. Un ngolo retto è quindi pri 100 g e un ngolo pitto 00 g. I sottomultipli sono il primo centesimle [c], definito come l centesim prte del, ed il secondo centesimle [cc], definito come l decimillesim prte del. Il milli è definito come millesim prte del. In topogrfi si ssume come positivo il senso di rotzione orrio. 1 34 56 1 grdi, 34 primi, 56 secondi 1,5 1 secondi virgol 5 Il sistem ciclometrico o mtemtico è impiegto di computer per il clcolo delle funzioni triometriche: l unità di misur è il rdinte, definito come l ngolo l centro di un circonferenz che sottende un rco di lunghezzz pri l rggio dell circonferenz stess. E un sistem di misur bse decimle. 13 g,4567 13, 45 primi, 67 secondi 45 c 45 primi 34 cc,5 34 secondi virgol 5 0 g,345 o 345m 345 milli In crtogrfi, le coordinte geogrfiche dei punti sono espresse nel sistem sessgesimle: il grdo sessgesimle è definito come 1/360 dell ngolo giro. Un ngolo retto è quindi pri 90 e un ngolo pitto 180. I sottomultipli sono il primo sessgesimle 1
ppunti di Topogrfi. Unità di misur Conversioni ngolri Per convertire il vlore numerico di un ngolo espressso in grdi sessgesimli in un ltro sistem di misur è necessrio in primo luogo convertirlo nel sistem sessdecimle. Ricordndo che 1 60 1 60 l trsformzione dell ngolo α d sessgesimle sessdecimle è: π 0,0003 0,000005 180 Per non perdere informzioni sul vlore dell ngolo α cus di troncmenti o rrotondmenti, il vlore dell ngolo espresso nel sistem mtemtico è stto pprossimto ll sest cifr decimle. α 1 34 56 sessges. α [(56/60) + 34]/60 + 1 1,58 sessdec. L conversione degli ngoli d un sistem decimle ll ltro si bs sull proporzione g α α αrd 00 180 π L mpiezz dell ngolo α espresso in grdi centesimli srà: g 1,58 g g α 00 13,980 180 L mpiezz dell ngolo α espresso in rdinti srà: 1,58 α rd π 0,19601 180 Per definire il numero di cifre decimli significtive nelle conversioni ngolri occorre considerre con qule pprossimzione l ngolo è espresso nel sistem di prtenz. Nell esempio riportto α è espresso con l pprossimzione del secondo sessdecimle; trsformndo tle vlore prim nel sistem sessdecimle e quindi in quello mtemtico si ottiene: 1" 3600" 0,0003
Richimi di triometri. ppunti di Topogrfi TRINGOLI RETTNGOLI - relzioni tr cteti TRINGOLI QULSISI - relzioni tr lti e ngoli (teorem dei seni) c b tgγ b ctgβ b c tgβ c ctgγ sinα b sin β c sin γ - relzioni con l ipotenus - teorem di Crnot c + b b cosγ - teorem di Nepero b sin β c sinγ b sin β cosγ + b b tn tn α α + β β c sinγ cos β - relzioni tr i lti Esercizi di topogrfi elementre 1. Dto un tringolo qulunque BC, noti due lti e l ngolo compreso, clcolre il terzo lto: 695,5m 785,48m b 1675,40m b 38,57m γ 38,6543 γ 53,874 c 1173,34m c 604,14m. Dto un tringolo qulunque BC, noti due lti e l ngolo compreso, clcolre l superficie: b + b c c c b 131,0m b 159,70m 1453,1m b 546,84m 1 S bsinγ γ 84,8086 γ 73,547 S 10179,46m S 36349,14m 3
ppunti di Topogrfi. Richimi di geometri nlitic del pino SISTEMI DI RIFERIMENTO PINI Per trttre nliticmente problemi geometrici è necessrio dimensionre e posizionre i diversi enti geometrici trmite numeri ed equzioni. Per fre questo è indispensbile definire un sistem di riferimento. crtesino relzioni tr sistemi di riferimento Considerndo un sistem di riferimento polre con polo coincidente con l origine di un sistem crtesino e sse polre coincidente, in verso e direzione, con l sse Y, si possono definire le relzioni che consentono di trsformre le coordinte di un punto L posizione di un punto è definit dlle coordinte X e Y, proiezioni ortoli di P sugli ssi crtesini X e Y. polre L posizione di un punto è individut dll distnz rispetto l polo e dll ngolo definito dll rotzione orri che sovrppone l sse polre l rggio vettore O (nomli). nomli e rggio vettore costituiscono le coordinte polri. X Y NGOLO PINO B d B d sinϑ cosϑ d X + Y X ϑ rctn Y L ngolo pino tr due semirette orientte è l rotzione orri che un semirett deve compiere ttorno l punto di intersezione con l second semirett per sovrpporsi quest ultim. L ngolo cuto rppresentto in figur si indic con l notzione BC, l ngolo ottuso con CB. 4
Richimi di geometri nlitic del pino. ppunti di Topogrfi NGOLO DI DIREZIONE L ngolo di direzione di un segmento B è l rotzione orri compiut d un prllel ll sse Y del sistem di riferimento, pssnte per un estremo, per sovrpporsi l segmento stesso. Si indic con l notzione (B). dei due punti e B X X B ( B) rctn Y Y L relzione tr gli ngoli di direzione riferiti gli estremi opposti di un segmento è: B ( B) ( B) ± π In generle, noto (B), ngolo di direzione dell semirett orientt B, l ngolo si direzione dell semirett orientt B si può determinre secondo l relzione: ( B) ( B) + π se ( B) < π ( B) ( B) π se ( B) > π Trsporto dell ngolo di direzione E evidente che per ogni segmento si possono individure due ngoli di direzione: con riferimento ll figur sono (B) e (B). Si consideri un spezzt con vertici, B, C,... e si considerino noti l ngolo di direzione (B), del primo lto dell spezzt, e gli ngoli pini BC, BCD ecc... Si devono preliminrmente fissre due convenzioni. E necessrio decidere un verso di percorrenz e ssegnre i punti i nomi che tengno conto di tle verso: il punto precede B, ecc... e si dott un senso orrio per qunto rigurd gli ngoli formti di segmenti BC e BCD... e quindi l rotzione che permette di sovrpporre un lto l successivo. L ngolo di direzione dell semirett B può essere determinto se si conoscono le coordinte crtesine 5
ppunti di Topogrfi. Richimi di geometri nlitic del pino Si vogliono clcolre gli ngoli di direzione successivi l primo (B), noto. Bst clcolre i corrispondenti ngoli di direzione reciproci, ggiungere l ngolo misurto nel vertice e sottrrre π se il risultto del clcolo super π. (BC) (B) + BC - π (BC) (B) +π+ BC - π (BC) (B) + BC - π Si può generlizzre dicendo che l ngolo di direzione di un vertice si ottiene sommndo ll ngolo di direzione del vertice precedente, l ngolo pino compreso tr i due segmenti; se l somm è mggiore di πsi deve sottrrre π, se l somm è minore di π, si deve ggiungere π. Trsporto delle coordinte crtesine lungo un spezzt Successivmente si procede l clcolo delle coordinte totli di ogni vertice come somm delle coordinte totli del vertice precedente e delle coordinte przili del vertice in esme: X + X x Y Y + y B B B B X + X x Y Y + y C B C C B C SISTEMI DI RIFERIMENTO SPZILI sistem di riferimento crtesino E definito d un tern di rette ortoli tr loro, sulle quli si fiss il riferimento crtesino, con origine nel punto comune lle tre rette. Il punto è così identificto dlle sue coordinte X,Y,Z. Si consideri un spezzt con vertici, B, C,... e si considerino noti gli ngoli di direzione di tutti i lti, le lunghezze di tutti i lti e le coordinte crtesine del vertice di prtenz. Si vogliono determinre le coordinte crtesine di tutti i vertici dell spezzt. x d sin(b) y d cos(b) B B B B x d sin(bc) y d cos(bc) C BC Si determinno dpprim le coordinte przili di ogni vertice rispetto l precedente, origine del sistem locle: C BC sistem di riferimento sferico E definito d un punto O (polo), d un pino, d un semirett di origine OO 1 (sse polre), pprtenente l pino,d un ngolo che definisce le rotzioni sul pino (in topogrfi, per convenzione, si consider positivo il senso orrio) e d un semirett OO perpendicolre l pino. Considerto il punto e l su proiezione 0 sul pino, si individuno le seguenti grndezze: - l lunghezz d del segmento O, coincidente con il 6
Osservbili. ppunti di Topogrfi rggio vettore; - l ngolo q (nomli), coincidente ll rotzione orri che sovrppone l sse polre OO 1 ll semirett O 0 ; - l ngolo f, coincidente ll rotzione orri che sovrppone l semirett OO ll semirett O. Le quntità d,q,f, sono le coordinte sferiche del punto. corrispondenti lle direzioni zimutli L e L B. L ngolo zimutle OB risult pri ll differenz tr l direzione zimutle del punto vnti e l direzione zimutle del punto indietro. OB L B -L GRNDEZZE OSSERVBILI Le misure topogrfiche sono finlizzte definire l posizione di punti nello spzio, rispetto d un sistem di riferimento. Tle posizione è espress trmite un tern di coordinte crtesine (X, Y, Z o E, N, Q) che possono sempre essere determinte, per vi indirett, prtire d misure ngolri e di distnz. ngolo zenitle pprtiene d un pino verticle ed è compreso tr l verticle V pssnte per il vertice di stzione e l congiungente il punto che si vuole misurre. ngolo zimutle L ngolo zimutle tr e B, misurto in O è l sezione normle dell ngolo solido (diedro) formto d due pini verticli, venti per costol l verticle pssnte per il punto di stzione (O) e contenenti rispettivmente i punti fr i quli si vuole misurre l ngolo zimutle stesso ( e B). direzione zimutle E l lettur eseguit sul cerchio zimutle ed indic l gicitur di un pino verticle, contenente l sse di collimzione, rispetto d un qulsisi direzione prestbilit. Si suppong di voler misurre l ngolo OB. Con il teodolite in stzione sul punto O, si collimno i punti e B e si lego sul cerchio orizzontle i vlori distnz In topogrfi l distnz che viene misurt tr due punti per vi dirett è sempre l distnz inclint, cioè l congiungente in line rett i due punti in esme. L distnz topogrfic (o orizzontle) è invece l proiezione dell distnz inclint su un pino orizzontle. 7